Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

●39
Punkte im Test: 14, 9, 11, 14, 1. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 9,8
●40
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 16, 13, 11, 9, 11. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 9, 11, 11, 13, 16
2. Median = mittlerer Wert = 11
3. Spannweite = 16 − 9 = 7
Ergebnis:
Median 11; Spannweite 7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Jonas will die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ beantworten. Dafür erhebt Jonas das Merkmal „Preis des Mittagessens“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.

Schritt für Schritt

Nein: der Preis sagt nicht, was gewünscht wird
Besser: Wunschgericht

Nein: der Preis sagt nicht, was gewünscht wird
Besser: Wunschgericht

Ergebnis:

nein, besser: Wunschgericht

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
So fängst du an:
Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
Lösung zeigen
1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
Ergebnis:
Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
●2
Die Schülervertretung fragt: „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Lösung zeigen
1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingssportart
2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
Ergebnis:
Lieblingssportart, Kategorien
★3
Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Zahlen
2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Sprungweite in cm): 345, 318, 378, 297, 353, 393, 382, 303, 311, 359, 347, 410, 362, 352, 323. Wie viele Werte liegen in der Klasse 350 bis unter 400 cm? Achte auf die Grenzen.

Schritt für Schritt

Die Klasse umfasst 350 und alles bis kurz vor 400
Gezählt: 378, 353, 393, 382, 359, 362, 352
Das sind 7

Die Klasse umfasst 350 und alles bis kurz vor 400
Gezählt: 378, 353, 393, 382, 359, 362, 352
Das sind 7

Ergebnis:

7 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○4
15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 28, 117, 149, 107, 114, 37, 48, 147, 108, 66, 73, 145, 47, 62, 92. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
So fängst du an:
0 bis unter 30 min: 1
Lösung zeigen
1. 0 bis unter 30 min: 1
2. 30 bis unter 60 min: 3
3. 60 bis unter 90 min: 3
4. 90 bis unter 120 min: 5
5. 120 bis unter 150 min: 3
6. Probe: 1 + 3 + 3 + 5 + 3 = 15
Ergebnis:
1, 3, 3, 5, 3
●5
Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 361, 362, 356, 337, 381, 273, 301, 346, 369, 370, 388, 326, 322, 350, 287. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
1. 250 bis unter 300 cm: 2
2. 300 bis unter 350 cm: 5
3. 350 bis unter 400 cm: 8
4. Probe: 2 + 5 + 8 = 15
Ergebnis:
250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 8
★6
20 Werte (Handyzeit am Tag in min): 61, 90, 123, 120, 30, 160, 47, 77, 118, 104, 58, 165, 47, 44, 129, 90, 75, 119, 128, 86. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
Lösung zeigen
1. 30 bis unter 60 min: 5
2. 60 bis unter 90 min: 4
3. 90 bis unter 120 min: 5
4. 120 bis unter 150 min: 4
5. 150 bis unter 180 min: 2
6. Probe: 5 + 4 + 5 + 4 + 2 = 20
Ergebnis:
5, 4, 5, 4, 2

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 300 cm?

Schritt für Schritt

Säulen links von 300: 2
Nur eine Säule: 2

Säulen links von 300: 2
Nur eine Säule: 2

Ergebnis:

2 Werte

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○7
Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
So fängst du an:
Säulenhöhen ablesen: 3, 7, 7, 3
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 3, 7, 7, 3
2. Summe: 3 + 7 + 7 + 3 = 20
Ergebnis:
20 Personen
●8
Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 1, 9, 10
2. Summe: 1 + 9 + 10 = 20
Ergebnis:
20 Personen
★9
Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 3, 16, 8, 3
2. Summe: 3 + 16 + 8 + 3 = 30
Ergebnis:
30 Personen

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 23 Antworten.

Schritt für Schritt

Häufigster Wert: 0 (8-mal)
23 Werte, Median ist der 12. Wert
Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 10, bis 2: 14
Median: 2

Häufigster Wert: 0 (8-mal)
23 Werte, Median ist der 12. Wert
Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 10, bis 2: 14
Median: 2

Ergebnis:

Modalwert 0, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht

Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert

So richtig

19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

○10
Lea schreibt alle 17 Werte der Tabelle (Anzahl der Geschwister) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
So fängst du an:
17 Werte: Median ist der 9. Wert
Lösung zeigen
1. 17 Werte: Median ist der 9. Wert
2. Aufsummiert: bis 0: 0, bis 1: 8, bis 2: 15
3. Median: 2
Ergebnis:
Median 2
●11
Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 19 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 4 (7-mal)
2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
3. Aufsummiert: bis 1: 2, bis 2: 5, bis 3: 6, bis 4: 13
4. Median: 4
Ergebnis:
Modalwert 4, Median 4
★12
Tim schreibt alle 18 Werte der Tabelle (Note in der Mathearbeit) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
1. 18 Werte: Median ist das Mittel aus dem 9. und 10. Wert
2. Aufsummiert: bis 2: 3, bis 3: 5, bis 4: 9, bis 5: 11
3. Median: 4,5
Ergebnis:
Median 4,5

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.

Schritt für Schritt

0 · 5 + 1 · 6 + 2 · 8 + 3 · 1 + 4 · 4 = 41
Anzahl aller Werte: 24
41 : 24 ≈ 1,71

0 · 5 + 1 · 6 + 2 · 8 + 3 · 1 + 4 · 4 = 41
Anzahl aller Werte: 24
41 : 24 ≈ 1,71

Ergebnis:

1,71

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1

So richtig

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

○13
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 29 Antworten).
So fängst du an:
0 · 6 + 1 · 6 + 2 · 4 + 3 · 5 + 4 · 8 = 61
Lösung zeigen
1. 0 · 6 + 1 · 6 + 2 · 4 + 3 · 5 + 4 · 8 = 61
2. Anzahl aller Werte: 29
3. 61 : 29 ≈ 2,1
Ergebnis:
2,1
●14
Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
1. 1 · 8 + 2 · 4 + 3 · 7 + 4 · 7 + 5 · 5 + 6 · 5 = 120
2. Anzahl aller Werte: 36
3. 120 : 36 ≈ 3,33
Ergebnis:
3,33
★15
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 21 Antworten).
Lösung zeigen
1. 0 · 2 + 1 · 7 + 2 · 5 + 3 · 5 + 4 · 2 = 40
2. Anzahl aller Werte: 21
3. 40 : 21 ≈ 1,9
Ergebnis:
1,9

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 301, 412, 307, 290, 295, 377. Gruppe Süd: 380, 413, 367, 295, 354, 398. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?

Schritt für Schritt

Mittelwert Gruppe Nord: 1982 : 6 ≈ 330,33
Mittelwert Gruppe Süd: 2207 : 6 ≈ 367,83
Spannweite: 122 gegen 118

Mittelwert Gruppe Nord: 1982 : 6 ≈ 330,33
Mittelwert Gruppe Süd: 2207 : 6 ≈ 367,83
Spannweite: 122 gegen 118

Ergebnis:

im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○16
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 16, 14, 14, 13, 14, 15. Staffel B: 16, 17, 15, 16, 17, 17. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
So fängst du an:
Mittelwert Staffel A: 86 : 6 ≈ 14,33
Lösung zeigen
1. Mittelwert Staffel A: 86 : 6 ≈ 14,33
2. Mittelwert Staffel B: 98 : 6 ≈ 16,33
3. Spannweite: 3 gegen 2
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
●17
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 14, 13, 16, 15, 19, 16. Staffel B: 17, 19, 17, 19, 15, 15. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Mittelwert Staffel A: 93 : 6 = 15,5
2. Mittelwert Staffel B: 102 : 6 = 17
3. Spannweite: 6 gegen 4
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
★18
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 415, 378, 419, 337, 337, 414, 361, 334. Gruppe Süd: 345, 282, 398, 391, 364, 399, 312, 291. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert Gruppe Nord: 2995 : 8 ≈ 374,38
2. Mittelwert Gruppe Süd: 2782 : 8 = 347,75
3. Spannweite: 85 gegen 117
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 128, 62, 76, 139, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.

Schritt für Schritt

Mit 540: Mittelwert 945 : 5 = 189, Median 128
Ohne: Mittelwert 405 : 4 = 101,25, Median 102
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Mit 540: Mittelwert 945 : 5 = 189, Median 128
Ohne: Mittelwert 405 : 4 = 101,25, Median 102
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Ergebnis:

Mittelwert 189 statt 101,25; Median 128 statt 102

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○19
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 2, 4, 3, 6, 45. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 45.
So fängst du an:
Mit 45: Mittelwert 60 : 5 = 12, Median 4
Lösung zeigen
1. Mit 45: Mittelwert 60 : 5 = 12, Median 4
2. Ohne: Mittelwert 15 : 4 = 3,75, Median 3,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 12 statt 3,75; Median 4 statt 3,5
●20
Taschengeld im Monat in Euro: 27, 37, 37, 26, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
Lösung zeigen
1. Mit 150: Mittelwert 277 : 5 = 55,4, Median 37
2. Ohne: Mittelwert 127 : 4 = 31,75, Median 32
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 55,4 statt 31,75; Median 37 statt 32
★21
Handyzeit am Tag in Minuten: 116, 88, 111, 107, 85, 69, 600. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 600.
Lösung zeigen
1. Mit 600: Mittelwert 1176 : 7 = 168, Median 107
2. Ohne: Mittelwert 576 : 6 = 96, Median 97,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 168 statt 96; Median 107 statt 97,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,4 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,4 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?

Schritt für Schritt

Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
„Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert

Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
„Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert

Ergebnis:

Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○22
Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 52 %, Chat-App 55 %, Spiele 35 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
So fängst du an:
52 + 55 + 35 = 142
Lösung zeigen
1. 52 + 55 + 35 = 142
2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen
●23
Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 38 % auf 48 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 10 Prozent.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Unterschied: 48 − 38 = 10 Prozentpunkte
2. Im Verhältnis: 10 : 38 · 100 ≈ 26,32 %
Ergebnis:
ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 26,32 % mehr
★24
Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 8 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
Lösung zeigen
1. 6 von 8 sind 75 %
2. Aber: 8 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schülervertretung fragt: „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Lösung zeigen
1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Verkehrsmittel
2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
Ergebnis:
Verkehrsmittel, Kategorien
●26
Emre will die Frage „Wie lange schlafen die Achtklässler unserer Schule?“ klären. Emre befragt aus jeder achten Klasse jedes dritte Kind der Namensliste. Das sind insgesamt 50 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
Lösung zeigen
1. Kein Problem: jede achte Klasse ist vertreten, und die Auswahl hängt nicht vom Schlaf ab
2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
Ergebnis:
kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
●27
Die Werte (Sprungweite in cm): 411, 413, 415, 347, 359, 384, 424, 324, 290, 308, 385, 392, 380, 378, 395. Wie viele Werte liegen in der Klasse 400 bis unter 450 cm? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 400 und alles bis kurz vor 450
2. Gezählt: 411, 413, 415, 424
3. Das sind 4
Ergebnis:
4 Werte
●28
Die Tabelle zeigt Körpergröße von 25 Jugendlichen im Sportverein. Welcher Anteil liegt unter 170 cm? Gib ihn in Prozent an.
Lösung zeigen
1. Unter 170: 6 + 13 = 19
2. Anteil: 19 : 25 · 100 = 76
Ergebnis:
76 %
●29
Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 5, 16, 7, 2 für die Klassen ab 150 cm. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
Lösung zeigen
1. Säulen von links ablesen und mit 5, 16, 7, 2 vergleichen
2. Die Säule 180 bis unter 190 ist 5 hoch
3. Richtig ist 2
Ergebnis:
180 bis unter 190 cm: 2 statt 5
●30
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 32 Antworten.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 2 (7-mal)
2. 32 Werte, Median ist das Mittel aus dem 16. und 17. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 9, bis 2: 16, bis 3: 22
4. Median: 2,5
Ergebnis:
Modalwert 2, Median 2,5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe: Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden: Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm: Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median: Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert: Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer: Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen: Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.
31
Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.
32
Die Werte (Sprungweite in cm): 302, 324, 318, 293, 360, 371, 386, 397, 388, 335, 336, 264, 312, 382, 286. Wie viele Werte liegen in der Klasse 250 bis unter 300 cm? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Werte
Ich zeichne und lese Histogramme.
33
Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 300 cm?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Werte
Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.
34
Ben schreibt alle 19 Werte der Tabelle (Bücher im letzten Monat) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Median 1
Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
35
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 23 Antworten).
Lösung zeigen
Ergebnis:
2,78
Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.
36
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 16, 13, 16, 13, 13, 15. Staffel B: 14, 18, 14, 14, 16, 17. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.
37
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 7, 8, 8, 8, 45. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 45.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert 15,2 statt 7,75; Median 8 statt 8
Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.
38
Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 54 %, Chat-App 36 %, Spiele 26 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
Lösung zeigen
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
Lieblingssportart, Kategorien
ja, die Antworten sind Zahlen
1, 3, 3, 5, 3
250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 8
5, 4, 5, 4, 2
20 Personen
20 Personen
30 Personen
Median 2
Modalwert 4, Median 4
Median 4,5
2,1
3,33
1,9
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
Mittelwert 12 statt 3,75; Median 4 statt 3,5
Mittelwert 55,4 statt 31,75; Median 37 statt 32
Mittelwert 168 statt 96; Median 107 statt 97,5
nicht falsch: Mehrfachnennungen
ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 26,32 % mehr
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
Verkehrsmittel, Kategorien
kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
4 Werte
76 %
180 bis unter 190 cm: 2 statt 5
Modalwert 2, Median 2,5
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
3 Werte
2 Werte
Median 1
2,78
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
Mittelwert 15,2 statt 7,75; Median 8 statt 8
nicht falsch: Mehrfachnennungen
x̄ = 9,8
Median 11; Spannweite 7