Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

●39
Punkte im Test: 13, 3, 13, 11, 1. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 8,2
●40
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 19, 16, 8, 4, 16. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 4, 8, 16, 16, 19
2. Median = mittlerer Wert = 16
3. Spannweite = 19 − 4 = 15
Ergebnis:
Median 16; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?

Schritt für Schritt

Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingsmusikrichtung
Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen

Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingsmusikrichtung
Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen

Ergebnis:

Lieblingsmusikrichtung, Kategorien

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○1
Für die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ wird das Merkmal „Verkehrsmittel“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
So fängst du an:
Die Antworten sind Kategorien
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Kategorien
2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
●2
Für die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ wird das Merkmal „Lieblingssportart“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Kategorien
2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
★3
Mila will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten. Dafür erhebt Mila das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: ohne die Einschlafzeit ist die Dauer unbekannt
2. Besser: Schlafdauer in Stunden
Ergebnis:
nein, besser: Schlafdauer in Stunden

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Schulweg in min): 22, 38, 25, 35, 13, 15, 37, 20, 30, 31, 8, 25, 20, 18, 36. Wie viele Werte liegen in der Klasse 0 bis unter 10 min? Achte auf die Grenzen.

Schritt für Schritt

Die Klasse umfasst 0 und alles bis kurz vor 10
Gezählt: 8
Das sind 1

Die Klasse umfasst 0 und alles bis kurz vor 10
Gezählt: 8
Das sind 1

Ergebnis:

1 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○4
Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 165, 159, 172, 168, 154, 168, 163, 154, 161, 175, 169, 162, 171, 163, 164. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
So fängst du an:
150 bis unter 160 cm: 3
Lösung zeigen
1. 150 bis unter 160 cm: 3
2. 160 bis unter 170 cm: 9
3. 170 bis unter 180 cm: 3
4. Probe: 3 + 9 + 3 = 15
Ergebnis:
150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 9; 170 bis unter 180: 3
●5
15 Werte (Schulweg in min): 27, 25, 18, 26, 21, 37, 26, 35, 28, 28, 23, 23, 23, 30, 24. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
Lösung zeigen
1. 10 bis unter 20 min: 1
2. 20 bis unter 30 min: 11
3. 30 bis unter 40 min: 3
4. Probe: 1 + 11 + 3 = 15
Ergebnis:
1, 11, 3
★6
Körpergröße von 20 Jugendlichen im Sportverein in cm: 174, 153, 169, 163, 163, 174, 172, 160, 163, 172, 161, 182, 174, 174, 163, 170, 155, 156, 173, 168. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
1. 150 bis unter 160 cm: 3
2. 160 bis unter 170 cm: 8
3. 170 bis unter 180 cm: 8
4. 180 bis unter 190 cm: 1
5. Probe: 3 + 8 + 8 + 1 = 20
Ergebnis:
150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 8; 170 bis unter 180: 8; 180 bis unter 190: 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 40 min?

Schritt für Schritt

Säulen links von 40: 2, 8, 8
2 + 8 + 8 = 18

Säulen links von 40: 2, 8, 8
2 + 8 + 8 = 18

Ergebnis:

18 Werte

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○7
Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
So fängst du an:
Säulenhöhen ablesen: 2, 5, 10, 3
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 2, 5, 10, 3
2. Summe: 2 + 5 + 10 + 3 = 20
Ergebnis:
20 Personen
●8
Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
Lösung zeigen
1. Höchste Säule: über 20 bis 30
2. Höhe 11
Ergebnis:
20 bis unter 30 min: 11
★9
Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 1, 6, 17, 6
2. Summe: 1 + 6 + 17 + 6 = 30
Ergebnis:
30 Personen

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 14 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.

Schritt für Schritt

Häufigster Wert: 0 (8-mal)
14 Werte, Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
Aufsummiert: bis 0: 8
Median: 0

Häufigster Wert: 0 (8-mal)
14 Werte, Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
Aufsummiert: bis 0: 8
Median: 0

Ergebnis:

Modalwert 0, Median 0

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht

Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert

So richtig

19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

○10
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 23 Antworten.
So fängst du an:
Häufigster Wert: 4 (8-mal)
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 4 (8-mal)
2. 23 Werte, Median ist der 12. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 7, bis 2: 8, bis 3: 15
4. Median: 3
Ergebnis:
Modalwert 4, Median 3
●11
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 16 Antworten.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 1 (7-mal)
2. 16 Werte, Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 13
4. Median: 1
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 1
★12
Ben schreibt alle 21 Werte der Tabelle (Bücher im letzten Monat) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
1. 21 Werte: Median ist der 11. Wert
2. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 11
3. Median: 1
Ergebnis:
Median 1

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 15 Antworten).

Schritt für Schritt

0 · 6 + 1 · 0 + 2 · 2 + 3 · 3 + 4 · 4 = 29
Anzahl aller Werte: 15
29 : 15 ≈ 1,93

0 · 6 + 1 · 0 + 2 · 2 + 3 · 3 + 4 · 4 = 29
Anzahl aller Werte: 15
29 : 15 ≈ 1,93

Ergebnis:

1,93

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1

So richtig

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

○13
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 19 Antworten).
So fängst du an:
1 · 0 + 2 · 7 + 3 · 4 + 4 · 0 + 5 · 2 + 6 · 6 = 72
Lösung zeigen
1. 1 · 0 + 2 · 7 + 3 · 4 + 4 · 0 + 5 · 2 + 6 · 6 = 72
2. Anzahl aller Werte: 19
3. 72 : 19 ≈ 3,79
Ergebnis:
3,79
●14
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 27 Antworten).
Lösung zeigen
1. 1 · 7 + 2 · 3 + 3 · 6 + 4 · 0 + 5 · 8 + 6 · 3 = 89
2. Anzahl aller Werte: 27
3. 89 : 27 ≈ 3,3
Ergebnis:
3,3
★15
Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
1. 0 · 11 + 1 · 7 + 2 · 7 + 3 · 3 + 4 · 3 = 42
2. Anzahl aller Werte: 31
3. 42 : 31 ≈ 1,35
Ergebnis:
1,35

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 20, 22, 6, 5, 7, 7. 8b: 11, 15, 7, 4, 20, 16. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?

Schritt für Schritt

Mittelwert 8a: 67 : 6 ≈ 11,17
Mittelwert 8b: 73 : 6 ≈ 12,17
Spannweite: 17 gegen 16

Mittelwert 8a: 67 : 6 ≈ 11,17
Mittelwert 8b: 73 : 6 ≈ 12,17
Spannweite: 17 gegen 16

Ergebnis:

im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○16
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 399, 306, 327, 378, 363, 395. Gruppe Süd: 295, 313, 290, 319, 305, 323. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
So fängst du an:
Mittelwert Gruppe Nord: 2168 : 6 ≈ 361,33
Lösung zeigen
1. Mittelwert Gruppe Nord: 2168 : 6 ≈ 361,33
2. Mittelwert Gruppe Süd: 1845 : 6 = 307,5
3. Spannweite: 93 gegen 33
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
●17
Punkte im Test. 8a: 22, 16, 20, 21, 16, 12. 8b: 10, 9, 14, 23, 12, 10. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert 8a: 107 : 6 ≈ 17,83
2. Mittelwert 8b: 78 : 6 = 13
3. Spannweite: 10 gegen 14
Ergebnis:
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
★18
Punkte im Test. 8a: 16, 19, 21, 18, 15, 22, 13, 20. 8b: 19, 7, 19, 23, 18, 11, 12, 17. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert 8a: 144 : 8 = 18
2. Mittelwert 8b: 126 : 8 = 15,75
3. Spannweite: 9 gegen 16
Ergebnis:
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Taschengeld im Monat in Euro: 27, 17, 27, 27, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.

Schritt für Schritt

Mit 150: Mittelwert 248 : 5 = 49,6, Median 27
Ohne: Mittelwert 98 : 4 = 24,5, Median 27
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Mit 150: Mittelwert 248 : 5 = 49,6, Median 27
Ohne: Mittelwert 98 : 4 = 24,5, Median 27
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Ergebnis:

Mittelwert 49,6 statt 24,5; Median 27 statt 27

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○19
Handyzeit am Tag in Minuten: 94, 102, 108, 135, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
So fängst du an:
Mit 540: Mittelwert 979 : 5 = 195,8, Median 108
Lösung zeigen
1. Mit 540: Mittelwert 979 : 5 = 195,8, Median 108
2. Ohne: Mittelwert 439 : 4 = 109,75, Median 105
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 195,8 statt 109,75; Median 108 statt 105
●20
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 2, 4, 9, 5, 45. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 45.
Lösung zeigen
1. Mit 45: Mittelwert 65 : 5 = 13, Median 5
2. Ohne: Mittelwert 20 : 4 = 5, Median 4,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 13 statt 5; Median 5 statt 4,5
★21
Taschengeld im Monat in Euro: 39, 24, 38, 34, 17, 35, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
Lösung zeigen
1. Mit 150: Mittelwert 337 : 7 ≈ 48,14, Median 35
2. Ohne: Mittelwert 187 : 6 ≈ 31,17, Median 34,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 48,14 statt 31,17; Median 35 statt 34,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „60 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?

Schritt für Schritt

6 von 10 sind 60 %
Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin

6 von 10 sind 60 %
Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin

Ergebnis:

nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○22
Schlagzeile der Schülerzeitung: „73 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 15 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
So fängst du an:
11 von 15 sind 73,33 %
Lösung zeigen
1. 11 von 15 sind 73,33 %
2. Aber: 15 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
●23
Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 26 % auf 34 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 8 Prozent.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Unterschied: 34 − 26 = 8 Prozentpunkte
2. Im Verhältnis: 8 : 26 · 100 ≈ 30,77 %
Ergebnis:
ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 30,77 % mehr
★24
Der Mittelwert der Klasse im Test stieg von 62 auf 67 Punkte. Mila sagt: „Dann haben sich alle verbessert.“ Ist das haltbar?
Lösung zeigen
1. Ein höherer Mittelwert heißt: die Summe ist gestiegen
2. Einzelne können sich trotzdem verschlechtert haben
Ergebnis:
nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Zwei Vorschläge für die Frage „Wie viel Taschengeld bekommen Kinder in Klasse 8?“: A befragt 50 Personen, nämlich aus jeder achten Klasse fünf ausgeloste Kinder. B lost 50 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
Lösung zeigen
1. A: ausgelost und aus jeder achten Klasse, das kann die ganze Stufe gut abbilden
2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
Ergebnis:
beide brauchbar, B am sichersten
●26
15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 54, 46, 42, 137, 106, 105, 135, 93, 113, 162, 134, 152, 55, 94, 59. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
Lösung zeigen
1. 30 bis unter 60 min: 5
2. 60 bis unter 90 min: 0
3. 90 bis unter 120 min: 5
4. 120 bis unter 150 min: 3
5. 150 bis unter 180 min: 2
6. Probe: 5 + 0 + 5 + 3 + 2 = 15
Ergebnis:
5, 0, 5, 3, 2
●27
Die Tabelle zeigt Körpergröße von 25 Jugendlichen im Sportverein. Welcher Anteil liegt unter 170 cm? Gib ihn in Prozent an.
Lösung zeigen
1. Unter 170: 3 + 17 = 20
2. Anteil: 20 : 25 · 100 = 80
Ergebnis:
80 %
●28
Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 2, 5, 7, 3, 3
2. Summe: 2 + 5 + 7 + 3 + 3 = 20
Ergebnis:
20 Personen
●29
Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Du zeichnest ein Histogramm, ein Kästchen steht für 2 Werte. Wie hoch wird jede Säule?
Lösung zeigen
1. Höhe = Anzahl : 2
2. 1, 5, 6,5, 1,5, 1 Kästchen
3. Säulen ohne Lücke nebeneinander, Breite überall gleich
Ergebnis:
1, 5, 6,5, 1,5, 1 Kästchen
●30
Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 22 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 4 (6-mal)
2. 22 Werte, Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 8, bis 2: 13
4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 4, Median 2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe: Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden: Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm: Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median: Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert: Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer: Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen: Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.
31
Zeynep will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten. Dafür erhebt Zeynep das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein, besser: Schlafdauer in Stunden
Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.
32
Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 354, 348, 374, 341, 349, 339, 384, 336, 300, 285, 362, 366, 401, 305, 366. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 7; 350 bis unter 400: 6; 400 bis unter 450: 1
Ich zeichne und lese Histogramme.
33
Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 Personen
Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.
34
Jonas schreibt alle 21 Werte der Tabelle (Bücher im letzten Monat) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Median 2
Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
35
Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,82
Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.
36
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 16, 17, 16, 15, 15, 15. Staffel B: 19, 15, 19, 15, 15, 18. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.
37
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 9, 2, 2, 5, 40. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 40.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert 11,6 statt 4,5; Median 5 statt 3,5
Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.
38
Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 59 %, Chat-App 60 %, Spiele 26 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
Lösung zeigen
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
nein, besser: Schlafdauer in Stunden
150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 9; 170 bis unter 180: 3
1, 11, 3
150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 8; 170 bis unter 180: 8; 180 bis unter 190: 1
20 Personen
20 bis unter 30 min: 11
30 Personen
Modalwert 4, Median 3
Modalwert 1, Median 1
Median 1
3,79
3,3
1,35
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
Mittelwert 195,8 statt 109,75; Median 108 statt 105
Mittelwert 13 statt 5; Median 5 statt 4,5
Mittelwert 48,14 statt 31,17; Median 35 statt 34,5
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 30,77 % mehr
nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind
beide brauchbar, B am sichersten
5, 0, 5, 3, 2
80 %
20 Personen
1, 5, 6,5, 1,5, 1 Kästchen
Modalwert 4, Median 2
nein, besser: Schlafdauer in Stunden
250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 7; 350 bis unter 400: 6; 400 bis unter 450: 1
20 Personen
Median 2
1,82
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
Mittelwert 11,6 statt 4,5; Median 5 statt 3,5
nicht falsch: Mehrfachnennungen
x̄ = 8,2
Median 16; Spannweite 15