Mathematik · Klasse 4 · Kapitel

Daten, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Du hast 3 T-Shirts und 4 Hosen. Wie viele verschiedene Kombinationen kannst du anziehen? Schreib alle auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Listen sind unvollständig oder haben Doppelte; jede Gruppe hat eine andere Zahl zwischen 7 und 14. Der Baum ordnet: erst die drei T-Shirts, an jedes die vier Hosen. Zwölf Enden, keins vergessen, keins doppelt.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Sicher, möglich und unmöglich unterscheiden und Säulendiagramme mit Maßstab ablesen.

●23
Strichliste der Klasse – Hund: ||, Katze: |||, Hamster: ||||| ||. Wie viele Kinder wurden gefragt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Kinder
●24
Du würfelst eine 0. Ist das sicher, möglich oder unmöglich?
Lösung zeigen
1. Auf einem Spielwürfel gibt es keine 0.
2. Also: unmöglich
Ergebnis:
unmöglich

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMöglichkeiten zählen: jedes mit jedem

Bei 2 Hosen und 3 Shirts gibt es 2 · 3 Outfits, weil jede Hose mit jedem Shirt geht – das Baumdiagramm zeigt jeden Weg. Beim Zufall zählt man günstige gegen alle Möglichkeiten.

WeiterdenkenDenk nach

Warum sind 2 Hosen und 3 Shirts nicht 5 Outfits?

1Ich werte Tabellen und Diagramme aus und stelle Fragen dazu.

EntdeckenFrage

Wie viele Outfits gibt es mit 3 Hosen und 4 T-Shirts?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwölf – jede Hose mit jedem Shirt. Mit 2 Paar Schuhen dazu sind es 24: Möglichkeiten multiplizieren sich, sie addieren sich nicht.

EntdeckenDaten als Türme

Das brauchst du: Tabelle und Steckwürfel

Bau für jede Zeile der Tabelle einen Turm aus Steckwürfeln.

Mach die Augen zu. Welche Frage beantwortet der Vergleich der Türme?

MerkenAuswerten

Daten auswerten heißt rechnen: Gesamtzahl durch Addieren, Unterschied durch Subtrahieren, Anteil durch die Frage, wie viele von allen es sind.

BeispielSäulendiagramm mit Maßstab

Umfrage in der Sportgruppe der Klasse 4a. Ein Kästchen sind 5 Kinder. Wie viele Kinder wählten Rot?

Schritt für Schritt

Die Säule Rot ist 8 Kästchen hoch
8 · 5 = 40

Die Säule Rot ist 8 Kästchen hoch
8 · 5 = 40

Ergebnis:

AchtungKästchen gezählt statt Skala gelesen

So nicht

Säule bis zur 2. Linie, Schritt 2 → 2 Kinder

So richtig

Säule bis zur 2. Linie, Schritt 2 → 4 Kinder

Lies an der Achse ab, wie viel ein Kästchen wert ist.

ÜbenJetzt du

○1
Umfrage in der Klasse 4a. Ein Kästchen sind 10 Kinder. Wie viele Kinder wählten Pferd?
So fängst du an:
Die Säule Pferd ist 8 Kästchen hoch
Lösung zeigen
1. Die Säule Pferd ist 8 Kästchen hoch
2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80
●2
Umfrage in der Klasse 3a. Ein Kästchen sind 2 Kinder. Wie viele Kinder wählten Tanzen?
Lösung zeigen
1. Die Säule Tanzen ist 3 Kästchen hoch
2. 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6
★3
Ein Kästchen sind 2 Kinder. 14 Kinder wählten Schwimmen. Wie viele Kästchen hoch wird die Säule?
Lösung zeigen
1. Je 2 Kinder ein Kästchen
2. 14 : 2 = 7
Ergebnis:
7

2Ich zähle Möglichkeiten systematisch (Baum, Tabelle).

EntdeckenFrage

Warum gewinnt beim Lotto fast nie jemand, den du kennst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs Richtige aus 49 haben fast 14 Millionen Möglichkeiten – eine davon gewinnt. Wer jede Woche spielt, wartet im Schnitt über 260 000 Jahre auf den Sechser.

EntdeckenJedes mit jedem

Das brauchst du: Karten mit Hosen und Shirts

Leg 2 Hosenkarten und 3 Shirtkarten hin. Leg jede Hose mit jedem Shirt.

Mach die Augen zu. Wie viele Paare sind es mit 3 Hosen?

MerkenKombinieren

3 Shirts, 2 Hosen: 3 · 2 = 6 Outfits. Baum zeichnen, damit keins fehlt.

BeispielKombinieren: Wie viele Möglichkeiten?

3 T-Shirts und 2 Hosen. Wie viele verschiedene Outfits gibt es?

Schritt für Schritt

Zu jedem T-Shirt passen 2 Hosen
3 · 2 = 6

Zu jedem T-Shirt passen 2 Hosen
3 · 2 = 6

Ergebnis:

6 Outfits

AchtungMöglichkeiten doppelt oder vergessen

So nicht

2 Hosen, 3 Shirts = 2 + 3 = 5 Outfits

So richtig

2 Hosen, 3 Shirts = 2 · 3 = 6 Outfits  (jede Hose mit jedem Shirt)

Systematisch: erst alle mit Shirt 1, dann Shirt 2 …

ÜbenJetzt du

○4
5 T-Shirts und 5 Hosen. Wie viele verschiedene Outfits gibt es?
So fängst du an:
Zu jedem T-Shirt passen 5 Hosen
Lösung zeigen
1. Zu jedem T-Shirt passen 5 Hosen
2. 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 Outfits
●5
Beim Mittagessen gibt es 5 Hauptgerichte und 2 Nachtische. Wie viele verschiedene Menüs sind möglich?
Lösung zeigen
1. Zu jedem Hauptgericht passt jeder Nachtisch
2. 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10 Menüs
★6
Du hast die Ziffernkarten 1, 5, 9. Wie viele verschiedene dreistelligen Zahlen kannst du legen, wenn jede Karte nur einmal benutzt wird?
Lösung zeigen
1. Für die Hunderterstelle 3 Karten, dann 2, dann 1
2. 3 · 2 · 1 = 6
Ergebnis:
6 Zahlen

3Ich vergleiche Gewinnchancen und begründe.

EntdeckenFrage

Was gelingt leichter: mit einem Würfel eine 6 oder mit zwei Würfeln zusammen 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 6 mit einem Würfel, sie kommt in einem von sechs Würfen. Für die 12 braucht es zwei Sechsen gleichzeitig, und das ist nur einer von 36 Fällen.

EntdeckenChancen vergleichen

Das brauchst du: Dose mit Kugeln

Leg 2 rote und 6 blaue Kugeln in die Dose. Zieh 20 Mal und leg jedes Mal zurück.

Mach die Augen zu. Wie müsste die Dose sein, damit Rot gleich oft kommt?

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenChancen

Gewinnchance = günstige Kugeln von allen. 2 von 5 ist besser als 2 von 8.

BeispielZufall: sicher, möglich, unmöglich

In der Dose sind vier rote Kugeln und fünf blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?

Schritt für Schritt

rot: möglich (es gibt rote)
grün: unmöglich (keine grüne)

rot: möglich (es gibt rote)
grün: unmöglich (keine grüne)

Ergebnis:

rot möglich · grün unmöglich

AchtungZufall

So nicht

Nach 5-mal Kopf = jetzt kommt Zahl

So richtig

Nach 5-mal Kopf: Kopf und Zahl = je 1 von 2, wie immer

Der Würfel hat kein Gedächtnis – 20-mal würfeln lassen.

ÜbenJetzt du

○7
In der Dose sind vier rote Kugeln und vier blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
So fängst du an:
rot: möglich (es gibt rote)
Lösung zeigen
1. rot: möglich (es gibt rote)
2. grün: unmöglich (keine grüne)
Ergebnis:
rot möglich · grün unmöglich
●8
In der Dose sind drei rote Kugeln und drei blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
Lösung zeigen
1. rot: möglich (es gibt rote)
2. grün: unmöglich (keine grüne)
Ergebnis:
rot möglich · grün unmöglich
★9
In der Dose sind eine rote Kugel und drei blaue Kugeln. Welche Farbe ziehst du wahrscheinlicher? Begründe mit den Zahlen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
blau (3 von 4)

4Ich führe Zufallsexperimente durch und werte sie aus.

EntdeckenFrage

Wenn du 60-mal würfelst – kommt dann jede Zahl genau zehnmal?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast nie. Im Mittel sind es zehn, aber jede einzelne Reihe sieht anders aus. Je länger die Reihe wird, desto näher kommen die Anteile an ein Sechstel heran.

EntdeckenEin Zufallsversuch

Das brauchst du: Würfel und Strichliste

Würfle 30 Mal. Mach für jede Zahl eine Strichliste.

Mach die Augen zu. Was passiert bei 300 Würfen?

MerkenExperiment

Ein Zufallsexperiment wiederholst du oft und führst eine Strichliste.

Am Ende vergleichst du, was erwartet war und was herauskam.

BeispielZufall: sicher, möglich, unmöglich

In der Dose sind vier rote Kugeln und eine blaue Kugel. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?

Schritt für Schritt

rot: möglich (es gibt rote)
grün: unmöglich (keine grüne)

rot: möglich (es gibt rote)
grün: unmöglich (keine grüne)

Ergebnis:

rot möglich · grün unmöglich

AchtungNoch einmal: Zufall

So nicht

Nach 5-mal Kopf = jetzt kommt Zahl

So richtig

Nach 5-mal Kopf: Kopf und Zahl = je 1 von 2, wie immer

Der Würfel hat kein Gedächtnis – 20-mal würfeln lassen.

ÜbenJetzt du

○10
In der Dose sind vier rote Kugeln und zwei blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
So fängst du an:
rot: möglich (es gibt rote)
Lösung zeigen
1. rot: möglich (es gibt rote)
2. grün: unmöglich (keine grüne)
Ergebnis:
rot möglich · grün unmöglich
●11
In der Dose sind eine rote Kugel und drei blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
Lösung zeigen
1. rot: möglich (es gibt rote)
2. grün: unmöglich (keine grüne)
Ergebnis:
rot möglich · grün unmöglich
★12
In der Dose sind eine rote Kugel und fünf blaue Kugeln. Welche Farbe ziehst du wahrscheinlicher? Begründe mit den Zahlen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
blau (5 von 6)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●13
Lieblingsfarben der Klasse. Welche Farbe wurde am häufigsten genannt? Wie oft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Rot (8)
●14
Von zu Hause zur Schule gibt es 2 Wege bis zum Park und von dort 4 Wege weiter. Wie viele Wege gibt es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Jeder erste Weg lässt sich mit jedem zweiten verbinden
2. 2 · 4 = 8
Ergebnis:
8 Wege
●15
Schulweg der Klasse 4a: Welcher Weg wurde am häufigsten genannt, wie oft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Rad (7)
●16
Umfrage beim Schulfest der Klasse 3a. Ein Kästchen sind 2 Kinder. Wie viele Kinder wählten Hund?
Lösung zeigen
1. Die Säule Hund ist 5 Kästchen hoch
2. 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10
●17
4 Kinder stehen im Kreis. Zwischen je zwei Kindern wird genau eine Schnur gespannt. Wie viele Schnüre sind das?
Lösung zeigen
1. A mit 3 anderen, B mit 2 neuen, und so weiter
2. 3 + 2 + 1 = 6
Ergebnis:
6
●18
Mia zieht mit geschlossenen Augen eine Kugel. Aus welchem Beutel kommt eher eine rote?
Lösung zeigen
1. A: 3 rote und 2 blaue. B: 1 rote und 2 blaue
2. Vergleiche rote mit blauen Kugeln im selben Beutel: A
Ergebnis:
A

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Auswerten: Daten auswerten heißt rechnen: Gesamtzahl durch Addieren, Unterschied durch Subtrahieren, Anteil durch die Frage, wie viele von allen es sind.
Kombinieren: 3 Shirts, 2 Hosen: 3 · 2 = 6 Outfits. Baum zeichnen, damit keins fehlt.
Chancen: Gewinnchance = günstige Kugeln von allen. 2 von 5 ist besser als 2 von 8.
Experiment: Ein Zufallsexperiment wiederholst du oft und führst eine Strichliste.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich werte Tabellen und Diagramme aus und stelle Fragen dazu.
19
Umfrage im Hort der Klasse 3c. Ein Kästchen sind 10 Kinder. Wie viele Kinder wählten Hund?
Lösung zeigen
Ergebnis:
30
Ich zähle Möglichkeiten systematisch (Baum, Tabelle).
20
Von zu Hause zur Schule gibt es 5 Wege bis zum Park und von dort 2 Wege weiter. Wie viele Wege gibt es insgesamt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
10 Wege
Ich vergleiche Gewinnchancen und begründe.
21
In der Dose sind vier rote Kugeln und vier blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
Lösung zeigen
Ergebnis:
rot möglich · grün unmöglich
Ich führe Zufallsexperimente durch und werte sie aus.
22
In der Dose sind fünf rote Kugeln und drei blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
Lösung zeigen
Ergebnis:
rot möglich · grün unmöglich

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Du hast 3 T-Shirts und 4 Hosen. Wie viele verschiedene Kombinationen kannst du anziehen? Schreib alle auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Das Baumdiagramm: Möglichkeiten vollständig zählen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Würfeln, Glücksrad, Wahrscheinlich oder sicher?

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile
Zufallsexperiment: ein Versuch, dessen Ausgang man nicht vorher weiß

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten sammeln, Tabellen, Diagramme, Zufall

Darauf baut auf: Daten und Zufall, Systematisch zählen

Lösungen

80
6
7
25 Outfits
10 Menüs
6 Zahlen
rot möglich · grün unmöglich
rot möglich · grün unmöglich
blau (3 von 4)
rot möglich · grün unmöglich
rot möglich · grün unmöglich
blau (5 von 6)
Rot (8)
8 Wege
Rad (7)
10
6
A
30
10 Wege
rot möglich · grün unmöglich
rot möglich · grün unmöglich
12 Kinder
unmöglich