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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 2, 9, 13, 7, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,4
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 17, 9, 5, 15, 14. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 5, 9, 14, 15, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 14
    3. Spannweite = 17 − 5 = 12
    Ergebnis:
    Median 14; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingsmusikrichtung
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingsmusikrichtung
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
Ergebnis:
Lieblingsmusikrichtung, Kategorien

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  2. ●2
    Sara will die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Länge des Schulwegs in Kilometern“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: die Länge sagt nicht, ob jemand Bus oder Rad fährt
    2. Besser: Verkehrsmittel
    Ergebnis:
    nein, besser: Verkehrsmittel
  3. ★3
    Für die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ wird das Merkmal „Wunschgericht“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 353, 340, 326, 291, 377, 363, 271, 386, 356, 340, 362, 401, 367, 396, 379. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
gegebengesucht15 Kindern50 cm?
Schritt für Schritt
  1. 250 bis unter 300 cm: 2
  2. 300 bis unter 350 cm: 3
  3. 350 bis unter 400 cm: 9
  4. 400 bis unter 450 cm: 1
  5. Probe: 2 + 3 + 9 + 1 = 15
  1. 250 bis unter 300 cm: 2
  2. 300 bis unter 350 cm: 3
  3. 350 bis unter 400 cm: 9
  4. 400 bis unter 450 cm: 1
  5. Probe: 2 + 3 + 9 + 1 = 15
Ergebnis:
250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 3; 350 bis unter 400: 9; 400 bis unter 450: 1

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Körpergröße in cm): 173, 182, 177, 168, 153, 155, 168, 168, 166, 181, 166, 163, 173, 164, 153. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160?160 bis unter 170?170 bis unter 180?180 bis unter 190?
    So fängst du an:
    150 bis unter 160 cm: 3
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 3
    2. 160 bis unter 170 cm: 7
    3. 170 bis unter 180 cm: 3
    4. 180 bis unter 190 cm: 2
    5. Probe: 3 + 7 + 3 + 2 = 15
    Ergebnis:
    3, 7, 3, 2
  2. ●5
    Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 151, 158, 160, 168, 173, 176, 160, 158, 162, 169, 167, 176, 175, 174, 167. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 3
    2. 160 bis unter 170 cm: 7
    3. 170 bis unter 180 cm: 5
    4. Probe: 3 + 7 + 5 = 15
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 7; 170 bis unter 180: 5
  3. ★6
    Die Werte (Sprungweite in cm): 367, 354, 424, 324, 351, 368, 318, 326, 347, 343, 347, 327, 360, 327, 356, 343, 288, 323, 373, 331. Wie viele Werte liegen in der Klasse 300 bis unter 350 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 300 und alles bis kurz vor 350
    2. Gezählt: 324, 318, 326, 347, 343, 347, 327, 327, 343, 323, 331
    3. Das sind 11
    Ergebnis:
    11 Werte

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
012345678910010203040Schulweg in minAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Höchste Säule: über 20 bis 30
  2. Höhe 9
  1. Höchste Säule: über 20 bis 30
  2. Höhe 9
Ergebnis:
20 bis unter 30 min: 9

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 170 cm?
    012345678150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 170: 7, 7
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 170: 7, 7
    2. 7 + 7 = 14
    Ergebnis:
    14 Werte
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
    024681012300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 5, 12, 3
    2. Summe: 5 + 12 + 3 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  3. ★9
    Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 30 min oder darüber?
    0246810121401020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Ab 30: 6 + 2 = 8
    2. Gesamt: 30
    3. 8 : 30 · 100 ≈ 26,67
    Ergebnis:
    26,67 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Sara schreibt für die Tabelle (Tore pro Spiel) alle 16 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Tore012345Anzahl300238
Schritt für Schritt
  1. 16 Werte: Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
  2. Aufsummiert: bis 2: 3, bis 3: 5, bis 4: 8, bis 5: 16
  3. Median: 4,5
  1. 16 Werte: Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
  2. Aufsummiert: bis 2: 3, bis 3: 5, bis 4: 8, bis 5: 16
  3. Median: 4,5
Ergebnis:
Median 4,5

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Lukas schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 16 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl31318
    So fängst du an:
    16 Werte: Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
    Lösung zeigen
    1. 16 Werte: Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
    2. Aufsummiert: bis 1: 4, bis 2: 7, bis 3: 8, bis 4: 16
    3. Median: 3,5
    Ergebnis:
    Median 3,5
  2. ●11
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 26 Antworten.
    Anzahl01234Anzahl87065
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 0 (8-mal)
    2. 26 Werte, Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 15
    4. Median: 1
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 1
  3. ★12
    Zeynep schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 24 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl57516
    Lösung zeigen
    1. 24 Werte: Median ist das Mittel aus dem 12. und 13. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 12, bis 2: 17
    3. Median: 1,5
    Ergebnis:
    Median 1,5

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 21 Antworten).
Bücher01234Anzahl80445
Schritt für Schritt
  1. 0 · 8 + 1 · 0 + 2 · 4 + 3 · 4 + 4 · 5 = 40
  2. Anzahl aller Werte: 21
  3. 40 : 21 ≈ 1,9
  1. 0 · 8 + 1 · 0 + 2 · 4 + 3 · 4 + 4 · 5 = 40
  2. Anzahl aller Werte: 21
  3. 40 : 21 ≈ 1,9
Ergebnis:
1,9

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 20 Antworten).
    Note123456Anzahl104276
    So fängst du an:
    1 · 1 + 2 · 0 + 3 · 4 + 4 · 2 + 5 · 7 + 6 · 6 = 92
    Lösung zeigen
    1. 1 · 1 + 2 · 0 + 3 · 4 + 4 · 2 + 5 · 7 + 6 · 6 = 92
    2. Anzahl aller Werte: 20
    3. 92 : 20 = 4,6
    Ergebnis:
    4,6
  2. ●14
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl70680
    Lösung zeigen
    1. 0 · 7 + 1 · 0 + 2 · 6 + 3 · 8 + 4 · 0 = 36
    2. Anzahl aller Werte: 21
    3. 36 : 21 ≈ 1,71
    Ergebnis:
    1,71
  3. ★15
    Von Körpergröße kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm2160 bis unter 170 cm11170 bis unter 180 cm10180 bis unter 190 cm2
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 155, 165, 175, 185
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 4245
    3. 4245 : 25 = 169,8
    Ergebnis:
    etwa 169,8 cm

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 19, 16, 19, 13, 15, 14. Staffel B: 15, 17, 15, 19, 19, 19. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Staffel A: 96 : 6 = 16
  2. Mittelwert Staffel B: 104 : 6 ≈ 17,33
  3. Spannweite: 6 gegen 4
  1. Mittelwert Staffel A: 96 : 6 = 16
  2. Mittelwert Staffel B: 104 : 6 ≈ 17,33
  3. Spannweite: 6 gegen 4
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Punkte im Test. 8a: 14, 17, 21, 5, 13, 16. 8b: 17, 7, 16, 19, 9, 24. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert 8a: 86 : 6 ≈ 14,33
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 86 : 6 ≈ 14,33
    2. Mittelwert 8b: 92 : 6 ≈ 15,33
    3. Spannweite: 16 gegen 17
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  2. ●17
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 14, 18, 16, 18, 15, 19. Staffel B: 19, 16, 14, 17, 13, 18. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 100 : 6 ≈ 16,67
    2. Mittelwert Staffel B: 97 : 6 ≈ 16,17
    3. Spannweite: 5 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
  3. ★18
    Punkte im Test. 8a: 6, 17, 20, 4, 11, 10, 6, 10. 8b: 12, 6, 8, 4, 10, 19, 11, 15. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 84 : 8 = 10,5
    2. Mittelwert 8b: 85 : 8 ≈ 10,63
    3. Spannweite: 16 gegen 15
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 5, 7, 6, 2, 45. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 45.
Schritt für Schritt
  1. Mit 45: Mittelwert 65 : 5 = 13, Median 6
  2. Ohne: Mittelwert 20 : 4 = 5, Median 5,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 45: Mittelwert 65 : 5 = 13, Median 6
  2. Ohne: Mittelwert 20 : 4 = 5, Median 5,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 13 statt 5; Median 6 statt 5,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 4, 9, 9, 3, 40. Wie stark verändert der Wert 40 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 40: Mittelwert 65 : 5 = 13, Median 9
    Lösung zeigen
    1. Mit 40: Mittelwert 65 : 5 = 13, Median 9
    2. Ohne: Mittelwert 25 : 4 = 6,25, Median 6,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 13 statt 6,25; Median 9 statt 6,5
  2. ●20
    Handyzeit am Tag in Minuten: 67, 83, 69, 97, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
    Lösung zeigen
    1. Mit 540: Mittelwert 856 : 5 = 171,2, Median 83
    2. Ohne: Mittelwert 316 : 4 = 79, Median 76
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 171,2 statt 79; Median 83 statt 76
  3. ★21
    Taschengeld im Monat in Euro: 35, 33, 25, 29, 16, 36, 150. Wie stark verändert der Wert 150 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 324 : 7 ≈ 46,29, Median 33
    2. Ohne: Mittelwert 174 : 6 = 29, Median 31
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 46,29 statt 29; Median 33 statt 31

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 22 % auf 27 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 5 Prozent.“ Stimmt das?
gegebengesucht22 %27 %?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 27 − 22 = 5 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 5 : 22 · 100 ≈ 22,73 %
  1. Unterschied: 27 − 22 = 5 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 5 : 22 · 100 ≈ 22,73 %
Ergebnis:
ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 22,73 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „67 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht67 Prozent12 Kinder?
    So fängst du an:
    8 von 12 sind 66,67 %
    Lösung zeigen
    1. 8 von 12 sind 66,67 %
    2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 40 % auf 46 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 6 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht40 %46 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 46 − 40 = 6 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 6 : 40 · 100 = 15 %
    Ergebnis:
    ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 15 % mehr
  3. ★24
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht75 Prozent12 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 9 von 12 sind 75 %
    2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Für die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ wird das Merkmal „Handyzeit in Minuten pro Tag“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  2. ●26
    Frage: „Wie zufrieden sind die Kinder mit dem Schulhof?“ Befragt werden 15 Personen, nämlich die Kinder, die sich bei der Schülervertretung beschwert haben. Ist die Stichprobe geeignet? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Hängt die Auswahl mit der Antwort zusammen?
    2. Ja: wer sich beschwert, ist eher unzufrieden – das verzerrt
    Ergebnis:
    nicht geeignet, verzerrt
  3. ●27
    Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 122, 98, 117, 143, 87, 75, 94, 114, 93, 50, 73, 95, 93, 56, 57. Wie viele Werte liegen in der Klasse 90 bis unter 120 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 90 und alles bis kurz vor 120
    2. Gezählt: 98, 117, 94, 114, 93, 95, 93
    3. Das sind 7
    Ergebnis:
    7 Werte
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Körpergröße von 25 Jugendlichen im Sportverein. Welcher Anteil liegt unter 170 cm? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm5160 bis unter 170 cm12170 bis unter 180 cm6180 bis unter 190 cm2
    Lösung zeigen
    1. Unter 170: 5 + 12 = 17
    2. Anteil: 17 : 25 · 100 = 68
    Ergebnis:
    68 %
  5. ●29
    Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 8, 11, 5 für die Klassen ab 150 cm. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
    0123456789101112150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen von links ablesen und mit 8, 11, 5 vergleichen
    2. Die Säule 170 bis unter 180 ist 8 hoch
    3. Richtig ist 5
    Ergebnis:
    170 bis unter 180 cm: 5 statt 8
  6. ●30
    Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 26 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Tore012345Anzahl574541
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 1 (7-mal)
    2. 26 Werte, Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 12, bis 2: 16
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Die Werte (Schulweg in min): 18, 32, 27, 11, 26, 35, 41, 20, 16, 25, 25, 31, 21, 30, 30. Wie viele Werte liegen in der Klasse 10 bis unter 20 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Werte

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    0123456780306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90 bis unter 120 min: 7

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 21 Antworten.
    Tore012345Anzahl420726
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 3

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 17 Antworten).
    Bücher01234Anzahl73421
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,24

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 15, 14, 17, 15, 17, 17. Staffel B: 15, 13, 15, 15, 14, 17. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Handyzeit am Tag in Minuten: 90, 101, 110, 61, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 180,4 statt 90,5; Median 101 statt 95,5

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „67 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht67 Prozent12 Kinder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  2. nein, besser: Verkehrsmittel
  3. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  4. 3, 7, 3, 2
  5. 150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 7; 170 bis unter 180: 5
  6. 11 Werte
  7. 14 Werte
  8. 20 Personen
  9. 26,67 %
  10. Median 3,5
  11. Modalwert 0, Median 1
  12. Median 1,5
  13. 4,6
  14. 1,71
  15. etwa 169,8 cm
  16. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  17. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
  18. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  19. Mittelwert 13 statt 6,25; Median 9 statt 6,5
  20. Mittelwert 171,2 statt 79; Median 83 statt 76
  21. Mittelwert 46,29 statt 29; Median 33 statt 31
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 15 % mehr
  24. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  25. ja, die Antworten sind Zahlen
  26. nicht geeignet, verzerrt
  27. 7 Werte
  28. 68 %
  29. 170 bis unter 180 cm: 5 statt 8
  30. Modalwert 1, Median 2
  31. Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
  32. 3 Werte
  33. 90 bis unter 120 min: 7
  34. Modalwert 3, Median 3
  35. 1,24
  36. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
  37. Mittelwert 180,4 statt 90,5; Median 101 statt 95,5
  38. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  39. x̄ = 7,4
  40. Median 14; Spannweite 12