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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Geometrische Grundbegriffe und Vierecke

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Beschreibe einem Partner diese Figur aus vier Linien so genau, dass er sie ohne Hinsehen nachzeichnen kann. Du darfst nicht zeigen.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Beschreibungen werden lang und ungenau: „die schräge Linie, die irgendwie gleich läuft wie die andere“. Die Nachzeichnungen sehen alle verschieden aus. Genau dafür gibt es zwei Wörter: parallel heißt „läuft gleich und schneidet sich nie“, senkrecht heißt „trifft im rechten Winkel“. Mit ihnen reicht ein Satz.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Vierecke erkennt man an Seiten und Winkeln, nicht an ihrer Lage; Strecke, Strahl und Gerade sind verschieden.

  1. ●39
    Das ist ein Quadrat. Bestimme: Wie viele Paare paralleler Seiten hat es?
    Lösung zeigen
    1. Quadrat: vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.
    2. Paare paralleler Seiten: 2
    Ergebnis:
    2
  2. ●40
    Jana hat mit dem Lineal eine rote Linie gezogen. Entscheide: Ist sie eine Strecke, ein Strahl oder eine Gerade? Achte auf die Enden.
    Lösung zeigen
    1. Die Linie hat einen Anfangspunkt, aber kein Ende.
    2. Sie ist eine Strahl.
    Ergebnis:
    Strahl

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEigenschaften statt Aussehen

Eine Figur erkennt man an dem, was man prüfen kann: parallele Seiten, rechte Winkel, gleich lange Seiten. Dreht man sie, bleibt alles gleich – nur das Aussehen ändert sich.

Ein Parallelogramm und dasselbe gedreht: Die gegenüberliegenden Seiten bleiben parallelParallele Seiten bleiben parallelParallelogrammdasselbe, gedreht

WeiterdenkenDenk nach

Ein Quadrat wird auf die Spitze gestellt. Ist es dann noch ein Quadrat? Woran erkennst du das, ohne zu messen?

1Ich unterscheide Strecke, Strahl und Gerade und bezeichne sie richtig.

EntdeckenFrage

Warum liegen Straßenbahnschienen überall gleich weit auseinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Räder fest auf einer Achse sitzen: Die Schienen müssen parallel sein. Bei der Berliner Straßenbahn sind es 1435 Millimeter, die Normalspur. Wäre der Abstand an einer Stelle anders, spränge die Bahn heraus.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenStrecke, Strahl, Gerade

Eine Strecke hat zwei Endpunkte und lässt sich messen.

Ein Strahl hat einen Anfangspunkt und kein Ende. Eine Gerade hat weder Anfang noch Ende.

BeispielStrecke, Strahl oder Gerade?

Benenne die Linie im Bild mit ihren Punkten E und F. Beim Strahl zuerst den Anfangspunkt.
FE
Schritt für Schritt
  1. Enden ansehen: einen Anfangspunkt und kein Ende.
  2. Das ist ein Strahl.
  3. Name: Strahl mit Anfangspunkt F durch E
  1. Enden ansehen: einen Anfangspunkt und kein Ende.
  2. Das ist ein Strahl.
  3. Name: Strahl mit Anfangspunkt F durch E
Ergebnis:
Strahl mit Anfangspunkt F durch E

AchtungStrecke, Strahl und Gerade verwechselt

So nicht
Anfangspunkt A, durch B, kein Ende → Strecke AB, 5 cm lang
So richtig
Ein Anfangspunkt, kein Ende → Strahl mit Anfangspunkt A durch B, nicht messbar

Auf die Enden schauen: zwei Endpunkte heißt Strecke, einer heißt Strahl, keiner heißt Gerade.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Wie heißt die Linie durch G und H: Strecke, Strahl oder Gerade? Achte auf die Enden.
    GH
    So fängst du an:
    Enden ansehen: Die Linie hat zwei Endpunkte.
    Lösung zeigen
    1. Enden ansehen: Die Linie hat zwei Endpunkte.
    2. Zwei Endpunkte heißt Strecke, ein Anfangspunkt heißt Strahl, ohne Ende heißt Gerade.
    3. Also ist es eine Strecke.
    Ergebnis:
    Strecke
  2. ●2
    Wie heißt die Linie durch R und S: Strecke, Strahl oder Gerade? Achte auf die Enden.
    RS
    Lösung zeigen
    1. Enden ansehen: Die Linie hat einen Anfangspunkt und kein Ende.
    2. Zwei Endpunkte heißt Strecke, ein Anfangspunkt heißt Strahl, ohne Ende heißt Gerade.
    3. Also ist es ein Strahl.
    Ergebnis:
    Strahl
  3. ★3
    Wie heißt die Linie durch E und F: Strecke, Strahl oder Gerade? Achte auf die Enden.
    EF
    Lösung zeigen
    1. Enden ansehen: Die Linie hat zwei Endpunkte.
    2. Zwei Endpunkte heißt Strecke, ein Anfangspunkt heißt Strahl, ohne Ende heißt Gerade.
    3. Also ist es eine Strecke.
    Ergebnis:
    Strecke

2Ich prüfe mit dem Geodreieck, ob zwei Geraden senkrecht oder parallel zueinander sind.

EntdeckenFrage

Wie misst man, wie weit ein Haus von der Grundstücksgrenze steht – schräg oder gerade hinüber?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Senkrecht, denn der Abstand ist die kürzeste Verbindung. Die Berliner Bauordnung schreibt ausdrücklich vor, dass die Tiefe der Abstandsfläche senkrecht zur Wand gemessen wird. Jede schräge Strecke wäre länger.

MerkenSenkrecht und parallel

Senkrecht heißt: Zwei Geraden bilden einen rechten Winkel.

Parallel heißt: Sie sind überall gleich weit voneinander entfernt. Die Zeichen dafür sind ⊥ und ∥.

BeispielParallel oder senkrecht prüfen

Lina misst an zwei Stellen, wie weit die Geraden s und t voneinander entfernt sind: 2 cm und 4 cm. Sind s und t parallel?
st2 cm4 cm
Schritt für Schritt
  1. Parallele Geraden sind überall gleich weit voneinander entfernt.
  2. 2 cm und 4 cm sind verschieden.
  3. Nein, sie laufen aufeinander zu und schneiden sich irgendwo.
  1. Parallele Geraden sind überall gleich weit voneinander entfernt.
  2. 2 cm und 4 cm sind verschieden.
  3. Nein, sie laufen aufeinander zu und schneiden sich irgendwo.
Ergebnis:
Nein

AchtungSenkrecht mit „von oben nach unten“ verwechselt

So nicht
g: 3 nach rechts, 1 nach oben; h: 1 nach links, 3 nach oben → nicht senkrecht, h ist schräg
So richtig
g: 3 rechts, 1 oben; h: 1 links, 3 oben → um 90° gedreht, g ⊥ h

Senkrecht heißt: rechter Winkel zur anderen Geraden – auch wenn beide schräg liegen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die Geraden s und t schneiden sich. Der Winkel zwischen ihnen beträgt 100°. Stehen sie senkrecht aufeinander?
    st100°
    So fängst du an:
    Senkrecht heißt: Der Winkel ist genau 90°.
    Lösung zeigen
    1. Senkrecht heißt: Der Winkel ist genau 90°.
    2. 100° ist nicht 90°.
    3. Nein, sie stehen nicht senkrecht aufeinander.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●5
    Schreibe mit Zeichen: Gilt k ∥ l oder k ⊥ l – oder keins von beidem? Begründe mit der Richtung im Kästchenmuster.
    kl
    Lösung zeigen
    1. Richtung von k: 3 nach rechts und 1 nach oben.
    2. Richtung von l: 1 nach links und 3 nach oben.
    3. Die Richtung ist um einen rechten Winkel gedreht: Das Geodreieck passt genau in die Ecke.
    Ergebnis:
    senkrecht: k ⊥ l
  3. ★6
    Schreibe mit Zeichen: Gilt p ∥ q oder p ⊥ q – oder keins von beidem? Begründe mit der Richtung im Kästchenmuster.
    pq
    Lösung zeigen
    1. Richtung von p: 3 nach rechts und 2 nach oben.
    2. Richtung von q: 3 nach rechts und 2 nach oben.
    3. Gleiche Richtung: Die Geraden schneiden sich nie, sie sind parallel.
    Ergebnis:
    parallel: p ∥ q

3Ich zeichne Senkrechte und Parallelen mit dem Geodreieck.

EntdeckenFrage

Ist jedes Quadrat ein Rechteck – oder ist das Wortklauberei?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Rechteck ist jedes Viereck mit vier rechten Winkeln. Das Quadrat hat vier rechte Winkel, also ist es ein Rechteck, und zwar eines mit gleich langen Seiten. Wer Vierecke an Eigenschaften erkennt statt am Aussehen, sieht das sofort.

MerkenSenkrechte und Parallele zeichnen

Das Geodreieck zeichnet beides.

Für eine Senkrechte liegt die Mittellinie auf der Geraden, für eine Parallele eine Hilfslinie. Gezeichnet wird an der langen Kante.

BeispielSenkrechte und Parallele auf Kästchenpapier

Wie viele Parallelen zu p gibt es, die genau 4 cm von p entfernt sind?
pE?
Schritt für Schritt
  1. Eine Parallele liegt 4 cm auf der einen Seite von p.
  2. Eine zweite liegt 4 cm auf der anderen Seite.
  3. Es gibt genau 2 solche Parallelen.
  1. Eine Parallele liegt 4 cm auf der einen Seite von p.
  2. Eine zweite liegt 4 cm auf der anderen Seite.
  3. Es gibt genau 2 solche Parallelen.
Ergebnis:
2 Parallelen

AchtungParallel und senkrecht verwechselt oder nach Augenmaß entschieden

So nicht
zwei schräge Geraden im rechten Winkel → nicht senkrecht
So richtig
zwei schräge Geraden im rechten Winkel → senkrecht

Leg das Geodreieck an. Passt der rechte Winkel genau, stehen die Geraden senkrecht aufeinander.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Die Gerade s läuft auf Kästchenpapier 3 nach rechts und 2 nach oben. Du zeichnest eine Senkrechte zu s durch R. Wie läuft sie?
    sR?
    So fängst du an:
    Senkrecht heißt: um einen rechten Winkel gedreht.
    Lösung zeigen
    1. Senkrecht heißt: um einen rechten Winkel gedreht.
    2. Die beiden Zahlen tauschen, und eine Richtung dreht sich um.
    3. Sie läuft 2 nach links und 3 nach oben.
    Ergebnis:
    2 nach links und 3 nach oben
  2. ●8
    Wie viele Parallelen zu k gibt es, die genau 4 cm von k entfernt sind?
    kX?
    Lösung zeigen
    1. Eine Parallele liegt 4 cm auf der einen Seite von k.
    2. Eine zweite liegt 4 cm auf der anderen Seite.
    3. Es gibt genau 2 solche Parallelen.
    Ergebnis:
    2 Parallelen
  3. ★9
    Die Gerade k läuft 3 nach rechts und 3 nach oben. Wie läuft eine Parallele zu k durch den Punkt X?
    kX?
    Lösung zeigen
    1. Parallel heißt: dieselbe Richtung.
    2. Also wie k: 3 nach rechts und 3 nach oben.
    3. Die Parallele durch X läuft 3 nach rechts und 3 nach oben.
    Ergebnis:
    3 nach rechts und 3 nach oben

4Ich bestimme den Abstand eines Punktes von einer Geraden und den Abstand von Parallelen.

EntdeckenFrage

Bleibt ein Quadrat ein Quadrat, wenn man es auf die Spitze stellt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Seiten und Winkel ändern sich beim Drehen nicht. Trotzdem nennen in Untersuchungen viele Kinder das gedrehte Quadrat eine Raute, weil sie Figuren am typischen Aussehen erkennen und nicht an ihren Eigenschaften.

MerkenAbstand

Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die kürzeste Verbindung.

Sie steht senkrecht auf der Geraden. Parallelen haben überall denselben Abstand.

BeispielAbstand von einer Geraden

Wie groß ist der Abstand des Punktes P von der Geraden k? Ein Kästchen ist 1 cm breit.
kP?
Schritt für Schritt
  1. Kürzester Weg von P zu k: senkrecht auf k.
  2. Das sind 3 Kästchen.
  3. 3 · 1 cm = 3 cm
  1. Kürzester Weg von P zu k: senkrecht auf k.
  2. Das sind 3 Kästchen.
  3. 3 · 1 cm = 3 cm
Ergebnis:
3 cm

AchtungAbstand schräg gemessen

So nicht
P liegt 4 Kästchen über g; schräg gemessen 3 cm → Abstand 3 cm
So richtig
Senkrecht: 4 Kästchen · 0,5 cm = 2 cm → Abstand 2 cm

Der Abstand steht senkrecht auf der Geraden; jede schräge Strecke ist länger.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Wie groß ist der Abstand des Punktes U von der Geraden a? Ein Kästchen ist 0,5 cm breit.
    aU?
    So fängst du an:
    Kürzester Weg von U zu a: senkrecht auf a.
    Lösung zeigen
    1. Kürzester Weg von U zu a: senkrecht auf a.
    2. Das sind 4 Kästchen.
    3. 4 · 0,5 cm = 2 cm
    Ergebnis:
    2 cm
  2. ●11
    Die Geraden g und h sind parallel. Bestimme ihren Abstand. Ein Kästchen ist 0,5 cm breit.
    gh?
    Lösung zeigen
    1. Senkrecht von g nach h zählen: 6 Kästchen.
    2. 6 · 0,5 cm = 3 cm
    3. Der Abstand ist überall gleich: 3 cm.
    Ergebnis:
    3 cm
  3. ★12
    Wo liegen alle Punkte, die von der Geraden s genau 3 cm Abstand haben? Beschreibe.
    s?
    Lösung zeigen
    1. Jeder solche Punkt liegt 3 cm senkrecht über oder unter s.
    2. Auf jeder Seite von s bilden sie eine Parallele zu s.
    3. Das sind zwei Parallelen, eine auf jeder Seite.
    Ergebnis:
    auf zwei Parallelen zu s, eine auf jeder Seite

5Ich beschreibe Vierecke an ihren Seiten, Winkeln und Diagonalen.

EntdeckenFrage

Wie zeichnet man einen großen Kreis auf den Schulhof, ganz ohne Zirkel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einer Schnur und Kreide: Ein Kind hält ein Ende im Mittelpunkt fest, ein anderes führt das straffe Ende mit der Kreide herum. Die Schnur ist der Radius, und jeder Punkt der Linie ist gleich weit vom Mittelpunkt entfernt.

MerkenVierecke und ihre Eigenschaften

Vierecke unterscheidet man an drei Dingen.

Gezählt werden die Paare paralleler Seiten und die rechten Winkel, verglichen werden die Seitenlängen. Daraus folgt der Name.

BeispielVierecke und ihre Eigenschaften

Wie viele rechte Winkel hat ein allgemeines Parallelogramm?
Parallelogramm?
Schritt für Schritt
  1. Mit dem Geodreieck jede Ecke prüfen.
  2. Im allgemeinen Fall ist keine Ecke ein rechter Winkel.
  1. Mit dem Geodreieck jede Ecke prüfen.
  2. Im allgemeinen Fall ist keine Ecke ein rechter Winkel.
Ergebnis:
0 rechte Winkel

AchtungViereck am Aussehen statt an Eigenschaften erkannt

So nicht
Auf der Spitze, 4 Seiten je 3 cm, 4 rechte Winkel → Raute
So richtig
4 Seiten je 3 cm und 4 rechte Winkel → Quadrat, auch gedreht

Parallele Seiten, rechte Winkel und gleich lange Seiten prüfen. Ein gedrehtes Quadrat bleibt ein Quadrat.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Seiten sind im Raute gleich lang? Beschreibe.
    Raute?
    So fängst du an:
    Seiten mit dem Lineal vergleichen.
    Lösung zeigen
    1. Seiten mit dem Lineal vergleichen.
    2. Im Raute: alle vier Seiten sind gleich lang.
    Ergebnis:
    alle vier Seiten sind gleich lang
  2. ●14
    Wie viele Paare paralleler Seiten hat eine allgemeine Raute?
    Raute?
    Lösung zeigen
    1. Im Raute gilt: alle vier Seiten sind gleich lang.
    2. Parallele Seiten prüfen: zwei Paare.
    Ergebnis:
    2 Paare
  3. ★15
    Stehen die Diagonalen eines allgemeinen Trapezes senkrecht aufeinander?
    Trapez?
    Lösung zeigen
    1. Diagonalen verbinden gegenüberliegende Ecken.
    2. Im allgemeinen Fall schneiden sie sich nicht im rechten Winkel.
    Ergebnis:
    Nein

6Ich ordne Vierecke im Haus der Vierecke und begründe Sonderfälle.

EntdeckenFrage

Wie viele Spiele hat eine WM-Gruppe, wenn jede der vier Mannschaften gegen jede spielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs. Vier Punkte, jeder mit jedem verbunden, ergeben sechs Strecken. Deshalb hat jede Vorrundengruppe sechs Spiele, und jede Mannschaft spielt dreimal.

MerkenHaus der Vierecke

Ein Sonderfall hat alle Eigenschaften des allgemeineren Vierecks und noch mehr.

Jedes Quadrat ist ein Rechteck und eine Raute. Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm, jedes Parallelogramm ein Trapez.

BeispielHaus der Vierecke: Sonderfälle begründen

Stimmt die Aussage? Begründe mit einer Eigenschaft: „Jedes Quadrat ist ein Drachenviereck.“
QuadratDrachenviereck?
Schritt für Schritt
  1. Drachenviereck heißt: zwei Paare gleich langer Nachbarseiten.
  2. Ein Quadrat hat immer zwei Paare gleich langer Nachbarseiten.
  3. Im Haus der Vierecke steht das Quadrat unter dem Drachenviereck: wahr.
  1. Drachenviereck heißt: zwei Paare gleich langer Nachbarseiten.
  2. Ein Quadrat hat immer zwei Paare gleich langer Nachbarseiten.
  3. Im Haus der Vierecke steht das Quadrat unter dem Drachenviereck: wahr.
Ergebnis:
wahr

AchtungNoch einmal: Viereck am Aussehen statt an Eigenschaften erkannt

So nicht
Auf der Spitze, 4 Seiten je 3 cm, 4 rechte Winkel → Raute
So richtig
4 Seiten je 3 cm und 4 rechte Winkel → Quadrat, auch gedreht

Parallele Seiten, rechte Winkel und gleich lange Seiten prüfen. Ein gedrehtes Quadrat bleibt ein Quadrat.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Stimmt die Aussage? Begründe mit einer Eigenschaft: „Jedes Trapez ist eine Raute.“
    TrapezRaute?
    So fängst du an:
    Raute heißt: vier gleich lange Seiten.
    Lösung zeigen
    1. Raute heißt: vier gleich lange Seiten.
    2. Ein Trapez hat nicht immer vier gleich lange Seiten.
    3. Also falsch.
    Ergebnis:
    falsch
  2. ●17
    Stimmt die Aussage? Begründe mit einer Eigenschaft: „Jedes Trapez ist ein Drachenviereck.“
    TrapezDrachenviereck?
    Lösung zeigen
    1. Drachenviereck heißt: zwei Paare gleich langer Nachbarseiten.
    2. Ein Trapez hat nicht immer zwei Paare gleich langer Nachbarseiten.
    3. Also falsch.
    Ergebnis:
    falsch
  3. ★18
    Gibt es ein Parallelogramm, das zugleich ein Rechteck ist? Nenne ein Beispiel oder begründe, warum nicht.
    ParallelogrammRechteck?
    Lösung zeigen
    1. Parallelogramm: zwei Paare paralleler Seiten.
    2. Rechteck: vier rechte Winkel.
    3. Beides zugleich hat ein Rechteck.
    Ergebnis:
    Ja, ein Rechteck

7Ich zeichne Vierecke im Koordinatensystem und ergänze fehlende Eckpunkte.

EntdeckenFrage

Wo liegt die vierte Ecke eines Quadrats, wenn drei Ecken auf den Schachfeldern a1, a4 und d1 liegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Von a1 nach d1 geht es 3 Felder nach rechts, von a1 nach a4 3 Felder nach oben. Die vierte Ecke liegt 3 nach rechts und 3 nach oben von a1. Das ist das Feld d4.

MerkenFehlender Eckpunkt

Die fehlende Ecke findet man über einen Weg.

Im Parallelogramm führt von A nach D derselbe Weg wie von B nach C. Zähle ihn in Kästchen ab und gehe ihn von A aus.

BeispielFehlenden Eckpunkt ergänzen

Ein Rechteck ABCD hat die Ecken A(1 | 2), B(4 | 2) und C(4 | 5). Wo liegt der vierte Eckpunkt D?
01234567891012345678ABC
Schritt für Schritt
  1. Von B nach C: 3 nach oben.
  2. Dieselbe Verschiebung von A aus: 1 + 0 = 1 und 2 + 3 = 5
  3. Also D(1 | 5).
  1. Von B nach C: 3 nach oben.
  2. Dieselbe Verschiebung von A aus: 1 + 0 = 1 und 2 + 3 = 5
  3. Also D(1 | 5).
Ergebnis:
D(1 | 5)

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    A(1 | 0), B(5 | 0) und C(5 | 4) sind drei Ecken eines Quadrats ABCD. Bestimme die Koordinaten von D.
    01234567891012345678ABC
    So fängst du an:
    Von B nach C: 4 nach oben.
    Lösung zeigen
    1. Von B nach C: 4 nach oben.
    2. Dieselbe Verschiebung von A aus: 1 + 0 = 1 und 0 + 4 = 4
    3. Also D(1 | 4).
    Ergebnis:
    D(1 | 4)
  2. ●20
    Ein Quadrat ABCD hat die Ecken A(2 | 0), B(4 | 0) und C(4 | 2). Wo liegt der vierte Eckpunkt D?
    01234567891012345678ABC
    Lösung zeigen
    1. Von B nach C: 2 nach oben.
    2. Dieselbe Verschiebung von A aus: 2 + 0 = 2 und 0 + 2 = 2
    3. Also D(2 | 2).
    Ergebnis:
    D(2 | 2)
  3. ★21
    Trage A(1 | 0), B(7 | 0) und C(7 | 2) ins Koordinatensystem ein. Ergänze D so, dass ABCD ein Rechteck wird.
    01234567891012345678ABC
    Lösung zeigen
    1. Von B nach C: 2 nach oben.
    2. Dieselbe Verschiebung von A aus: 1 + 0 = 1 und 0 + 2 = 2
    3. Also D(1 | 2).
    Ergebnis:
    D(1 | 2)

8Ich zeichne Kreise mit dem Zirkel und unterscheide Radius und Durchmesser.

EntdeckenFrage

Warum ist der Mittelkreis beim Fußball 18,30 m breit, wenn die Gegner beim Anstoß nur 9,15 m weg sein müssen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Ball liegt beim Anstoß im Mittelpunkt. 9,15 m ist der Radius, der Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie. Quer durch den ganzen Kreis misst man den Durchmesser. Er ist doppelt so lang: 18,30 m.

MerkenKreis, Radius, Durchmesser

Alle Punkte eines Kreises sind gleich weit vom Mittelpunkt M entfernt.

Diese Entfernung ist der Radius r. Der Durchmesser d geht durch M und ist doppelt so lang: d = 2 · r.

BeispielRadius und Durchmesser

Um denselben Mittelpunkt M liegen zwei Kreise mit den Radien 4 cm und 6 cm. Wie breit ist der Ring zwischen ihnen?
M?
Schritt für Schritt
  1. Beide Radien beginnen in M.
  2. Die Breite des Rings ist der Unterschied der Radien.
  3. 6 cm − 4 cm = 2 cm
  1. Beide Radien beginnen in M.
  2. Die Breite des Rings ist der Unterschied der Radien.
  3. 6 cm − 4 cm = 2 cm
Ergebnis:
2 cm

AchtungRadius und Durchmesser verwechselt

So nicht
Durchmesser 8 cm → Zirkel 8 cm weit öffnen
So richtig
Radius = 8 cm : 2 = 4 cm → Zirkel 4 cm weit öffnen

Die Zirkelöffnung ist der Radius; der Durchmesser ist doppelt so lang.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Wie lang ist sein Durchmesser?
    Mr = 4 cm?
    So fängst du an:
    Der Durchmesser geht durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand.
    Lösung zeigen
    1. Der Durchmesser geht durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand.
    2. Er ist doppelt so lang wie der Radius.
    3. 2 · 4 cm = 8 cm
    Ergebnis:
    8 cm
  2. ●23
    Um denselben Mittelpunkt M liegen zwei Kreise mit den Radien 3 cm und 6 cm. Wie breit ist der Ring zwischen ihnen?
    M?
    Lösung zeigen
    1. Beide Radien beginnen in M.
    2. Die Breite des Rings ist der Unterschied der Radien.
    3. 6 cm − 3 cm = 3 cm
    Ergebnis:
    3 cm
  3. ★24
    Um denselben Mittelpunkt M liegen zwei Kreise mit den Radien 4 cm und 8 cm. Wie breit ist der Ring zwischen ihnen?
    M?
    Lösung zeigen
    1. Beide Radien beginnen in M.
    2. Die Breite des Rings ist der Unterschied der Radien.
    3. 8 cm − 4 cm = 4 cm
    Ergebnis:
    4 cm

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    6 Kinder begrüßen sich. Jedes gibt jedem anderen einmal die Hand. Zeichne jedes Kind als Punkt. Wie viele Strecken, also Handschläge, sind es?
    ABCDEF?
    Lösung zeigen
    1. Von jedem Punkt gehen 5 Verbindungen aus: 6 · 5 = 30.
    2. So ist jede Verbindung doppelt gezählt: 30 : 2 = 15.
    3. Es sind 15 Handschläge.
    Ergebnis:
    15 Handschläge
  2. ●26
    Sind die Geraden s und t zueinander parallel, senkrecht oder keins von beidem? Prüfe mit dem Geodreieck.
    st
    Lösung zeigen
    1. Richtung von s: 1 nach rechts und 1 nach oben.
    2. Richtung von t: 1 nach links und 1 nach oben.
    3. Die Richtung ist um einen rechten Winkel gedreht: Das Geodreieck passt genau in die Ecke.
    Ergebnis:
    senkrecht: s ⊥ t
  3. ●27
    Wie viele rechte Winkel hat die Figur? Prüfe jede Ecke mit dem Geodreieck.
    ABCD
    Lösung zeigen
    1. Lege die rechtwinklige Ecke des Geodreiecks genau in eine Ecke der Figur.
    2. Liegen beide Seiten an den Kanten an, ist der Winkel dort rechtwinklig. Sonst nicht.
    3. Keine Ecke passt genau. Die Figur hat keinen rechten Winkel.
    Ergebnis:
    keinen rechten Winkel
  4. ●28
    Wie viele Parallelen zu g gibt es, die genau 1 cm von g entfernt sind?
    gP?
    Lösung zeigen
    1. Eine Parallele liegt 1 cm auf der einen Seite von g.
    2. Eine zweite liegt 1 cm auf der anderen Seite.
    3. Es gibt genau 2 solche Parallelen.
    Ergebnis:
    2 Parallelen
  5. ●29
    Tom misst von C schräg bis zur Geraden s und erhält 2 cm. Ist das der Abstand von C zu s? Begründe.
    sC2 cm
    Lösung zeigen
    1. Der Abstand ist die kürzeste Verbindung.
    2. Die kürzeste Verbindung steht senkrecht auf s.
    3. Toms Strecke ist schräg und deshalb länger: Nein, 2 cm ist nicht der Abstand.
    Ergebnis:
    Nein, der Abstand wird senkrecht gemessen
  6. ●30
    Wie viele rechte Winkel hat ein allgemeines Trapez?
    Trapez?
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Geodreieck jede Ecke prüfen.
    2. Im allgemeinen Fall ist keine Ecke ein rechter Winkel.
    Ergebnis:
    0 rechte Winkel

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Strecke, Strahl, Gerade
Eine Strecke hat zwei Endpunkte und lässt sich messen.
Senkrecht und parallel
Senkrecht heißt: Zwei Geraden bilden einen rechten Winkel.
Senkrechte und Parallele zeichnen
Das Geodreieck zeichnet beides.
Abstand
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die kürzeste Verbindung.
Vierecke und ihre Eigenschaften
Vierecke unterscheidet man an drei Dingen.
Haus der Vierecke
Ein Sonderfall hat alle Eigenschaften des allgemeineren Vierecks und noch mehr.
Fehlender Eckpunkt
Die fehlende Ecke findet man über einen Weg.
Kreis, Radius, Durchmesser
Alle Punkte eines Kreises sind gleich weit vom Mittelpunkt M entfernt.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich unterscheide Strecke, Strahl und Gerade und bezeichne sie richtig.

    31
    Wie heißt die Linie durch C und D: Strecke, Strahl oder Gerade? Achte auf die Enden.
    CD
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Strahl

  2. Ich prüfe mit dem Geodreieck, ob zwei Geraden senkrecht oder parallel zueinander sind.

    32
    Lina misst an zwei Stellen, wie weit die Geraden p und q voneinander entfernt sind: 5 cm und 6 cm. Sind p und q parallel?
    pq5 cm6 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  3. Ich zeichne Senkrechte und Parallelen mit dem Geodreieck.

    33
    Die Gerade a läuft auf Kästchenpapier 3 nach rechts und 3 nach oben. Du zeichnest eine Senkrechte zu a durch P. Wie läuft sie?
    aP?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 nach links und 3 nach oben

  4. Ich bestimme den Abstand eines Punktes von einer Geraden und den Abstand von Parallelen.

    34
    Die Geraden a und b sind parallel. Bestimme ihren Abstand. Ein Kästchen ist 1 cm breit.
    ab?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 cm

  5. Ich beschreibe Vierecke an ihren Seiten, Winkeln und Diagonalen.

    35
    Wie viele rechte Winkel hat eine allgemeine Raute?
    Raute?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0 rechte Winkel

  6. Ich ordne Vierecke im Haus der Vierecke und begründe Sonderfälle.

    36
    Stimmt die Aussage? Begründe mit einer Eigenschaft: „Jede Raute ist ein Drachenviereck.“
    RauteDrachenviereck?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    wahr

  7. Ich zeichne Vierecke im Koordinatensystem und ergänze fehlende Eckpunkte.

    37
    Ein Parallelogramm ABCD hat die Ecken A(0 | 1), B(3 | 1) und C(5 | 4). Wo liegt der vierte Eckpunkt D?
    01234567891012345678ABC
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    D(2 | 4)

  8. Ich zeichne Kreise mit dem Zirkel und unterscheide Radius und Durchmesser.

    38
    Ein Kreis soll den Durchmesser 8 cm haben. Wie weit öffnest du den Zirkel?
    Md = 8 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 cm

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Beschreibe einem Partner diese Figur aus vier Linien so genau, dass er sie ohne Hinsehen nachzeichnen kann. Du darfst nicht zeigen.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Begriffe parallel und senkrecht mit den Zeichen ∥ und ⊥.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Parallele Parkplätze, senkrechte Kreuzungen, der kürzeste Weg zur Straße. Beruf: Tischlerei, Bauzeichnung, Vermessung.

Wörter

Durchmesser
einmal quer durch den Kreis
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Vierecke, Kreise und Bewegungen, Winkel, Symmetrie, Körper und Flächeninhalt, Koordinatensystem und Symmetrie

Darauf baut auf: Winkel an Geraden und in Figuren, Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme, Systematisch zählen

Lösungen

  1. Strecke
  2. Strahl
  3. Strecke
  4. Nein
  5. senkrecht: k ⊥ l
  6. parallel: p ∥ q
  7. 2 nach links und 3 nach oben
  8. 2 Parallelen
  9. 3 nach rechts und 3 nach oben
  10. 2 cm
  11. 3 cm
  12. auf zwei Parallelen zu s, eine auf jeder Seite
  13. alle vier Seiten sind gleich lang
  14. 2 Paare
  15. Nein
  16. falsch
  17. falsch
  18. Ja, ein Rechteck
  19. D(1 | 4)
  20. D(2 | 2)
  21. D(1 | 2)
  22. 8 cm
  23. 3 cm
  24. 4 cm
  25. 15 Handschläge
  26. senkrecht: s ⊥ t
  27. keinen rechten Winkel
  28. 2 Parallelen
  29. Nein, der Abstand wird senkrecht gemessen
  30. 0 rechte Winkel
  31. Strahl
  32. Nein
  33. 3 nach links und 3 nach oben
  34. 3 cm
  35. 0 rechte Winkel
  36. wahr
  37. D(2 | 4)
  38. 4 cm
  39. 2
  40. Strahl