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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Geometrische Grundbegriffe und Vierecke

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Beschreibe einem Partner diese Figur aus vier Linien so genau, dass er sie ohne Hinsehen nachzeichnen kann. Du darfst nicht zeigen.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Beschreibungen werden lang und ungenau: „die schräge Linie, die irgendwie gleich läuft wie die andere“. Die Nachzeichnungen sehen alle verschieden aus. Genau dafür gibt es zwei Wörter: parallel heißt „läuft gleich und schneidet sich nie“, senkrecht heißt „trifft im rechten Winkel“. Mit ihnen reicht ein Satz.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Vierecke erkennt man an Seiten und Winkeln, nicht an ihrer Lage; Strecke, Strahl und Gerade sind verschieden.

  1. ●39
    Das ist ein Trapez. Bestimme: Wie viele Paare paralleler Seiten hat es?
    Lösung zeigen
    1. Trapez: genau ein Paar paralleler Seiten.
    2. Paare paralleler Seiten: 1
    Ergebnis:
    1
  2. ●40
    Yusuf hat eine rote Linie gezeichnet. Entscheide: Ist sie eine Strecke, ein Strahl oder eine Gerade? Achte auf die Enden.
    Lösung zeigen
    1. Die Linie hat einen Anfangspunkt, aber kein Ende.
    2. Sie ist eine Strahl.
    Ergebnis:
    Strahl

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEigenschaften statt Aussehen

Eine Figur erkennt man an dem, was man prüfen kann: parallele Seiten, rechte Winkel, gleich lange Seiten. Dreht man sie, bleibt alles gleich – nur das Aussehen ändert sich.

Ein Parallelogramm und dasselbe gedreht: Die gegenüberliegenden Seiten bleiben parallelParallele Seiten bleiben parallelParallelogrammdasselbe, gedreht

WeiterdenkenDenk nach

Ein Quadrat wird auf die Spitze gestellt. Ist es dann noch ein Quadrat? Woran erkennst du das, ohne zu messen?

1Ich unterscheide Strecke, Strahl und Gerade und bezeichne sie richtig.

EntdeckenFrage

Warum liegen Straßenbahnschienen überall gleich weit auseinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Räder fest auf einer Achse sitzen: Die Schienen müssen parallel sein. Bei der Berliner Straßenbahn sind es 1435 Millimeter, die Normalspur. Wäre der Abstand an einer Stelle anders, spränge die Bahn heraus.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenStrecke, Strahl, Gerade

Eine Strecke hat zwei Endpunkte und lässt sich messen.

Ein Strahl hat einen Anfangspunkt und kein Ende. Eine Gerade hat weder Anfang noch Ende.

BeispielStrecke, Strahl oder Gerade?

Benenne die Linie im Bild mit ihren Punkten X und Y. Beim Strahl zuerst den Anfangspunkt.
XY
Schritt für Schritt
  1. Enden ansehen: weder Anfang noch Ende.
  2. Das ist eine Gerade.
  3. Name: Gerade XY
  1. Enden ansehen: weder Anfang noch Ende.
  2. Das ist eine Gerade.
  3. Name: Gerade XY
Ergebnis:
Gerade XY

AchtungStrecke, Strahl und Gerade verwechselt

So nicht
Anfangspunkt A, durch B, kein Ende → Strecke AB, 5 cm lang
So richtig
Ein Anfangspunkt, kein Ende → Strahl mit Anfangspunkt A durch B, nicht messbar

Auf die Enden schauen: zwei Endpunkte heißt Strecke, einer heißt Strahl, keiner heißt Gerade.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Benenne die Linie im Bild mit ihren Punkten P und Q. Beim Strahl zuerst den Anfangspunkt.
    PQ
    So fängst du an:
    Enden ansehen: weder Anfang noch Ende.
    Lösung zeigen
    1. Enden ansehen: weder Anfang noch Ende.
    2. Das ist eine Gerade.
    3. Name: Gerade PQ
    Ergebnis:
    Gerade PQ
  2. ●2
    Kann man die Linie durch C und D ganz mit dem Lineal messen? Begründe mit den Enden.
    CD
    Lösung zeigen
    1. Die Linie hat weder Anfang noch Ende.
    2. Messen kann man nur eine Linie mit zwei Endpunkten.
    3. Nein, eine Gerade hat weder Anfang noch Ende.
    Ergebnis:
    Nein, eine Gerade hat weder Anfang noch Ende.
  3. ★3
    Kann man die Linie durch G und H ganz mit dem Lineal messen? Begründe mit den Enden.
    GH
    Lösung zeigen
    1. Die Linie hat einen Anfangspunkt und kein Ende.
    2. Messen kann man nur eine Linie mit zwei Endpunkten.
    3. Nein, ein Strahl hat nur einen Anfangspunkt und kein Ende.
    Ergebnis:
    Nein, ein Strahl hat nur einen Anfangspunkt und kein Ende.

2Ich prüfe mit dem Geodreieck, ob zwei Geraden senkrecht oder parallel zueinander sind.

EntdeckenFrage

Wie misst man, wie weit ein Haus von der Grundstücksgrenze steht – schräg oder gerade hinüber?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Senkrecht, denn der Abstand ist die kürzeste Verbindung. Die Berliner Bauordnung schreibt ausdrücklich vor, dass die Tiefe der Abstandsfläche senkrecht zur Wand gemessen wird. Jede schräge Strecke wäre länger.

MerkenSenkrecht und parallel

Senkrecht heißt: Zwei Geraden bilden einen rechten Winkel.

Parallel heißt: Sie sind überall gleich weit voneinander entfernt. Die Zeichen dafür sind ⊥ und ∥.

BeispielParallel oder senkrecht prüfen

Schreibe mit Zeichen: Gilt g ∥ h oder g ⊥ h – oder keins von beidem? Begründe mit der Richtung im Kästchenmuster.
gh
Schritt für Schritt
  1. Richtung von g: 3 nach rechts und 1 nach oben.
  2. Richtung von h: 3 nach rechts und 1 nach oben.
  3. Gleiche Richtung: Die Geraden schneiden sich nie, sie sind parallel.
  1. Richtung von g: 3 nach rechts und 1 nach oben.
  2. Richtung von h: 3 nach rechts und 1 nach oben.
  3. Gleiche Richtung: Die Geraden schneiden sich nie, sie sind parallel.
Ergebnis:
parallel: g ∥ h

AchtungSenkrecht mit „von oben nach unten“ verwechselt

So nicht
g: 3 nach rechts, 1 nach oben; h: 1 nach links, 3 nach oben → nicht senkrecht, h ist schräg
So richtig
g: 3 rechts, 1 oben; h: 1 links, 3 oben → um 90° gedreht, g ⊥ h

Senkrecht heißt: rechter Winkel zur anderen Geraden – auch wenn beide schräg liegen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Schreibe mit Zeichen: Gilt p ∥ q oder p ⊥ q – oder keins von beidem? Begründe mit der Richtung im Kästchenmuster.
    pq
    So fängst du an:
    Richtung von p: 1 nach oben.
    Lösung zeigen
    1. Richtung von p: 1 nach oben.
    2. Richtung von q: 1 nach oben.
    3. Gleiche Richtung: Die Geraden schneiden sich nie, sie sind parallel.
    Ergebnis:
    parallel: p ∥ q
  2. ●5
    Schreibe mit Zeichen: Gilt k ∥ l oder k ⊥ l – oder keins von beidem? Begründe mit der Richtung im Kästchenmuster.
    kl
    Lösung zeigen
    1. Richtung von k: 1 nach rechts und 1 nach oben.
    2. Richtung von l: 1 nach links und 1 nach oben.
    3. Die Richtung ist um einen rechten Winkel gedreht: Das Geodreieck passt genau in die Ecke.
    Ergebnis:
    senkrecht: k ⊥ l
  3. ★6
    Die Geraden p und q schneiden sich. Der Winkel zwischen ihnen beträgt 90°. Stehen sie senkrecht aufeinander?
    pq90°
    Lösung zeigen
    1. Senkrecht heißt: Der Winkel ist genau 90°.
    2. 90° ist genau 90°.
    3. Ja: p ⊥ q.
    Ergebnis:
    Ja, p ⊥ q

3Ich zeichne Senkrechte und Parallelen mit dem Geodreieck.

EntdeckenFrage

Ist jedes Quadrat ein Rechteck – oder ist das Wortklauberei?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Rechteck ist jedes Viereck mit vier rechten Winkeln. Das Quadrat hat vier rechte Winkel, also ist es ein Rechteck, und zwar eines mit gleich langen Seiten. Wer Vierecke an Eigenschaften erkennt statt am Aussehen, sieht das sofort.

MerkenSenkrechte und Parallele zeichnen

Das Geodreieck zeichnet beides.

Für eine Senkrechte liegt die Mittellinie auf der Geraden, für eine Parallele eine Hilfslinie. Gezeichnet wird an der langen Kante.

BeispielSenkrechte und Parallele auf Kästchenpapier

Die Gerade g läuft auf Kästchenpapier 3 nach rechts und 2 nach oben. Du zeichnest eine Senkrechte zu g durch K. Wie läuft sie?
gK?
Schritt für Schritt
  1. Senkrecht heißt: um einen rechten Winkel gedreht.
  2. Die beiden Zahlen tauschen, und eine Richtung dreht sich um.
  3. Sie läuft 2 nach links und 3 nach oben.
  1. Senkrecht heißt: um einen rechten Winkel gedreht.
  2. Die beiden Zahlen tauschen, und eine Richtung dreht sich um.
  3. Sie läuft 2 nach links und 3 nach oben.
Ergebnis:
2 nach links und 3 nach oben

AchtungParallel und senkrecht verwechselt oder nach Augenmaß entschieden

So nicht
zwei schräge Geraden im rechten Winkel → nicht senkrecht
So richtig
zwei schräge Geraden im rechten Winkel → senkrecht

Leg das Geodreieck an. Passt der rechte Winkel genau, stehen die Geraden senkrecht aufeinander.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wie viele Senkrechte zu g kannst du durch den Punkt A zeichnen? Probiere es mit dem Geodreieck.
    gA?
    So fängst du an:
    Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf g.
    Lösung zeigen
    1. Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf g.
    2. Schiebe es, bis die Kante durch A geht. Das klappt nur an einer Stelle.
    3. Es gibt genau 1 Senkrechte.
    Ergebnis:
    1 Senkrechte
  2. ●8
    Wie viele Senkrechte zu s kannst du durch den Punkt R zeichnen? Probiere es mit dem Geodreieck.
    sR?
    Lösung zeigen
    1. Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf s.
    2. Schiebe es, bis die Kante durch R geht. Das klappt nur an einer Stelle.
    3. Es gibt genau 1 Senkrechte.
    Ergebnis:
    1 Senkrechte
  3. ★9
    Wie viele Parallelen zu a gibt es, die genau 3 cm von a entfernt sind?
    aU?
    Lösung zeigen
    1. Eine Parallele liegt 3 cm auf der einen Seite von a.
    2. Eine zweite liegt 3 cm auf der anderen Seite.
    3. Es gibt genau 2 solche Parallelen.
    Ergebnis:
    2 Parallelen

4Ich bestimme den Abstand eines Punktes von einer Geraden und den Abstand von Parallelen.

EntdeckenFrage

Bleibt ein Quadrat ein Quadrat, wenn man es auf die Spitze stellt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Seiten und Winkel ändern sich beim Drehen nicht. Trotzdem nennen in Untersuchungen viele Kinder das gedrehte Quadrat eine Raute, weil sie Figuren am typischen Aussehen erkennen und nicht an ihren Eigenschaften.

MerkenAbstand

Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die kürzeste Verbindung.

Sie steht senkrecht auf der Geraden. Parallelen haben überall denselben Abstand.

BeispielAbstand von einer Geraden

Die Geraden a und b sind parallel. Bestimme ihren Abstand. Ein Kästchen ist 0,5 cm breit.
ab?
Schritt für Schritt
  1. Senkrecht von a nach b zählen: 6 Kästchen.
  2. 6 · 0,5 cm = 3 cm
  3. Der Abstand ist überall gleich: 3 cm.
  1. Senkrecht von a nach b zählen: 6 Kästchen.
  2. 6 · 0,5 cm = 3 cm
  3. Der Abstand ist überall gleich: 3 cm.
Ergebnis:
3 cm

AchtungAbstand schräg gemessen

So nicht
P liegt 4 Kästchen über g; schräg gemessen 3 cm → Abstand 3 cm
So richtig
Senkrecht: 4 Kästchen · 0,5 cm = 2 cm → Abstand 2 cm

Der Abstand steht senkrecht auf der Geraden; jede schräge Strecke ist länger.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Wie groß ist der Abstand des Punktes E von der Geraden s? Ein Kästchen ist 0,5 cm breit.
    sE?
    So fängst du an:
    Kürzester Weg von E zu s: senkrecht auf s.
    Lösung zeigen
    1. Kürzester Weg von E zu s: senkrecht auf s.
    2. Das sind 3 Kästchen.
    3. 3 · 0,5 cm = 1,5 cm
    Ergebnis:
    1,5 cm
  2. ●11
    Tom misst von C schräg bis zur Geraden k und erhält 3 cm. Ist das der Abstand von C zu k? Begründe.
    kC3 cm
    Lösung zeigen
    1. Der Abstand ist die kürzeste Verbindung.
    2. Die kürzeste Verbindung steht senkrecht auf k.
    3. Toms Strecke ist schräg und deshalb länger: Nein, 3 cm ist nicht der Abstand.
    Ergebnis:
    Nein, der Abstand wird senkrecht gemessen
  3. ★12
    Wo liegen alle Punkte, die von der Geraden p genau 2 cm Abstand haben? Beschreibe.
    p?
    Lösung zeigen
    1. Jeder solche Punkt liegt 2 cm senkrecht über oder unter p.
    2. Auf jeder Seite von p bilden sie eine Parallele zu p.
    3. Das sind zwei Parallelen, eine auf jeder Seite.
    Ergebnis:
    auf zwei Parallelen zu p, eine auf jeder Seite

5Ich beschreibe Vierecke an ihren Seiten, Winkeln und Diagonalen.

EntdeckenFrage

Wie zeichnet man einen großen Kreis auf den Schulhof, ganz ohne Zirkel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einer Schnur und Kreide: Ein Kind hält ein Ende im Mittelpunkt fest, ein anderes führt das straffe Ende mit der Kreide herum. Die Schnur ist der Radius, und jeder Punkt der Linie ist gleich weit vom Mittelpunkt entfernt.

MerkenVierecke und ihre Eigenschaften

Vierecke unterscheidet man an drei Dingen.

Gezählt werden die Paare paralleler Seiten und die rechten Winkel, verglichen werden die Seitenlängen. Daraus folgt der Name.

BeispielVierecke und ihre Eigenschaften

Welche Seiten sind im Drachenviereck gleich lang? Beschreibe.
Drachenviereck?
Schritt für Schritt
  1. Seiten mit dem Lineal vergleichen.
  2. Im Drachenviereck: je zwei benachbarte Seiten sind gleich lang.
  1. Seiten mit dem Lineal vergleichen.
  2. Im Drachenviereck: je zwei benachbarte Seiten sind gleich lang.
Ergebnis:
je zwei benachbarte Seiten sind gleich lang

AchtungViereck am Aussehen statt an Eigenschaften erkannt

So nicht
Auf der Spitze, 4 Seiten je 3 cm, 4 rechte Winkel → Raute
So richtig
4 Seiten je 3 cm und 4 rechte Winkel → Quadrat, auch gedreht

Parallele Seiten, rechte Winkel und gleich lange Seiten prüfen. Ein gedrehtes Quadrat bleibt ein Quadrat.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie viele Paare paralleler Seiten hat ein allgemeines Drachenviereck?
    Drachenviereck?
    So fängst du an:
    Im Drachenviereck gilt: je zwei benachbarte Seiten sind gleich lang.
    Lösung zeigen
    1. Im Drachenviereck gilt: je zwei benachbarte Seiten sind gleich lang.
    2. Parallele Seiten prüfen: keine.
    Ergebnis:
    0 Paare
  2. ●14
    Ein Viereck hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Wie heißt es ganz genau?
    Lösung zeigen
    1. Der Reihe nach prüfen: parallele Seiten, rechte Winkel, gleich lange Seiten.
    2. Genau diese Eigenschaften hat das Quadrat.
    Ergebnis:
    Quadrat
  3. ★15
    Wie viele rechte Winkel hat ein Quadrat?
    Quadrat?
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Geodreieck jede Ecke prüfen.
    2. Alle vier Ecken sind rechte Winkel.
    Ergebnis:
    4 rechte Winkel

6Ich ordne Vierecke im Haus der Vierecke und begründe Sonderfälle.

EntdeckenFrage

Wie viele Spiele hat eine WM-Gruppe, wenn jede der vier Mannschaften gegen jede spielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs. Vier Punkte, jeder mit jedem verbunden, ergeben sechs Strecken. Deshalb hat jede Vorrundengruppe sechs Spiele, und jede Mannschaft spielt dreimal.

MerkenHaus der Vierecke

Ein Sonderfall hat alle Eigenschaften des allgemeineren Vierecks und noch mehr.

Jedes Quadrat ist ein Rechteck und eine Raute. Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm, jedes Parallelogramm ein Trapez.

BeispielHaus der Vierecke: Sonderfälle begründen

Stimmt die Aussage? Begründe mit einer Eigenschaft: „Alle Quadrate sind Drachenvierecke.“
QuadratDrachenviereck?
Schritt für Schritt
  1. Drachenviereck heißt: zwei Paare gleich langer Nachbarseiten.
  2. Ein Quadrat hat immer zwei Paare gleich langer Nachbarseiten.
  3. Im Haus der Vierecke steht das Quadrat unter dem Drachenviereck: wahr.
  1. Drachenviereck heißt: zwei Paare gleich langer Nachbarseiten.
  2. Ein Quadrat hat immer zwei Paare gleich langer Nachbarseiten.
  3. Im Haus der Vierecke steht das Quadrat unter dem Drachenviereck: wahr.
Ergebnis:
wahr

AchtungNoch einmal: Viereck am Aussehen statt an Eigenschaften erkannt

So nicht
Auf der Spitze, 4 Seiten je 3 cm, 4 rechte Winkel → Raute
So richtig
4 Seiten je 3 cm und 4 rechte Winkel → Quadrat, auch gedreht

Parallele Seiten, rechte Winkel und gleich lange Seiten prüfen. Ein gedrehtes Quadrat bleibt ein Quadrat.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Stimmt die Aussage? Begründe mit einer Eigenschaft: „Alle Trapeze sind Quadrate.“
    TrapezQuadrat?
    So fängst du an:
    Quadrat heißt: vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.
    Lösung zeigen
    1. Quadrat heißt: vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.
    2. Ein Trapez hat nicht immer vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel.
    3. Also falsch.
    Ergebnis:
    falsch
  2. ●17
    Stimmt die Aussage? Begründe mit einer Eigenschaft: „Alle Drachenvierecke sind Trapeze.“
    DrachenviereckTrapez?
    Lösung zeigen
    1. Trapez heißt: mindestens ein Paar paralleler Seiten.
    2. Ein Drachenviereck hat nicht immer mindestens ein Paar paralleler Seiten.
    3. Also falsch.
    Ergebnis:
    falsch
  3. ★18
    Gibt es ein Drachenviereck, das zugleich ein Parallelogramm ist? Nenne ein Beispiel oder begründe, warum nicht.
    DrachenviereckParallelogramm?
    Lösung zeigen
    1. Drachenviereck: zwei Paare gleich langer Nachbarseiten.
    2. Parallelogramm: zwei Paare paralleler Seiten.
    3. Beides zugleich hat eine Raute.
    Ergebnis:
    Ja, eine Raute

7Ich zeichne Vierecke im Koordinatensystem und ergänze fehlende Eckpunkte.

EntdeckenFrage

Wo liegt die vierte Ecke eines Quadrats, wenn drei Ecken auf den Schachfeldern a1, a4 und d1 liegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Von a1 nach d1 geht es 3 Felder nach rechts, von a1 nach a4 3 Felder nach oben. Die vierte Ecke liegt 3 nach rechts und 3 nach oben von a1. Das ist das Feld d4.

MerkenFehlender Eckpunkt

Die fehlende Ecke findet man über einen Weg.

Im Parallelogramm führt von A nach D derselbe Weg wie von B nach C. Zähle ihn in Kästchen ab und gehe ihn von A aus.

BeispielFehlenden Eckpunkt ergänzen

Ein Rechteck ABCD hat die Ecken A(0 | 1), B(6 | 1) und C(6 | 4). Wo liegt der vierte Eckpunkt D?
01234567891012345678ABC
Schritt für Schritt
  1. Von B nach C: 3 nach oben.
  2. Dieselbe Verschiebung von A aus: 0 + 0 = 0 und 1 + 3 = 4
  3. Also D(0 | 4).
  1. Von B nach C: 3 nach oben.
  2. Dieselbe Verschiebung von A aus: 0 + 0 = 0 und 1 + 3 = 4
  3. Also D(0 | 4).
Ergebnis:
D(0 | 4)

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Parallelogramm ABCD hat die Ecken A(3 | 2), B(6 | 2) und C(7 | 4). Wo liegt der vierte Eckpunkt D?
    01234567891012345678ABC
    So fängst du an:
    Von B nach C: 1 nach rechts und 2 nach oben.
    Lösung zeigen
    1. Von B nach C: 1 nach rechts und 2 nach oben.
    2. Dieselbe Verschiebung von A aus: 3 + 1 = 4 und 2 + 2 = 4
    3. Also D(4 | 4).
    Ergebnis:
    D(4 | 4)
  2. ●20
    Ein Parallelogramm ABCD hat die Ecken A(0 | 0), B(5 | 0) und C(6 | 3). Wo liegt der vierte Eckpunkt D?
    01234567891012345678ABC
    Lösung zeigen
    1. Von B nach C: 1 nach rechts und 3 nach oben.
    2. Dieselbe Verschiebung von A aus: 0 + 1 = 1 und 0 + 3 = 3
    3. Also D(1 | 3).
    Ergebnis:
    D(1 | 3)
  3. ★21
    A(2 | 2), B(6 | 2) und C(6 | 4) sind drei Ecken eines Rechtecks ABCD. Bestimme die Koordinaten von D.
    01234567891012345678ABC
    Lösung zeigen
    1. Von B nach C: 2 nach oben.
    2. Dieselbe Verschiebung von A aus: 2 + 0 = 2 und 2 + 2 = 4
    3. Also D(2 | 4).
    Ergebnis:
    D(2 | 4)

8Ich zeichne Kreise mit dem Zirkel und unterscheide Radius und Durchmesser.

EntdeckenFrage

Warum ist der Mittelkreis beim Fußball 18,30 m breit, wenn die Gegner beim Anstoß nur 9,15 m weg sein müssen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Ball liegt beim Anstoß im Mittelpunkt. 9,15 m ist der Radius, der Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie. Quer durch den ganzen Kreis misst man den Durchmesser. Er ist doppelt so lang: 18,30 m.

MerkenKreis, Radius, Durchmesser

Alle Punkte eines Kreises sind gleich weit vom Mittelpunkt M entfernt.

Diese Entfernung ist der Radius r. Der Durchmesser d geht durch M und ist doppelt so lang: d = 2 · r.

BeispielRadius und Durchmesser

Wie viele Kreise mit dem Radius 4 cm passen nebeneinander auf eine Strecke von 48 cm?
48 cm4 cm?
Schritt für Schritt
  1. Ein Kreis braucht seinen Durchmesser: 2 · 4 cm = 8 cm.
  2. 48 cm : 8 cm = 6
  3. Es passen 6 Kreise nebeneinander.
  1. Ein Kreis braucht seinen Durchmesser: 2 · 4 cm = 8 cm.
  2. 48 cm : 8 cm = 6
  3. Es passen 6 Kreise nebeneinander.
Ergebnis:
6 Kreise

AchtungRadius und Durchmesser verwechselt

So nicht
Durchmesser 8 cm → Zirkel 8 cm weit öffnen
So richtig
Radius = 8 cm : 2 = 4 cm → Zirkel 4 cm weit öffnen

Die Zirkelöffnung ist der Radius; der Durchmesser ist doppelt so lang.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Wie viele Kreise mit dem Radius 1 cm passen nebeneinander auf eine Strecke von 6 cm?
    6 cm1 cm?
    So fängst du an:
    Ein Kreis braucht seinen Durchmesser: 2 · 1 cm = 2 cm.
    Lösung zeigen
    1. Ein Kreis braucht seinen Durchmesser: 2 · 1 cm = 2 cm.
    2. 6 cm : 2 cm = 3
    3. Es passen 3 Kreise nebeneinander.
    Ergebnis:
    3 Kreise
  2. ●23
    Um denselben Mittelpunkt M liegen zwei Kreise mit den Radien 2 cm und 6 cm. Wie breit ist der Ring zwischen ihnen?
    M?
    Lösung zeigen
    1. Beide Radien beginnen in M.
    2. Die Breite des Rings ist der Unterschied der Radien.
    3. 6 cm − 2 cm = 4 cm
    Ergebnis:
    4 cm
  3. ★24
    Ein runder Teller mit 24 cm Durchmesser liegt genau in der Mitte eines quadratischen Tisches mit 50 cm Seitenlänge. Wie weit ist der Tellerrand von der Tischkante entfernt?
    Lösung zeigen
    1. Links und rechts vom Teller bleibt zusammen 50 cm − 24 cm = 26 cm.
    2. Das verteilt sich auf zwei Seiten.
    3. 26 cm : 2 = 13 cm
    Ergebnis:
    13 cm

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Benenne die Linie im Bild mit ihren Punkten U und V. Beim Strahl zuerst den Anfangspunkt.
    VU
    Lösung zeigen
    1. Enden ansehen: einen Anfangspunkt und kein Ende.
    2. Das ist ein Strahl.
    3. Name: Strahl mit Anfangspunkt V durch U
    Ergebnis:
    Strahl mit Anfangspunkt V durch U
  2. ●26
    Im Bild liegen 6 Punkte. Wie viele Strecken kannst du zeichnen, die je zwei Punkte verbinden?
    ABCDEF?
    Lösung zeigen
    1. Von jedem Punkt gehen 5 Verbindungen aus: 6 · 5 = 30.
    2. So ist jede Verbindung doppelt gezählt: 30 : 2 = 15.
    3. Man kann 15 Strecken zeichnen.
    Ergebnis:
    15 Strecken
  3. ●27
    Sind die Geraden s und t zueinander parallel, senkrecht oder keins von beidem? Prüfe mit dem Geodreieck.
    st
    Lösung zeigen
    1. Richtung von s: 2 nach rechts und 1 nach oben.
    2. Richtung von t: 1 nach oben.
    3. Weder gleiche Richtung noch ein rechter Winkel: keins von beidem.
    Ergebnis:
    keins von beidem
  4. ●28
    Wie viele rechte Winkel hat die Figur? Prüfe jede Ecke mit dem Geodreieck.
    ABC
    Lösung zeigen
    1. Lege die rechtwinklige Ecke des Geodreiecks genau in eine Ecke der Figur.
    2. Liegen beide Seiten an den Kanten an, ist der Winkel dort rechtwinklig. Sonst nicht.
    3. Es passt bei A: einen rechten Winkel.
    Ergebnis:
    einen rechten Winkel
  5. ●29
    Die Gerade p läuft 3 nach rechts. Wie läuft eine Parallele zu p durch den Punkt P?
    pP?
    Lösung zeigen
    1. Parallel heißt: dieselbe Richtung.
    2. Also wie p: 3 nach rechts.
    3. Die Parallele durch P läuft 3 nach rechts.
    Ergebnis:
    3 nach rechts
  6. ●30
    Die Geraden p und q sind parallel. Bestimme ihren Abstand. Ein Kästchen ist 1 cm breit.
    pq?
    Lösung zeigen
    1. Senkrecht von p nach q zählen: 3 Kästchen.
    2. 3 · 1 cm = 3 cm
    3. Der Abstand ist überall gleich: 3 cm.
    Ergebnis:
    3 cm

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Strecke, Strahl, Gerade
Eine Strecke hat zwei Endpunkte und lässt sich messen.
Senkrecht und parallel
Senkrecht heißt: Zwei Geraden bilden einen rechten Winkel.
Senkrechte und Parallele zeichnen
Das Geodreieck zeichnet beides.
Abstand
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die kürzeste Verbindung.
Vierecke und ihre Eigenschaften
Vierecke unterscheidet man an drei Dingen.
Haus der Vierecke
Ein Sonderfall hat alle Eigenschaften des allgemeineren Vierecks und noch mehr.
Fehlender Eckpunkt
Die fehlende Ecke findet man über einen Weg.
Kreis, Radius, Durchmesser
Alle Punkte eines Kreises sind gleich weit vom Mittelpunkt M entfernt.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich unterscheide Strecke, Strahl und Gerade und bezeichne sie richtig.

    31
    Wie heißt die Linie durch P und Q: Strecke, Strahl oder Gerade? Achte auf die Enden.
    PQ
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gerade

  2. Ich prüfe mit dem Geodreieck, ob zwei Geraden senkrecht oder parallel zueinander sind.

    32
    Schreibe mit Zeichen: Gilt g ∥ h oder g ⊥ h – oder keins von beidem? Begründe mit der Richtung im Kästchenmuster.
    gh
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    parallel: g ∥ h

  3. Ich zeichne Senkrechte und Parallelen mit dem Geodreieck.

    33
    Die Gerade p läuft auf Kästchenpapier 2 nach rechts und 3 nach oben. Du zeichnest eine Senkrechte zu p durch X. Wie läuft sie?
    pX?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 nach links und 2 nach oben

  4. Ich bestimme den Abstand eines Punktes von einer Geraden und den Abstand von Parallelen.

    34
    Die Geraden p und q sind parallel. Bestimme ihren Abstand. Ein Kästchen ist 0,5 cm breit.
    pq?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 cm

  5. Ich beschreibe Vierecke an ihren Seiten, Winkeln und Diagonalen.

    35
    Ein Viereck hat vier gleich lange Seiten, aber keinen rechten Winkel. Wie heißt es ganz genau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Raute

  6. Ich ordne Vierecke im Haus der Vierecke und begründe Sonderfälle.

    36
    Stimmt die Aussage? Begründe mit einer Eigenschaft: „Alle Drachenvierecke sind Parallelogramme.“
    DrachenviereckParallelogramm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch

  7. Ich zeichne Vierecke im Koordinatensystem und ergänze fehlende Eckpunkte.

    37
    Trage A(3 | 1), B(6 | 1) und C(8 | 4) ins Koordinatensystem ein. Ergänze D so, dass ABCD ein Parallelogramm wird.
    01234567891012345678ABC
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    D(5 | 4)

  8. Ich zeichne Kreise mit dem Zirkel und unterscheide Radius und Durchmesser.

    38
    Wie viele Kreise mit dem Radius 3 cm passen nebeneinander auf eine Strecke von 12 cm?
    12 cm3 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Kreise

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Beschreibe einem Partner diese Figur aus vier Linien so genau, dass er sie ohne Hinsehen nachzeichnen kann. Du darfst nicht zeigen.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Begriffe parallel und senkrecht mit den Zeichen ∥ und ⊥.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Parallele Parkplätze, senkrechte Kreuzungen, der kürzeste Weg zur Straße. Beruf: Tischlerei, Bauzeichnung, Vermessung.

Wörter

Durchmesser
einmal quer durch den Kreis
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Radius
vom Mittelpunkt bis zum Rand
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Vierecke, Kreise und Bewegungen, Winkel, Symmetrie, Körper und Flächeninhalt, Koordinatensystem und Symmetrie

Darauf baut auf: Winkel an Geraden und in Figuren, Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme, Systematisch zählen

Lösungen

  1. Gerade PQ
  2. Nein, eine Gerade hat weder Anfang noch Ende.
  3. Nein, ein Strahl hat nur einen Anfangspunkt und kein Ende.
  4. parallel: p ∥ q
  5. senkrecht: k ⊥ l
  6. Ja, p ⊥ q
  7. 1 Senkrechte
  8. 1 Senkrechte
  9. 2 Parallelen
  10. 1,5 cm
  11. Nein, der Abstand wird senkrecht gemessen
  12. auf zwei Parallelen zu p, eine auf jeder Seite
  13. 0 Paare
  14. Quadrat
  15. 4 rechte Winkel
  16. falsch
  17. falsch
  18. Ja, eine Raute
  19. D(4 | 4)
  20. D(1 | 3)
  21. D(2 | 4)
  22. 3 Kreise
  23. 4 cm
  24. 13 cm
  25. Strahl mit Anfangspunkt V durch U
  26. 15 Strecken
  27. keins von beidem
  28. einen rechten Winkel
  29. 3 nach rechts
  30. 3 cm
  31. Gerade
  32. parallel: g ∥ h
  33. 3 nach links und 2 nach oben
  34. 1 cm
  35. Raute
  36. falsch
  37. D(5 | 4)
  38. 2 Kreise
  39. 1
  40. Strahl