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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 12, 3, 10, 11, 8. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,8
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 5, 5, 14, 7, 10. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 5, 5, 7, 10, 14
    2. Median = mittlerer Wert = 7
    3. Spannweite = 14 − 5 = 9
    Ergebnis:
    Median 7; Spannweite 9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Verkehrsmittel
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Verkehrsmittel
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
Ergebnis:
Verkehrsmittel, Kategorien

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Für die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ wird das Merkmal „Dauer des Schulwegs in Minuten“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    So fängst du an:
    Die Antworten sind Zahlen
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  2. ●2
    Aylin will die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Marke des Handys“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
    2. Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
    Ergebnis:
    nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
  3. ★3
    Sara will die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Stunden Sport pro Woche“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: viel Sport heißt nicht, welcher Sport beliebt ist
    2. Besser: Lieblingssportart
    Ergebnis:
    nein, besser: Lieblingssportart

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Schulweg in min): 20, 29, 27, 13, 38, 24, 19, 6, 23, 26, 26, 31, 29, 33, 27. Wie viele Werte liegen in der Klasse 10 bis unter 20 min? Achte auf die Grenzen.
Schritt für Schritt
  1. Die Klasse umfasst 10 und alles bis kurz vor 20
  2. Gezählt: 13, 19
  3. Das sind 2
  1. Die Klasse umfasst 10 und alles bis kurz vor 20
  2. Gezählt: 13, 19
  3. Das sind 2
Ergebnis:
2 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 93, 80, 67, 63, 75, 110, 64, 94, 108, 131, 134, 93, 121, 129, 85. Wie viele Werte liegen in der Klasse 90 bis unter 120 min? Achte auf die Grenzen.
    So fängst du an:
    Die Klasse umfasst 90 und alles bis kurz vor 120
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 90 und alles bis kurz vor 120
    2. Gezählt: 93, 110, 94, 108, 93
    3. Das sind 5
    Ergebnis:
    5 Werte
  2. ●5
    Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 164, 161, 174, 174, 172, 155, 169, 163, 176, 162, 180, 168, 175, 175, 177. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 1
    2. 160 bis unter 170 cm: 6
    3. 170 bis unter 180 cm: 7
    4. 180 bis unter 190 cm: 1
    5. Probe: 1 + 6 + 7 + 1 = 15
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 1; 160 bis unter 170: 6; 170 bis unter 180: 7; 180 bis unter 190: 1
  3. ★6
    20 Werte (Sprungweite in cm): 355, 376, 292, 335, 395, 370, 359, 351, 362, 355, 337, 322, 395, 373, 288, 323, 315, 390, 274, 398. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300?300 bis unter 350?350 bis unter 400?
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 3
    2. 300 bis unter 350 cm: 5
    3. 350 bis unter 400 cm: 12
    4. Probe: 3 + 5 + 12 = 20
    Ergebnis:
    3, 5, 12

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
01234567891010203040Schulweg in minAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 7, 9, 4
  2. Summe: 7 + 9 + 4 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 7, 9, 4
  2. Summe: 7 + 9 + 4 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 350 cm?
    024681012250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 350: 2, 4
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 350: 2, 4
    2. 2 + 4 = 6
    Ergebnis:
    6 Werte
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 170 cm?
    0123456789150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 170: 4, 8
    2. 4 + 8 = 12
    Ergebnis:
    12 Werte
  3. ★9
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    012345678910250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 350 bis 400
    2. Höhe 9
    Ergebnis:
    350 bis unter 400 cm: 9

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 26 Antworten.
Anzahl01234Anzahl27854
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
  2. 26 Werte, Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 9, bis 2: 17
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
  2. 26 Werte, Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 9, bis 2: 17
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 2, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 20 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl273206
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 2 (7-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 2 (7-mal)
    2. 20 Werte, Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 2, bis 2: 9, bis 3: 12
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 3
  2. ●11
    Zeynep schreibt für die Tabelle (Tore pro Spiel) alle 18 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Tore012345Anzahl042372
    Lösung zeigen
    1. 18 Werte: Median ist das Mittel aus dem 9. und 10. Wert
    2. Aufsummiert: bis 1: 4, bis 2: 6, bis 3: 9, bis 4: 16
    3. Median: 3,5
    Ergebnis:
    Median 3,5
  3. ★12
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 42 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl886794
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 5 (9-mal)
    2. 42 Werte, Median ist das Mittel aus dem 21. und 22. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 8, bis 2: 16, bis 3: 22
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 5, Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 27 Antworten).
Tore012345Anzahl847260
Schritt für Schritt
  1. 0 · 8 + 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 2 + 4 · 6 + 5 · 0 = 48
  2. Anzahl aller Werte: 27
  3. 48 : 27 ≈ 1,78
  1. 0 · 8 + 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 2 + 4 · 6 + 5 · 0 = 48
  2. Anzahl aller Werte: 27
  3. 48 : 27 ≈ 1,78
Ergebnis:
1,78

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 20 Antworten).
    Tore012345Anzahl117551
    So fängst du an:
    0 · 1 + 1 · 1 + 2 · 7 + 3 · 5 + 4 · 5 + 5 · 1 = 55
    Lösung zeigen
    1. 0 · 1 + 1 · 1 + 2 · 7 + 3 · 5 + 4 · 5 + 5 · 1 = 55
    2. Anzahl aller Werte: 20
    3. 55 : 20 = 2,75
    Ergebnis:
    2,75
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 32 Antworten).
    Note123456Anzahl680576
    Lösung zeigen
    1. 1 · 6 + 2 · 8 + 3 · 0 + 4 · 5 + 5 · 7 + 6 · 6 = 113
    2. Anzahl aller Werte: 32
    3. 113 : 32 ≈ 3,53
    Ergebnis:
    3,53
  3. ★15
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 16 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl13372
    Lösung zeigen
    1. 0 · 1 + 1 · 3 + 2 · 3 + 3 · 7 + 4 · 2 = 38
    2. Anzahl aller Werte: 16
    3. 38 : 16 ≈ 2,38
    Ergebnis:
    2,38

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 8, 18, 9, 17, 9, 18. 8b: 21, 16, 4, 18, 8, 10. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert 8a: 79 : 6 ≈ 13,17
  2. Mittelwert 8b: 77 : 6 ≈ 12,83
  3. Spannweite: 10 gegen 17
  1. Mittelwert 8a: 79 : 6 ≈ 13,17
  2. Mittelwert 8b: 77 : 6 ≈ 12,83
  3. Spannweite: 10 gegen 17
Ergebnis:
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Punkte im Test. 8a: 4, 9, 10, 21, 12, 24. 8b: 12, 7, 15, 23, 18, 10. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert 8a: 80 : 6 ≈ 13,33
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 80 : 6 ≈ 13,33
    2. Mittelwert 8b: 85 : 6 ≈ 14,17
    3. Spannweite: 20 gegen 16
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  2. ●17
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 17, 13, 15, 18, 18, 18. Staffel B: 19, 15, 13, 18, 17, 18. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 99 : 6 = 16,5
    2. Mittelwert Staffel B: 100 : 6 ≈ 16,67
    3. Spannweite: 5 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  3. ★18
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 13, 17, 16, 15, 13, 19, 17, 14. Staffel B: 18, 15, 17, 18, 17, 19, 15, 16. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 124 : 8 = 15,5
    2. Mittelwert Staffel B: 135 : 8 ≈ 16,88
    3. Spannweite: 6 gegen 4
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Taschengeld im Monat in Euro: 15, 34, 15, 40, 200. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 200.
Schritt für Schritt
  1. Mit 200: Mittelwert 304 : 5 = 60,8, Median 34
  2. Ohne: Mittelwert 104 : 4 = 26, Median 24,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 200: Mittelwert 304 : 5 = 60,8, Median 34
  2. Ohne: Mittelwert 104 : 4 = 26, Median 24,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 60,8 statt 26; Median 34 statt 24,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Handyzeit am Tag in Minuten: 130, 80, 129, 83, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 540: Mittelwert 962 : 5 = 192,4, Median 129
    Lösung zeigen
    1. Mit 540: Mittelwert 962 : 5 = 192,4, Median 129
    2. Ohne: Mittelwert 422 : 4 = 105,5, Median 106
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 192,4 statt 105,5; Median 129 statt 106
  2. ●20
    Taschengeld im Monat in Euro: 29, 33, 39, 28, 200. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 200.
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 329 : 5 = 65,8, Median 33
    2. Ohne: Mittelwert 129 : 4 = 32,25, Median 31
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 65,8 statt 32,25; Median 33 statt 31
  3. ★21
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 6, 3, 5, 2, 8, 2, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 35: Mittelwert 61 : 7 ≈ 8,71, Median 5
    2. Ohne: Mittelwert 26 : 6 ≈ 4,33, Median 4
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 8,71 statt 4,33; Median 5 statt 4

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 34 % auf 40 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 6 Prozent.“ Stimmt das?
gegebengesucht34 %40 %?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 40 − 34 = 6 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 6 : 34 · 100 ≈ 17,65 %
  1. Unterschied: 40 − 34 = 6 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 6 : 34 · 100 ≈ 17,65 %
Ergebnis:
ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 17,65 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 15 % auf 17 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 2 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht15 %17 %?
    So fängst du an:
    Unterschied: 17 − 15 = 2 Prozentpunkte
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 17 − 15 = 2 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 2 : 15 · 100 ≈ 13,33 %
    Ergebnis:
    ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 13,33 % mehr
  2. ●23
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „85 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht85 Prozent20 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 17 von 20 sind 85 %
    2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  3. ★24
    Der Mittelwert der Klasse im Test stieg von 62 auf 67 Punkte. Sara sagt: „Dann haben sich alle verbessert.“ Ist das haltbar?
    Lösung zeigen
    1. Ein höherer Mittelwert heißt: die Summe ist gestiegen
    2. Einzelne können sich trotzdem verschlechtert haben
    Ergebnis:
    nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
  2. ●26
    Tim befragt für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder unserer Schule?“ die Kinder, die in der Pause in der Bibliothek sitzen – insgesamt 55 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
    Lösung zeigen
    1. Problem: wer in der Bibliothek sitzt, liest wahrscheinlich mehr als andere
    2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
    Ergebnis:
    verzerrte Auswahl; besser auslosen
  3. ●27
    Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 166, 156, 161, 179, 177, 172, 178, 172, 152, 151, 173, 161, 161, 169, 169. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 3
    2. 160 bis unter 170 cm: 6
    3. 170 bis unter 180 cm: 6
    4. Probe: 3 + 6 + 6 = 15
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 6; 170 bis unter 180: 6
  4. ●28
    In der Tabelle (Schulweg) fehlt die Gesamtzahl. Wie viele Personen wurden erfasst, und welche Klasse ist am stärksten besetzt?
    KlasseAnzahl0 bis unter 10 min110 bis unter 20 min720 bis unter 30 min1330 bis unter 40 min4
    Lösung zeigen
    1. Gesamt: 1 + 7 + 13 + 4 = 25
    2. Größte Anzahl: 13
    Ergebnis:
    25; 20 bis unter 30 min
  5. ●29
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 300 cm?
    012345678910250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 300: 2
    2. Nur eine Säule: 2
    Ergebnis:
    2 Werte
  6. ●30
    Aylin zeichnet für Körpergröße die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Aylin für die Klassen von 150 bis 190 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (190 − 150) : 10 = 4
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 4 Säulen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Die Schülervertretung fragt: „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Lieblingsmusikrichtung, Kategorien

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 280, 379, 324, 362, 303, 284, 316, 301, 414, 404, 351, 433, 355, 395, 345. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 5; 400 bis unter 450: 3

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 60 min?
    0123456789306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Werte

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 21 Antworten.
    Anzahl01234Anzahl33645
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 18 Antworten).
    Note123456Anzahl013608
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4,61

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 15, 17, 15, 15, 16, 18. Staffel B: 15, 17, 18, 19, 19, 17. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Taschengeld im Monat in Euro: 37, 24, 34, 22, 250. Wie stark verändert der Wert 250 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 73,4 statt 29,25; Median 34 statt 29

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „70 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht70 Prozent10 Kinder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. ja, die Antworten sind Zahlen
  2. nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
  3. nein, besser: Lieblingssportart
  4. 5 Werte
  5. 150 bis unter 160: 1; 160 bis unter 170: 6; 170 bis unter 180: 7; 180 bis unter 190: 1
  6. 3, 5, 12
  7. 6 Werte
  8. 12 Werte
  9. 350 bis unter 400 cm: 9
  10. Modalwert 2, Median 3
  11. Median 3,5
  12. Modalwert 5, Median 3
  13. 2,75
  14. 3,53
  15. 2,38
  16. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  17. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  18. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  19. Mittelwert 192,4 statt 105,5; Median 129 statt 106
  20. Mittelwert 65,8 statt 32,25; Median 33 statt 31
  21. Mittelwert 8,71 statt 4,33; Median 5 statt 4
  22. ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 13,33 % mehr
  23. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  24. nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind
  25. Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
  26. verzerrte Auswahl; besser auslosen
  27. 150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 6; 170 bis unter 180: 6
  28. 25; 20 bis unter 30 min
  29. 2 Werte
  30. ohne Lücken, 4 Säulen
  31. Lieblingsmusikrichtung, Kategorien
  32. 250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 5; 400 bis unter 450: 3
  33. 4 Werte
  34. Modalwert 2, Median 2
  35. 4,61
  36. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  37. Mittelwert 73,4 statt 29,25; Median 34 statt 29
  38. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  39. x̄ = 8,8
  40. Median 7; Spannweite 9