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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 3, 9, 8, 14, 11. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 19, 9, 11, 13, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 9, 11, 11, 13, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 19 − 9 = 10
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Ben will die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Minuten Musik pro Tag“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Schritt für Schritt
  1. Nein: viel Musik heißt nicht, welche Richtung
  2. Besser: Lieblingsmusikrichtung
  1. Nein: viel Musik heißt nicht, welche Richtung
  2. Besser: Lieblingsmusikrichtung
Ergebnis:
nein, besser: Lieblingsmusikrichtung

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Dauer des Schulwegs in Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Dauer des Schulwegs in Minuten
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Dauer des Schulwegs in Minuten, Zahlen
  2. ●2
    Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  3. ★3
    Noah will die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Verkehrsmittel“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: das Verkehrsmittel sagt nichts über die Dauer
    2. Besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
    Ergebnis:
    nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 419, 363, 412, 372, 329, 294, 323, 376, 364, 365, 323, 322, 415, 334, 364. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
gegebengesucht15 Kindern50 cm?
Schritt für Schritt
  1. 250 bis unter 300 cm: 1
  2. 300 bis unter 350 cm: 5
  3. 350 bis unter 400 cm: 6
  4. 400 bis unter 450 cm: 3
  5. Probe: 1 + 5 + 6 + 3 = 15
  1. 250 bis unter 300 cm: 1
  2. 300 bis unter 350 cm: 5
  3. 350 bis unter 400 cm: 6
  4. 400 bis unter 450 cm: 3
  5. Probe: 1 + 5 + 6 + 3 = 15
Ergebnis:
250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 6; 400 bis unter 450: 3

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 100, 89, 101, 88, 44, 59, 153, 130, 64, 101, 78, 69, 56, 107, 134. Wie viele Werte liegen in der Klasse 120 bis unter 150 min? Achte auf die Grenzen.
    So fängst du an:
    Die Klasse umfasst 120 und alles bis kurz vor 150
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 120 und alles bis kurz vor 150
    2. Gezählt: 130, 134
    3. Das sind 2
    Ergebnis:
    2 Werte
  2. ●5
    Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 169, 181, 158, 170, 154, 172, 175, 149, 156, 172, 164, 157, 164, 178, 171. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 140. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
    Lösung zeigen
    1. 140 bis unter 150 cm: 1
    2. 150 bis unter 160 cm: 4
    3. 160 bis unter 170 cm: 3
    4. 170 bis unter 180 cm: 6
    5. 180 bis unter 190 cm: 1
    6. Probe: 1 + 4 + 3 + 6 + 1 = 15
    Ergebnis:
    140 bis unter 150: 1; 150 bis unter 160: 4; 160 bis unter 170: 3; 170 bis unter 180: 6; 180 bis unter 190: 1
  3. ★6
    Sprungweite von 20 Kindern beim Sportfest in cm: 352, 377, 419, 424, 301, 359, 331, 325, 352, 304, 339, 354, 336, 358, 342, 352, 343, 314, 371, 344. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 300. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht20 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    1. 300 bis unter 350 cm: 10
    2. 350 bis unter 400 cm: 8
    3. 400 bis unter 450 cm: 2
    4. Probe: 10 + 8 + 2 = 20
    Ergebnis:
    300 bis unter 350: 10; 350 bis unter 400: 8; 400 bis unter 450: 2

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
01234567306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Höchste Säule: über 90 bis 120
  2. Höhe 6
  1. Höchste Säule: über 90 bis 120
  2. Höhe 6
Ergebnis:
90 bis unter 120 min: 6

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 170 cm?
    012345678910150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 170: 8, 9
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 170: 8, 9
    2. 8 + 9 = 17
    Ergebnis:
    17 Werte
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 20 min?
    01234567891010203040Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 20: 7
    2. Nur eine Säule: 7
    Ergebnis:
    7 Werte
  3. ★9
    Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 180 cm oder darüber?
    01234567891011150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Ab 180: 2
    2. Gesamt: 30
    3. 2 : 30 · 100 ≈ 6,67
    Ergebnis:
    6,67 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 12 Antworten.
Anzahl01234Anzahl40080
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 3 (8-mal)
  2. 12 Werte, Median ist das Mittel aus dem 6. und 7. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 4, bis 2: 4, bis 3: 12
  4. Median: 3
  1. Häufigster Wert: 3 (8-mal)
  2. 12 Werte, Median ist das Mittel aus dem 6. und 7. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 4, bis 2: 4, bis 3: 12
  4. Median: 3
Ergebnis:
Modalwert 3, Median 3

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Lea schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 20 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Bücher01234Anzahl26714
    So fängst du an:
    20 Werte: Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
    Lösung zeigen
    1. 20 Werte: Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 8, bis 2: 15
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2
  2. ●11
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 21 Antworten.
    Bücher01234Anzahl33186
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 3 (8-mal)
    2. 21 Werte, Median ist der 11. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 6, bis 2: 7, bis 3: 15
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 3
  3. ★12
    Mila schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 30 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Bücher01234Anzahl318711
    Lösung zeigen
    1. 30 Werte: Median ist das Mittel aus dem 15. und 16. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 4, bis 2: 12, bis 3: 19
    3. Median: 3
    Ergebnis:
    Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Bücher01234Anzahl51360
Schritt für Schritt
  1. 0 · 5 + 1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 6 + 4 · 0 = 25
  2. Anzahl aller Werte: 15
  3. 25 : 15 ≈ 1,67
  1. 0 · 5 + 1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 6 + 4 · 0 = 25
  2. Anzahl aller Werte: 15
  3. 25 : 15 ≈ 1,67
Ergebnis:
1,67

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 19 Antworten).
    Bücher01234Anzahl33517
    So fängst du an:
    0 · 3 + 1 · 3 + 2 · 5 + 3 · 1 + 4 · 7 = 44
    Lösung zeigen
    1. 0 · 3 + 1 · 3 + 2 · 5 + 3 · 1 + 4 · 7 = 44
    2. Anzahl aller Werte: 19
    3. 44 : 19 ≈ 2,32
    Ergebnis:
    2,32
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 14 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl16511
    Lösung zeigen
    1. 0 · 1 + 1 · 6 + 2 · 5 + 3 · 1 + 4 · 1 = 23
    2. Anzahl aller Werte: 14
    3. 23 : 14 ≈ 1,64
    Ergebnis:
    1,64
  3. ★15
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 20 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl24437
    Lösung zeigen
    1. 0 · 2 + 1 · 4 + 2 · 4 + 3 · 3 + 4 · 7 = 49
    2. Anzahl aller Werte: 20
    3. 49 : 20 = 2,45
    Ergebnis:
    2,45

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 14, 19, 13, 14, 13, 18. Staffel B: 17, 15, 18, 18, 17, 18. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Staffel A: 91 : 6 ≈ 15,17
  2. Mittelwert Staffel B: 103 : 6 ≈ 17,17
  3. Spannweite: 6 gegen 3
  1. Mittelwert Staffel A: 91 : 6 ≈ 15,17
  2. Mittelwert Staffel B: 103 : 6 ≈ 17,17
  3. Spannweite: 6 gegen 3
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 300, 413, 379, 385, 298, 309. Gruppe Süd: 366, 292, 299, 366, 324, 391. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 2084 : 6 ≈ 347,33
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2084 : 6 ≈ 347,33
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2038 : 6 ≈ 339,67
    3. Spannweite: 115 gegen 99
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  2. ●17
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 13, 16, 14, 13, 16, 14. Staffel B: 13, 17, 15, 16, 18, 17. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 86 : 6 ≈ 14,33
    2. Mittelwert Staffel B: 96 : 6 = 16
    3. Spannweite: 3 gegen 5
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  3. ★18
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 17, 19, 18, 17, 17, 16, 17, 16. Staffel B: 18, 13, 18, 16, 19, 14, 16, 14. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 137 : 8 ≈ 17,13
    2. Mittelwert Staffel B: 128 : 8 = 16
    3. Spannweite: 3 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 94, 91, 122, 94, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 480: Mittelwert 881 : 5 = 176,2, Median 94
  2. Ohne: Mittelwert 401 : 4 = 100,25, Median 94
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 480: Mittelwert 881 : 5 = 176,2, Median 94
  2. Ohne: Mittelwert 401 : 4 = 100,25, Median 94
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 176,2 statt 100,25; Median 94 statt 94

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 9, 5, 3, 7, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 35: Mittelwert 59 : 5 = 11,8, Median 7
    Lösung zeigen
    1. Mit 35: Mittelwert 59 : 5 = 11,8, Median 7
    2. Ohne: Mittelwert 24 : 4 = 6, Median 6
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 11,8 statt 6; Median 7 statt 6
  2. ●20
    Handyzeit am Tag in Minuten: 122, 65, 74, 77, 600. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 600.
    Lösung zeigen
    1. Mit 600: Mittelwert 938 : 5 = 187,6, Median 77
    2. Ohne: Mittelwert 338 : 4 = 84,5, Median 75,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 187,6 statt 84,5; Median 77 statt 75,5
  3. ★21
    Taschengeld im Monat in Euro: 15, 15, 17, 39, 23, 27, 200. Wie stark verändert der Wert 200 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 336 : 7 = 48, Median 23
    2. Ohne: Mittelwert 136 : 6 ≈ 22,67, Median 20
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 48 statt 22,67; Median 23 statt 20

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „70 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
gegebengesucht70 Prozent10 Kinder?
Schritt für Schritt
  1. 7 von 10 sind 70 %
  2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
  1. 7 von 10 sind 70 %
  2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „60 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht60 Prozent10 Kinder?
    So fängst du an:
    6 von 10 sind 60 %
    Lösung zeigen
    1. 6 von 10 sind 60 %
    2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 2,3 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 2,3 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  3. ★24
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „83 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht83 Prozent12 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 10 von 12 sind 83,33 %
    2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Sara befragt für die Frage „Wie kommen die Kinder unserer Schule zur Schule?“ die Kinder, die morgens am Fahrradständer stehen – insgesamt 20 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
    Lösung zeigen
    1. Problem: nur Radfahrer werden gefragt, das Ergebnis ist verzerrt
    2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
    Ergebnis:
    verzerrte Auswahl; besser auslosen
  2. ●26
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 381, 298, 376, 381, 437, 380, 354, 371, 370, 288, 392, 292, 397, 379, 295. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 4
    2. 300 bis unter 350 cm: 0
    3. 350 bis unter 400 cm: 10
    4. 400 bis unter 450 cm: 1
    5. Probe: 4 + 0 + 10 + 1 = 15
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 4; 300 bis unter 350: 0; 350 bis unter 400: 10; 400 bis unter 450: 1
  3. ●27
    Die Tabelle zeigt Körpergröße von 25 Jugendlichen im Sportverein. Welcher Anteil liegt unter 160 cm? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm2160 bis unter 170 cm10170 bis unter 180 cm12180 bis unter 190 cm1
    Lösung zeigen
    1. Unter 160: nur die erste Klasse, 2
    2. Anteil: 2 : 25 · 100 = 8
    Ergebnis:
    8 %
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Du zeichnest ein Histogramm, ein Kästchen steht für 2 Werte. Wie hoch wird jede Säule?
    KlasseAnzahl0 bis unter 30 min230 bis unter 60 min460 bis unter 90 min1190 bis unter 120 min9120 bis unter 150 min4
    Lösung zeigen
    1. Höhe = Anzahl : 2
    2. 1, 2, 5,5, 4,5, 2 Kästchen
    3. Säulen ohne Lücke nebeneinander, Breite überall gleich
    Ergebnis:
    1, 2, 5,5, 4,5, 2 Kästchen
  5. ●29
    Ben schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 20 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl02855
    Lösung zeigen
    1. 20 Werte: Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 0, bis 1: 2, bis 2: 10, bis 3: 15
    3. Median: 2,5
    Ergebnis:
    Median 2,5
  6. ●30
    Die Tabelle zeigt Sprungweite von 21 Kindern beim Sportfest. Gib die Modalklasse an und die Klasse, in der der Median liegt.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300 cm4300 bis unter 350 cm4350 bis unter 400 cm11400 bis unter 450 cm2
    Lösung zeigen
    1. Modalklasse: die meisten Werte, 11
    2. 21 Werte: Median ist der 11. Wert
    3. Aufsummiert bis 350 bis unter 400: 19 ≥ 11
    Ergebnis:
    Modalklasse 350 bis unter 400 cm; Median in 350 bis unter 400 cm

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Tim will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Schlafdauer in Stunden

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 311, 396, 423, 355, 379, 358, 335, 430, 288, 328, 329, 393, 386, 337, 353. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 2

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789101112160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Personen

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 22 Antworten.
    Tore012345Anzahl680215
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 1

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 21 Antworten).
    Tore012345Anzahl524244
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,48

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 384, 334, 292, 295, 352, 314. Gruppe Süd: 352, 321, 377, 349, 304, 343. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Handyzeit am Tag in Minuten: 136, 82, 103, 112, 600. Wie stark verändert der Wert 600 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 206,6 statt 108,25; Median 112 statt 107,5

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 15 % auf 23 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 8 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht15 %23 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 53,33 % mehr

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Dauer des Schulwegs in Minuten, Zahlen
  2. ja, die Antworten sind Zahlen
  3. nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
  4. 2 Werte
  5. 140 bis unter 150: 1; 150 bis unter 160: 4; 160 bis unter 170: 3; 170 bis unter 180: 6; 180 bis unter 190: 1
  6. 300 bis unter 350: 10; 350 bis unter 400: 8; 400 bis unter 450: 2
  7. 17 Werte
  8. 7 Werte
  9. 6,67 %
  10. Median 2
  11. Modalwert 3, Median 3
  12. Median 3
  13. 2,32
  14. 1,64
  15. 2,45
  16. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  17. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  18. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
  19. Mittelwert 11,8 statt 6; Median 7 statt 6
  20. Mittelwert 187,6 statt 84,5; Median 77 statt 75,5
  21. Mittelwert 48 statt 22,67; Median 23 statt 20
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  24. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  25. verzerrte Auswahl; besser auslosen
  26. 250 bis unter 300: 4; 300 bis unter 350: 0; 350 bis unter 400: 10; 400 bis unter 450: 1
  27. 8 %
  28. 1, 2, 5,5, 4,5, 2 Kästchen
  29. Median 2,5
  30. Modalklasse 350 bis unter 400 cm; Median in 350 bis unter 400 cm
  31. nein, besser: Schlafdauer in Stunden
  32. 250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 2
  33. 20 Personen
  34. Modalwert 1, Median 1
  35. 2,48
  36. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  37. Mittelwert 206,6 statt 108,25; Median 112 statt 107,5
  38. ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 53,33 % mehr
  39. x̄ = 9
  40. Median 11; Spannweite 10