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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 7, 15, 12, 1, 13. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 8, 19, 18, 6, 19. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 6, 8, 18, 19, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 18
    3. Spannweite = 19 − 6 = 13
    Ergebnis:
    Median 18; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
  2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
  2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
Ergebnis:
Schlafdauer in Stunden, Zahlen

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Wunschgericht
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Wunschgericht
    2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
    Ergebnis:
    Wunschgericht, Kategorien
  2. ●2
    Mila will die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Minuten Musik pro Tag“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: viel Musik heißt nicht, welche Richtung
    2. Besser: Lieblingsmusikrichtung
    Ergebnis:
    nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  3. ★3
    Für die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ wird das Merkmal „Verkehrsmittel“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Handyzeit am Tag von 15 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 84, 60, 54, 172, 95, 72, 71, 81, 82, 112, 136, 113, 111, 142, 83. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Schritt für Schritt
  1. 30 bis unter 60 min: 1
  2. 60 bis unter 90 min: 7
  3. 90 bis unter 120 min: 4
  4. 120 bis unter 150 min: 2
  5. 150 bis unter 180 min: 1
  6. Probe: 1 + 7 + 4 + 2 + 1 = 15
  1. 30 bis unter 60 min: 1
  2. 60 bis unter 90 min: 7
  3. 90 bis unter 120 min: 4
  4. 120 bis unter 150 min: 2
  5. 150 bis unter 180 min: 1
  6. Probe: 1 + 7 + 4 + 2 + 1 = 15
Ergebnis:
30 bis unter 60: 1; 60 bis unter 90: 7; 90 bis unter 120: 4; 120 bis unter 150: 2; 150 bis unter 180: 1

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Handyzeit am Tag von 15 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 144, 80, 81, 124, 64, 126, 87, 112, 104, 111, 44, 124, 40, 79, 45. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    So fängst du an:
    30 bis unter 60 min: 3
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 3
    2. 60 bis unter 90 min: 5
    3. 90 bis unter 120 min: 3
    4. 120 bis unter 150 min: 4
    5. Probe: 3 + 5 + 3 + 4 = 15
    Ergebnis:
    30 bis unter 60: 3; 60 bis unter 90: 5; 90 bis unter 120: 3; 120 bis unter 150: 4
  2. ●5
    15 Werte (Sprungweite in cm): 351, 261, 340, 375, 367, 351, 341, 330, 325, 391, 305, 275, 389, 318, 384. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300?300 bis unter 350?350 bis unter 400?
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 2
    2. 300 bis unter 350 cm: 6
    3. 350 bis unter 400 cm: 7
    4. Probe: 2 + 6 + 7 = 15
    Ergebnis:
    2, 6, 7
  3. ★6
    Sprungweite von 20 Kindern beim Sportfest in cm: 407, 350, 313, 337, 412, 388, 322, 295, 392, 374, 384, 293, 419, 348, 350, 334, 294, 365, 336, 291. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht20 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 4
    2. 300 bis unter 350 cm: 6
    3. 350 bis unter 400 cm: 7
    4. 400 bis unter 450 cm: 3
    5. Probe: 4 + 6 + 7 + 3 = 20
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 4; 300 bis unter 350: 6; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 3

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
0123456789150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Höchste Säule: über 160 bis 170
  2. Höhe 8
  1. Höchste Säule: über 160 bis 170
  2. Höhe 8
Ergebnis:
160 bis unter 170 cm: 8

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
    012345678910250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 2, 7, 9, 2
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 2, 7, 9, 2
    2. Summe: 2 + 7 + 9 + 2 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 10 min?
    012345678901020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 10: 2
    2. Nur eine Säule: 2
    Ergebnis:
    2 Werte
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 30 min?
    0123456789101101020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 30: 2, 9, 10
    2. 2 + 9 + 10 = 21
    Ergebnis:
    21 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 16 Antworten.
Bücher01234Anzahl60802
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
  2. 16 Werte, Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 6, bis 2: 14
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
  2. 16 Werte, Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 6, bis 2: 14
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 2, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Lukas schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 21 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Bücher01234Anzahl56730
    So fängst du an:
    21 Werte: Median ist der 11. Wert
    Lösung zeigen
    1. 21 Werte: Median ist der 11. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 11
    3. Median: 1
    Ergebnis:
    Median 1
  2. ●11
    Noah schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 25 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Bücher01234Anzahl71845
    Lösung zeigen
    1. 25 Werte: Median ist der 13. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 7, bis 1: 8, bis 2: 16
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2
  3. ★12
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 45 Antworten.
    Tore012345Anzahl11105892
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 0 (11-mal)
    2. 45 Werte, Median ist der 23. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 11, bis 1: 21, bis 2: 26
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 15 Antworten).
Bücher01234Anzahl12723
Schritt für Schritt
  1. 0 · 1 + 1 · 2 + 2 · 7 + 3 · 2 + 4 · 3 = 34
  2. Anzahl aller Werte: 15
  3. 34 : 15 ≈ 2,27
  1. 0 · 1 + 1 · 2 + 2 · 7 + 3 · 2 + 4 · 3 = 34
  2. Anzahl aller Werte: 15
  3. 34 : 15 ≈ 2,27
Ergebnis:
2,27

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 26 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl28772
    So fängst du an:
    0 · 2 + 1 · 8 + 2 · 7 + 3 · 7 + 4 · 2 = 51
    Lösung zeigen
    1. 0 · 2 + 1 · 8 + 2 · 7 + 3 · 7 + 4 · 2 = 51
    2. Anzahl aller Werte: 26
    3. 51 : 26 ≈ 1,96
    Ergebnis:
    1,96
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 13 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl37111
    Lösung zeigen
    1. 0 · 3 + 1 · 7 + 2 · 1 + 3 · 1 + 4 · 1 = 16
    2. Anzahl aller Werte: 13
    3. 16 : 13 ≈ 1,23
    Ergebnis:
    1,23
  3. ★15
    Von Handyzeit am Tag kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min160 bis unter 90 min890 bis unter 120 min8120 bis unter 150 min7150 bis unter 180 min1
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 45, 75, 105, 135, 165
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 2595
    3. 2595 : 25 = 103,8
    Ergebnis:
    etwa 103,8 min

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 19, 13, 21, 24, 17, 6. 8b: 15, 13, 23, 12, 15, 9. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert 8a: 100 : 6 ≈ 16,67
  2. Mittelwert 8b: 87 : 6 = 14,5
  3. Spannweite: 18 gegen 14
  1. Mittelwert 8a: 100 : 6 ≈ 16,67
  2. Mittelwert 8b: 87 : 6 = 14,5
  3. Spannweite: 18 gegen 14
Ergebnis:
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 350, 298, 324, 378, 333, 328. Gruppe Süd: 354, 398, 321, 379, 300, 330. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 2011 : 6 ≈ 335,17
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2011 : 6 ≈ 335,17
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2082 : 6 = 347
    3. Spannweite: 80 gegen 98
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  2. ●17
    Punkte im Test. 8a: 8, 11, 9, 23, 11, 6. 8b: 10, 20, 22, 19, 13, 22. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 68 : 6 ≈ 11,33
    2. Mittelwert 8b: 106 : 6 ≈ 17,67
    3. Spannweite: 17 gegen 12
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  3. ★18
    Punkte im Test. 8a: 22, 15, 14, 6, 22, 19, 14, 21. 8b: 14, 16, 10, 5, 7, 11, 8, 11. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 133 : 8 ≈ 16,63
    2. Mittelwert 8b: 82 : 8 = 10,25
    3. Spannweite: 16 gegen 11
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 79, 106, 75, 109, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 540: Mittelwert 909 : 5 = 181,8, Median 106
  2. Ohne: Mittelwert 369 : 4 = 92,25, Median 92,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 540: Mittelwert 909 : 5 = 181,8, Median 106
  2. Ohne: Mittelwert 369 : 4 = 92,25, Median 92,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 181,8 statt 92,25; Median 106 statt 92,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Taschengeld im Monat in Euro: 28, 26, 15, 33, 150. Wie stark verändert der Wert 150 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 150: Mittelwert 252 : 5 = 50,4, Median 28
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 252 : 5 = 50,4, Median 28
    2. Ohne: Mittelwert 102 : 4 = 25,5, Median 27
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 50,4 statt 25,5; Median 28 statt 27
  2. ●20
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 2, 2, 4, 6, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 35: Mittelwert 49 : 5 = 9,8, Median 4
    2. Ohne: Mittelwert 14 : 4 = 3,5, Median 3
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 9,8 statt 3,5; Median 4 statt 3
  3. ★21
    Taschengeld im Monat in Euro: 26, 37, 21, 35, 27, 24, 200. Wie stark verändert der Wert 200 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 370 : 7 ≈ 52,86, Median 27
    2. Ohne: Mittelwert 170 : 6 ≈ 28,33, Median 26,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 52,86 statt 28,33; Median 27 statt 26,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 37 % auf 42 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 5 Prozent.“ Stimmt das?
gegebengesucht37 %42 %?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 42 − 37 = 5 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 5 : 37 · 100 ≈ 13,51 %
  1. Unterschied: 42 − 37 = 5 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 5 : 37 · 100 ≈ 13,51 %
Ergebnis:
ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 13,51 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „67 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht67 Prozent12 Kinder?
    So fängst du an:
    8 von 12 sind 66,67 %
    Lösung zeigen
    1. 8 von 12 sind 66,67 %
    2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 38 % auf 40 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 2 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht38 %40 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 40 − 38 = 2 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 2 : 38 · 100 ≈ 5,26 %
    Ergebnis:
    ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 5,26 % mehr
  3. ★24
    Der Mittelwert der Klasse im Test stieg von 63 auf 69 Punkte. Tim sagt: „Dann haben sich alle verbessert.“ Ist das haltbar?
    Lösung zeigen
    1. Ein höherer Mittelwert heißt: die Summe ist gestiegen
    2. Einzelne können sich trotzdem verschlechtert haben
    Ergebnis:
    nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schülervertretung fragt: „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Dauer des Schulwegs in Minuten
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Dauer des Schulwegs in Minuten, Zahlen
  2. ●26
    Zwei Vorschläge für die Frage „Wie kommen die Kinder unserer Schule zur Schule?“: A befragt 15 Personen, nämlich die Kinder, die morgens am Fahrradständer stehen. B lost 15 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht15 Personen15 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: nur Radfahrer werden gefragt, das Ergebnis ist verzerrt
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    B
  3. ●27
    Die Werte (Sprungweite in cm): 313, 321, 272, 364, 342, 401, 368, 334, 369, 348, 395, 342, 306, 359, 275. Wie viele Werte liegen in der Klasse 350 bis unter 400 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 350 und alles bis kurz vor 400
    2. Gezählt: 364, 368, 369, 395, 359
    3. Das sind 5
    Ergebnis:
    5 Werte
  4. ●28
    In der Tabelle (Körpergröße) fehlt die Gesamtzahl. Wie viele Personen wurden erfasst, und welche Klasse ist am stärksten besetzt?
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm3160 bis unter 170 cm9170 bis unter 180 cm11180 bis unter 190 cm2
    Lösung zeigen
    1. Gesamt: 3 + 9 + 11 + 2 = 25
    2. Größte Anzahl: 11
    Ergebnis:
    25; 170 bis unter 180 cm
  5. ●29
    Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Du zeichnest ein Histogramm, ein Kästchen steht für einen Wert. Wie hoch wird jede Säule?
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min760 bis unter 90 min1390 bis unter 120 min11120 bis unter 150 min8150 bis unter 180 min1
    Lösung zeigen
    1. Höhe = Anzahl : 1
    2. 7, 13, 11, 8, 1 Kästchen
    3. Säulen ohne Lücke nebeneinander, Breite überall gleich
    Ergebnis:
    7, 13, 11, 8, 1 Kästchen
  6. ●30
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Note in der Mathearbeit, 23 Antworten.
    Note123456Anzahl138407
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 3 (8-mal)
    2. 23 Werte, Median ist der 12. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 1, bis 2: 4, bis 3: 12
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 3

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Die Schülervertretung fragt: „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Verkehrsmittel, Kategorien

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 379, 290, 360, 346, 389, 343, 374, 346, 351, 395, 322, 369, 282, 353, 273. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 3; 300 bis unter 350: 4; 350 bis unter 400: 8

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 60 min?
    01234567306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Werte

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 17 Antworten.
    Anzahl01234Anzahl65420
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 1

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Note123456Anzahl614812
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3,14

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Punkte im Test. 8a: 24, 12, 8, 9, 12, 24. 8b: 10, 19, 20, 17, 8, 13. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Taschengeld im Monat in Euro: 25, 21, 22, 37, 250. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 250.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 71 statt 26,25; Median 25 statt 23,5

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 2,3 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 2,3 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Wunschgericht, Kategorien
  2. nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  3. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  4. 30 bis unter 60: 3; 60 bis unter 90: 5; 90 bis unter 120: 3; 120 bis unter 150: 4
  5. 2, 6, 7
  6. 250 bis unter 300: 4; 300 bis unter 350: 6; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 3
  7. 20 Personen
  8. 2 Werte
  9. 21 Werte
  10. Median 1
  11. Median 2
  12. Modalwert 0, Median 2
  13. 1,96
  14. 1,23
  15. etwa 103,8 min
  16. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  17. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  18. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  19. Mittelwert 50,4 statt 25,5; Median 28 statt 27
  20. Mittelwert 9,8 statt 3,5; Median 4 statt 3
  21. Mittelwert 52,86 statt 28,33; Median 27 statt 26,5
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 5,26 % mehr
  24. nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind
  25. Dauer des Schulwegs in Minuten, Zahlen
  26. B
  27. 5 Werte
  28. 25; 170 bis unter 180 cm
  29. 7, 13, 11, 8, 1 Kästchen
  30. Modalwert 3, Median 3
  31. Verkehrsmittel, Kategorien
  32. 250 bis unter 300: 3; 300 bis unter 350: 4; 350 bis unter 400: 8
  33. 2 Werte
  34. Modalwert 0, Median 1
  35. 3,14
  36. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  37. Mittelwert 71 statt 26,25; Median 25 statt 23,5
  38. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  39. x̄ = 9,6
  40. Median 18; Spannweite 13