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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 9, 6, 15, 9, 13. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10,4
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 12, 11, 8, 18, 19. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 8, 11, 12, 18, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 19 − 8 = 11
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingssportart
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingssportart
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
Ergebnis:
Lieblingssportart, Kategorien

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Mila will die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ beantworten. Dafür erhebt Mila das Merkmal „Marke des Handys“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    So fängst du an:
    Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
    Lösung zeigen
    1. Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
    2. Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
    Ergebnis:
    nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
  2. ●2
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
  3. ★3
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Welche Kennwerte kannst du angeben: Mittelwert, Median, Spannweite oder nur den häufigsten Wert? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien.
    2. Kategorien kann man weder addieren noch der Größe nach ordnen.
    3. Es bleibt nur der häufigste Wert.
    Ergebnis:
    nur den häufigsten Wert

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 136, 121, 35, 122, 61, 130, 84, 47, 76, 43, 90, 52, 88, 60, 120. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
KlasseAnzahl30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?
Schritt für Schritt
  1. 30 bis unter 60 min: 4
  2. 60 bis unter 90 min: 5
  3. 90 bis unter 120 min: 1
  4. 120 bis unter 150 min: 5
  5. Probe: 4 + 5 + 1 + 5 = 15
  1. 30 bis unter 60 min: 4
  2. 60 bis unter 90 min: 5
  3. 90 bis unter 120 min: 1
  4. 120 bis unter 150 min: 5
  5. Probe: 4 + 5 + 1 + 5 = 15
Ergebnis:
4, 5, 1, 5

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Sprungweite in cm): 412, 280, 358, 374, 431, 401, 328, 343, 387, 361, 312, 322, 327, 382, 333. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300?300 bis unter 350?350 bis unter 400?400 bis unter 450?
    So fängst du an:
    250 bis unter 300 cm: 1
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 1
    2. 300 bis unter 350 cm: 6
    3. 350 bis unter 400 cm: 5
    4. 400 bis unter 450 cm: 3
    5. Probe: 1 + 6 + 5 + 3 = 15
    Ergebnis:
    1, 6, 5, 3
  2. ●5
    Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 70, 108, 151, 61, 122, 156, 112, 125, 63, 95, 55, 163, 88, 135, 137. Wie viele Werte liegen in der Klasse 120 bis unter 150 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 120 und alles bis kurz vor 150
    2. Gezählt: 122, 125, 135, 137
    3. Das sind 4
    Ergebnis:
    4 Werte
  3. ★6
    Schulweg von 20 Kindern der 8b in min: 26, 16, 18, 14, 29, 30, 17, 17, 34, 14, 27, 22, 27, 33, 36, 22, 24, 19, 35, 30. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 10. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 10 bis unter 20 min: 7
    2. 20 bis unter 30 min: 7
    3. 30 bis unter 40 min: 6
    4. Probe: 7 + 7 + 6 = 20
    Ergebnis:
    10 bis unter 20: 7; 20 bis unter 30: 7; 30 bis unter 40: 6

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
012345678910250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 4, 5, 9, 2
  2. Summe: 4 + 5 + 9 + 2 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 4, 5, 9, 2
  2. Summe: 4 + 5 + 9 + 2 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    01234567306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 2, 5, 6, 6, 1
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 2, 5, 6, 6, 1
    2. Summe: 2 + 5 + 6 + 6 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 170 cm?
    0123456789150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 170: 4, 5
    2. 4 + 5 = 9
    Ergebnis:
    9 Werte
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
    0246810121416010203040Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 4, 5, 15, 6
    2. Summe: 4 + 5 + 15 + 6 = 30
    Ergebnis:
    30 Personen

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Emre schreibt alle 23 Werte der Tabelle (Anzahl der Geschwister) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Anzahl01234Anzahl38372
Schritt für Schritt
  1. 23 Werte: Median ist der 12. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 11, bis 2: 14
  3. Median: 2
  1. 23 Werte: Median ist der 12. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 11, bis 2: 14
  3. Median: 2
Ergebnis:
Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Noah schreibt alle 32 Werte der Tabelle (Note in der Mathearbeit) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl086576
    So fängst du an:
    32 Werte: Median ist das Mittel aus dem 16. und 17. Wert
    Lösung zeigen
    1. 32 Werte: Median ist das Mittel aus dem 16. und 17. Wert
    2. Aufsummiert: bis 1: 0, bis 2: 8, bis 3: 14, bis 4: 19
    3. Median: 4
    Ergebnis:
    Median 4
  2. ●11
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 23 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl457223
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 3 (7-mal)
    2. 23 Werte, Median ist der 12. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 4, bis 2: 9, bis 3: 16
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 3
  3. ★12
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 31 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl635683
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 5 (8-mal)
    2. 31 Werte, Median ist der 16. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 6, bis 2: 9, bis 3: 14, bis 4: 20
    4. Median: 4
    Ergebnis:
    Modalwert 5, Median 4

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Bücher01234Anzahl07315
Schritt für Schritt
  1. 0 · 0 + 1 · 7 + 2 · 3 + 3 · 1 + 4 · 5 = 36
  2. Anzahl aller Werte: 16
  3. 36 : 16 = 2,25
  1. 0 · 0 + 1 · 7 + 2 · 3 + 3 · 1 + 4 · 5 = 36
  2. Anzahl aller Werte: 16
  3. 36 : 16 = 2,25
Ergebnis:
2,25

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl61278
    So fängst du an:
    0 · 6 + 1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 7 + 4 · 8 = 58
    Lösung zeigen
    1. 0 · 6 + 1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 7 + 4 · 8 = 58
    2. Anzahl aller Werte: 24
    3. 58 : 24 ≈ 2,42
    Ergebnis:
    2,42
  2. ●14
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Note123456Anzahl507634
    Lösung zeigen
    1. 1 · 5 + 2 · 0 + 3 · 7 + 4 · 6 + 5 · 3 + 6 · 4 = 89
    2. Anzahl aller Werte: 25
    3. 89 : 25 = 3,56
    Ergebnis:
    3,56
  3. ★15
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Tore012345Anzahl646572
    Lösung zeigen
    1. 0 · 6 + 1 · 4 + 2 · 6 + 3 · 5 + 4 · 7 + 5 · 2 = 69
    2. Anzahl aller Werte: 30
    3. 69 : 30 = 2,3
    Ergebnis:
    2,3

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 310, 402, 372, 286, 324, 345. Gruppe Süd: 402, 418, 295, 288, 291, 322. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2039 : 6 ≈ 339,83
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2016 : 6 = 336
  3. Spannweite: 116 gegen 130
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2039 : 6 ≈ 339,83
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2016 : 6 = 336
  3. Spannweite: 116 gegen 130
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Punkte im Test. 8a: 9, 8, 7, 10, 10, 4. 8b: 24, 18, 16, 8, 15, 4. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert 8a: 48 : 6 = 8
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 48 : 6 = 8
    2. Mittelwert 8b: 85 : 6 ≈ 14,17
    3. Spannweite: 6 gegen 20
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  2. ●17
    Punkte im Test. 8a: 6, 19, 16, 11, 21, 6. 8b: 23, 12, 6, 15, 24, 12. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 79 : 6 ≈ 13,17
    2. Mittelwert 8b: 92 : 6 ≈ 15,33
    3. Spannweite: 15 gegen 18
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  3. ★18
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 334, 317, 327, 388, 281, 329, 315, 341. Gruppe Süd: 303, 352, 316, 318, 392, 350, 412, 369. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2632 : 8 = 329
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2812 : 8 = 351,5
    3. Spannweite: 107 gegen 109
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 6, 3, 4, 9, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 35: Mittelwert 57 : 5 = 11,4, Median 6
  2. Ohne: Mittelwert 22 : 4 = 5,5, Median 5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 35: Mittelwert 57 : 5 = 11,4, Median 6
  2. Ohne: Mittelwert 22 : 4 = 5,5, Median 5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 11,4 statt 5,5; Median 6 statt 5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Handyzeit am Tag in Minuten: 86, 91, 100, 78, 600. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 600.
    So fängst du an:
    Mit 600: Mittelwert 955 : 5 = 191, Median 91
    Lösung zeigen
    1. Mit 600: Mittelwert 955 : 5 = 191, Median 91
    2. Ohne: Mittelwert 355 : 4 = 88,75, Median 88,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 191 statt 88,75; Median 91 statt 88,5
  2. ●20
    Taschengeld im Monat in Euro: 26, 35, 24, 28, 150. Wie stark verändert der Wert 150 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 263 : 5 = 52,6, Median 28
    2. Ohne: Mittelwert 113 : 4 = 28,25, Median 27
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 52,6 statt 28,25; Median 28 statt 27
  3. ★21
    Handyzeit am Tag in Minuten: 81, 72, 92, 79, 129, 125, 480. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 480.
    Lösung zeigen
    1. Mit 480: Mittelwert 1058 : 7 ≈ 151,14, Median 92
    2. Ohne: Mittelwert 578 : 6 ≈ 96,33, Median 86,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 151,14 statt 96,33; Median 92 statt 86,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
gegebengesucht75 Prozent20 Kinder?
Schritt für Schritt
  1. 15 von 20 sind 75 %
  2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
  1. 15 von 20 sind 75 %
  2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „80 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 15 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht80 Prozent15 Kinder?
    So fängst du an:
    12 von 15 sind 80 %
    Lösung zeigen
    1. 12 von 15 sind 80 %
    2. Aber: 15 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 32 % auf 40 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 8 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht32 %40 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 40 − 32 = 8 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 8 : 32 · 100 = 25 %
    Ergebnis:
    ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 25 % mehr
  3. ★24
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 29 % auf 34 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 5 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht29 %34 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 34 − 29 = 5 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 5 : 29 · 100 ≈ 17,24 %
    Ergebnis:
    ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 17,24 % mehr

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schülervertretung fragt: „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingsmusikrichtung
    2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
    Ergebnis:
    Lieblingsmusikrichtung, Kategorien
  2. ●26
    Zeynep will die Frage „Was wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ klären. Zeynep befragt die Kinder, die heute in der Mensa essen. Das sind insgesamt 30 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
    Lösung zeigen
    1. Problem: wer die Mensa meidet, wird gar nicht gefragt
    2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
    Ergebnis:
    verzerrte Auswahl; besser auslosen
  3. ●27
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 385, 382, 375, 409, 390, 321, 331, 408, 339, 294, 371, 313, 365, 352, 304. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 1
    2. 300 bis unter 350 cm: 5
    3. 350 bis unter 400 cm: 7
    4. 400 bis unter 450 cm: 2
    5. Probe: 1 + 5 + 7 + 2 = 15
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 2
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von 25 Befragten der Jahrgangsstufe. Welcher Anteil liegt unter 60 min? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min360 bis unter 90 min890 bis unter 120 min9120 bis unter 150 min3150 bis unter 180 min2
    Lösung zeigen
    1. Unter 60: nur die erste Klasse, 3
    2. Anteil: 3 : 25 · 100 = 12
    Ergebnis:
    12 %
  5. ●29
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 350 cm?
    01234567891011250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 350: 3, 10
    2. 3 + 10 = 13
    Ergebnis:
    13 Werte
  6. ●30
    Aylin zeichnet für Handyzeit am Tag die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Aylin für die Klassen von 0 bis 150 min?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (150 − 0) : 30 = 5
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 5 Säulen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Sara will die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ beantworten. Dafür erhebt Sara das Merkmal „Lieblingsbuch“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    15 Werte (Körpergröße in cm): 172, 170, 168, 156, 161, 157, 167, 167, 173, 167, 162, 176, 165, 159, 171. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160?160 bis unter 170?170 bis unter 180?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3, 7, 5

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 170 cm?
    0123456789101112150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Werte

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Zeynep schreibt alle 13 Werte der Tabelle (Anzahl der Geschwister) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl04801
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median 2

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 15 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl51711
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,47

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Punkte im Test. 8a: 12, 23, 12, 21, 16, 14. 8b: 11, 12, 5, 18, 17, 10. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Taschengeld im Monat in Euro: 28, 20, 40, 30, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 53,6 statt 29,5; Median 30 statt 29

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 39 % auf 44 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 5 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht39 %44 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 12,82 % mehr

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
  2. Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
  3. nur den häufigsten Wert
  4. 1, 6, 5, 3
  5. 4 Werte
  6. 10 bis unter 20: 7; 20 bis unter 30: 7; 30 bis unter 40: 6
  7. 20 Personen
  8. 9 Werte
  9. 30 Personen
  10. Median 4
  11. Modalwert 3, Median 3
  12. Modalwert 5, Median 4
  13. 2,42
  14. 3,56
  15. 2,3
  16. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  17. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  18. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  19. Mittelwert 191 statt 88,75; Median 91 statt 88,5
  20. Mittelwert 52,6 statt 28,25; Median 28 statt 27
  21. Mittelwert 151,14 statt 96,33; Median 92 statt 86,5
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 25 % mehr
  24. ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 17,24 % mehr
  25. Lieblingsmusikrichtung, Kategorien
  26. verzerrte Auswahl; besser auslosen
  27. 250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 2
  28. 12 %
  29. 13 Werte
  30. ohne Lücken, 5 Säulen
  31. nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
  32. 3, 7, 5
  33. 13 Werte
  34. Median 2
  35. 1,47
  36. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
  37. Mittelwert 53,6 statt 29,5; Median 30 statt 29
  38. ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 12,82 % mehr
  39. x̄ = 10,4
  40. Median 12; Spannweite 11