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Mathematik · Klasse 3 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Flächen, Umfang, Körper und Netze

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welches Beet ist größer: 2 mal 12 Kästchen oder 5 mal 5 Kästchen? Und welches braucht mehr Zaun? Entscheide ohne zu zählen.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Das lange Beet sieht größer aus, hat aber weniger Kästchen und mehr Zaun. Die Klasse streitet, weil „größer“ zwei Dinge meint. Wir brauchen zwei Wörter: Der Umfang ist der Zaun, der Flächeninhalt sind die Kästchen. Ab jetzt sagen wir immer, welches wir meinen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Im Raster genau zählen und Figuren zerlegen: jedes Kästchen, jeder Würfel genau einmal.

  1. ●27
    Unten liegen 5 Würfel nebeneinander, darauf 2. Wie viele Würfel sind es zusammen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Würfel
  2. ●28
    Wo ist die Figur richtig gespiegelt?
    AB
    Lösung zeigen
    1. Beim Spiegeln klappt die Figur an der roten Linie um
    2. Jedes Kästchen hat auf der anderen Seite denselben Abstand zur Linie
    3. Bild A
    Ergebnis:
    A

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenFläche ist drinnen, Umfang ist der Rand

Die Fläche ist das, was man ausmalen kann – man zählt Kästchen. Der Umfang ist der Weg außen herum – man zählt Kästchenseiten. Beide gehören zur selben Figur und sind doch verschiedene Dinge.

Rechteck aus 8 Kästchen: Die Fläche ist innen, 8 Kästchen; der Umfang ist der Rand, 12 KästchenseitenRand: 12 KästchenseitenInnen: 8 KästchenUmfang: der Weg außenFläche: was man ausmalt

WeiterdenkenDenk nach

Können zwei Rechtecke denselben Umfang, aber verschiedene Flächen haben – wie sähen sie aus?

1Ich vergleiche Flächen durch Auslegen und Zählen.

EntdeckenFrage

Warum hat ein Hund mit einem quadratischen Zaun mehr Auslauf als mit einem langen schmalen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei gleichem Umfang hat das Quadrat die größte Fläche unter allen Rechtecken: 20 m Zaun ergeben 5 · 5 = 25 m², aber 1 · 9 nur 9 m².

EntdeckenFlächen auslegen

Das brauchst du: Quadratplättchen und kariertes Papier

Leg zwei Figuren mit gleich großen Quadraten aus.

Mach die Augen zu. Zwei Figuren haben je 12 Quadrate. Welche ist größer?

Ausprobieren: Flächen zerlegen und verschieben

Ein Dreieck abschneiden und verschieben: Aus dem Parallelogramm wird ein Rechteck, aus zwei Dreiecken ein Parallelogramm.

MerkenFläche

Wie viele Kästchen passen hinein?

Das ist die Fläche. Halbe Kästchen zu ganzen zusammensetzen.

BeispielFläche und Umfang zählen

Zeichne im Heft eine Figur mit genau 36 Kästchen. Finde verschiedene Lösungen – und miss bei jeder den Umfang.
Schritt für Schritt
  1. 36 Kästchen lassen sich verschieden anordnen: 6 · 6, aber auch anders
  2. Der Umfang ist dabei nicht immer gleich.
  3. Lang und schmal hat mehr Rand als fast quadratisch.
  1. 36 Kästchen lassen sich verschieden anordnen: 6 · 6, aber auch anders
  2. Der Umfang ist dabei nicht immer gleich.
  3. Lang und schmal hat mehr Rand als fast quadratisch.
Ergebnis:
Mehrere richtige Lösungen. 6 · 6 hat den Umfang 24; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.

AchtungFläche und Umfang verwechselt

So nicht
Rechteck 4 Kästchen lang, 2 breit: Fläche = 12  (Rand gezählt)
So richtig
Rechteck 4 lang, 2 breit: Fläche = 4 · 2 = 8 Kästchen, Umfang = 12 Seiten

Fläche = drinnen (Kästchen), Umfang = Rand (Seiten).

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Aus dem Rechteck fehlt eine Ecke. Wie viele Kästchen hat die Figur? Wie lang ist der Umfang?
    So fängst du an:
    Rechteck 4 · 5 = 20, minus Ecke 2 · 3 = 6
    Lösung zeigen
    1. Rechteck 4 · 5 = 20, minus Ecke 2 · 3 = 6
    2. Fläche 14
    3. Umfang bleibt wie beim Rechteck: 18
    Ergebnis:
    14 Kästchen · Umfang 18
  2. ●2
    Zeichne im Heft eine Figur mit genau 28 Kästchen. Finde verschiedene Lösungen – und miss bei jeder den Umfang.
    Lösung zeigen
    1. 28 Kästchen lassen sich verschieden anordnen: 7 · 4, aber auch anders
    2. Der Umfang ist dabei nicht immer gleich.
    3. Lang und schmal hat mehr Rand als fast quadratisch.
    Ergebnis:
    Mehrere richtige Lösungen. 7 · 4 hat den Umfang 22; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.
  3. ★3
    Zwei Figuren: A ist 4 mal 2 Kästchen groß, B ist 3 mal 3. Welche hat mehr Kästchen? Welche hat den längeren Rand?
    Lösung zeigen
    1. Fläche A: 4 · 2 = 8 · Fläche B: 3 · 3 = 9
    2. Umfang A: 12 · Umfang B: 12
    3. Mehr Fläche heißt nicht automatisch mehr Rand.
    Ergebnis:
    B hat mehr Kästchen · gleicher Umfang

2Ich bestimme den Umfang durch Abzählen der Kästchenseiten.

EntdeckenFrage

Wie viele verschiedene Würfelnetze gibt es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Genau elf. Aus sechs Quadraten lassen sich 35 zusammenhängende Figuren legen, aber nur elf davon falten sich zu einem Würfel.

EntdeckenDer Rand

Das brauchst du: Kariertes Papier und ein Faden

Leg einen Faden um ein Rechteck aus Kästchen. Zähl die Kästchenseiten am Rand.

Mach die Augen zu. Wie lang ist der Rand eines Quadrats aus 4 Kästchen?

MerkenUmfang

Einmal außen herum: Kästchenseiten zählen. Gleiche Fläche kann verschiedene Umfänge haben.

BeispielUmfang eines Rechtecks

Ein Rechteck ist 6 cm lang und 3 cm breit. Wie lang ist der Rand (Umfang)?
Schritt für Schritt
  1. 6 + 3 + 6 + 3 = 18
  1. 6 + 3 + 6 + 3 = 18
Ergebnis:
18 cm

AchtungPlus statt mal

So nicht
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9
So richtig
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Rechteck ist 4 cm lang und 2 cm breit. Wie lang ist der Rand (Umfang)?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 cm
  2. ●5
    Ein Rechteck ist 8 cm lang und 4 cm breit. Wie lang ist der Rand (Umfang)?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24 cm
  3. ★6
    Ein Rechteck hat den Umfang 10 cm und ist 3 cm lang. Wie breit ist es?
    Lösung zeigen
    1. Zwei lange Seiten: 3 + 3 = 6
    2. 10 − 6 = 4 für beide kurzen Seiten
    3. 4 : 2 = 2
    Ergebnis:
    2 cm

3Ich zeichne Figuren mit vorgegebener Fläche.

EntdeckenFrage

Gibt es nur eine Figur mit genau 12 Kästchen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein, sehr viele. Schon als Rechteck geht es dreifach: 1 mal 12, 2 mal 6 und 3 mal 4. Die Fläche legt die Form eben nicht fest.

EntdeckenFiguren mit gleicher Fläche

Das brauchst du: Quadratplättchen

Leg mit 12 Quadratplättchen verschiedene Rechtecke.

Mach die Augen zu. Geht ein Rechteck mit 7 Plättchen?

MerkenZeichnen

12 Kästchen: 3 · 4, 2 · 6, 1 · 12 oder ein L. Viele Figuren, gleiche Fläche.

BeispielFläche und Umfang zählen

Wie viele Kästchen hat die Figur? Wie lang ist der Rand (Umfang in Kästchenseiten)?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 7 · 2 = 14 Kästchen
  2. Umfang: 7 + 2 + 7 + 2 = 18
  1. Fläche: 7 · 2 = 14 Kästchen
  2. Umfang: 7 + 2 + 7 + 2 = 18
Ergebnis:
14 Kästchen · Umfang 18

AchtungZiel oder Bestand statt des Fehlenden angegeben

So nicht
Ziel 12, schon 7 → 12
So richtig
Ziel 12, schon 7 → 12 − 7 = 5

Lies die Frage: Was fehlt noch? Rechne Ziel minus vorhanden.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zeichne im Heft eine Figur mit genau 18 Kästchen. Finde verschiedene Lösungen – und miss bei jeder den Umfang.
    So fängst du an:
    18 Kästchen lassen sich verschieden anordnen: 3 · 6, aber auch anders
    Lösung zeigen
    1. 18 Kästchen lassen sich verschieden anordnen: 3 · 6, aber auch anders
    2. Der Umfang ist dabei nicht immer gleich.
    3. Lang und schmal hat mehr Rand als fast quadratisch.
    Ergebnis:
    Mehrere richtige Lösungen. 3 · 6 hat den Umfang 18; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.
  2. ●8
    Zeichne im Heft eine Figur mit genau 21 Kästchen. Finde verschiedene Lösungen – und miss bei jeder den Umfang.
    Lösung zeigen
    1. 21 Kästchen lassen sich verschieden anordnen: 7 · 3, aber auch anders
    2. Der Umfang ist dabei nicht immer gleich.
    3. Lang und schmal hat mehr Rand als fast quadratisch.
    Ergebnis:
    Mehrere richtige Lösungen. 7 · 3 hat den Umfang 20; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.
  3. ★9
    Zwei Figuren: A ist 7 mal 6 Kästchen groß, B ist 5 mal 8. Welche hat mehr Kästchen? Welche hat den längeren Rand?
    Lösung zeigen
    1. Fläche A: 7 · 6 = 42 · Fläche B: 5 · 8 = 40
    2. Umfang A: 26 · Umfang B: 26
    3. Mehr Fläche heißt nicht automatisch mehr Rand.
    Ergebnis:
    A hat mehr Kästchen · gleicher Umfang

4Ich erkenne Körper und ihre Netze (Würfelnetze).

EntdeckenFrage

Wie viele Ecken und Kanten hat ein Würfel – und hängen die Zahlen zusammen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen. Ecken plus Flächen minus Kanten ergibt 2 – und das gilt bei jedem Körper ohne Loch.

EntdeckenWürfelnetze falten

Das brauchst du: Würfelnetze zum Falten

Schneide ein Würfelnetz aus. Falte es zu einem Würfel.

Mach die Augen zu. Falte das Netz in Gedanken. Passt es?

MerkenWürfelnetz

6 Quadrate, die sich zum Würfel falten lassen – aber nicht jede Anordnung klappt.

Es gibt 11 Netze.

BeispielWürfelnetze und Körper

Welcher Körper hat nur Quadrate als Flächen?
Schritt für Schritt
  1. Die Körper der Reihe nach durchgehen
  2. Antwort: Würfel
  1. Die Körper der Reihe nach durchgehen
  2. Antwort: Würfel
Ergebnis:
Würfel

AchtungNetz klappt nicht

So nicht
Würfelnetz: 6 Quadrate in einer Reihe = klappt
So richtig
6 Quadrate in einer Reihe klappen nicht; 4 in der Reihe, je 1 oben und unten = Würfelnetz

Ausschneiden und falten lassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Wie viele Flächen, Ecken und Kanten hat eine Kugel?
    So fängst du an:
    Flächen zählen, dann Ecken, dann Kanten
    Lösung zeigen
    1. Flächen zählen, dann Ecken, dann Kanten
    2. eine einzige runde Fläche, keine Ecken, keine Kanten
    Ergebnis:
    eine einzige runde Fläche, keine Ecken, keine Kanten
  2. ●11
    Eine Konservendose: Welcher Körper ist das?
    Lösung zeigen
    1. Auf die Flächen schauen: rund oder eckig?
    2. Das ist ein Zylinder.
    Ergebnis:
    Zylinder – weitere Beispiele findest du selbst; es gibt viele richtige.
  3. ★12
    Welcher Körper hat 12 Kanten?
    Lösung zeigen
    1. Die Körper der Reihe nach durchgehen
    2. Antwort: Würfel oder Quader
    Ergebnis:
    Würfel oder Quader

5Ich zeichne mit Lineal und Geodreieck gerade Linien und rechte Winkel.

EntdeckenFrage

Warum zählt die Skala am Geodreieck in beide Richtungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Damit man einen Winkel von links oder von rechts messen kann, ohne das Dreieck zu drehen. Die beiden Zahlen an einem Strich ergeben zusammen immer 180.

EntdeckenDer rechte Winkel

Das brauchst du: Faltpapier und Geodreieck

Falte ein Blatt zweimal. Die Ecke in der Mitte ist ein rechter Winkel.

Mach die Augen zu. Wo hat dein Heft rechte Winkel?

MerkenRechter Winkel

Die Ecke des Geodreiecks. Geraden mit dem Lineal, Ecken mit dem Geodreieck prüfen.

BeispielRechte Winkel mit dem Geodreieck prüfen

Wie viele rechte Winkel hat die Figur? Prüfe jede Ecke mit dem Geodreieck.
ABC
Schritt für Schritt
  1. Lege die rechtwinklige Ecke des Geodreiecks genau in eine Ecke der Figur.
  2. Liegen beide Seiten an den Kanten an, ist der Winkel dort rechtwinklig. Sonst nicht.
  3. Keine Ecke passt genau. Die Figur hat keinen rechten Winkel.
  1. Lege die rechtwinklige Ecke des Geodreiecks genau in eine Ecke der Figur.
  2. Liegen beide Seiten an den Kanten an, ist der Winkel dort rechtwinklig. Sonst nicht.
  3. Keine Ecke passt genau. Die Figur hat keinen rechten Winkel.
Ergebnis:
keinen rechten Winkel

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Zeichne ein Rechteck: 6 Kästchen lang, 2 Kästchen hoch. Wie viele rechte Winkel hat es?
    ABCD
    So fängst du an:
    Zeichne die Seiten mit dem Lineal auf den Kästchenlinien.
    Lösung zeigen
    1. Zeichne die Seiten mit dem Lineal auf den Kästchenlinien.
    2. Lege die rechtwinklige Ecke des Geodreiecks in jede Ecke.
    3. Alle vier Ecken passen: 4 rechte Winkel.
    Ergebnis:
    4 rechte Winkel
  2. ●14
    Zeichne ein Rechteck: 6 Kästchen lang, 3 Kästchen hoch. Wie viele rechte Winkel hat es?
    ABCD
    Lösung zeigen
    1. Zeichne die Seiten mit dem Lineal auf den Kästchenlinien.
    2. Lege die rechtwinklige Ecke des Geodreiecks in jede Ecke.
    3. Alle vier Ecken passen: 4 rechte Winkel.
    Ergebnis:
    4 rechte Winkel
  3. ★15
    Wie viele rechte Winkel hat die Figur? Sie kann gedreht sein. Prüfe jede Ecke mit dem Geodreieck.
    ABC
    Lösung zeigen
    1. Lege die rechtwinklige Ecke des Geodreiecks genau in eine Ecke der Figur.
    2. Liegen beide Seiten an den Kanten an, ist der Winkel dort rechtwinklig. Sonst nicht.
    3. Es passt bei A: einen rechten Winkel.
    4. Schräg oder gerade ist egal. Nur die Ecke zählt.
    Ergebnis:
    einen rechten Winkel

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Zeichne im Heft eine Figur mit genau 32 Kästchen. Finde verschiedene Lösungen – und miss bei jeder den Umfang.
    Lösung zeigen
    1. 32 Kästchen lassen sich verschieden anordnen: 8 · 4, aber auch anders
    2. Der Umfang ist dabei nicht immer gleich.
    3. Lang und schmal hat mehr Rand als fast quadratisch.
    Ergebnis:
    Mehrere richtige Lösungen. 8 · 4 hat den Umfang 24; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.
  2. ●17
    Klappe die Figur an der roten Achse um.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    siehe Bild (blau)
  3. ●18
    Wie viele Flächen, Ecken und Kanten hat ein Quader?
    Lösung zeigen
    1. Flächen zählen, dann Ecken, dann Kanten
    2. 6 Rechtecke, 8 Ecken, 12 Kanten
    Ergebnis:
    6 Rechtecke, 8 Ecken, 12 Kanten
  4. ●19
    Ein Rechteck ist 5 cm lang und 4 cm breit. Wie lang ist der Rand (Umfang)?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18 cm
  5. ●20
    Mia und Ben vergleichen zwei Teppiche. Welcher Teppich ist größer? Zähle die Kästchen.
    AB
    Lösung zeigen
    1. Rechteck: 3 · 3 = 9 Kästchen
    2. Streifen: 8 Kästchen
    3. Größer: B
    Ergebnis:
    B
  6. ●21
    Die Figur soll 14 Kästchen groß werden. Wie viele Kästchen fehlen noch?
    Lösung zeigen
    1. Die Figur hat schon 9 Kästchen
    2. 9 + ___ = 14
    3. Es fehlen 5
    Ergebnis:
    5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Fläche
Wie viele Kästchen passen hinein?
Umfang
Einmal außen herum: Kästchenseiten zählen. Gleiche Fläche kann verschiedene Umfänge haben.
Zeichnen
12 Kästchen: 3 · 4, 2 · 6, 1 · 12 oder ein L. Viele Figuren, gleiche Fläche.
Würfelnetz
6 Quadrate, die sich zum Würfel falten lassen – aber nicht jede Anordnung klappt.
Rechter Winkel
Die Ecke des Geodreiecks. Geraden mit dem Lineal, Ecken mit dem Geodreieck prüfen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Flächen durch Auslegen und Zählen.

    22
    Wie viele Kästchen hat die Figur? Wie lang ist der Rand (Umfang in Kästchenseiten)?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35 Kästchen · Umfang 24

  2. Ich bestimme den Umfang durch Abzählen der Kästchenseiten.

    23
    Ein Rechteck ist 8 cm lang und 6 cm breit. Wie lang ist der Rand (Umfang)?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28 cm

  3. Ich zeichne Figuren mit vorgegebener Fläche.

    24
    Aus dem Rechteck fehlt eine Ecke. Wie viele Kästchen hat die Figur? Wie lang ist der Umfang?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Kästchen · Umfang 20

  4. Ich erkenne Körper und ihre Netze (Würfelnetze).

    25
    Wie viele Flächen, Ecken und Kanten hat ein Kegel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Flächen (1 Kreis, 1 gebogene), 1 Spitze, 1 Kante

  5. Ich zeichne mit Lineal und Geodreieck gerade Linien und rechte Winkel.

    26
    Wie viele rechte Winkel hat die Figur? Prüfe jede Ecke mit dem Geodreieck.
    ABCD
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 rechte Winkel

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welches Beet ist größer: 2 mal 12 Kästchen oder 5 mal 5 Kästchen? Und welches braucht mehr Zaun? Entscheide ohne zu zählen.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Umfang und Flächeninhalt als zwei verschiedene Größen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Grundriss vom Zimmer, Kästchen zählen.

Wörter

Umfang
der Weg einmal außen herum

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Symmetrie, Körper und Wege

Darauf baut auf: Winkel, Symmetrie, Körper und Flächeninhalt

Lösungen

  1. 14 Kästchen · Umfang 18
  2. Mehrere richtige Lösungen. 7 · 4 hat den Umfang 22; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.
  3. B hat mehr Kästchen · gleicher Umfang
  4. 12 cm
  5. 24 cm
  6. 2 cm
  7. Mehrere richtige Lösungen. 3 · 6 hat den Umfang 18; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.
  8. Mehrere richtige Lösungen. 7 · 3 hat den Umfang 20; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.
  9. A hat mehr Kästchen · gleicher Umfang
  10. eine einzige runde Fläche, keine Ecken, keine Kanten
  11. Zylinder – weitere Beispiele findest du selbst; es gibt viele richtige.
  12. Würfel oder Quader
  13. 4 rechte Winkel
  14. 4 rechte Winkel
  15. einen rechten Winkel
  16. Mehrere richtige Lösungen. 8 · 4 hat den Umfang 24; eine lange schmale Figur mit gleicher Fläche hat mehr Rand.
  17. siehe Bild (blau)
  18. 6 Rechtecke, 8 Ecken, 12 Kanten
  19. 18 cm
  20. B
  21. 5
  22. 35 Kästchen · Umfang 24
  23. 28 cm
  24. 13 Kästchen · Umfang 20
  25. 2 Flächen (1 Kreis, 1 gebogene), 1 Spitze, 1 Kante
  26. 2 rechte Winkel
  27. 7 Würfel
  28. A