Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

●39
Punkte im Test: 13, 7, 5, 5, 9. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 7,8
●40
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 5, 15, 16, 6, 12. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 5, 6, 12, 15, 16
2. Median = mittlerer Wert = 12
3. Spannweite = 16 − 5 = 11
Ergebnis:
Median 12; Spannweite 11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?

Schritt für Schritt

Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingssportart
Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen

Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingssportart
Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen

Ergebnis:

Lieblingssportart, Kategorien

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○1
Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
So fängst du an:
Die Antworten sind Kategorien
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Kategorien
2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
●2
Mila will die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Länge des Schulwegs in Kilometern“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: die Länge sagt nicht, ob jemand Bus oder Rad fährt
2. Besser: Verkehrsmittel
Ergebnis:
nein, besser: Verkehrsmittel
★3
Für die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ wird das Merkmal „Schlafdauer in Stunden“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Zahlen
2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

15 Werte (Schulweg in min): 26, 29, 23, 11, 20, 27, 23, 16, 35, 29, 26, 20, 14, 28, 31. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.

Schritt für Schritt

10 bis unter 20 min: 3
20 bis unter 30 min: 10
30 bis unter 40 min: 2
Probe: 3 + 10 + 2 = 15

10 bis unter 20 min: 3
20 bis unter 30 min: 10
30 bis unter 40 min: 2
Probe: 3 + 10 + 2 = 15

Ergebnis:

3, 10, 2

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○4
15 Werte (Körpergröße in cm): 176, 179, 173, 178, 166, 162, 163, 161, 171, 167, 164, 162, 154, 161, 179. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
So fängst du an:
150 bis unter 160 cm: 1
Lösung zeigen
1. 150 bis unter 160 cm: 1
2. 160 bis unter 170 cm: 8
3. 170 bis unter 180 cm: 6
4. Probe: 1 + 8 + 6 = 15
Ergebnis:
1, 8, 6
●5
15 Werte (Schulweg in min): 30, 31, 15, 26, 17, 18, 12, 29, 21, 17, 28, 26, 12, 6, 31. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
Lösung zeigen
1. 0 bis unter 10 min: 1
2. 10 bis unter 20 min: 6
3. 20 bis unter 30 min: 5
4. 30 bis unter 40 min: 3
5. Probe: 1 + 6 + 5 + 3 = 15
Ergebnis:
1, 6, 5, 3
★6
20 Werte (Sprungweite in cm): 364, 341, 297, 314, 327, 332, 392, 368, 414, 347, 385, 292, 405, 307, 386, 348, 349, 267, 432, 394. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
Lösung zeigen
1. 250 bis unter 300 cm: 3
2. 300 bis unter 350 cm: 8
3. 350 bis unter 400 cm: 6
4. 400 bis unter 450 cm: 3
5. Probe: 3 + 8 + 6 + 3 = 20
Ergebnis:
3, 8, 6, 3

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?

Schritt für Schritt

Säulenhöhen ablesen: 2, 7, 8, 1, 2
Summe: 2 + 7 + 8 + 1 + 2 = 20

Säulenhöhen ablesen: 2, 7, 8, 1, 2
Summe: 2 + 7 + 8 + 1 + 2 = 20

Ergebnis:

20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○7
Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 160 cm?
So fängst du an:
Säulen links von 160: 4
Lösung zeigen
1. Säulen links von 160: 4
2. Nur eine Säule: 4
Ergebnis:
4 Werte
●8
Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 8, 10, 2
2. Summe: 8 + 10 + 2 = 20
Ergebnis:
20 Personen
★9
Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 350 cm?
Lösung zeigen
1. Säulen links von 350: 2, 11
2. 2 + 11 = 13
Ergebnis:
13 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 22 Antworten.

Schritt für Schritt

Häufigster Wert: 5 (7-mal)
22 Werte, Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
Aufsummiert: bis 1: 7, bis 2: 10, bis 3: 11, bis 4: 15
Median: 3,5

Häufigster Wert: 5 (7-mal)
22 Werte, Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
Aufsummiert: bis 1: 7, bis 2: 10, bis 3: 11, bis 4: 15
Median: 3,5

Ergebnis:

Modalwert 5, Median 3,5

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht

Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert

So richtig

19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

○10
Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 21 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
So fängst du an:
Häufigster Wert: 1 (7-mal)
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 1 (7-mal)
2. 21 Werte, Median ist der 11. Wert
3. Aufsummiert: bis 1: 7, bis 2: 12
4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 2
●11
Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 27 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 1 (8-mal)
2. 27 Werte, Median ist der 14. Wert
3. Aufsummiert: bis 1: 8, bis 2: 15
4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 2
★12
Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 33 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 5 (10-mal)
2. 33 Werte, Median ist der 17. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 3, bis 2: 12, bis 3: 20
4. Median: 3
Ergebnis:
Modalwert 5, Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 21 Antworten).

Schritt für Schritt

0 · 2 + 1 · 2 + 2 · 7 + 3 · 1 + 4 · 3 + 5 · 6 = 61
Anzahl aller Werte: 21
61 : 21 ≈ 2,9

0 · 2 + 1 · 2 + 2 · 7 + 3 · 1 + 4 · 3 + 5 · 6 = 61
Anzahl aller Werte: 21
61 : 21 ≈ 2,9

Ergebnis:

2,9

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1

So richtig

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

○13
Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
So fängst du an:
0 · 5 + 1 · 7 + 2 · 3 + 3 · 5 + 4 · 4 = 44
Lösung zeigen
1. 0 · 5 + 1 · 7 + 2 · 3 + 3 · 5 + 4 · 4 = 44
2. Anzahl aller Werte: 24
3. 44 : 24 ≈ 1,83
Ergebnis:
1,83
●14
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 22 Antworten).
Lösung zeigen
1. 0 · 2 + 1 · 6 + 2 · 5 + 3 · 2 + 4 · 7 = 50
2. Anzahl aller Werte: 22
3. 50 : 22 ≈ 2,27
Ergebnis:
2,27
★15
Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
1. 0 · 6 + 1 · 10 + 2 · 6 + 3 · 9 + 4 · 7 + 5 · 5 = 102
2. Anzahl aller Werte: 43
3. 102 : 43 ≈ 2,37
Ergebnis:
2,37

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 7, 17, 6, 23, 19, 8. 8b: 23, 10, 23, 20, 4, 14. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.

Schritt für Schritt

Mittelwert 8a: 80 : 6 ≈ 13,33
Mittelwert 8b: 94 : 6 ≈ 15,67
Spannweite: 17 gegen 19

Mittelwert 8a: 80 : 6 ≈ 13,33
Mittelwert 8b: 94 : 6 ≈ 15,67
Spannweite: 17 gegen 19

Ergebnis:

im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○16
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 19, 19, 17, 16, 15, 18. Staffel B: 16, 15, 14, 18, 13, 15. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
So fängst du an:
Mittelwert Staffel A: 104 : 6 ≈ 17,33
Lösung zeigen
1. Mittelwert Staffel A: 104 : 6 ≈ 17,33
2. Mittelwert Staffel B: 91 : 6 ≈ 15,17
3. Spannweite: 4 gegen 5
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
●17
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 14, 13, 19, 17, 13, 16. Staffel B: 15, 17, 18, 14, 15, 17. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert Staffel A: 92 : 6 ≈ 15,33
2. Mittelwert Staffel B: 96 : 6 = 16
3. Spannweite: 6 gegen 4
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
★18
Punkte im Test. 8a: 9, 14, 14, 10, 11, 14, 14, 22. 8b: 17, 6, 5, 15, 8, 23, 21, 8. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert 8a: 108 : 8 = 13,5
2. Mittelwert 8b: 103 : 8 ≈ 12,88
3. Spannweite: 13 gegen 18
Ergebnis:
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 87, 126, 82, 135, 600. Wie stark verändert der Wert 600 den Mittelwert, wie stark den Median?

Schritt für Schritt

Mit 600: Mittelwert 1030 : 5 = 206, Median 126
Ohne: Mittelwert 430 : 4 = 107,5, Median 106,5
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Mit 600: Mittelwert 1030 : 5 = 206, Median 126
Ohne: Mittelwert 430 : 4 = 107,5, Median 106,5
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Ergebnis:

Mittelwert 206 statt 107,5; Median 126 statt 106,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○19
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 4, 4, 4, 2, 40. Wie stark verändert der Wert 40 den Mittelwert, wie stark den Median?
So fängst du an:
Mit 40: Mittelwert 54 : 5 = 10,8, Median 4
Lösung zeigen
1. Mit 40: Mittelwert 54 : 5 = 10,8, Median 4
2. Ohne: Mittelwert 14 : 4 = 3,5, Median 4
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 10,8 statt 3,5; Median 4 statt 4
●20
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 6, 7, 5, 9, 40. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 40.
Lösung zeigen
1. Mit 40: Mittelwert 67 : 5 = 13,4, Median 7
2. Ohne: Mittelwert 27 : 4 = 6,75, Median 6,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 13,4 statt 6,75; Median 7 statt 6,5
★21
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 9, 4, 8, 9, 6, 2, 40. Wie stark verändert der Wert 40 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
1. Mit 40: Mittelwert 78 : 7 ≈ 11,14, Median 8
2. Ohne: Mittelwert 38 : 6 ≈ 6,33, Median 7
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 11,14 statt 6,33; Median 8 statt 7

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 12 % auf 17 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 5 Prozent.“ Stimmt das?

Schritt für Schritt

Unterschied: 17 − 12 = 5 Prozentpunkte
Im Verhältnis: 5 : 12 · 100 ≈ 41,67 %

Unterschied: 17 − 12 = 5 Prozentpunkte
Im Verhältnis: 5 : 12 · 100 ≈ 41,67 %

Ergebnis:

ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 41,67 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○22
Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 57 %, Chat-App 41 %, Spiele 23 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
So fängst du an:
57 + 41 + 23 = 121
Lösung zeigen
1. 57 + 41 + 23 = 121
2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen
●23
Schlagzeile der Schülerzeitung: „80 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 15 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
Lösung zeigen
1. 12 von 15 sind 80 %
2. Aber: 15 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
★24
Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 51 %, Chat-App 44 %, Spiele 37 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
Lösung zeigen
1. 51 + 44 + 37 = 132
2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Für die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ wird das Merkmal „Lieblingssportart“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Kategorien
2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
●26
Aylin befragt für die Frage „Welcher Sport ist an unserer Schule beliebt?“ die Mitglieder der Fußball-AG – insgesamt 35 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
Lösung zeigen
1. Problem: wer in der Fußball-AG ist, mag Fußball – das verzerrt
2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
Ergebnis:
verzerrte Auswahl; besser auslosen
●27
Handyzeit am Tag von 15 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 146, 131, 44, 100, 105, 116, 156, 111, 113, 67, 118, 66, 61, 74, 157. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
1. 30 bis unter 60 min: 1
2. 60 bis unter 90 min: 4
3. 90 bis unter 120 min: 6
4. 120 bis unter 150 min: 2
5. 150 bis unter 180 min: 2
6. Probe: 1 + 4 + 6 + 2 + 2 = 15
Ergebnis:
30 bis unter 60: 1; 60 bis unter 90: 4; 90 bis unter 120: 6; 120 bis unter 150: 2; 150 bis unter 180: 2
●28
In der Tabelle (Handyzeit am Tag) fehlt die Gesamtzahl. Wie viele Personen wurden erfasst, und welche Klasse ist am stärksten besetzt?
Lösung zeigen
1. Gesamt: 6 + 6 + 6 + 6 + 1 = 25
2. Größte Anzahl: 6
Ergebnis:
25; 30 bis unter 60 min
●29
Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
Lösung zeigen
1. Höchste Säule: über 160 bis 170
2. Höhe 14
Ergebnis:
160 bis unter 170 cm: 14
●30
Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 2, 10, 20, 6, 2 für die Klassen ab 0 min. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
Lösung zeigen
1. Säulen von links ablesen und mit 2, 10, 20, 6, 2 vergleichen
2. Die Säule 10 bis unter 20 ist 11 hoch
3. Richtig ist 10
Ergebnis:
10 bis unter 20 min: 10 statt 11

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe: Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden: Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm: Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median: Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert: Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer: Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen: Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.
31
Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen
Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.
32
Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 29, 18, 29, 20, 24, 28, 21, 37, 31, 28, 31, 22, 23, 43, 21. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 10. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
10 bis unter 20: 1; 20 bis unter 30: 10; 30 bis unter 40: 3; 40 bis unter 50: 1
Ich zeichne und lese Histogramme.
33
Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 Personen
Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.
34
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Note in der Mathearbeit, 21 Antworten.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 3
Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
35
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 19 Antworten).
Lösung zeigen
Ergebnis:
2,84
Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.
36
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 18, 17, 15, 14, 17, 19. Staffel B: 17, 15, 17, 17, 18, 18. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.
37
Handyzeit am Tag in Minuten: 95, 102, 68, 75, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert 176 statt 85; Median 95 statt 85
Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.
38
Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 40 % auf 44 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 4 Prozent.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 10 % mehr

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
nein, besser: Verkehrsmittel
ja, die Antworten sind Zahlen
1, 8, 6
1, 6, 5, 3
3, 8, 6, 3
4 Werte
20 Personen
13 Werte
Modalwert 1, Median 2
Modalwert 1, Median 2
Modalwert 5, Median 3
1,83
2,27
2,37
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
Mittelwert 10,8 statt 3,5; Median 4 statt 4
Mittelwert 13,4 statt 6,75; Median 7 statt 6,5
Mittelwert 11,14 statt 6,33; Median 8 statt 7
nicht falsch: Mehrfachnennungen
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
nicht falsch: Mehrfachnennungen
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
verzerrte Auswahl; besser auslosen
30 bis unter 60: 1; 60 bis unter 90: 4; 90 bis unter 120: 6; 120 bis unter 150: 2; 150 bis unter 180: 2
25; 30 bis unter 60 min
160 bis unter 170 cm: 14
10 bis unter 20 min: 10 statt 11
ja, die Antworten sind Zahlen
10 bis unter 20: 1; 20 bis unter 30: 10; 30 bis unter 40: 3; 40 bis unter 50: 1
20 Personen
Modalwert 1, Median 3
2,84
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
Mittelwert 176 statt 85; Median 95 statt 85
ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 10 % mehr
x̄ = 7,8
Median 12; Spannweite 11