Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

●39
Punkte im Test: 8, 15, 10, 14, 8. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 11
●40
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 16, 16, 12, 10, 12. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 10, 12, 12, 16, 16
2. Median = mittlerer Wert = 12
3. Spannweite = 16 − 10 = 6
Ergebnis:
Median 12; Spannweite 6

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ wird das Merkmal „Wunschgericht“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.

Schritt für Schritt

Die Antworten sind Kategorien
Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste

Die Antworten sind Kategorien
Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste

Ergebnis:

nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○1
Zeynep will die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ beantworten. Dafür erhebt Zeynep das Merkmal „Lieblingsbuch“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
So fängst du an:
Nein: das Lieblingsbuch sagt nichts über die Anzahl
Lösung zeigen
1. Nein: das Lieblingsbuch sagt nichts über die Anzahl
2. Besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
Ergebnis:
nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
●2
Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Kategorien
2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
★3
Aylin will die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ beantworten. Dafür erhebt Aylin das Merkmal „Minuten Musik pro Tag“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: viel Musik heißt nicht, welche Richtung
2. Besser: Lieblingsmusikrichtung
Ergebnis:
nein, besser: Lieblingsmusikrichtung

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

15 Werte (Schulweg in min): 25, 25, 11, 26, 23, 23, 20, 17, 23, 22, 23, 18, 37, 28, 22. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.

Schritt für Schritt

10 bis unter 20 min: 3
20 bis unter 30 min: 11
30 bis unter 40 min: 1
Probe: 3 + 11 + 1 = 15

10 bis unter 20 min: 3
20 bis unter 30 min: 11
30 bis unter 40 min: 1
Probe: 3 + 11 + 1 = 15

Ergebnis:

3, 11, 1

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○4
Die Werte (Körpergröße in cm): 169, 176, 161, 174, 158, 175, 150, 159, 160, 158, 178, 166, 178, 167, 162. Wie viele Werte liegen in der Klasse 170 bis unter 180 cm? Achte auf die Grenzen.
So fängst du an:
Die Klasse umfasst 170 und alles bis kurz vor 180
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 170 und alles bis kurz vor 180
2. Gezählt: 176, 174, 175, 178, 178
3. Das sind 5
Ergebnis:
5 Werte
●5
Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 123, 95, 97, 137, 106, 86, 89, 66, 75, 89, 101, 105, 99, 92, 137. Wie viele Werte liegen in der Klasse 120 bis unter 150 min? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 120 und alles bis kurz vor 150
2. Gezählt: 123, 137, 137
3. Das sind 3
Ergebnis:
3 Werte
★6
Die Werte (Sprungweite in cm): 334, 309, 354, 261, 345, 410, 356, 286, 357, 330, 284, 361, 416, 275, 329, 404, 373, 382, 321, 367. Wie viele Werte liegen in der Klasse 400 bis unter 450 cm? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 400 und alles bis kurz vor 450
2. Gezählt: 410, 416, 404
3. Das sind 3
Ergebnis:
3 Werte

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?

Schritt für Schritt

Höchste Säule: über 350 bis 400
Höhe 10

Höchste Säule: über 350 bis 400
Höhe 10

Ergebnis:

350 bis unter 400 cm: 10

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○7
Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 60 min?
So fängst du an:
Säulen links von 60: 1
Lösung zeigen
1. Säulen links von 60: 1
2. Nur eine Säule: 1
Ergebnis:
1 Werte
●8
Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 10 min?
Lösung zeigen
1. Säulen links von 10: 1
2. Nur eine Säule: 1
Ergebnis:
1 Werte
★9
Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 170 cm?
Lösung zeigen
1. Säulen links von 170: 6, 12
2. 6 + 12 = 18
Ergebnis:
18 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 16 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.

Schritt für Schritt

Häufigster Wert: 3 (7-mal)
16 Werte, Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 4, bis 2: 9
Median: 2

Häufigster Wert: 3 (7-mal)
16 Werte, Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 4, bis 2: 9
Median: 2

Ergebnis:

Modalwert 3, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht

Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert

So richtig

19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

○10
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 18 Antworten.
So fängst du an:
Häufigster Wert: 0 (8-mal)
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 0 (8-mal)
2. 18 Werte, Median ist das Mittel aus dem 9. und 10. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 14
4. Median: 1
Ergebnis:
Modalwert 0, Median 1
●11
Zeynep schreibt alle 23 Werte der Tabelle (Anzahl der Geschwister) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
1. 23 Werte: Median ist der 12. Wert
2. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 12
3. Median: 1
Ergebnis:
Median 1
★12
Aylin schreibt alle 45 Werte der Tabelle (Tore pro Spiel) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
1. 45 Werte: Median ist der 23. Wert
2. Aufsummiert: bis 0: 7, bis 1: 14, bis 2: 25
3. Median: 2
Ergebnis:
Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.

Schritt für Schritt

1 · 1 + 2 · 7 + 3 · 2 + 4 · 8 + 5 · 7 + 6 · 4 = 112
Anzahl aller Werte: 29
112 : 29 ≈ 3,86

1 · 1 + 2 · 7 + 3 · 2 + 4 · 8 + 5 · 7 + 6 · 4 = 112
Anzahl aller Werte: 29
112 : 29 ≈ 3,86

Ergebnis:

3,86

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1

So richtig

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

○13
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 23 Antworten).
So fängst du an:
0 · 7 + 1 · 4 + 2 · 4 + 3 · 4 + 4 · 4 = 40
Lösung zeigen
1. 0 · 7 + 1 · 4 + 2 · 4 + 3 · 4 + 4 · 4 = 40
2. Anzahl aller Werte: 23
3. 40 : 23 ≈ 1,74
Ergebnis:
1,74
●14
Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
1. 0 · 6 + 1 · 0 + 2 · 0 + 3 · 1 + 4 · 7 = 31
2. Anzahl aller Werte: 14
3. 31 : 14 ≈ 2,21
Ergebnis:
2,21
★15
Von Sprungweite kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
Lösung zeigen
1. Klassenmitten: 325, 375, 425
2. Mitte mal Anzahl, addiert: 9075
3. 9075 : 25 = 363
Ergebnis:
etwa 363 cm

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 14, 18, 19, 13, 17, 19. Staffel B: 19, 16, 14, 18, 18, 14. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.

Schritt für Schritt

Mittelwert Staffel A: 100 : 6 ≈ 16,67
Mittelwert Staffel B: 99 : 6 = 16,5
Spannweite: 6 gegen 5

Mittelwert Staffel A: 100 : 6 ≈ 16,67
Mittelwert Staffel B: 99 : 6 = 16,5
Spannweite: 6 gegen 5

Ergebnis:

im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○16
Punkte im Test. 8a: 21, 23, 8, 21, 23, 16. 8b: 24, 11, 24, 23, 15, 4. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
So fängst du an:
Mittelwert 8a: 112 : 6 ≈ 18,67
Lösung zeigen
1. Mittelwert 8a: 112 : 6 ≈ 18,67
2. Mittelwert 8b: 101 : 6 ≈ 16,83
3. Spannweite: 15 gegen 20
Ergebnis:
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
●17
Punkte im Test. 8a: 4, 15, 23, 6, 10, 24. 8b: 15, 19, 24, 7, 19, 21. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Mittelwert 8a: 82 : 6 ≈ 13,67
2. Mittelwert 8b: 105 : 6 = 17,5
3. Spannweite: 20 gegen 17
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
★18
Punkte im Test. 8a: 5, 13, 19, 22, 12, 18, 14, 6. 8b: 23, 24, 23, 23, 7, 24, 4, 19. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert 8a: 109 : 8 ≈ 13,63
2. Mittelwert 8b: 147 : 8 ≈ 18,38
3. Spannweite: 17 gegen 20
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Taschengeld im Monat in Euro: 32, 17, 32, 25, 200. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 200.

Schritt für Schritt

Mit 200: Mittelwert 306 : 5 = 61,2, Median 32
Ohne: Mittelwert 106 : 4 = 26,5, Median 28,5
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Mit 200: Mittelwert 306 : 5 = 61,2, Median 32
Ohne: Mittelwert 106 : 4 = 26,5, Median 28,5
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Ergebnis:

Mittelwert 61,2 statt 26,5; Median 32 statt 28,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○19
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 3, 5, 3, 8, 35. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 35.
So fängst du an:
Mit 35: Mittelwert 54 : 5 = 10,8, Median 5
Lösung zeigen
1. Mit 35: Mittelwert 54 : 5 = 10,8, Median 5
2. Ohne: Mittelwert 19 : 4 = 4,75, Median 4
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 10,8 statt 4,75; Median 5 statt 4
●20
Handyzeit am Tag in Minuten: 61, 116, 65, 101, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
1. Mit 480: Mittelwert 823 : 5 = 164,6, Median 101
2. Ohne: Mittelwert 343 : 4 = 85,75, Median 83
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 164,6 statt 85,75; Median 101 statt 83
★21
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 8, 9, 6, 4, 6, 8, 40. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 40.
Lösung zeigen
1. Mit 40: Mittelwert 81 : 7 ≈ 11,57, Median 8
2. Ohne: Mittelwert 41 : 6 ≈ 6,83, Median 7
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 11,57 statt 6,83; Median 8 statt 7

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 30 % auf 32 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 2 Prozent.“ Stimmt das?

Schritt für Schritt

Unterschied: 32 − 30 = 2 Prozentpunkte
Im Verhältnis: 2 : 30 · 100 ≈ 6,67 %

Unterschied: 32 − 30 = 2 Prozentpunkte
Im Verhältnis: 2 : 30 · 100 ≈ 6,67 %

Ergebnis:

ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 6,67 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○22
Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 13 % auf 21 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 8 Prozent.“ Stimmt das?
So fängst du an:
Unterschied: 21 − 13 = 8 Prozentpunkte
Lösung zeigen
1. Unterschied: 21 − 13 = 8 Prozentpunkte
2. Im Verhältnis: 8 : 13 · 100 ≈ 61,54 %
Ergebnis:
ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 61,54 % mehr
●23
Schlagzeile der Schülerzeitung: „63 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 8 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
Lösung zeigen
1. 5 von 8 sind 62,5 %
2. Aber: 8 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
★24
Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 12 % auf 14 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 2 Prozent.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Unterschied: 14 − 12 = 2 Prozentpunkte
2. Im Verhältnis: 2 : 12 · 100 ≈ 16,67 %
Ergebnis:
ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 16,67 % mehr

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Für die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ wird das Merkmal „Schlafdauer in Stunden“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Zahlen
2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen
●26
Zwei Vorschläge für die Frage „Was wünschen sich die Kinder in der Mensa?“: A befragt 15 Personen, nämlich die Kinder, die heute in der Mensa essen. B lost 15 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
Lösung zeigen
1. A: wer die Mensa meidet, wird gar nicht gefragt
2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
Ergebnis:
B
●27
Die Werte (Sprungweite in cm): 421, 340, 351, 378, 329, 286, 328, 418, 384, 347, 326, 384, 366, 332, 352. Wie viele Werte liegen in der Klasse 300 bis unter 350 cm? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 300 und alles bis kurz vor 350
2. Gezählt: 340, 329, 328, 347, 326, 332
3. Das sind 6
Ergebnis:
6 Werte
●28
Die Tabelle zeigt Körpergröße von 25 Jugendlichen im Sportverein. Welcher Anteil liegt unter 170 cm? Gib ihn in Prozent an.
Lösung zeigen
1. Unter 170: 5 + 9 = 14
2. Anteil: 14 : 25 · 100 = 56
Ergebnis:
56 %
●29
Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 3, 7, 7, 3
2. Summe: 3 + 7 + 7 + 3 = 20
Ergebnis:
20 Personen
●30
Noah zeichnet für Schulweg die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Noah für die Klassen von 0 bis 50 min?
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1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
2. (50 − 0) : 10 = 5
Ergebnis:
ohne Lücken, 5 Säulen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe: Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden: Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm: Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median: Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert: Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer: Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen: Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.
31
Für die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ wird das Merkmal „Verkehrsmittel“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
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Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.
32
Die Werte (Körpergröße in cm): 170, 179, 171, 181, 159, 158, 170, 161, 166, 169, 167, 158, 171, 166, 178. Wie viele Werte liegen in der Klasse 180 bis unter 190 cm? Achte auf die Grenzen.
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Ergebnis:
1 Werte
Ich zeichne und lese Histogramme.
33
Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
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Ergebnis:
20 Personen
Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.
34
Tim schreibt alle 25 Werte der Tabelle (Tore pro Spiel) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
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Ergebnis:
Median 4
Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
35
Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2,15
Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.
36
Punkte im Test. 8a: 13, 12, 7, 15, 7, 15. 8b: 6, 19, 24, 12, 5, 23. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.
37
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 9, 9, 5, 9, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert 13,4 statt 8; Median 9 statt 9
Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.
38
Schlagzeile der Schülerzeitung: „67 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
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Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
5 Werte
3 Werte
3 Werte
1 Werte
1 Werte
18 Werte
Modalwert 0, Median 1
Median 1
Median 2
1,74
2,21
etwa 363 cm
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
Mittelwert 10,8 statt 4,75; Median 5 statt 4
Mittelwert 164,6 statt 85,75; Median 101 statt 83
Mittelwert 11,57 statt 6,83; Median 8 statt 7
ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 61,54 % mehr
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 16,67 % mehr
ja, die Antworten sind Zahlen
B
6 Werte
56 %
20 Personen
ohne Lücken, 5 Säulen
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
1 Werte
20 Personen
Median 4
2,15
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
Mittelwert 13,4 statt 8; Median 9 statt 9
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
x̄ = 11
Median 12; Spannweite 6