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Mathematik · Klasse 4 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Du hast 3 T-Shirts und 4 Hosen. Wie viele verschiedene Kombinationen kannst du anziehen? Schreib alle auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Listen sind unvollständig oder haben Doppelte; jede Gruppe hat eine andere Zahl zwischen 7 und 14. Der Baum ordnet: erst die drei T-Shirts, an jedes die vier Hosen. Zwölf Enden, keins vergessen, keins doppelt.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Sicher, möglich und unmöglich unterscheiden und Säulendiagramme mit Maßstab ablesen.

  1. ●23
    Strichliste der Klasse – Hund: ||||| |, Katze: ||, Hamster: ||||| ||||. Wie viele Kinder wurden gefragt?
    6Hund2Katze9Hamster
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17 Kinder
  2. ●24
    Du würfelst eine 10. Ist das sicher, möglich oder unmöglich?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Ein Spielwürfel hat nur die Zahlen 1 bis 6.
    2. Also: unmöglich
    Ergebnis:
    unmöglich

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMöglichkeiten zählen: jedes mit jedem

Bei 2 Hosen und 3 Shirts gibt es 2 · 3 Outfits, weil jede Hose mit jedem Shirt geht – das Baumdiagramm zeigt jeden Weg. Beim Zufall zählt man günstige gegen alle Möglichkeiten.

Baumdiagramm: 2 Hosen, an jeder 3 Shirts – 2 mal 3 sind 6 WegeHose 1Hose 2Shirt AShirt BShirt CShirt AShirt BShirt C2 · 3 = 6Outfits

WeiterdenkenDenk nach

Warum sind 2 Hosen und 3 Shirts nicht 5 Outfits?

1Ich werte Tabellen und Diagramme aus und stelle Fragen dazu.

EntdeckenFrage

Wie viele Outfits gibt es mit 3 Hosen und 4 T-Shirts?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwölf – jede Hose mit jedem Shirt. Mit 2 Paar Schuhen dazu sind es 24: Möglichkeiten multiplizieren sich, sie addieren sich nicht.

EntdeckenDaten als Türme

Das brauchst du: Tabelle und Steckwürfel

Bau für jede Zeile der Tabelle einen Turm aus Steckwürfeln.

Mach die Augen zu. Welche Frage beantwortet der Vergleich der Türme?

MerkenAuswerten

Daten auswerten heißt rechnen: Gesamtzahl durch Addieren, Unterschied durch Subtrahieren, Anteil durch die Frage, wie viele von allen es sind.

BeispielSäulendiagramm mit Maßstab

Umfrage beim Schulfest der Klasse 4b. Ein Kästchen sind 2 Kinder. Wie viele Kinder wählten Tanzen?
048121620FußballSchwimmenTanzenTurnen
Schritt für Schritt
  1. Die Säule Tanzen ist 9 Kästchen hoch
  2. 9 · 2 = 18
  1. Die Säule Tanzen ist 9 Kästchen hoch
  2. 9 · 2 = 18
Ergebnis:
18

AchtungKästchen gezählt statt Skala gelesen

So nicht
Säule bis zur 2. Linie, Schritt 2 → 2 Kinder
So richtig
Säule bis zur 2. Linie, Schritt 2 → 4 Kinder

Lies an der Achse ab, wie viel ein Kästchen wert ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Umfrage im Hort der Klasse 4a. Ein Kästchen sind 2 Kinder. Wie viele Kinder wählten Reis?
    048121620PizzaNudelnSuppeReis
    So fängst du an:
    Die Säule Reis ist 2 Kästchen hoch
    Lösung zeigen
    1. Die Säule Reis ist 2 Kästchen hoch
    2. 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    4
  2. ●2
    Umfrage in der Sportgruppe der Klasse 3d. Ein Kästchen sind 10 Kinder. Wie viele Kinder wählten Hase?
    020406080100HundKatzeHasePferd
    Lösung zeigen
    1. Die Säule Hase ist 3 Kästchen hoch
    2. 3 · 10 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ★3
    Ein Kästchen sind 2 Kinder. 18 Kinder wählten Tanzen. Wie viele Kästchen hoch wird die Säule?
    0481216FußballSchwimmen?TanzenTurnen
    Lösung zeigen
    1. Je 2 Kinder ein Kästchen
    2. 18 : 2 = 9
    Ergebnis:
    9

2Ich zähle Möglichkeiten systematisch (Baum, Tabelle).

EntdeckenFrage

Warum gewinnt beim Lotto fast nie jemand, den du kennst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs Richtige aus 49 haben fast 14 Millionen Möglichkeiten – eine davon gewinnt. Wer jede Woche spielt, wartet im Schnitt über 260 000 Jahre auf den Sechser.

EntdeckenJedes mit jedem

Das brauchst du: Karten mit Hosen und Shirts

Leg 2 Hosenkarten und 3 Shirtkarten hin. Leg jede Hose mit jedem Shirt.

Mach die Augen zu. Wie viele Paare sind es mit 3 Hosen?

MerkenKombinieren

3 Shirts, 2 Hosen: 3 · 2 = 6 Outfits. Baum zeichnen, damit keins fehlt.

BeispielKombinieren: Wie viele Möglichkeiten?

Beim Mittagessen gibt es 2 Hauptgerichte und 3 Nachtische. Wie viele verschiedene Menüs sind möglich?
122 · 3
Schritt für Schritt
  1. Zu jedem Hauptgericht passt jeder Nachtisch
  2. 2 · 3 = 6
  1. Zu jedem Hauptgericht passt jeder Nachtisch
  2. 2 · 3 = 6
Ergebnis:
6 Menüs

AchtungMöglichkeiten doppelt oder vergessen

So nicht
2 Hosen, 3 Shirts = 2 + 3 = 5 Outfits
So richtig
2 Hosen, 3 Shirts = 2 · 3 = 6 Outfits  (jede Hose mit jedem Shirt)

Systematisch: erst alle mit Shirt 1, dann Shirt 2 …

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Von zu Hause zur Schule gibt es 5 Wege bis zum Park und von dort 2 Wege weiter. Wie viele Wege gibt es insgesamt?
    12345 · 2
    So fängst du an:
    Jeder erste Weg lässt sich mit jedem zweiten verbinden
    Lösung zeigen
    1. Jeder erste Weg lässt sich mit jedem zweiten verbinden
    2. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10 Wege
  2. ●5
    Du hast die Ziffernkarten 2, 5, 8. Wie viele verschiedene zweistelligen Zahlen kannst du legen, wenn jede Karte nur einmal benutzt wird?
    Lösung zeigen
    1. Für die Zehnerstelle 3 Karten, dann bleiben 2 für die Einer
    2. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6 Zahlen
  3. ★6
    2 T-Shirts und 3 Hosen und 3 Paar Schuhe. Wie viele verschiedene Outfits gibt es?
    122 · 3
    Lösung zeigen
    1. Zu jedem T-Shirt passen 3 Hosen, dazu je 3 Schuhe
    2. 2 · 3 · 3 = 18
    Ergebnis:
    18 Outfits

3Ich vergleiche Gewinnchancen und begründe.

EntdeckenFrage

Was gelingt leichter: mit einem Würfel eine 6 oder mit zwei Würfeln zusammen 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 6 mit einem Würfel, sie kommt in einem von sechs Würfen. Für die 12 braucht es zwei Sechsen gleichzeitig, und das ist nur einer von 36 Fällen.

EntdeckenChancen vergleichen

Das brauchst du: Dose mit Kugeln

Leg 2 rote und 6 blaue Kugeln in die Dose. Zieh 20 Mal und leg jedes Mal zurück.

Mach die Augen zu. Wie müsste die Dose sein, damit Rot gleich oft kommt?

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenChancen

Gewinnchance = günstige Kugeln von allen. 2 von 5 ist besser als 2 von 8.

BeispielZufall: sicher, möglich, unmöglich

In der Dose sind zwei rote Kugeln und vier blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
Schritt für Schritt
  1. rot: möglich (es gibt rote)
  2. grün: unmöglich (keine grüne)
  1. rot: möglich (es gibt rote)
  2. grün: unmöglich (keine grüne)
Ergebnis:
rot möglich · grün unmöglich

AchtungZufall

So nicht
Nach 5-mal Kopf = jetzt kommt Zahl
So richtig
Nach 5-mal Kopf: Kopf und Zahl = je 1 von 2, wie immer

Der Würfel hat kein Gedächtnis – 20-mal würfeln lassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    In der Dose sind drei rote Kugeln und zwei blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
    So fängst du an:
    rot: möglich (es gibt rote)
    Lösung zeigen
    1. rot: möglich (es gibt rote)
    2. grün: unmöglich (keine grüne)
    Ergebnis:
    rot möglich · grün unmöglich
  2. ●8
    In der Dose sind drei rote Kugeln und fünf blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
    Lösung zeigen
    1. rot: möglich (es gibt rote)
    2. grün: unmöglich (keine grüne)
    Ergebnis:
    rot möglich · grün unmöglich
  3. ★9
    In der Dose sind vier rote Kugeln und zwei blaue Kugeln. Welche Farbe ziehst du wahrscheinlicher? Begründe mit den Zahlen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    rot (4 von 6)

4Ich führe Zufallsexperimente durch und werte sie aus.

EntdeckenFrage

Wenn du 60-mal würfelst – kommt dann jede Zahl genau zehnmal?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast nie. Im Mittel sind es zehn, aber jede einzelne Reihe sieht anders aus. Je länger die Reihe wird, desto näher kommen die Anteile an ein Sechstel heran.

EntdeckenEin Zufallsversuch

Das brauchst du: Würfel und Strichliste

Würfle 30 Mal. Mach für jede Zahl eine Strichliste.

Mach die Augen zu. Was passiert bei 300 Würfen?

MerkenExperiment

Ein Zufallsexperiment wiederholst du oft und führst eine Strichliste.

Am Ende vergleichst du, was erwartet war und was herauskam.

BeispielZufall: sicher, möglich, unmöglich

In der Dose sind vier rote Kugeln und vier blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
Schritt für Schritt
  1. rot: möglich (es gibt rote)
  2. grün: unmöglich (keine grüne)
  1. rot: möglich (es gibt rote)
  2. grün: unmöglich (keine grüne)
Ergebnis:
rot möglich · grün unmöglich

AchtungNoch einmal: Zufall

So nicht
Nach 5-mal Kopf = jetzt kommt Zahl
So richtig
Nach 5-mal Kopf: Kopf und Zahl = je 1 von 2, wie immer

Der Würfel hat kein Gedächtnis – 20-mal würfeln lassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Dose sind zwei rote Kugeln und fünf blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
    So fängst du an:
    rot: möglich (es gibt rote)
    Lösung zeigen
    1. rot: möglich (es gibt rote)
    2. grün: unmöglich (keine grüne)
    Ergebnis:
    rot möglich · grün unmöglich
  2. ●11
    In der Dose sind zwei rote Kugeln und drei blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
    Lösung zeigen
    1. rot: möglich (es gibt rote)
    2. grün: unmöglich (keine grüne)
    Ergebnis:
    rot möglich · grün unmöglich
  3. ★12
    In der Dose sind drei rote Kugeln und eine blaue Kugel. Welche Farbe ziehst du wahrscheinlicher? Begründe mit den Zahlen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    rot (3 von 4)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●13
    Lieblingsfarben der Klasse. Welche Farbe wurde am häufigsten genannt? Wie oft?
    5Rot2Blau2Grün2Gelb
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Rot (5)
  2. ●14
    Du hast die Ziffernkarten 1, 7, 8. Wie viele verschiedene zweistelligen Zahlen kannst du legen, wenn jede Karte nur einmal benutzt wird?
    Lösung zeigen
    1. Für die Zehnerstelle 3 Karten, dann bleiben 2 für die Einer
    2. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6 Zahlen
  3. ●15
    In der Dose sind vier rote Kugeln und fünf blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
    Lösung zeigen
    1. rot: möglich (es gibt rote)
    2. grün: unmöglich (keine grüne)
    Ergebnis:
    rot möglich · grün unmöglich
  4. ●16
    Schulweg der Klasse 4a: Welcher Weg wurde am häufigsten genannt, wie oft?
    5zu Fuß2Rad2Bus8Auto
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Auto (8)
  5. ●17
    Umfrage in der Klasse 3b. Ein Kästchen sind 2 Kinder. Wie viele Kinder wählten Hund?
    0481216HundKatzeHasePferd
    Lösung zeigen
    1. Die Säule Hund ist 2 Kästchen hoch
    2. 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    4
  6. ●18
    3 Kinder klatschen sich nach dem Spiel ab. Jedes Kind klatscht mit jedem anderen genau einmal ab. Wie oft wird geklatscht?
    ABC
    Lösung zeigen
    1. A mit 2 anderen, B mit 1 neuen, und so weiter
    2. 2 + 1 = 3
    Ergebnis:
    3

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Auswerten
Daten auswerten heißt rechnen: Gesamtzahl durch Addieren, Unterschied durch Subtrahieren, Anteil durch die Frage, wie viele von allen es sind.
Kombinieren
3 Shirts, 2 Hosen: 3 · 2 = 6 Outfits. Baum zeichnen, damit keins fehlt.
Chancen
Gewinnchance = günstige Kugeln von allen. 2 von 5 ist besser als 2 von 8.
Experiment
Ein Zufallsexperiment wiederholst du oft und führst eine Strichliste.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich werte Tabellen und Diagramme aus und stelle Fragen dazu.

    19
    Umfrage in der Sportgruppe der Klasse 4c. Ein Kästchen sind 2 Kinder. Wie viele Kinder wählten Turnen?
    0481216FußballSchwimmenTanzenTurnen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4

  2. Ich zähle Möglichkeiten systematisch (Baum, Tabelle).

    20
    In der Eisdiele gibt es 3 Eissorten und 2 Waffelarten. Wie viele verschiedene Eis kannst du bestellen?
    1233 · 2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 verschiedene Eis

  3. Ich vergleiche Gewinnchancen und begründe.

    21
    In der Dose sind fünf rote Kugeln und drei blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    rot möglich · grün unmöglich

  4. Ich führe Zufallsexperimente durch und werte sie aus.

    22
    In der Dose sind fünf rote Kugeln und zwei blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    rot möglich · grün unmöglich

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Du hast 3 T-Shirts und 4 Hosen. Wie viele verschiedene Kombinationen kannst du anziehen? Schreib alle auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Das Baumdiagramm: Möglichkeiten vollständig zählen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Würfeln, Glücksrad, Wahrscheinlich oder sicher?

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile
Zufallsexperiment
ein Versuch, dessen Ausgang man nicht vorher weiß

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten sammeln, Tabellen, Diagramme, Zufall

Darauf baut auf: Daten und Zufall, Systematisch zählen

Lösungen

  1. 4
  2. 30
  3. 9
  4. 10 Wege
  5. 6 Zahlen
  6. 18 Outfits
  7. rot möglich · grün unmöglich
  8. rot möglich · grün unmöglich
  9. rot (4 von 6)
  10. rot möglich · grün unmöglich
  11. rot möglich · grün unmöglich
  12. rot (3 von 4)
  13. Rot (5)
  14. 6 Zahlen
  15. rot möglich · grün unmöglich
  16. Auto (8)
  17. 4
  18. 3
  19. 4
  20. 6 verschiedene Eis
  21. rot möglich · grün unmöglich
  22. rot möglich · grün unmöglich
  23. 17 Kinder
  24. unmöglich