Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

●39
Punkte im Test: 13, 15, 1, 1, 14. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 8,8
●40
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 6, 2, 3, 4. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 2, 3, 4, 6, 7
2. Median = mittlerer Wert = 4
3. Spannweite = 7 − 2 = 5
Ergebnis:
Median 4; Spannweite 5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.

Schritt für Schritt

Die Antworten sind Kategorien
Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste

Die Antworten sind Kategorien
Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste

Ergebnis:

nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schülervertretung fragt: „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
So fängst du an:
Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
Lösung zeigen
1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
Ergebnis:
Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
●2
Für die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ wird das Merkmal „Lieblingssportart“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Kategorien
2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
★3
Für die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ wird das Merkmal „Handyzeit in Minuten pro Tag“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Zahlen
2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 17, 40, 32, 21, 22, 21, 14, 42, 21, 22, 19, 23, 9, 22, 26. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.

Schritt für Schritt

0 bis unter 10 min: 1
10 bis unter 20 min: 3
20 bis unter 30 min: 8
30 bis unter 40 min: 1
40 bis unter 50 min: 2
Probe: 1 + 3 + 8 + 1 + 2 = 15

0 bis unter 10 min: 1
10 bis unter 20 min: 3
20 bis unter 30 min: 8
30 bis unter 40 min: 1
40 bis unter 50 min: 2
Probe: 1 + 3 + 8 + 1 + 2 = 15

Ergebnis:

0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 3; 20 bis unter 30: 8; 30 bis unter 40: 1; 40 bis unter 50: 2

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○4
Die Werte (Schulweg in min): 19, 28, 18, 24, 22, 17, 36, 25, 19, 11, 13, 28, 27, 21, 32. Wie viele Werte liegen in der Klasse 30 bis unter 40 min? Achte auf die Grenzen.
So fängst du an:
Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 40
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 40
2. Gezählt: 36, 32
3. Das sind 2
Ergebnis:
2 Werte
●5
15 Werte (Körpergröße in cm): 169, 168, 159, 165, 162, 160, 159, 181, 149, 151, 162, 163, 170, 163, 171. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
Lösung zeigen
1. 140 bis unter 150 cm: 1
2. 150 bis unter 160 cm: 3
3. 160 bis unter 170 cm: 8
4. 170 bis unter 180 cm: 2
5. 180 bis unter 190 cm: 1
6. Probe: 1 + 3 + 8 + 2 + 1 = 15
Ergebnis:
1, 3, 8, 2, 1
★6
Sprungweite von 20 Kindern beim Sportfest in cm: 359, 398, 368, 414, 359, 341, 369, 335, 337, 275, 319, 296, 318, 427, 403, 332, 388, 351, 261, 290. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
1. 250 bis unter 300 cm: 4
2. 300 bis unter 350 cm: 6
3. 350 bis unter 400 cm: 7
4. 400 bis unter 450 cm: 3
5. Probe: 4 + 6 + 7 + 3 = 20
Ergebnis:
250 bis unter 300: 4; 300 bis unter 350: 6; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 3

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?

Schritt für Schritt

Höchste Säule: über 60 bis 90
Höhe 7

Höchste Säule: über 60 bis 90
Höhe 7

Ergebnis:

60 bis unter 90 min: 7

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○7
Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 160 cm?
So fängst du an:
Säulen links von 160: 7
Lösung zeigen
1. Säulen links von 160: 7
2. Nur eine Säule: 7
Ergebnis:
7 Werte
●8
Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 170 cm?
Lösung zeigen
1. Säulen links von 170: 4, 8
2. 4 + 8 = 12
Ergebnis:
12 Werte
★9
Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 20 min oder darüber?
Lösung zeigen
1. Ab 20: 16 + 7 = 23
2. Gesamt: 30
3. 23 : 30 · 100 ≈ 76,67
Ergebnis:
76,67 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Ben schreibt alle 15 Werte der Tabelle (Anzahl der Geschwister) einzeln auf. So soll der Median gefunden werden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.

Schritt für Schritt

15 Werte: Median ist der 8. Wert
Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 5, bis 2: 6, bis 3: 9
Median: 3

15 Werte: Median ist der 8. Wert
Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 5, bis 2: 6, bis 3: 9
Median: 3

Ergebnis:

Median 3

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht

Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert

So richtig

19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

○10
Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 19 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
So fängst du an:
Häufigster Wert: 0 (7-mal)
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 0 (7-mal)
2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 7, bis 1: 7, bis 2: 7, bis 3: 13
4. Median: 3
Ergebnis:
Modalwert 0, Median 3
●11
Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 25 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
2. 25 Werte, Median ist der 13. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 10, bis 2: 18
4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 2, Median 2
★12
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 32 Antworten.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 1 (10-mal)
2. 32 Werte, Median ist das Mittel aus dem 16. und 17. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 16, bis 2: 18
4. Median: 1,5
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 1,5

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.

Schritt für Schritt

0 · 0 + 1 · 6 + 2 · 7 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 8 = 71
Anzahl aller Werte: 24
71 : 24 ≈ 2,96

0 · 0 + 1 · 6 + 2 · 7 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 8 = 71
Anzahl aller Werte: 24
71 : 24 ≈ 2,96

Ergebnis:

2,96

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1

So richtig

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

○13
Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
So fängst du an:
0 · 5 + 1 · 6 + 2 · 5 + 3 · 0 + 4 · 0 = 16
Lösung zeigen
1. 0 · 5 + 1 · 6 + 2 · 5 + 3 · 0 + 4 · 0 = 16
2. Anzahl aller Werte: 16
3. 16 : 16 = 1
Ergebnis:
1
●14
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 15 Antworten).
Lösung zeigen
1. 0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 8 + 3 · 1 + 4 · 1 = 26
2. Anzahl aller Werte: 15
3. 26 : 15 ≈ 1,73
Ergebnis:
1,73
★15
Von Handyzeit am Tag kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
Lösung zeigen
1. Klassenmitten: 45, 75, 105, 135, 165
2. Mitte mal Anzahl, addiert: 2265
3. 2265 : 25 = 90,6
Ergebnis:
etwa 90,6 min

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 18, 19, 18, 14, 19, 13. Staffel B: 18, 13, 17, 18, 17, 15. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.

Schritt für Schritt

Mittelwert Staffel A: 101 : 6 ≈ 16,83
Mittelwert Staffel B: 98 : 6 ≈ 16,33
Spannweite: 6 gegen 5

Mittelwert Staffel A: 101 : 6 ≈ 16,83
Mittelwert Staffel B: 98 : 6 ≈ 16,33
Spannweite: 6 gegen 5

Ergebnis:

im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○16
Punkte im Test. 8a: 9, 19, 10, 10, 6, 8. 8b: 12, 13, 17, 14, 24, 10. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
So fängst du an:
Mittelwert 8a: 62 : 6 ≈ 10,33
Lösung zeigen
1. Mittelwert 8a: 62 : 6 ≈ 10,33
2. Mittelwert 8b: 90 : 6 = 15
3. Spannweite: 13 gegen 14
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
●17
Punkte im Test. 8a: 21, 9, 18, 23, 21, 19. 8b: 18, 23, 5, 11, 10, 20. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Mittelwert 8a: 111 : 6 = 18,5
2. Mittelwert 8b: 87 : 6 = 14,5
3. Spannweite: 14 gegen 18
Ergebnis:
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
★18
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 404, 299, 312, 344, 281, 373, 293, 393. Gruppe Süd: 415, 283, 405, 325, 395, 311, 305, 414. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Mittelwert Gruppe Nord: 2699 : 8 ≈ 337,38
2. Mittelwert Gruppe Süd: 2853 : 8 ≈ 356,63
3. Spannweite: 123 gegen 132
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 126, 91, 62, 67, 600. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 600.

Schritt für Schritt

Mit 600: Mittelwert 946 : 5 = 189,2, Median 91
Ohne: Mittelwert 346 : 4 = 86,5, Median 79
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Mit 600: Mittelwert 946 : 5 = 189,2, Median 91
Ohne: Mittelwert 346 : 4 = 86,5, Median 79
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Ergebnis:

Mittelwert 189,2 statt 86,5; Median 91 statt 79

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○19
Handyzeit am Tag in Minuten: 60, 91, 122, 93, 600. Wie stark verändert der Wert 600 den Mittelwert, wie stark den Median?
So fängst du an:
Mit 600: Mittelwert 966 : 5 = 193,2, Median 93
Lösung zeigen
1. Mit 600: Mittelwert 966 : 5 = 193,2, Median 93
2. Ohne: Mittelwert 366 : 4 = 91,5, Median 92
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 193,2 statt 91,5; Median 93 statt 92
●20
Handyzeit am Tag in Minuten: 130, 117, 97, 136, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
Lösung zeigen
1. Mit 540: Mittelwert 1020 : 5 = 204, Median 130
2. Ohne: Mittelwert 480 : 4 = 120, Median 123,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 204 statt 120; Median 130 statt 123,5
★21
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 2, 8, 7, 2, 7, 4, 45. Wie stark verändert der Wert 45 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
1. Mit 45: Mittelwert 75 : 7 ≈ 10,71, Median 7
2. Ohne: Mittelwert 30 : 6 = 5, Median 5,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 10,71 statt 5; Median 7 statt 5,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „73 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 15 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?

Schritt für Schritt

11 von 15 sind 73,33 %
Aber: 15 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin

11 von 15 sind 73,33 %
Aber: 15 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin

Ergebnis:

nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○22
Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
So fängst du an:
15 von 20 sind 75 %
Lösung zeigen
1. 15 von 20 sind 75 %
2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
●23
Schlagzeile der Schülerzeitung: „67 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 15 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
Lösung zeigen
1. 10 von 15 sind 66,67 %
2. Aber: 15 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
★24
Schlagzeile der Schülerzeitung: „65 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
Lösung zeigen
1. 13 von 20 sind 65 %
2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Sara will die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ beantworten. Dafür erhebt Sara das Merkmal „Preis des Mittagessens“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: der Preis sagt nicht, was gewünscht wird
2. Besser: Wunschgericht
Ergebnis:
nein, besser: Wunschgericht
●26
Frage: „Wie kommen die Kinder unserer Schule zur Schule?“ Befragt werden 45 Personen, nämlich die Kinder, die morgens am Fahrradständer stehen. Ist die Stichprobe geeignet? Begründe.
Lösung zeigen
1. Hängt die Auswahl mit der Antwort zusammen?
2. Ja: nur Radfahrer werden gefragt, das Ergebnis ist verzerrt
Ergebnis:
nicht geeignet, verzerrt
●27
Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 65, 71, 33, 95, 161, 111, 83, 111, 118, 133, 88, 116, 64, 97, 106. Wie viele Werte liegen in der Klasse 60 bis unter 90 min? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 60 und alles bis kurz vor 90
2. Gezählt: 65, 71, 83, 88, 64
3. Das sind 5
Ergebnis:
5 Werte
●28
Die Tabelle zeigt Schulweg von 25 Kindern der 8b. Wie viele haben mindestens 30 min?
Lösung zeigen
1. Klassen ab 30: 3, 1
2. 3 + 1 = 4
Ergebnis:
4 Personen
●29
Jonas zeichnet für Körpergröße die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Jonas für die Klassen von 150 bis 190 cm?
Lösung zeigen
1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
2. (190 − 150) : 10 = 4
Ergebnis:
ohne Lücken, 4 Säulen
●30
Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 15 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 6 (5-mal)
2. 15 Werte, Median ist der 8. Wert
3. Aufsummiert: bis 1: 3, bis 2: 4, bis 3: 6, bis 4: 10
4. Median: 4
Ergebnis:
Modalwert 6, Median 4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe: Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden: Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm: Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median: Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert: Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer: Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen: Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.
31
Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.
32
15 Werte (Sprungweite in cm): 353, 378, 385, 357, 362, 346, 346, 390, 390, 332, 368, 324, 343, 338, 294. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 6, 8
Ich zeichne und lese Histogramme.
33
Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 60 min?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Werte
Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.
34
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Note in der Mathearbeit, 21 Antworten.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Modalwert 6, Median 4
Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
35
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 12 Antworten).
Lösung zeigen
Ergebnis:
2,92
Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.
36
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 382, 345, 415, 315, 416, 330. Gruppe Süd: 313, 326, 370, 348, 297, 289. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.
37
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 6, 6, 3, 9, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert 11,8 statt 6; Median 6 statt 6
Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.
38
Schlagzeile der Schülerzeitung: „92 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
Lösung zeigen
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
ja, die Antworten sind Zahlen
2 Werte
1, 3, 8, 2, 1
250 bis unter 300: 4; 300 bis unter 350: 6; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 3
7 Werte
12 Werte
76,67 %
Modalwert 0, Median 3
Modalwert 2, Median 2
Modalwert 1, Median 1,5
1
1,73
etwa 90,6 min
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
Mittelwert 193,2 statt 91,5; Median 93 statt 92
Mittelwert 204 statt 120; Median 130 statt 123,5
Mittelwert 10,71 statt 5; Median 7 statt 5,5
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
nein, besser: Wunschgericht
nicht geeignet, verzerrt
5 Werte
4 Personen
ohne Lücken, 4 Säulen
Modalwert 6, Median 4
Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
1, 6, 8
4 Werte
Modalwert 6, Median 4
2,92
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
Mittelwert 11,8 statt 6; Median 6 statt 6
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
x̄ = 8,8
Median 4; Spannweite 5