Mathematik · Klasse 12 · Kapitel

e-Funktion und Logarithmus

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Nach wie vielen Jahren hat sich ein Kapital bei 3 % verdoppelt? Löse 1,03 hoch x = 2 – ohne Logarithmus.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Probieren liefert zwischen 23 und 24, dann 23,4 oder 23,5 – jede weitere Stelle kostet Minuten. Die Klasse braucht die Umkehrung. x = ln(2) : ln(1,03) ≈ 23,45. Der Logarithmus holt den Exponenten herunter – exakt, in einer Zeile.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Wachstum mit festem Faktor: Jeder Schritt multipliziert, nicht addiert.

●40
Eine Bakterienkultur mit 2000 Zellen wächst um 20 % pro Stunde. Berechne, wie viele Zellen es nach 2 Stunden sind.
Lösung zeigen
1. Wachstumsfaktor q = 1 + 20100 = 1,2
2. B(t) = 2000 · 1,2²
3. ≈ 2.880
Ergebnis:
≈ 2.880 Zellen
●41
Eine Bakterienkultur mit 4000 Zellen wächst um 20 % pro Stunde. Berechne, wie viele Zellen es nach 4 Stunden sind.
Lösung zeigen
1. Wachstumsfaktor q = 1 + 20100 = 1,2
2. B(t) = 4000 · 1,2⁴
3. ≈ 8.294
Ergebnis:
≈ 8.294 Zellen

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Funktion, die ihre eigene Ableitung ist

eˣ wächst in jedem Punkt genau so schnell, wie sie groß ist. Genau das macht sie zur Beschreibung von allem, was proportional zum Bestand wächst oder zerfällt.

WeiterdenkenDenk nach

Warum taucht e bei Zinsen, Zerfall und Bevölkerungswachstum gleichermaßen auf?

1Ich kenne die e-Funktion und ihre besondere Ableitung.

EntdeckenFrage

Warum ist die Zahl e überall – von Bankzinsen bis zum Zerfall?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil e hoch x die einzige Funktion ist, die ihrer eigenen Steigung gleicht: Wachstum, das von sich selbst abhängt, landet immer bei e. Bernoulli fand sie 1683 beim Zinseszins mit immer kürzeren Zinsperioden.

Merkene-Funktion

f(x) = eˣ ist die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist. e ≈ 2,718.

Eselsbrücke: e-Funktion: die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist – (eˣ)' = eˣ

Beispiele-Funktion ableiten

Bestimme f'(x) für f(x) = 5 · e^0,5x

Schritt für Schritt

Kettenregel: innere Ableitung 0,5
f'(x) = 2,5 · e^0,5x

Kettenregel: innere Ableitung 0,5
f'(x) = 2,5 · e^0,5x

Ergebnis:

f'(x) = 2,5e^0,5x

Achtunge-Funktion wie Potenz abgeleitet

So nicht

f(x) = e^(3x), f'(x) = 3x · e^(3x − 1)

So richtig

f(x) = e^(3x), f'(x) = 3 · e^(3x)  (die e-Funktion bleibt, k kommt davor)

Nicht x · e^(x−1)! Die e-Funktion bleibt, nur der Faktor k kommt davor.

ÜbenJetzt du

○1
Bestimme f'(x) für f(x) = e^−0,5x
So fängst du an:
Kettenregel: innere Ableitung −0,5
Lösung zeigen
1. Kettenregel: innere Ableitung −0,5
2. f'(x) = −0,5 · e^−0,5x
Ergebnis:
f'(x) = −0,5e^−0,5x
●2
Bestimme f'(x) für f(x) = 4 · e^−0,5x
Lösung zeigen
1. Kettenregel: innere Ableitung −0,5
2. f'(x) = −2 · e^−0,5x
Ergebnis:
f'(x) = −2e^−0,5x
★3
Bestimme f'(x) für f(x) = (x + 4) · e^2x
Lösung zeigen
1. Produktregel: u = x + 4, v = e^2x
2. f' = 1 · e^2x + (x + 4) · 2e^2x
3. = e^2x · (2x + 9)
Ergebnis:
f'(x) = e^2x(2x + 9)

2Ich leite e-Funktionen mit Kettenregel ab.

EntdeckenFrage

Warum bleibt beim Ableiten von e hoch 2x doch nicht alles beim Alten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die innere Funktion doppelt so schnell läuft. Ihre Ableitung 2 kommt als Faktor nach vorn – e hoch 2x wächst in jedem Augenblick doppelt so schnell wie e hoch x.

Merkene-Funktion ableiten

(e^(kx))' = k · e^(kx) – die innere Ableitung k kommt als Faktor davor.

Beispiele-Funktion ableiten

Bestimme f'(x) für f(x) = e^−2x

Schritt für Schritt

Kettenregel: innere Ableitung −2
f'(x) = −2 · e^−2x

Kettenregel: innere Ableitung −2
f'(x) = −2 · e^−2x

Ergebnis:

f'(x) = −2e^−2x

AchtungNoch einmal: e-Funktion wie Potenz abgeleitet

So nicht

f(x) = e^(3x), f'(x) = 3x · e^(3x − 1)

So richtig

f(x) = e^(3x), f'(x) = 3 · e^(3x)  (die e-Funktion bleibt, k kommt davor)

Nicht x · e^(x−1)! Die e-Funktion bleibt, nur der Faktor k kommt davor.

ÜbenJetzt du

○4
Bestimme f'(x) für f(x) = e^3x
So fängst du an:
Kettenregel: innere Ableitung 3
Lösung zeigen
1. Kettenregel: innere Ableitung 3
2. f'(x) = 3 · e^3x
Ergebnis:
f'(x) = 3e^3x
●5
Bestimme f'(x) für f(x) = 5 · e^2x
Lösung zeigen
1. Kettenregel: innere Ableitung 2
2. f'(x) = 10 · e^2x
Ergebnis:
f'(x) = 10e^2x
★6
Bestimme f'(x) für f(x) = (x + 4) · e^−0,5x
Lösung zeigen
1. Produktregel: u = x + 4, v = e^−0,5x
2. f' = 1 · e^−0,5x + (x + 4) · (−0,5)e^−0,5x
3. = e^−0,5x · (−0,5x − 1)
Ergebnis:
f'(x) = e^−0,5x(−0,5x − 1)

3Ich leite Produkte aus Polynom und e-Funktion ab.

EntdeckenFrage

Warum steigt der Wirkstoffspiegel eines Medikaments erst an und fällt dann wieder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Aufnahme und Abbau gleichzeitig laufen. Das Modell ist ein Produkt aus einem wachsenden und einem fallenden Teil; der höchste Punkt liegt dort, wo beide sich die Waage halten.

MerkenProdukt mit e-Funktion

Produktregel, dann e^(kx) ausklammern – so sieht man die Nullstellen.

BeispielProdukt- und Kettenregel

Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (3x + 2)⁴

Schritt für Schritt

äußere Funktion u⁴, innere u = 3x + 2
f'(x) = 4 · (3x + 2)³ · 3 = 12 · (3x + 2)³

äußere Funktion u⁴, innere u = 3x + 2
f'(x) = 4 · (3x + 2)³ · 3 = 12 · (3x + 2)³

Ergebnis:

f'(x) = 12(3x + 2)³

ÜbenJetzt du

○7
Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (4x + 1)²
So fängst du an:
äußere Funktion u², innere u = 4x + 1
Lösung zeigen
1. äußere Funktion u², innere u = 4x + 1
2. f'(x) = 2 · (4x + 1) · 4 = 8 · (4x + 1)
Ergebnis:
f'(x) = 8(4x + 1)
●8
Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (4x + 2)²
Lösung zeigen
1. äußere Funktion u², innere u = 4x + 2
2. f'(x) = 2 · (4x + 2) · 4 = 8 · (4x + 2)
Ergebnis:
f'(x) = 8(4x + 2)
★9
Bestimme mit der Produktregel f'(x) für f(x) = x³ · e^3x
Lösung zeigen
1. u = x³, u' = 3x²; v = e^3x, v' = 3e^3x
2. f' = u'v + uv' = 3x²e^3x + 3x³e^3x
3. ausklammern: x²e^3x(3 + 3x)
Ergebnis:
f'(x) = x² · e^3x · (3x + 3)

4Ich löse Exponentialgleichungen mit dem natürlichen Logarithmus.

EntdeckenFrage

Wie lange braucht eine Bakterienkultur bis zur Verdopplung – ohne Probieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man löst die Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus: Aus 2 gleich e hoch kt folgt t gleich ln 2 durch k. Der Logarithmus macht das Potenzieren rückgängig.

MerkenExponentialgleichung mit ln

ln ist die Umkehrung von e: e^(kx) = c → kx = ln c.

BeispielExponentialgleichung mit ln

Löse: e^2x = 10

Schritt für Schritt

ln auf beiden Seiten: 2x = ln(10) ≈ 2,303
x = ln(10) : 2 ≈ 1,15

ln auf beiden Seiten: 2x = ln(10) ≈ 2,303
x = ln(10) : 2 ≈ 1,15

Ergebnis:

x ≈ 1,15

Achtungln falsch angewandt

So nicht

e^(2x) = 10, also 2x = e^10

So richtig

e^(2x) = 10, also 2x = ln 10, x = ln 10 : 2 ≈ 1,15

ln(e^(kx)) = kx – nicht e^(kx) = ln c.

ÜbenJetzt du

○10
Löse: e^0,5x = 10
So fängst du an:
ln auf beiden Seiten: 0,5x = ln(10) ≈ 2,303
Lösung zeigen
1. ln auf beiden Seiten: 0,5x = ln(10) ≈ 2,303
2. x = ln(10) : 0,5 ≈ 4,61
Ergebnis:
x ≈ 4,61
●11
Löse: e^0,2x = 10
Lösung zeigen
1. ln auf beiden Seiten: 0,2x = ln(10) ≈ 2,303
2. x = ln(10) : 0,2 ≈ 11,51
Ergebnis:
x ≈ 11,51
★12
Löse: e^0,5x = 50 (auf zwei Nachkommastellen)
Lösung zeigen
1. ln auf beiden Seiten: 0,5x = ln(50) ≈ 3,912
2. x = ln(50) : 0,5 ≈ 7,82
Ergebnis:
x ≈ 7,82

5Ich berechne Halbwerts- und Verdopplungszeiten.

EntdeckenFrage

Woher weiß man, dass Ötzi vor rund 5300 Jahren gelebt hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Aus dem Zerfall von Kohlenstoff 14 mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Aus dem Restanteil ergibt sich das Alter; die Methode brachte Willard Libby 1960 den Nobelpreis.

MerkenHalbwertszeit

Halbwertszeit T = ln 2 : k (Zerfall), Verdopplungszeit ebenso ln 2 : k (Wachstum).

BeispielHalbwertszeit

Cäsium-137 hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Von 100 mg sind nach 60 Jahren noch wie viel übrig?

Schritt für Schritt

60 : 30 = 2 Halbwertszeiten
Jedes Mal die Hälfte: 100 → 50 → 25
Übrig: 25 mg

60 : 30 = 2 Halbwertszeiten
Jedes Mal die Hälfte: 100 → 50 → 25
Übrig: 25 mg

Ergebnis:

25 mg

AchtungLinear statt exponentiell fortgeschrieben

So nicht

100 mit 10 % zwei Jahre → 100 + 10 + 10 = 120

So richtig

100 mit 10 % zwei Jahre → 100 · 1,1 · 1,1 = 121

Rechne Schritt für Schritt mit dem neuen Wert weiter.

ÜbenJetzt du

○13
Cäsium-137 hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Von 100 mg sind nach 120 Jahren noch wie viel übrig?
So fängst du an:
120 : 30 = 4 Halbwertszeiten
Lösung zeigen
1. 120 : 30 = 4 Halbwertszeiten
2. Jedes Mal die Hälfte: 100 → 50 → 25 → 12,5 → 6,25
3. Übrig: 6,25 mg
Ergebnis:
6,25 mg
●14
Iod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Von 160 mg sind nach 16 Tagen noch wie viel übrig?
Lösung zeigen
1. 16 : 8 = 2 Halbwertszeiten
2. Jedes Mal die Hälfte: 160 → 80 → 40
3. Übrig: 40 mg
Ergebnis:
40 mg
★15
Technetium-99m hat eine Halbwertszeit von 6 Stunden. Von 80 mg sind nach 24 Stunden noch wie viel übrig?
Lösung zeigen
1. 24 : 6 = 4 Halbwertszeiten
2. Jedes Mal die Hälfte: 80 → 40 → 20 → 10 → 5
3. Übrig: 5 mg
Ergebnis:
5 mg

6Ich modelliere Wachstum und Zerfall mit e-Funktionen.

EntdeckenFrage

Wie viel Luftdruck ist auf dem Gipfel der Zugspitze noch übrig?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Luftdruck nimmt mit der Höhe ungefähr nach p(h) = 1013 hPa · e^(−h : 8 km) ab. Für 2962 m ergibt das 1013 · e^(−0,37) ≈ 700 hPa. Das sind gut zwei Drittel des Drucks am Meer.

MerkenModellieren

N(t) = N₀ · e^(kt): N₀ Startwert, k > 0 Wachstum, k < 0 Zerfall.

BeispielWachstum modellieren

Eine Kultur wächst exponentiell: von 100 auf 800 Zellen in 5 Stunden. Stelle N(t) = N₀ · e^kt auf und berechne den Bestand nach 10 Stunden.

Schritt für Schritt

N₀ = 100
800 = 100 · e^5k → e^5k = 8
k = ln(8) / 5 ≈ 0,4159
N(10) = 100 · e^{0,4159 · 10} ≈ 6400

N₀ = 100
800 = 100 · e^5k → e^5k = 8
k = ln(8) / 5 ≈ 0,4159
N(10) = 100 · e^{0,4159 · 10} ≈ 6400

Ergebnis:

k ≈ 0,4159, N(10) ≈ 6400

AchtungNoch einmal: ln falsch angewandt

So nicht

e^(2x) = 10, also 2x = e^10

So richtig

e^(2x) = 10, also 2x = ln 10, x = ln 10 : 2 ≈ 1,15

ln(e^(kx)) = kx – nicht e^(kx) = ln c.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Kultur wächst exponentiell: von 100 auf 400 Zellen in 4 Stunden. Stelle N(t) = N₀ · e^kt auf und berechne den Bestand nach 8 Stunden.
So fängst du an:
N₀ = 100
Lösung zeigen
1. N₀ = 100
2. 400 = 100 · e^4k → e^4k = 4
3. k = ln(4) / 4 ≈ 0,3466
4. N(8) = 100 · e^{0,3466 · 8} ≈ 1600
Ergebnis:
k ≈ 0,3466, N(8) ≈ 1600
●17
Eine Kultur wächst exponentiell: von 200 auf 800 Zellen in 4 Stunden. Stelle N(t) = N₀ · e^kt auf und berechne den Bestand nach 8 Stunden.
Lösung zeigen
1. N₀ = 200
2. 800 = 200 · e^4k → e^4k = 4
3. k = ln(4) / 4 ≈ 0,3466
4. N(8) = 200 · e^{0,3466 · 8} ≈ 3200
Ergebnis:
k ≈ 0,3466, N(8) ≈ 3200
★18
Eine Kultur wächst exponentiell: von 200 auf 1600 Zellen in 3 Stunden. Stelle N(t) = N₀ · e^kt auf und berechne den Bestand nach 6 Stunden.
Lösung zeigen
1. N₀ = 200
2. 1600 = 200 · e^3k → e^3k = 8
3. k = ln(8) / 3 ≈ 0,6931
4. N(6) = 200 · e^{0,6931 · 6} ≈ 12.800
Ergebnis:
k ≈ 0,6931, N(6) ≈ 12.800

7Ich untersuche Graphen von e-Funktionen (Extrema, Asymptoten).

EntdeckenFrage

Wo liegt der höchste Punkt von x · e^(−x), und warum erreicht der Graph danach nie wieder null?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Ableitung ist f′(x) = (1 − x) · e^(−x). Sie ist null bei x = 1 und wechselt dort von plus nach minus. Der Hochpunkt ist (1|1/e), also etwa (1|0,37). Für x > 0 sind beide Faktoren positiv, und e^(−x) schrumpft schneller, als x wächst: Die x-Achse ist Asymptote.

MerkenAsymptote

e^(kx) wird nie 0 – die x-Achse ist Asymptote; Nullstellen liefert nur der Polynom-Faktor.

BeispielExtrempunkt einer e-Funktion

Bestimme den Extrempunkt von f(x) = 2x · e^−x.

Schritt für Schritt

Produktregel: f'(x) = 2 · e^−x + 2x · (−1)e^−x
ausklammern: f'(x) = 2e^−x(1 − x)
e^−x ≠ 0, also 1 − x = 0 → x = 1
f(1) = 21 · e⁻¹ ≈ 0,736
Vorzeichenwechsel von + nach − → Hochpunkt

Produktregel: f'(x) = 2 · e^−x + 2x · (−1)e^−x
ausklammern: f'(x) = 2e^−x(1 − x)
e^−x ≠ 0, also 1 − x = 0 → x = 1
f(1) = 21 · e⁻¹ ≈ 0,736
Vorzeichenwechsel von + nach − → Hochpunkt

Ergebnis:

Hochpunkt H(1 | ≈ 0,736)

ÜbenJetzt du

○19
Bestimme den Extrempunkt von f(x) = x · e^−4x.
So fängst du an:
Produktregel: f'(x) = 1 · e^−4x + x · (−4)e^−4x
Lösung zeigen
1. Produktregel: f'(x) = 1 · e^−4x + x · (−4)e^−4x
2. ausklammern: f'(x) = 1e^−4x(1 − 4x)
3. e^−4x ≠ 0, also 1 − 4x = 0 → x = 0,25
4. f(0,25) = 0,25 · e⁻¹ ≈ 0,092
5. Vorzeichenwechsel von + nach − → Hochpunkt
Ergebnis:
Hochpunkt H(0,25 | ≈ 0,092)
●20
Bestimme den Extrempunkt von f(x) = 3x · e^−x.
Lösung zeigen
1. Produktregel: f'(x) = 3 · e^−x + 3x · (−1)e^−x
2. ausklammern: f'(x) = 3e^−x(1 − x)
3. e^−x ≠ 0, also 1 − x = 0 → x = 1
4. f(1) = 31 · e⁻¹ ≈ 1,104
5. Vorzeichenwechsel von + nach − → Hochpunkt
Ergebnis:
Hochpunkt H(1 | ≈ 1,104)
★21
Bestimme den Extrempunkt von f(x) = 5x · e^−4x.
Lösung zeigen
1. Produktregel: f'(x) = 5 · e^−4x + 5x · (−4)e^−4x
2. ausklammern: f'(x) = 5e^−4x(1 − 4x)
3. e^−4x ≠ 0, also 1 − 4x = 0 → x = 0,25
4. f(0,25) = 50,25 · e⁻¹ ≈ 0,46
5. Vorzeichenwechsel von + nach − → Hochpunkt
Ergebnis:
Hochpunkt H(0,25 | ≈ 0,46)

8Ich integriere e-Funktionen (Vertiefung).

EntdeckenFrage

Der Graph von e^(−x) läuft unendlich weit nach rechts. Ist die Fläche darunter dann unendlich groß?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Stammfunktion ist −e^(−x). Von 0 bis b ergibt das 1 − e^(−b). Für wachsendes b geht e^(−b) gegen 0. Die Fläche bleibt also unter 1 und nähert sich 1, obwohl der Graph nie endet.

Merkene-Funktion integrieren

∫ e^(kx) dx = 1/k · e^(kx) + C – die Umkehrung der Kettenregel: durch die innere Ableitung teilen.

Beispiele-Funktion integrieren

Berechne ∫₀² e^−2x dx

Schritt für Schritt

Stammfunktion: F(x) = ¹⁄₋₂ · e^−2x
F(2) − F(0) = ¹⁄₋₂ · (e⁻⁴ − 1)
≈ 0,491

Stammfunktion: F(x) = ¹⁄₋₂ · e^−2x
F(2) − F(0) = ¹⁄₋₂ · (e⁻⁴ − 1)
≈ 0,491

Ergebnis:

≈ 0,491

ÜbenJetzt du

○22
Berechne ∫₀¹ e^−x dx
So fängst du an:
Stammfunktion: F(x) = −e^−x
Lösung zeigen
1. Stammfunktion: F(x) = −e^−x
2. F(1) − F(0) = −(e⁻¹ − 1)
3. ≈ 0,632
Ergebnis:
≈ 0,632
●23
Berechne ∫₀¹ e^−2x dx
Lösung zeigen
1. Stammfunktion: F(x) = ¹⁄₋₂ · e^−2x
2. F(1) − F(0) = ¹⁄₋₂ · (e⁻² − 1)
3. ≈ 0,432
Ergebnis:
≈ 0,432
★24
Berechne ∫₀² e^−x dx
Lösung zeigen
1. Stammfunktion: F(x) = −e^−x
2. F(2) − F(0) = −(e⁻² − 1)
3. ≈ 0,865
Ergebnis:
≈ 0,865

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Löse: e^2x = 50
Lösung zeigen
1. ln auf beiden Seiten: 2x = ln(50) ≈ 3,912
2. x = ln(50) : 2 ≈ 1,96
Ergebnis:
x ≈ 1,96
●26
Cobalt-60 hat eine Halbwertszeit von 5 Jahren. Von 80 mg sind nach 20 Jahren noch wie viel übrig?
Lösung zeigen
1. 20 : 5 = 4 Halbwertszeiten
2. Jedes Mal die Hälfte: 80 → 40 → 20 → 10 → 5
3. Übrig: 5 mg
Ergebnis:
5 mg
●27
Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (5x + 4)³
Lösung zeigen
1. äußere Funktion u³, innere u = 5x + 4
2. f'(x) = 3 · (5x + 4)² · 5 = 15 · (5x + 4)²
Ergebnis:
f'(x) = 15(5x + 4)²
●28
Eine Kultur wächst exponentiell: von 500 auf 4000 Zellen in 5 Stunden. Stelle N(t) = N₀ · e^kt auf und berechne den Bestand nach 10 Stunden.
Lösung zeigen
1. N₀ = 500
2. 4000 = 500 · e^5k → e^5k = 8
3. k = ln(8) / 5 ≈ 0,4159
4. N(10) = 500 · e^{0,4159 · 10} ≈ 32.000
Ergebnis:
k ≈ 0,4159, N(10) ≈ 32.000
●29
Bestimme den Extrempunkt von f(x) = x · e^−3x.
Lösung zeigen
1. Produktregel: f'(x) = 1 · e^−3x + x · (−3)e^−3x
2. ausklammern: f'(x) = 1e^−3x(1 − 3x)
3. e^−3x ≠ 0, also 1 − 3x = 0 → x = 0,333
4. f(0,333) = 0,333 · e⁻¹ ≈ 0,123
5. Vorzeichenwechsel von + nach − → Hochpunkt
Ergebnis:
Hochpunkt H(13 | ≈ 0,123)
●30
Löse: e^0,1x = 20
Lösung zeigen
1. ln auf beiden Seiten: 0,1x = ln(20) ≈ 2,996
2. x = ln(20) : 0,1 ≈ 29,96
Ergebnis:
x ≈ 29,96

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

e-Funktion: f(x) = eˣ ist die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist. e ≈ 2,718.
e-Funktion ableiten: (e^(kx))' = k · e^(kx) – die innere Ableitung k kommt als Faktor davor.
Produkt mit e-Funktion: Produktregel, dann e^(kx) ausklammern – so sieht man die Nullstellen.
Exponentialgleichung mit ln: ln ist die Umkehrung von e: e^(kx) = c → kx = ln c.
Halbwertszeit: Halbwertszeit T = ln 2 : k (Zerfall), Verdopplungszeit ebenso ln 2 : k (Wachstum).
Modellieren: N(t) = N₀ · e^(kt): N₀ Startwert, k > 0 Wachstum, k < 0 Zerfall.
Asymptote: e^(kx) wird nie 0 – die x-Achse ist Asymptote; Nullstellen liefert nur der Polynom-Faktor.
e-Funktion integrieren: ∫ e^(kx) dx = 1/k · e^(kx) + C – die Umkehrung der Kettenregel: durch die innere Ableitung teilen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich kenne die e-Funktion und ihre besondere Ableitung.
31
Bestimme f'(x) für f(x) = 4 · e^−2x
Lösung zeigen
Ergebnis:
f'(x) = −8e^−2x
Ich leite e-Funktionen mit Kettenregel ab.
32
Bestimme f'(x) für f(x) = e^0,5x
Lösung zeigen
Ergebnis:
f'(x) = 0,5e^0,5x
Ich leite Produkte aus Polynom und e-Funktion ab.
33
Bestimme mit der Kettenregel f'(x) für f(x) = (3x + 2)³
Lösung zeigen
Ergebnis:
f'(x) = 9(3x + 2)²
Ich löse Exponentialgleichungen mit dem natürlichen Logarithmus.
34
Löse: e^3x = 5
Lösung zeigen
Ergebnis:
x ≈ 0,54
Ich berechne Halbwerts- und Verdopplungszeiten.
35
Cobalt-60 hat eine Halbwertszeit von 5 Jahren. Von 100 mg sind nach 10 Jahren noch wie viel übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 mg
Ich modelliere Wachstum und Zerfall mit e-Funktionen.
36
Eine Kultur wächst exponentiell: von 100 auf 800 Zellen in 3 Stunden. Stelle N(t) = N₀ · e^kt auf und berechne den Bestand nach 6 Stunden.
Lösung zeigen
Ergebnis:
k ≈ 0,6931, N(6) ≈ 6400
Ich untersuche Graphen von e-Funktionen (Extrema, Asymptoten).
37
Bestimme den Extrempunkt von f(x) = 3x · e^−x.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Hochpunkt H(1 | ≈ 1,104)
Ich integriere e-Funktionen (Vertiefung).
38
Berechne ∫₀² e^−2x dx
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 0,491
Ich bereite die Klausur vor.
39
Bestimme f'(x) für f(x) = 4 · e^3x
Lösung zeigen
Ergebnis:
f'(x) = 12e^3x

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Nach wie vielen Jahren hat sich ein Kapital bei 3 % verdoppelt? Löse 1,03 hoch x = 2 – ohne Logarithmus.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Logarithmus: die Umkehrung des Potenzierens.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Radioaktiver Zerfall, Kaffee kühlt ab, Zinseszins. Beruf: Medizin (Medikamentenabbau), Finanzen, Ökologie.

Wörter

Ableitung: wie schnell sich etwas an einer Stelle ändert
Ausklammern: den gemeinsamen Faktor vor die Klammer holen
Funktion: eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Nullstelle: wo der Graph die x-Achse trifft
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Exponentielles Wachstum, Potenzen und Wurzeln, Integralrechnung

Lösungen

f'(x) = −0,5e^−0,5x
f'(x) = −2e^−0,5x
f'(x) = e^2x(2x + 9)
f'(x) = 3e^3x
f'(x) = 10e^2x
f'(x) = e^−0,5x(−0,5x − 1)
f'(x) = 8(4x + 1)
f'(x) = 8(4x + 2)
f'(x) = x² · e^3x · (3x + 3)
x ≈ 4,61
x ≈ 11,51
x ≈ 7,82
6,25 mg
40 mg
5 mg
k ≈ 0,3466, N(8) ≈ 1600
k ≈ 0,3466, N(8) ≈ 3200
k ≈ 0,6931, N(6) ≈ 12.800
Hochpunkt H(0,25 | ≈ 0,092)
Hochpunkt H(1 | ≈ 1,104)
Hochpunkt H(0,25 | ≈ 0,46)
≈ 0,632
≈ 0,432
≈ 0,865
x ≈ 1,96
5 mg
f'(x) = 15(5x + 4)²
k ≈ 0,4159, N(10) ≈ 32.000
Hochpunkt H(13 | ≈ 0,123)
x ≈ 29,96
f'(x) = −8e^−2x
f'(x) = 0,5e^0,5x
f'(x) = 9(3x + 2)²
x ≈ 0,54
25 mg
k ≈ 0,6931, N(6) ≈ 6400
Hochpunkt H(1 | ≈ 1,104)
≈ 0,491
f'(x) = 12e^3x
≈ 2.880 Zellen
≈ 8.294 Zellen