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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 6, 15, 6, 4, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,4
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 6, 19, 20, 5, 18. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 5, 6, 18, 19, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 18
    3. Spannweite = 20 − 5 = 15
    Ergebnis:
    Median 18; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Schritt für Schritt
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
  2. ●2
    Für die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ wird das Merkmal „Verkehrsmittel“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  3. ★3
    Sara will die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Länge des Schulwegs in Kilometern“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: die Länge sagt nicht, ob jemand Bus oder Rad fährt
    2. Besser: Verkehrsmittel
    Ergebnis:
    nein, besser: Verkehrsmittel

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 107, 94, 61, 73, 125, 84, 157, 92, 82, 105, 73, 59, 32, 91, 144. Wie viele Werte liegen in der Klasse 120 bis unter 150 min? Achte auf die Grenzen.
Schritt für Schritt
  1. Die Klasse umfasst 120 und alles bis kurz vor 150
  2. Gezählt: 125, 144
  3. Das sind 2
  1. Die Klasse umfasst 120 und alles bis kurz vor 150
  2. Gezählt: 125, 144
  3. Das sind 2
Ergebnis:
2 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 18, 19, 21, 29, 11, 24, 31, 29, 12, 27, 31, 19, 29, 15, 7. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    So fängst du an:
    0 bis unter 10 min: 1
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 10 min: 1
    2. 10 bis unter 20 min: 6
    3. 20 bis unter 30 min: 6
    4. 30 bis unter 40 min: 2
    5. Probe: 1 + 6 + 6 + 2 = 15
    Ergebnis:
    0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 6; 20 bis unter 30: 6; 30 bis unter 40: 2
  2. ●5
    Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 130, 110, 123, 145, 148, 118, 115, 132, 73, 42, 136, 156, 124, 121, 103. Wie viele Werte liegen in der Klasse 150 bis unter 180 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 150 und alles bis kurz vor 180
    2. Gezählt: 156
    3. Das sind 1
    Ergebnis:
    1 Werte
  3. ★6
    Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 107, 111, 66, 119, 95, 72, 125, 92, 120, 39, 42, 53, 122, 58, 88, 48, 102, 54, 101, 65. Wie viele Werte liegen in der Klasse 120 bis unter 150 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 120 und alles bis kurz vor 150
    2. Gezählt: 125, 120, 122
    3. Das sind 3
    Ergebnis:
    3 Werte

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
0123456306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 4, 5, 5, 5, 1
  2. Summe: 4 + 5 + 5 + 5 + 1 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 4, 5, 5, 5, 1
  2. Summe: 4 + 5 + 5 + 5 + 1 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 160 cm?
    0123456789150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 160: 4
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 160: 4
    2. Nur eine Säule: 4
    Ergebnis:
    4 Werte
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 300 cm?
    012345678910250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 300: 1
    2. Nur eine Säule: 1
    Ergebnis:
    1 Werte
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 90 min?
    0123456789101112306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 90: 4, 8
    2. 4 + 8 = 12
    Ergebnis:
    12 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Noah schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 23 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Note123456Anzahl034628
Schritt für Schritt
  1. 23 Werte: Median ist der 12. Wert
  2. Aufsummiert: bis 1: 0, bis 2: 3, bis 3: 7, bis 4: 13
  3. Median: 4
  1. 23 Werte: Median ist der 12. Wert
  2. Aufsummiert: bis 1: 0, bis 2: 3, bis 3: 7, bis 4: 13
  3. Median: 4
Ergebnis:
Median 4

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Lea schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 22 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl106087
    So fängst du an:
    22 Werte: Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
    Lösung zeigen
    1. 22 Werte: Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
    2. Aufsummiert: bis 2: 1, bis 3: 7, bis 4: 7, bis 5: 15
    3. Median: 5
    Ergebnis:
    Median 5
  2. ●11
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 14 Antworten.
    Bücher01234Anzahl03254
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 3 (5-mal)
    2. 14 Werte, Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 0, bis 1: 3, bis 2: 5, bis 3: 10
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 3
  3. ★12
    Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 23 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Bücher01234Anzahl86522
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 0 (8-mal)
    2. 23 Werte, Median ist der 12. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 14
    4. Median: 1
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 1

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Tore012345Anzahl440247
Schritt für Schritt
  1. 0 · 4 + 1 · 4 + 2 · 0 + 3 · 2 + 4 · 4 + 5 · 7 = 61
  2. Anzahl aller Werte: 21
  3. 61 : 21 ≈ 2,9
  1. 0 · 4 + 1 · 4 + 2 · 0 + 3 · 2 + 4 · 4 + 5 · 7 = 61
  2. Anzahl aller Werte: 21
  3. 61 : 21 ≈ 2,9
Ergebnis:
2,9

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 25 Antworten).
    Bücher01234Anzahl28654
    So fängst du an:
    0 · 2 + 1 · 8 + 2 · 6 + 3 · 5 + 4 · 4 = 51
    Lösung zeigen
    1. 0 · 2 + 1 · 8 + 2 · 6 + 3 · 5 + 4 · 4 = 51
    2. Anzahl aller Werte: 25
    3. 51 : 25 = 2,04
    Ergebnis:
    2,04
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 24 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl52674
    Lösung zeigen
    1. 0 · 5 + 1 · 2 + 2 · 6 + 3 · 7 + 4 · 4 = 51
    2. Anzahl aller Werte: 24
    3. 51 : 24 ≈ 2,13
    Ergebnis:
    2,13
  3. ★15
    Von Schulweg kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10 min110 bis unter 20 min620 bis unter 30 min1430 bis unter 40 min4
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 5, 15, 25, 35
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 585
    3. 585 : 25 = 23,4
    Ergebnis:
    etwa 23,4 min

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 19, 19, 14, 17, 17, 15. Staffel B: 14, 15, 13, 18, 15, 19. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Staffel A: 101 : 6 ≈ 16,83
  2. Mittelwert Staffel B: 94 : 6 ≈ 15,67
  3. Spannweite: 5 gegen 6
  1. Mittelwert Staffel A: 101 : 6 ≈ 16,83
  2. Mittelwert Staffel B: 94 : 6 ≈ 15,67
  3. Spannweite: 5 gegen 6
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Punkte im Test. 8a: 13, 11, 14, 11, 9, 10. 8b: 21, 4, 4, 18, 22, 16. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert 8a: 68 : 6 ≈ 11,33
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 68 : 6 ≈ 11,33
    2. Mittelwert 8b: 85 : 6 ≈ 14,17
    3. Spannweite: 5 gegen 18
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  2. ●17
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 19, 13, 13, 14, 13, 15. Staffel B: 14, 18, 19, 16, 16, 15. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 87 : 6 = 14,5
    2. Mittelwert Staffel B: 98 : 6 ≈ 16,33
    3. Spannweite: 6 gegen 5
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  3. ★18
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 306, 296, 401, 416, 406, 398, 298, 351. Gruppe Süd: 282, 397, 385, 400, 353, 408, 337, 335. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2872 : 8 = 359
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2897 : 8 ≈ 362,13
    3. Spannweite: 120 gegen 126
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 140, 101, 94, 86, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
Schritt für Schritt
  1. Mit 540: Mittelwert 961 : 5 = 192,2, Median 101
  2. Ohne: Mittelwert 421 : 4 = 105,25, Median 97,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 540: Mittelwert 961 : 5 = 192,2, Median 101
  2. Ohne: Mittelwert 421 : 4 = 105,25, Median 97,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 192,2 statt 105,25; Median 101 statt 97,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Handyzeit am Tag in Minuten: 137, 72, 121, 112, 600. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 600.
    So fängst du an:
    Mit 600: Mittelwert 1042 : 5 = 208,4, Median 121
    Lösung zeigen
    1. Mit 600: Mittelwert 1042 : 5 = 208,4, Median 121
    2. Ohne: Mittelwert 442 : 4 = 110,5, Median 116,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 208,4 statt 110,5; Median 121 statt 116,5
  2. ●20
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 8, 8, 4, 2, 40. Wie stark verändert der Wert 40 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 40: Mittelwert 62 : 5 = 12,4, Median 8
    2. Ohne: Mittelwert 22 : 4 = 5,5, Median 6
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 12,4 statt 5,5; Median 8 statt 6
  3. ★21
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 3, 6, 5, 5, 6, 9, 35. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 35.
    Lösung zeigen
    1. Mit 35: Mittelwert 69 : 7 ≈ 9,86, Median 6
    2. Ohne: Mittelwert 34 : 6 ≈ 5,67, Median 5,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 9,86 statt 5,67; Median 6 statt 5,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,4 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,4 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
Schritt für Schritt
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
Ergebnis:
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 20 % auf 24 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 4 Prozent.“ Stimmt das?
    So fängst du an:
    Unterschied: 24 − 20 = 4 Prozentpunkte
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 24 − 20 = 4 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 4 : 20 · 100 = 20 %
    Ergebnis:
    ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 20 % mehr
  2. ●23
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „65 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht65 Prozent20 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 13 von 20 sind 65 %
    2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  3. ★24
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 16 % auf 24 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 8 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht16 %24 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 24 − 16 = 8 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 8 : 16 · 100 = 50 %
    Ergebnis:
    ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 50 % mehr

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  2. ●26
    Zwei Vorschläge für die Frage „Welcher Sport ist an unserer Schule beliebt?“: A befragt 15 Personen, nämlich die Mitglieder der Fußball-AG. B lost 15 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht15 Personen15 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: wer in der Fußball-AG ist, mag Fußball – das verzerrt
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    B
  3. ●27
    Die Werte (Schulweg in min): 25, 23, 41, 19, 23, 17, 30, 14, 35, 14, 6, 32, 33, 14, 26. Wie viele Werte liegen in der Klasse 10 bis unter 20 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 10 und alles bis kurz vor 20
    2. Gezählt: 19, 17, 14, 14, 14
    3. Das sind 5
    Ergebnis:
    5 Werte
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von 25 Befragten der Jahrgangsstufe. Welcher Anteil liegt unter 60 min? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min260 bis unter 90 min1090 bis unter 120 min8120 bis unter 150 min5
    Lösung zeigen
    1. Unter 60: nur die erste Klasse, 2
    2. Anteil: 2 : 25 · 100 = 8
    Ergebnis:
    8 %
  5. ●29
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 10 min?
    0123456789010203040Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 10: 1
    2. Nur eine Säule: 1
    Ergebnis:
    1 Werte
  6. ●30
    Noah zeichnet für Körpergröße die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Noah für die Klassen von 150 bis 180 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (180 − 150) : 10 = 3
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 3 Säulen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Sara will die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Marke des Handys“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    15 Werte (Sprungweite in cm): 350, 381, 377, 302, 403, 280, 308, 379, 389, 352, 300, 375, 343, 379, 384. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300?300 bis unter 350?350 bis unter 400?400 bis unter 450?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 4, 9, 1

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 160 cm?
    01234567891011150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Werte

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Aylin schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 20 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl54371
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median 2

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 22 Antworten).
    Bücher01234Anzahl15367
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,59

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 312, 397, 315, 417, 378, 323. Gruppe Süd: 366, 399, 349, 382, 351, 373. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Taschengeld im Monat in Euro: 31, 37, 25, 20, 200. Wie stark verändert der Wert 200 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 62,6 statt 28,25; Median 31 statt 28

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „65 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht65 Prozent20 Kinder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
  2. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  3. nein, besser: Verkehrsmittel
  4. 0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 6; 20 bis unter 30: 6; 30 bis unter 40: 2
  5. 1 Werte
  6. 3 Werte
  7. 4 Werte
  8. 1 Werte
  9. 12 Werte
  10. Median 5
  11. Modalwert 3, Median 3
  12. Modalwert 0, Median 1
  13. 2,04
  14. 2,13
  15. etwa 23,4 min
  16. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  17. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  18. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  19. Mittelwert 208,4 statt 110,5; Median 121 statt 116,5
  20. Mittelwert 12,4 statt 5,5; Median 8 statt 6
  21. Mittelwert 9,86 statt 5,67; Median 6 statt 5,5
  22. ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 20 % mehr
  23. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  24. ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 50 % mehr
  25. Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  26. B
  27. 5 Werte
  28. 8 %
  29. 1 Werte
  30. ohne Lücken, 3 Säulen
  31. nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
  32. 1, 4, 9, 1
  33. 4 Werte
  34. Median 2
  35. 2,59
  36. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  37. Mittelwert 62,6 statt 28,25; Median 31 statt 28
  38. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  39. x̄ = 7,4
  40. Median 18; Spannweite 15