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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 14, 11, 6, 4, 13. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 20, 15, 9, 4, 6. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 6, 9, 15, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 9
    3. Spannweite = 20 − 4 = 16
    Ergebnis:
    Median 9; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingsmusikrichtung
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingsmusikrichtung
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
Ergebnis:
Lieblingsmusikrichtung, Kategorien

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    So fängst du an:
    Die Antworten sind Zahlen
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  2. ●2
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  3. ★3
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Welche Kennwerte kannst du angeben: Mittelwert, Median, Spannweite oder nur den häufigsten Wert? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien.
    2. Kategorien kann man weder addieren noch der Größe nach ordnen.
    3. Es bleibt nur der häufigste Wert.
    Ergebnis:
    nur den häufigsten Wert

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

15 Werte (Sprungweite in cm): 357, 369, 331, 370, 269, 299, 366, 411, 336, 352, 309, 339, 366, 346, 364. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
KlasseAnzahl250 bis unter 300?300 bis unter 350?350 bis unter 400?400 bis unter 450?
Schritt für Schritt
  1. 250 bis unter 300 cm: 2
  2. 300 bis unter 350 cm: 5
  3. 350 bis unter 400 cm: 7
  4. 400 bis unter 450 cm: 1
  5. Probe: 2 + 5 + 7 + 1 = 15
  1. 250 bis unter 300 cm: 2
  2. 300 bis unter 350 cm: 5
  3. 350 bis unter 400 cm: 7
  4. 400 bis unter 450 cm: 1
  5. Probe: 2 + 5 + 7 + 1 = 15
Ergebnis:
2, 5, 7, 1

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 38, 24, 36, 35, 20, 33, 37, 15, 30, 42, 26, 28, 27, 29, 25. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 10. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    So fängst du an:
    10 bis unter 20 min: 1
    Lösung zeigen
    1. 10 bis unter 20 min: 1
    2. 20 bis unter 30 min: 7
    3. 30 bis unter 40 min: 6
    4. 40 bis unter 50 min: 1
    5. Probe: 1 + 7 + 6 + 1 = 15
    Ergebnis:
    10 bis unter 20: 1; 20 bis unter 30: 7; 30 bis unter 40: 6; 40 bis unter 50: 1
  2. ●5
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 293, 383, 379, 442, 280, 367, 301, 392, 440, 398, 304, 318, 344, 345, 367. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 2
    2. 300 bis unter 350 cm: 5
    3. 350 bis unter 400 cm: 6
    4. 400 bis unter 450 cm: 2
    5. Probe: 2 + 5 + 6 + 2 = 15
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 6; 400 bis unter 450: 2
  3. ★6
    Körpergröße von 20 Jugendlichen im Sportverein in cm: 159, 181, 167, 168, 159, 155, 175, 173, 169, 160, 156, 173, 158, 163, 168, 168, 164, 163, 168, 168. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht20 Jugendlichen10 cm?
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 5
    2. 160 bis unter 170 cm: 11
    3. 170 bis unter 180 cm: 3
    4. 180 bis unter 190 cm: 1
    5. Probe: 5 + 11 + 3 + 1 = 20
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 5; 160 bis unter 170: 11; 170 bis unter 180: 3; 180 bis unter 190: 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
012345678910250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Höchste Säule: über 300 bis 350
  2. Höhe 9
  1. Höchste Säule: über 300 bis 350
  2. Höhe 9
Ergebnis:
300 bis unter 350 cm: 9

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    012345678910150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 4, 9, 5, 2
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 4, 9, 5, 2
    2. Summe: 4 + 9 + 5 + 2 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
    012345678010203040Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 4, 3, 6, 7
    2. Summe: 4 + 3 + 6 + 7 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  3. ★9
    Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 40 min oder darüber?
    0246810121401020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Ab 40: 1
    2. Gesamt: 30
    3. 1 : 30 · 100 ≈ 3,33
    Ergebnis:
    3,33 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 19 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Note123456Anzahl426700
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 4 (7-mal)
  2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
  3. Aufsummiert: bis 1: 4, bis 2: 6, bis 3: 12
  4. Median: 3
  1. Häufigster Wert: 4 (7-mal)
  2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
  3. Aufsummiert: bis 1: 4, bis 2: 6, bis 3: 12
  4. Median: 3
Ergebnis:
Modalwert 4, Median 3

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 31 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Tore012345Anzahl784471
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 1 (8-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 1 (8-mal)
    2. 31 Werte, Median ist der 16. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 7, bis 1: 15, bis 2: 19
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 2
  2. ●11
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 21 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl252228
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 6 (8-mal)
    2. 21 Werte, Median ist der 11. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 2, bis 2: 7, bis 3: 9, bis 4: 11
    4. Median: 4
    Ergebnis:
    Modalwert 6, Median 4
  3. ★12
    Sara schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 24 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl33585
    Lösung zeigen
    1. 24 Werte: Median ist das Mittel aus dem 12. und 13. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 6, bis 2: 11, bis 3: 19
    3. Median: 3
    Ergebnis:
    Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Anzahl01234Anzahl67443
Schritt für Schritt
  1. 0 · 6 + 1 · 7 + 2 · 4 + 3 · 4 + 4 · 3 = 39
  2. Anzahl aller Werte: 24
  3. 39 : 24 ≈ 1,63
  1. 0 · 6 + 1 · 7 + 2 · 4 + 3 · 4 + 4 · 3 = 39
  2. Anzahl aller Werte: 24
  3. 39 : 24 ≈ 1,63
Ergebnis:
1,63

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 28 Antworten).
    Tore012345Anzahl616276
    So fängst du an:
    0 · 6 + 1 · 1 + 2 · 6 + 3 · 2 + 4 · 7 + 5 · 6 = 77
    Lösung zeigen
    1. 0 · 6 + 1 · 1 + 2 · 6 + 3 · 2 + 4 · 7 + 5 · 6 = 77
    2. Anzahl aller Werte: 28
    3. 77 : 28 = 2,75
    Ergebnis:
    2,75
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 14 Antworten).
    Tore012345Anzahl502601
    Lösung zeigen
    1. 0 · 5 + 1 · 0 + 2 · 2 + 3 · 6 + 4 · 0 + 5 · 1 = 27
    2. Anzahl aller Werte: 14
    3. 27 : 14 ≈ 1,93
    Ergebnis:
    1,93
  3. ★15
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Note123456Anzahl6114122
    Lösung zeigen
    1. 1 · 6 + 2 · 11 + 3 · 4 + 4 · 1 + 5 · 2 + 6 · 2 = 66
    2. Anzahl aller Werte: 26
    3. 66 : 26 ≈ 2,54
    Ergebnis:
    2,54

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 15, 17, 16, 18, 14, 15. Staffel B: 17, 18, 17, 14, 19, 17. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Staffel A: 95 : 6 ≈ 15,83
  2. Mittelwert Staffel B: 102 : 6 = 17
  3. Spannweite: 4 gegen 5
  1. Mittelwert Staffel A: 95 : 6 ≈ 15,83
  2. Mittelwert Staffel B: 102 : 6 = 17
  3. Spannweite: 4 gegen 5
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 315, 352, 400, 325, 386, 361. Gruppe Süd: 387, 380, 298, 401, 327, 383. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 2139 : 6 = 356,5
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2139 : 6 = 356,5
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2176 : 6 ≈ 362,67
    3. Spannweite: 85 gegen 103
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  2. ●17
    Punkte im Test. 8a: 8, 20, 17, 10, 16, 14. 8b: 8, 9, 22, 18, 13, 22. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 85 : 6 ≈ 14,17
    2. Mittelwert 8b: 92 : 6 ≈ 15,33
    3. Spannweite: 12 gegen 14
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  3. ★18
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 18, 15, 17, 17, 18, 13, 14, 14. Staffel B: 18, 19, 13, 14, 19, 13, 18, 13. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 126 : 8 = 15,75
    2. Mittelwert Staffel B: 127 : 8 ≈ 15,88
    3. Spannweite: 5 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 8, 3, 6, 5, 40. Wie stark verändert der Wert 40 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 40: Mittelwert 62 : 5 = 12,4, Median 6
  2. Ohne: Mittelwert 22 : 4 = 5,5, Median 5,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 40: Mittelwert 62 : 5 = 12,4, Median 6
  2. Ohne: Mittelwert 22 : 4 = 5,5, Median 5,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 12,4 statt 5,5; Median 6 statt 5,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Taschengeld im Monat in Euro: 28, 38, 21, 20, 150. Wie stark verändert der Wert 150 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 150: Mittelwert 257 : 5 = 51,4, Median 28
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 257 : 5 = 51,4, Median 28
    2. Ohne: Mittelwert 107 : 4 = 26,75, Median 24,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 51,4 statt 26,75; Median 28 statt 24,5
  2. ●20
    Handyzeit am Tag in Minuten: 110, 108, 138, 101, 600. Wie stark verändert der Wert 600 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 600: Mittelwert 1057 : 5 = 211,4, Median 110
    2. Ohne: Mittelwert 457 : 4 = 114,25, Median 109
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 211,4 statt 114,25; Median 110 statt 109
  3. ★21
    Taschengeld im Monat in Euro: 39, 16, 28, 26, 26, 40, 200. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 200.
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 375 : 7 ≈ 53,57, Median 28
    2. Ohne: Mittelwert 175 : 6 ≈ 29,17, Median 27
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 53,57 statt 29,17; Median 28 statt 27

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,6 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,6 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
Schritt für Schritt
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
Ergebnis:
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 18 % auf 28 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 10 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht18 %28 %?
    So fängst du an:
    Unterschied: 28 − 18 = 10 Prozentpunkte
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 28 − 18 = 10 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 10 : 18 · 100 ≈ 55,56 %
    Ergebnis:
    ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 55,56 % mehr
  2. ●23
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 56 %, Chat-App 38 %, Spiele 37 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht56 %38 %37 %100 %?
    Lösung zeigen
    1. 56 + 38 + 37 = 131
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen
  3. ★24
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,8 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,8 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Für die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ wird das Merkmal „Dauer des Schulwegs in Minuten“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  2. ●26
    Lukas befragt für die Frage „Was wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ die Kinder, die heute in der Mensa essen – insgesamt 60 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
    Lösung zeigen
    1. Problem: wer die Mensa meidet, wird gar nicht gefragt
    2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
    Ergebnis:
    verzerrte Auswahl; besser auslosen
  3. ●27
    15 Werte (Körpergröße in cm): 168, 166, 175, 173, 163, 163, 176, 149, 177, 168, 175, 161, 178, 162, 167. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl140 bis unter 150?150 bis unter 160?160 bis unter 170?170 bis unter 180?
    Lösung zeigen
    1. 140 bis unter 150 cm: 1
    2. 150 bis unter 160 cm: 0
    3. 160 bis unter 170 cm: 8
    4. 170 bis unter 180 cm: 6
    5. Probe: 1 + 0 + 8 + 6 = 15
    Ergebnis:
    1, 0, 8, 6
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Körpergröße von 25 Jugendlichen im Sportverein. Welcher Anteil liegt unter 180 cm? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm4160 bis unter 170 cm10170 bis unter 180 cm10180 bis unter 190 cm1
    Lösung zeigen
    1. Unter 180: 4 + 10 + 10 = 24
    2. Anteil: 24 : 25 · 100 = 96
    Ergebnis:
    96 %
  5. ●29
    Sara zeichnet für Handyzeit am Tag die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Sara für die Klassen von 30 bis 180 min?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (180 − 30) : 30 = 5
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 5 Säulen
  6. ●30
    Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 13 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Anzahl01234Anzahl70204
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 0 (7-mal)
    2. 13 Werte, Median ist der 7. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 7
    4. Median: 0
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 0

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Jonas will die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Verkehrsmittel“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    15 Werte (Schulweg in min): 25, 42, 22, 19, 23, 34, 25, 4, 28, 13, 28, 24, 16, 23, 26. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10?10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?40 bis unter 50?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 3, 9, 1, 1

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    0123456789100306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90 bis unter 120 min: 9

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 17 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl435212
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 3

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 12 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl04125
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,67

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 395, 367, 401, 281, 344, 411. Gruppe Süd: 306, 316, 358, 303, 358, 327. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Handyzeit am Tag in Minuten: 87, 62, 82, 69, 480. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 480.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 156 statt 75; Median 82 statt 75,5

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 57 %, Chat-App 57 %, Spiele 45 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht57 %45 %100 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. ja, die Antworten sind Zahlen
  2. Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  3. nur den häufigsten Wert
  4. 10 bis unter 20: 1; 20 bis unter 30: 7; 30 bis unter 40: 6; 40 bis unter 50: 1
  5. 250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 6; 400 bis unter 450: 2
  6. 150 bis unter 160: 5; 160 bis unter 170: 11; 170 bis unter 180: 3; 180 bis unter 190: 1
  7. 20 Personen
  8. 20 Personen
  9. 3,33 %
  10. Modalwert 1, Median 2
  11. Modalwert 6, Median 4
  12. Median 3
  13. 2,75
  14. 1,93
  15. 2,54
  16. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  17. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  18. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  19. Mittelwert 51,4 statt 26,75; Median 28 statt 24,5
  20. Mittelwert 211,4 statt 114,25; Median 110 statt 109
  21. Mittelwert 53,57 statt 29,17; Median 28 statt 27
  22. ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 55,56 % mehr
  23. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  24. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  25. ja, die Antworten sind Zahlen
  26. verzerrte Auswahl; besser auslosen
  27. 1, 0, 8, 6
  28. 96 %
  29. ohne Lücken, 5 Säulen
  30. Modalwert 0, Median 0
  31. nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
  32. 1, 3, 9, 1, 1
  33. 90 bis unter 120 min: 9
  34. Modalwert 3, Median 3
  35. 2,67
  36. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  37. Mittelwert 156 statt 75; Median 82 statt 75,5
  38. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  39. x̄ = 9,6
  40. Median 9; Spannweite 16