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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Ganze Zahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Am Morgen sind es 3 Grad, bis Mitternacht wird es 8 Grad kälter. Wie warm ist es dann? Schreib es als Rechnung.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: 3 − 8 „geht nicht“ – das haben alle so gelernt. Aber das Thermometer zeigt etwas an. Die Klasse braucht Zahlen unter Null. Die Zahlengerade geht auch nach links weiter: −5. Damit geht 3 − 8, und das Thermometer hat recht.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Zahlen liegen auf einer Geraden, links ist kleiner – die Null ist ein Punkt, kein Ende.

  1. ●28
    Ordne der Größe nach (kleinste zuerst): 4175; 8318; 3585; 30.445
    Lösung zeigen
    1. Stellen zählen, dann von links vergleichen
    2. 3585 < 4175 < 8318 < 30.445
    Ergebnis:
    3585 < 4175 < 8318 < 30.445
  2. ●29
    Ordne der Größe nach (kleinste zuerst): 3275; 10.078; 2322; 50.871
    Lösung zeigen
    1. Stellen zählen, dann von links vergleichen
    2. 2322 < 3275 < 10.078 < 50.871
    Ergebnis:
    2322 < 3275 < 10.078 < 50.871

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenLinks von der Null geht es weiter

Die Zahlengerade hört bei Null nicht auf. Links davon stehen die Zahlen unter Null – kälter als 0 Grad, tiefer als der Meeresspiegel, Schulden statt Guthaben. Minus heißt: nach links gehen.

Zahlengerade von minus 5 bis 5: Links von der Null geht es weiter, minus heißt nach links−5−4−3−2−1012345minus: nach linkskälter, tiefer, Schuldenwärmer, höher, Guthaben

WeiterdenkenDenk nach

Ist −7 kälter oder wärmer als −2? Und wo landest du, wenn du von −2 noch drei Schritte nach links gehst?

1Ich kenne negative Zahlen aus Temperatur, Kontostand und Höhenangaben.

EntdeckenFrage

Wie kalt kann es überhaupt werden – gibt es ein Ende nach unten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja: minus 273,15 Grad, der absolute Nullpunkt. Nach oben gibt es keine Grenze, nach unten schon – deshalb beginnt die Kelvin-Skala bei null ohne Minus.

Ausprobieren: Zahlenstrahl mit Lupe

Einen Punkt setzen, hineinzoomen, hinauszoomen – ganze Zahlen, Dezimalzahlen, negative Zahlen.

MerkenTemperatur und Kontostand

Negative Zahlen gibt es überall: minus 5 Grad, Konto im Minus, 30 Meter unter dem Meer.

Das Minuszeichen sagt: unter Null.

BeispielTemperaturdifferenz

Morgens sind es −3 °C, mittags 3 °C. Berechne, um wie viel Grad sich die Temperatur geändert hat.
−4−3−2−101234+6−33
Schritt für Schritt
  1. Differenz: 3 − (−3) = 3 + 3
  2. = 6 °C wärmer
  1. Differenz: 3 − (−3) = 3 + 3
  2. = 6 °C wärmer
Ergebnis:
6 °C wärmer

AchtungMinus einer negativen Zahl übersehen

So nicht
12 − (−2) = 10
So richtig
12 − (−2) = 12 + 2 = 14

Schreib um: Minus einer negativen Zahl ist plus.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Morgens sind es −15 °C, mittags 10 °C. Berechne, um wie viel Grad sich die Temperatur geändert hat.
    So fängst du an:
    Differenz: 10 − (−15) = 10 + 15
    Lösung zeigen
    1. Differenz: 10 − (−15) = 10 + 15
    2. = 25 °C wärmer
    Ergebnis:
    25 °C wärmer
  2. ●2
    Morgens sind es −13 °C, mittags 11 °C. Berechne, um wie viel Grad sich die Temperatur geändert hat.
    Lösung zeigen
    1. Differenz: 11 − (−13) = 11 + 13
    2. = 24 °C wärmer
    Ergebnis:
    24 °C wärmer
  3. ★3
    Morgens sind es −10 °C, nachts −24 °C. Berechne, um wie viel Grad sich die Temperatur geändert hat.
    Lösung zeigen
    1. Differenz: −10 − (−24) = −10 + 24
    2. = 14 °C kälter
    Ergebnis:
    14 °C kälter

2Ich ordne ganze Zahlen auf der Zahlengeraden und vergleiche sie.

EntdeckenFrage

Ist −10 Grad kälter als −3 Grad, obwohl 10 größer ist als 3?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Auf der Zahlengeraden liegt −10 weiter links, also weiter unten auf dem Thermometer. Unterhalb der Null kehrt sich die gewohnte Reihenfolge um.

MerkenZahlen ordnen

Links von der Null stehen die negativen Zahlen.

Je weiter links, desto kleiner: −7 ist kleiner als −2.

BeispielRationale Zahlen ordnen

Ordne der Größe nach (kleinste zuerst): −1; 2; 0; −7; 5
−9−8−7−6−5−4−3−2−101234567−7−1025
Schritt für Schritt
  1. Negative Zahlen: je weiter links, desto kleiner
  2. −7 < −1 < 0 < 2 < 5
  1. Negative Zahlen: je weiter links, desto kleiner
  2. −7 < −1 < 0 < 2 < 5
Ergebnis:
−7 < −1 < 0 < 2 < 5

AchtungNegative Zahlen falsch geordnet

So nicht
−7 > −2, weil 7 > 2
So richtig
−7 < −2, weil −7 weiter links liegt

Je weiter links, desto kleiner: −7 < −2.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ordne der Größe nach (kleinste zuerst): −1; 0; 5; 2; −3
    So fängst du an:
    Negative Zahlen: je weiter links, desto kleiner
    Lösung zeigen
    1. Negative Zahlen: je weiter links, desto kleiner
    2. −3 < −1 < 0 < 2 < 5
    Ergebnis:
    −3 < −1 < 0 < 2 < 5
  2. ●5
    Ordne der Größe nach (kleinste zuerst): −1; 5; −7; −3; −5
    Lösung zeigen
    1. Negative Zahlen: je weiter links, desto kleiner
    2. −7 < −5 < −3 < −1 < 5
    Ergebnis:
    −7 < −5 < −3 < −1 < 5
  3. ★6
    Ordne der Größe nach (kleinste zuerst): −1,75; −3,25; −2,5; 0; −0,5
    Lösung zeigen
    1. Negative Zahlen: je weiter links, desto kleiner
    2. −3,25 < −2,5 < −1,75 < −0,5 < 0
    Ergebnis:
    −3,25 < −2,5 < −1,75 < −0,5 < 0

3Ich bestimme den Betrag und die Gegenzahl.

EntdeckenFrage

Was ist weiter von null entfernt: −7 oder 5?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die −7, nämlich sieben Schritte weit. Dieser Abstand heißt Betrag und ist nie negativ – die Richtung fällt dabei weg.

MerkenOrdnen, Betrag und Gegenzahl

Der Betrag ist der Abstand einer Zahl zur Null, ohne Vorzeichen.

Zum Beispiel |−4| = 4; die Gegenzahl liegt gespiegelt, zu −4 gehört 4.

BeispielBetrag und Gegenzahl

Berechne: Betrag von −13 − Betrag von −5
−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012−13−50
Schritt für Schritt
  1. Betrag heißt Abstand von der Null: Der Betrag von −13 ist 13.
  2. Der Betrag von −5 ist 5.
  3. 13 − 5 = 8
  1. Betrag heißt Abstand von der Null: Der Betrag von −13 ist 13.
  2. Der Betrag von −5 ist 5.
  3. 13 − 5 = 8
Ergebnis:
8

AchtungVorzeichen falsch

So nicht
3 − 5 = 2
So richtig
3 − 5 = −2 (fünf Schritte nach links)

Betrag richtig, Richtung falsch – am Zahlenstrahl nachgehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Berechne: Betrag von −30 + Betrag von 6
    −30−25−20−15−10−505−3006
    So fängst du an:
    Betrag heißt Abstand von der Null: Der Betrag von −30 ist 30.
    Lösung zeigen
    1. Betrag heißt Abstand von der Null: Der Betrag von −30 ist 30.
    2. Der Betrag von 6 ist 6.
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●8
    Berechne: Betrag von −29 − Betrag von −7
    −30−25−20−15−10−50−29−70
    Lösung zeigen
    1. Betrag heißt Abstand von der Null: Der Betrag von −29 ist 29.
    2. Der Betrag von −7 ist 7.
    3. 29 − 7 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★9
    Zwei Zahlen haben beide den Betrag 16. Wie weit liegen sie auf der Zahlengeraden auseinander?
    0??
    Lösung zeigen
    1. Betrag 16: Abstand 16 von der Null, also 16 und die Gegenzahl −16
    2. Von −16 bis 0 und von 0 bis 16
    3. Abstand: 16 + 16 = 32
    Ergebnis:
    32

4Ich addiere ganze Zahlen mit dem Zahlenstrahl.

EntdeckenFrage

Es hat −5 Grad und wird um acht Grad wärmer – wie warm ist es dann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

3 Grad. Man geht auf der Zahlengeraden acht Schritte nach rechts: erst fünf bis zur Null, dann noch drei darüber hinaus.

MerkenAddieren

Plus heißt: am Zahlenstrahl nach rechts gehen.

So landet −3 + 5 bei 2; mitgehen, bis es sicher sitzt.

BeispielAddieren und Subtrahieren

Berechne: 14 − (−3)
051015+3Start?
Schritt für Schritt
  1. Minus und Minus ergibt Plus
  2. 14 + 3
  3. Auf der Zahlengerade von 14 aus nach rechts: 17
  1. Minus und Minus ergibt Plus
  2. 14 + 3
  3. Auf der Zahlengerade von 14 aus nach rechts: 17
Ergebnis:
17

AchtungImmer die größere minus die kleinere Zahl

So nicht
Berechne: 8 − 13 → 5
So richtig
Berechne: 8 − 13 → −5

Frag dich: Ziehe ich mehr ab, als da ist? Dann wird es negativ.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Berechne: 8 − 13
    So fängst du an:
    8 − 13
    Lösung zeigen
    1. 8 − 13
    2. Auf der Zahlengerade von 8 aus nach links: −5
    Ergebnis:
    −5
  2. ●11
    Berechne: −9 − (−14)
    Lösung zeigen
    1. Minus und Minus ergibt Plus
    2. −9 + 14
    3. Auf der Zahlengerade von −9 aus nach rechts: 5
    Ergebnis:
    5
  3. ★12
    Berechne: −3 + (−5)
    Lösung zeigen
    1. Plus und Minus ergibt Minus
    2. −3 − 5
    3. Auf der Zahlengerade von −3 aus nach links: −8
    Ergebnis:
    −8

5Ich subtrahiere ganze Zahlen und deute die Differenz als Abstand.

EntdeckenFrage

Wie groß war der Sprung von −8 Grad in der Nacht auf 6 Grad am Mittag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

14 Grad. Gezählt wird der Abstand auf der Zahlengeraden: acht Schritte bis zur Null und sechs darüber hinaus.

MerkenSubtrahieren

Minus heißt: nach links gehen.

3 − 5 landet bei −2. Die Differenz ist der Abstand zwischen zwei Zahlen.

BeispielSubtrahieren rationaler Zahlen

Berechne: 10 − 8
−2−10123456789101112−8?Start
Schritt für Schritt
  1. 10 − 8
  2. Auf der Zahlengerade von 10 aus nach links: 2
  1. 10 − 8
  2. Auf der Zahlengerade von 10 aus nach links: 2
Ergebnis:
2

AchtungStellenweise kleiner von größer

So nicht
Berechne: 10 − 8 → 18
So richtig
Berechne: 10 − 8 → 2

Schau, ob oben die kleinere Ziffer steht. Tausche dann einen Zehner in zehn Einer.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne: 14 − 8
    So fängst du an:
    14 − 8
    Lösung zeigen
    1. 14 − 8
    2. Auf der Zahlengerade von 14 aus nach links: 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Berechne: 15 − 5
    Lösung zeigen
    1. 15 − 5
    2. Auf der Zahlengerade von 15 aus nach links: 10
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    Berechne: 1 − 11
    Lösung zeigen
    1. 1 − 11
    2. Auf der Zahlengerade von 1 aus nach links: −10
    Ergebnis:
    −10

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Ordne der Größe nach (kleinste zuerst): −7; 5; −3; −5; 2
    Lösung zeigen
    1. Negative Zahlen: je weiter links, desto kleiner
    2. −7 < −5 < −3 < 2 < 5
    Ergebnis:
    −7 < −5 < −3 < 2 < 5
  2. ●17
    Morgens sind es −7 °C, mittags 10 °C. Berechne, um wie viel Grad sich die Temperatur geändert hat.
    Lösung zeigen
    1. Differenz: 10 − (−7) = 10 + 7
    2. = 17 °C wärmer
    Ergebnis:
    17 °C wärmer
  3. ●18
    Kontostand: 54,00 €. Es werden 32,00 € abgebucht. Berechne den neuen Kontostand.
    Lösung zeigen
    1. Abbuchung heißt minus
    2. 54 − 32
    3. = 22
    4. Antwort: Der Kontostand ist 22,00 €.
    Ergebnis:
    22,00 €
  4. ●19
    Berechne: 13 + 4
    Lösung zeigen
    1. 13 + 4
    2. Auf der Zahlengerade von 13 aus nach rechts: 17
    Ergebnis:
    17
  5. ●20
    Berechne: Betrag von −30 + Betrag von 5
    −30−25−20−15−10−505−3005
    Lösung zeigen
    1. Betrag heißt Abstand von der Null: Der Betrag von −30 ist 30.
    2. Der Betrag von 5 ist 5.
    3. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35
  6. ●21
    Setze den Punkt Q(−3 | −2) ins Koordinatensystem.
    −6−4−2246−6−4−22460xy
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Q(−3 | −2)

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Temperatur und Kontostand
Negative Zahlen gibt es überall: minus 5 Grad, Konto im Minus, 30 Meter unter dem Meer.
Zahlen ordnen
Links von der Null stehen die negativen Zahlen.
Ordnen, Betrag und Gegenzahl
Der Betrag ist der Abstand einer Zahl zur Null, ohne Vorzeichen.
Addieren
Plus heißt: am Zahlenstrahl nach rechts gehen.
Subtrahieren
Minus heißt: nach links gehen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kenne negative Zahlen aus Temperatur, Kontostand und Höhenangaben.

    22
    Morgens sind es −15 °C, mittags 8 °C. Berechne, um wie viel Grad sich die Temperatur geändert hat.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23 °C wärmer

  2. Ich ordne ganze Zahlen auf der Zahlengeraden und vergleiche sie.

    23
    Ordne der Größe nach (kleinste zuerst): −5; −3; −1; 0; 2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    −5 < −3 < −1 < 0 < 2

  3. Ich bestimme den Betrag und die Gegenzahl.

    24
    Berechne: Betrag von −20 + Betrag von 11
    −20−15−10−50510−20011
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

  4. Ich addiere ganze Zahlen mit dem Zahlenstrahl.

    25
    Berechne: −8 + 13
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

  5. Ich subtrahiere ganze Zahlen und deute die Differenz als Abstand.

    26
    Berechne: 13 − 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich löse Sachaufgaben mit Temperatur, Konto und Höhe.

    27
    Ordne der Größe nach (kleinste zuerst): −5; 5; 2; −3; −1
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    −5 < −3 < −1 < 2 < 5

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Am Morgen sind es 3 Grad, bis Mitternacht wird es 8 Grad kälter. Wie warm ist es dann? Schreib es als Rechnung.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Negative Zahlen: die Zahlengerade nach links verlängern.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Minusgrade im Winter, Kontostand im Minus, Fahrstuhl ins Untergeschoss. Beruf: Wetterdienst, Bank, Lager im Keller.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Rationale Zahlen, Terme und Gleichungen

Lösungen

  1. 25 °C wärmer
  2. 24 °C wärmer
  3. 14 °C kälter
  4. −3 < −1 < 0 < 2 < 5
  5. −7 < −5 < −3 < −1 < 5
  6. −3,25 < −2,5 < −1,75 < −0,5 < 0
  7. 36
  8. 22
  9. 32
  10. −5
  11. 5
  12. −8
  13. 6
  14. 10
  15. −10
  16. −7 < −5 < −3 < 2 < 5
  17. 17 °C wärmer
  18. 22,00 €
  19. 17
  20. 35
  21. Q(−3 | −2)
  22. 23 °C wärmer
  23. −5 < −3 < −1 < 0 < 2
  24. 31
  25. 5
  26. 8
  27. −5 < −3 < −1 < 2 < 5
  28. 3585 < 4175 < 8318 < 30.445
  29. 2322 < 3275 < 10.078 < 50.871