Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 15, 9, 3, 15, 12. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10,8
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 13, 18, 14, 9, 2. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 9, 13, 14, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 13
    3. Spannweite = 18 − 2 = 16
    Ergebnis:
    Median 13; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingssportart
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingssportart
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
Ergebnis:
Lieblingssportart, Kategorien

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Für die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ wird das Merkmal „Handyzeit in Minuten pro Tag“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    So fängst du an:
    Die Antworten sind Zahlen
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  2. ●2
    Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  3. ★3
    Tim will die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ beantworten. Dafür erhebt Tim das Merkmal „Marke des Handys“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
    2. Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
    Ergebnis:
    nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 171, 156, 153, 164, 163, 173, 165, 163, 167, 166, 180, 158, 168, 160, 171. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
Schritt für Schritt
  1. 150 bis unter 160 cm: 3
  2. 160 bis unter 170 cm: 8
  3. 170 bis unter 180 cm: 3
  4. 180 bis unter 190 cm: 1
  5. Probe: 3 + 8 + 3 + 1 = 15
  1. 150 bis unter 160 cm: 3
  2. 160 bis unter 170 cm: 8
  3. 170 bis unter 180 cm: 3
  4. 180 bis unter 190 cm: 1
  5. Probe: 3 + 8 + 3 + 1 = 15
Ergebnis:
150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 8; 170 bis unter 180: 3; 180 bis unter 190: 1

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 61, 106, 83, 68, 66, 40, 79, 147, 65, 85, 100, 89, 34, 118, 79. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?
    So fängst du an:
    30 bis unter 60 min: 2
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 2
    2. 60 bis unter 90 min: 9
    3. 90 bis unter 120 min: 3
    4. 120 bis unter 150 min: 1
    5. Probe: 2 + 9 + 3 + 1 = 15
    Ergebnis:
    2, 9, 3, 1
  2. ●5
    Die Werte (Schulweg in min): 23, 16, 23, 21, 19, 9, 26, 19, 16, 14, 21, 21, 10, 20, 22. Wie viele Werte liegen in der Klasse 0 bis unter 10 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 0 und alles bis kurz vor 10
    2. Gezählt: 9
    3. Das sind 1
    Ergebnis:
    1 Werte
  3. ★6
    Schulweg von 20 Kindern der 8b in min: 42, 30, 21, 35, 31, 20, 22, 14, 16, 5, 21, 9, 18, 33, 16, 27, 17, 25, 25, 28. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 10 min: 2
    2. 10 bis unter 20 min: 5
    3. 20 bis unter 30 min: 8
    4. 30 bis unter 40 min: 4
    5. 40 bis unter 50 min: 1
    6. Probe: 2 + 5 + 8 + 4 + 1 = 20
    Ergebnis:
    0 bis unter 10: 2; 10 bis unter 20: 5; 20 bis unter 30: 8; 30 bis unter 40: 4; 40 bis unter 50: 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
0123456789010203040Schulweg in minAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 1, 5, 8, 6
  2. Summe: 1 + 5 + 8 + 6 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 1, 5, 8, 6
  2. Summe: 1 + 5 + 8 + 6 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    01234567891011150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 3, 10, 6, 1
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 3, 10, 6, 1
    2. Summe: 3 + 10 + 6 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 120 min?
    01234567306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 120: 4, 5, 3
    2. 4 + 5 + 3 = 12
    Ergebnis:
    12 Werte
  3. ★9
    Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 10 min oder darüber?
    024681012141618010203040Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Ab 10: 6 + 17 + 4 = 27
    2. Gesamt: 30
    3. 27 : 30 · 100 = 90
    Ergebnis:
    90 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 20 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Note123456Anzahl843122
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 1 (8-mal)
  2. 20 Werte, Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
  3. Aufsummiert: bis 1: 8, bis 2: 12
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 1 (8-mal)
  2. 20 Werte, Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
  3. Aufsummiert: bis 1: 8, bis 2: 12
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 19 Antworten.
    Anzahl01234Anzahl70453
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 0 (7-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 0 (7-mal)
    2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 7, bis 1: 7, bis 2: 11
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 2
  2. ●11
    Aylin schreibt alle 15 Werte der Tabelle (Anzahl der Geschwister) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl48021
    Lösung zeigen
    1. 15 Werte: Median ist der 8. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 12
    3. Median: 1
    Ergebnis:
    Median 1
  3. ★12
    Noah schreibt alle 45 Werte der Tabelle (Note in der Mathearbeit) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl101132109
    Lösung zeigen
    1. 45 Werte: Median ist der 23. Wert
    2. Aufsummiert: bis 1: 10, bis 2: 21, bis 3: 24
    3. Median: 3
    Ergebnis:
    Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 18 Antworten).
Tore012345Anzahl460503
Schritt für Schritt
  1. 0 · 4 + 1 · 6 + 2 · 0 + 3 · 5 + 4 · 0 + 5 · 3 = 36
  2. Anzahl aller Werte: 18
  3. 36 : 18 = 2
  1. 0 · 4 + 1 · 6 + 2 · 0 + 3 · 5 + 4 · 0 + 5 · 3 = 36
  2. Anzahl aller Werte: 18
  3. 36 : 18 = 2
Ergebnis:
2

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 37 Antworten).
    Note123456Anzahl776827
    So fängst du an:
    1 · 7 + 2 · 7 + 3 · 6 + 4 · 8 + 5 · 2 + 6 · 7 = 123
    Lösung zeigen
    1. 1 · 7 + 2 · 7 + 3 · 6 + 4 · 8 + 5 · 2 + 6 · 7 = 123
    2. Anzahl aller Werte: 37
    3. 123 : 37 ≈ 3,32
    Ergebnis:
    3,32
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 14 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl24116
    Lösung zeigen
    1. 0 · 2 + 1 · 4 + 2 · 1 + 3 · 1 + 4 · 6 = 33
    2. Anzahl aller Werte: 14
    3. 33 : 14 ≈ 2,36
    Ergebnis:
    2,36
  3. ★15
    Von Schulweg kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10 min110 bis unter 20 min820 bis unter 30 min1230 bis unter 40 min4
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 5, 15, 25, 35
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 565
    3. 565 : 25 = 22,6
    Ergebnis:
    etwa 22,6 min

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 363, 391, 351, 405, 315, 354. Gruppe Süd: 285, 347, 399, 395, 355, 319. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2179 : 6 ≈ 363,17
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2100 : 6 = 350
  3. Spannweite: 90 gegen 114
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2179 : 6 ≈ 363,17
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2100 : 6 = 350
  3. Spannweite: 90 gegen 114
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 282, 345, 385, 288, 310, 346. Gruppe Süd: 339, 413, 294, 384, 417, 340. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 1956 : 6 = 326
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 1956 : 6 = 326
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2187 : 6 = 364,5
    3. Spannweite: 103 gegen 123
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  2. ●17
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 381, 294, 309, 368, 403, 398. Gruppe Süd: 360, 342, 290, 293, 280, 340. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2153 : 6 ≈ 358,83
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 1905 : 6 = 317,5
    3. Spannweite: 109 gegen 80
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  3. ★18
    Punkte im Test. 8a: 14, 7, 23, 5, 18, 8, 6, 21. 8b: 14, 4, 12, 15, 9, 5, 5, 6. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 102 : 8 = 12,75
    2. Mittelwert 8b: 70 : 8 = 8,75
    3. Spannweite: 18 gegen 11
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Taschengeld im Monat in Euro: 37, 33, 17, 21, 250. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 250.
Schritt für Schritt
  1. Mit 250: Mittelwert 358 : 5 = 71,6, Median 33
  2. Ohne: Mittelwert 108 : 4 = 27, Median 27
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 250: Mittelwert 358 : 5 = 71,6, Median 33
  2. Ohne: Mittelwert 108 : 4 = 27, Median 27
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 71,6 statt 27; Median 33 statt 27

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Handyzeit am Tag in Minuten: 88, 63, 71, 99, 600. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 600.
    So fängst du an:
    Mit 600: Mittelwert 921 : 5 = 184,2, Median 88
    Lösung zeigen
    1. Mit 600: Mittelwert 921 : 5 = 184,2, Median 88
    2. Ohne: Mittelwert 321 : 4 = 80,25, Median 79,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 184,2 statt 80,25; Median 88 statt 79,5
  2. ●20
    Taschengeld im Monat in Euro: 16, 38, 32, 19, 250. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 250.
    Lösung zeigen
    1. Mit 250: Mittelwert 355 : 5 = 71, Median 32
    2. Ohne: Mittelwert 105 : 4 = 26,25, Median 25,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 71 statt 26,25; Median 32 statt 25,5
  3. ★21
    Taschengeld im Monat in Euro: 35, 28, 32, 35, 23, 39, 200. Wie stark verändert der Wert 200 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 392 : 7 = 56, Median 35
    2. Ohne: Mittelwert 192 : 6 = 32, Median 33,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 56 statt 32; Median 35 statt 33,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „90 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
gegebengesucht90 Prozent20 Kinder?
Schritt für Schritt
  1. 18 von 20 sind 90 %
  2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
  1. 18 von 20 sind 90 %
  2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 46 %, Chat-App 50 %, Spiele 21 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht46 %50 %21 %100 %?
    So fängst du an:
    46 + 50 + 21 = 117
    Lösung zeigen
    1. 46 + 50 + 21 = 117
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen
  2. ●23
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „60 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht60 Prozent10 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 6 von 10 sind 60 %
    2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  3. ★24
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,6 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,6 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. ●26
    Mira will die Frage „Wie viel Taschengeld bekommen Kinder in Klasse 8?“ klären. Mira befragt aus jeder achten Klasse fünf ausgeloste Kinder. Das sind insgesamt 20 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
    Lösung zeigen
    1. Kein Problem: ausgelost und aus jeder achten Klasse, das kann die ganze Stufe gut abbilden
    2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
    Ergebnis:
    kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
  3. ●27
    15 Werte (Schulweg in min): 27, 16, 15, 27, 25, 27, 30, 25, 25, 19, 16, 33, 11, 35, 19. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
    Lösung zeigen
    1. 10 bis unter 20 min: 6
    2. 20 bis unter 30 min: 6
    3. 30 bis unter 40 min: 3
    4. Probe: 6 + 6 + 3 = 15
    Ergebnis:
    6, 6, 3
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Sprungweite von 25 Kindern beim Sportfest. Welcher Anteil liegt unter 400 cm? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl300 bis unter 350 cm12350 bis unter 400 cm9400 bis unter 450 cm4
    Lösung zeigen
    1. Unter 400: 12 + 9 = 21
    2. Anteil: 21 : 25 · 100 = 84
    Ergebnis:
    84 %
  5. ●29
    Mila zeichnet für Körpergröße die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Mila für die Klassen von 150 bis 190 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (190 − 150) : 10 = 4
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 4 Säulen
  6. ●30
    Mira schreibt alle 33 Werte der Tabelle (Bücher im letzten Monat) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Bücher01234Anzahl75687
    Lösung zeigen
    1. 33 Werte: Median ist der 17. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 7, bis 1: 12, bis 2: 18
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Für die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ wird das Merkmal „Dauer des Schulwegs in Minuten“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Die Werte (Schulweg in min): 34, 34, 43, 29, 26, 37, 17, 39, 32, 28, 27, 29, 17, 35, 20. Wie viele Werte liegen in der Klasse 20 bis unter 30 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Werte

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 60 min?
    012345678910306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Werte

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Sara schreibt alle 22 Werte der Tabelle (Note in der Mathearbeit) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl047236
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median 3,5

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 27 Antworten).
    Bücher01234Anzahl86643
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,56

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Punkte im Test. 8a: 19, 6, 21, 9, 19, 8. 8b: 6, 22, 20, 21, 6, 24. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Handyzeit am Tag in Minuten: 138, 67, 78, 139, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 180,4 statt 105,5; Median 138 statt 108

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,8 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,8 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. ja, die Antworten sind Zahlen
  2. ja, die Antworten sind Zahlen
  3. nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
  4. 2, 9, 3, 1
  5. 1 Werte
  6. 0 bis unter 10: 2; 10 bis unter 20: 5; 20 bis unter 30: 8; 30 bis unter 40: 4; 40 bis unter 50: 1
  7. 20 Personen
  8. 12 Werte
  9. 90 %
  10. Modalwert 0, Median 2
  11. Median 1
  12. Median 3
  13. 3,32
  14. 2,36
  15. etwa 22,6 min
  16. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  17. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  18. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  19. Mittelwert 184,2 statt 80,25; Median 88 statt 79,5
  20. Mittelwert 71 statt 26,25; Median 32 statt 25,5
  21. Mittelwert 56 statt 32; Median 35 statt 33,5
  22. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  23. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  24. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  25. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  26. kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
  27. 6, 6, 3
  28. 84 %
  29. ohne Lücken, 4 Säulen
  30. Median 2
  31. ja, die Antworten sind Zahlen
  32. 6 Werte
  33. 4 Werte
  34. Median 3,5
  35. 1,56
  36. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  37. Mittelwert 180,4 statt 105,5; Median 138 statt 108
  38. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  39. x̄ = 10,8
  40. Median 13; Spannweite 16