Mathematik · Klasse 12 und 13 · Kapitel

Geraden und Ebenen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Flugzeug startet bei (0|0|10) und fliegt je Minute (2|1|0). Wo ist es nach 1, 2, 3, 7, 12 und 30 Minuten? Und nach 4,5 Minuten? Rechne jede Zeit einzeln.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Sieben Rechnungen für sieben Zeiten, und bei jeder neuen Frage eine neue. Die Klasse will alle Positionen in einer Zeile. Position = (0|0|10) + t · (2|1|0). Eine Zeile für jede Zeit – die Parameterform.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Vektor ist eine Verschiebung; Vielfache zeigen in dieselbe Richtung.

●48
Prüfe, ob die Vektoren a = (1 | −4 | 3) und b = (−2 | 7 | −6) kollinear sind.
Lösung zeigen
1. Kollinear heißt: b = λ · a für ein λ.
2. Erste Koordinate: λ = −21 = −2
3. Zweite Koordinate liefert λ = −1,75 ≠ −2 → nicht kollinear.
Ergebnis:
nein
●49
Prüfe, ob die Vektoren a = (1 | −2 | 5) und b = (3 | −7 | 15) kollinear sind.
Lösung zeigen
1. Kollinear heißt: b = λ · a für ein λ.
2. Erste Koordinate: λ = 31 = 3
3. Zweite Koordinate liefert λ = 3,5 ≠ 3 → nicht kollinear.
Ergebnis:
nein

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Aufpunkt und eine Richtung

Eine Gerade im Raum braucht einen Punkt, an dem sie liegt, und eine Richtung, in die sie zeigt. Eine Ebene braucht einen Punkt und zwei Richtungen.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Geraden schneiden sich nicht. Sind sie deshalb parallel?

1Ich stelle Geradengleichungen in Parameterform auf.

EntdeckenFrage

Wie weiß ein Computerspiel, ob die Kugel die Wand trifft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Flugbahn ist eine Gerade, die Wand eine Ebene – der Schnittpunkt sagt, wo und ob. Jede Sekunde rechnet die Grafikkarte Millionen solcher Schnittpunkte.

MerkenGeradengleichung

g: x = A + t · u – Stützpunkt A, Richtungsvektor u, Parameter t.

BeispielGeradengleichung aufstellen

Bestimme eine Gleichung der Geraden durch A(−3 | −3 | 3) und B(0 | −9 | 0) in Parameterform.

Schritt für Schritt

Richtungsvektor: AB = OB − OA = (3 | −6 | −3)
Stützvektor: OA = (−3 | −3 | 3)
g: x = (−3 | −3 | 3) + t · (3 | −6 | −3)

Richtungsvektor: AB = OB − OA = (3 | −6 | −3)
Stützvektor: OA = (−3 | −3 | 3)
g: x = (−3 | −3 | 3) + t · (3 | −6 | −3)

Ergebnis:

g: x = (−3 | −3 | 3) + t · (3 | −6 | −3)

AchtungPunktprobe nur mit einer Gleichung

So nicht

P(1; 2; 3) auf g: x = 1 + t stimmt für t = 0, also liegt P auf g

So richtig

P(1; 2; 3): t = 0 aus Zeile 1; Zeile 2: 2 = 0 + 2t stimmt nicht → P liegt nicht auf g

t aus einer Zeile, dann in allen anderen prüfen.

ÜbenJetzt du

○1
Bestimme eine Gleichung der Geraden durch A(−2 | −3 | 0) und B(−4 | −7 | 3) in Parameterform.
So fängst du an:
Richtungsvektor: AB = OB − OA = (−2 | −4 | 3)
Lösung zeigen
1. Richtungsvektor: AB = OB − OA = (−2 | −4 | 3)
2. Stützvektor: OA = (−2 | −3 | 0)
3. g: x = (−2 | −3 | 0) + t · (−2 | −4 | 3)
Ergebnis:
g: x = (−2 | −3 | 0) + t · (−2 | −4 | 3)
●2
Bestimme eine Gleichung der Geraden durch A(3 | 0 | 2) und B(0 | 3 | 5) in Parameterform.
Lösung zeigen
1. Richtungsvektor: AB = OB − OA = (−3 | 3 | 3)
2. Stützvektor: OA = (3 | 0 | 2)
3. g: x = (3 | 0 | 2) + t · (−3 | 3 | 3)
Ergebnis:
g: x = (3 | 0 | 2) + t · (−3 | 3 | 3)
★3
Bestimme eine Gleichung der Geraden durch A(2 | 1 | 5) und B(5 | −5 | 11) in Parameterform.
Lösung zeigen
1. Richtungsvektor: AB = OB − OA = (3 | −6 | 6)
2. Stützvektor: OA = (2 | 1 | 5)
3. g: x = (2 | 1 | 5) + t · (3 | −6 | 6)
Ergebnis:
g: x = (2 | 1 | 5) + t · (3 | −6 | 6)

2Ich prüfe, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt (Punktprobe).

EntdeckenFrage

Fliegen zwei Flugzeuge aufeinander zu, wenn sich ihre Linien auf der Karte kreuzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. Auf der Karte kreuzen sich die Spuren, im Raum können die Bahnen aneinander vorbeilaufen – sie treffen sich nur, wenn beide zur selben Zeit denselben Punkt haben.

MerkenPunktprobe

Punkt gleichsetzen, aus einer Koordinate t bestimmen, mit den anderen prüfen.

Alle drei müssen passen.

BeispielPunktprobe bei einer Geraden

g: x = (2 | 1 | 1) + t · (1 | 1 | −1). Prüfe, ob P(1 | 0 | 2) auf g liegt.

Schritt für Schritt

Gleichsetzen: 1 = 2 + t · 1, 0 = 1 + t · 1, 2 = 1 + t · (−1)
Alle drei Gleichungen liefern t = −1 → P liegt auf g

Gleichsetzen: 1 = 2 + t · 1, 0 = 1 + t · 1, 2 = 1 + t · (−1)
Alle drei Gleichungen liefern t = −1 → P liegt auf g

Ergebnis:

ja, t = −1

ÜbenJetzt du

○4
g: x = (0 | 0 | 0) + t · (2 | 3 | −1). Prüfe, ob P(−4 | −6 | 3) auf g liegt.
So fängst du an:
Gleichsetzen: −4 = 0 + t · 2, −6 = 0 + t · 3, 3 = 0 + t · (−1)
Lösung zeigen
1. Gleichsetzen: −4 = 0 + t · 2, −6 = 0 + t · 3, 3 = 0 + t · (−1)
2. Erste Gleichung: t = −2, dritte Gleichung liefert einen anderen Wert → Widerspruch
Ergebnis:
nein
●5
g: x = (−2 | 2 | −2) + t · (−1 | 3 | −1). Prüfe, ob P(−1 | −1 | 0) auf g liegt.
Lösung zeigen
1. Gleichsetzen: −1 = −2 + t · (−1), −1 = 2 + t · 3, 0 = −2 + t · (−1)
2. Erste Gleichung: t = −1, dritte Gleichung liefert einen anderen Wert → Widerspruch
Ergebnis:
nein
★6
g: x = (−1 | 1 | 0) + t · (−1 | 3 | −1). Prüfe, ob P(−4 | 10 | −3) auf g liegt.
Lösung zeigen
1. Gleichsetzen: −4 = −1 + t · (−1), 10 = 1 + t · 3, −3 = 0 + t · (−1)
2. Alle drei Gleichungen liefern t = 3 → P liegt auf g
Ergebnis:
ja, t = 3

3Ich untersuche die Lage zweier Geraden (parallel, schneidend, windschief).

EntdeckenFrage

Warum können sich zwei Linien im Raum verfehlen, obwohl keine parallel zur anderen liegt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil sie auf verschiedenen Höhen verlaufen. Eine Straße und die Brücke darüber sind weder parallel, noch schneiden sie sich – im Raum gibt es diesen dritten Fall.

MerkenLage zweier Geraden

Richtungsvektoren kollinear?

Ja: parallel oder identisch. Nein: Schnittpunkt suchen; gibt es keinen, sind sie windschief.

BeispielLage zweier Geraden

g: x = (0 | 2 | 2) + t · (1 | 1 | 1) und h: x = (0 | 2 | 5) + s · (1 | −1 | 2). Untersuche die Lage.

Schritt für Schritt

Sind die Richtungsvektoren kollinear? (1 | −1 | 2) ist kein Vielfaches von (1 | 1 | 1)
Nicht kollinear → schneidend oder windschief. Gleichsetzen und Gleichungssystem lösen.
Ergebnis: sie schneiden sich oder sind windschief

Sind die Richtungsvektoren kollinear? (1 | −1 | 2) ist kein Vielfaches von (1 | 1 | 1)
Nicht kollinear → schneidend oder windschief. Gleichsetzen und Gleichungssystem lösen.
Ergebnis: sie schneiden sich oder sind windschief

Ergebnis:

sie schneiden sich oder sind windschief

ÜbenJetzt du

○7
g: x = (−1 | 1 | 3) + t · (1 | 2 | 2) und h: x = (−1 | 1 | 6) + s · (2 | −1 | 3). Untersuche die Lage.
So fängst du an:
Sind die Richtungsvektoren kollinear? (2 | −1 | 3) ist kein Vielfaches von (1 | 2 | 2)
Lösung zeigen
1. Sind die Richtungsvektoren kollinear? (2 | −1 | 3) ist kein Vielfaches von (1 | 2 | 2)
2. Nicht kollinear → schneidend oder windschief. Gleichsetzen und Gleichungssystem lösen.
3. Ergebnis: sie schneiden sich oder sind windschief
Ergebnis:
sie schneiden sich oder sind windschief
●8
g: x = (2 | 1 | 2) + t · (2 | 2 | 1) und h: x = (2 | 1 | 5) + s · (2 | −2 | 2). Untersuche die Lage.
Lösung zeigen
1. Sind die Richtungsvektoren kollinear? (2 | −2 | 2) ist kein Vielfaches von (2 | 2 | 1)
2. Nicht kollinear → schneidend oder windschief. Gleichsetzen und Gleichungssystem lösen.
3. Ergebnis: sie schneiden sich oder sind windschief
Ergebnis:
sie schneiden sich oder sind windschief
★9
g: x = (−2 | 2 | 4) + t · (1 | −1 | 2) und h: x = (0 | 0 | 8) + s · (2 | −2 | 4). Untersuche die Lage.
Lösung zeigen
1. Sind die Richtungsvektoren kollinear? (2 | −2 | 4) = 2 · (1 | −1 | 2)
2. Kollinear → parallel. Punktprobe: Liegt (0 | 0 | 8) auf g?
3. Ergebnis: identisch
Ergebnis:
identisch

4Ich stelle Ebenen in Parameter- und Koordinatenform auf.

EntdeckenFrage

Warum wackelt ein Tisch mit vier Beinen, einer mit drei aber nie?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil drei Punkte immer in einer Ebene liegen und vier im Allgemeinen nicht. Genau deshalb wird eine Ebene durch drei Angaben festgelegt: einen Punkt und zwei Richtungen.

MerkenEbene: Koordinatengleichung

n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d – der Normalenvektor n steht senkrecht auf der Ebene, d liefert ein Punkt der Ebene.

BeispielEbene: Koordinatengleichung aufstellen

Eine Ebene hat den Normalenvektor n = (1 | −2 | 1) und geht durch P(2 | −3 | 3). Bestimme die Koordinatengleichung.

Schritt für Schritt

E: x₁ − 2x₂ + x₃ = d
P einsetzen: d = 1 · 2 + (−2) · (−3) + 1 · 3 = 11

E: x₁ − 2x₂ + x₃ = d
P einsetzen: d = 1 · 2 + (−2) · (−3) + 1 · 3 = 11

Ergebnis:

x₁ − 2x₂ + x₃ = 11

Achtungd vergessen

So nicht

E: 2x + y − z = 0  (d weggelassen)

So richtig

P(1; 1; 1) einsetzen: 2 + 1 − 1 = 2, also E: 2x + y − z = 2

Punkt der Ebene einsetzen, um d zu bestimmen.

ÜbenJetzt du

○10
Eine Ebene hat den Normalenvektor n = (2 | 2 | 2) und geht durch P(−3 | 3 | −2). Bestimme die Koordinatengleichung.
So fängst du an:
E: 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = d
Lösung zeigen
1. E: 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = d
2. P einsetzen: d = 2 · (−3) + 2 · 3 + 2 · (−2) = −4
Ergebnis:
2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = −4
●11
Eine Ebene hat den Normalenvektor n = (2 | 2 | 2) und geht durch P(1 | −1 | −3). Bestimme die Koordinatengleichung.
Lösung zeigen
1. E: 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = d
2. P einsetzen: d = 2 · 1 + 2 · (−1) + 2 · (−3) = −6
Ergebnis:
2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = −6
★12
Eine Ebene hat den Normalenvektor n = (3 | 2 | 2) und geht durch P(0 | 1 | −1). Bestimme die Koordinatengleichung.
Lösung zeigen
1. E: 3x₁ + 2x₂ + 2x₃ = d
2. P einsetzen: d = 3 · 0 + 2 · 1 + 2 · (−1) = 0
Ergebnis:
3x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 0

5Ich bestimme Normalenvektoren und wandle Ebenenformen um.

EntdeckenFrage

Woher weiß ein Computerspiel, wie hell eine Wand im Licht aussehen muss?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Aus dem Winkel zwischen Lichtstrahl und der Senkrechten auf der Fläche. Diese Senkrechte ist der Normalenvektor; ihr Skalarprodukt mit der Lichtrichtung ergibt die Helligkeit.

MerkenNormalenvektor

Senkrecht zu beiden Spannvektoren: Kreuzprodukt oder LGS aus zwei Skalarprodukten = 0.

BeispielNormalenvektor und Koordinatenform

Eine Ebene E hat den Normalenvektor n = (2 | −1 | 2) und geht durch P(2 | −2 | 0). Bestimme die Koordinatenform.

Schritt für Schritt

Ansatz: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = d
P einsetzen: 2 · 2 + −1 · (−2) + 2 · 0 = 6
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 6

Ansatz: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = d
P einsetzen: 2 · 2 + −1 · (−2) + 2 · 0 = 6
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 6

Ergebnis:

E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 6

ÜbenJetzt du

○13
Eine Ebene E hat den Normalenvektor n = (2 | 2 | −1) und geht durch P(−1 | 2 | 2). Bestimme die Koordinatenform.
So fängst du an:
Ansatz: 2x₁ + 2x₂ − x₃ = d
Lösung zeigen
1. Ansatz: 2x₁ + 2x₂ − x₃ = d
2. P einsetzen: 2 · (−1) + 2 · 2 + −1 · 2 = 0
3. E: 2x₁ + 2x₂ − x₃ = 0
Ergebnis:
E: 2x₁ + 2x₂ − x₃ = 0
●14
Eine Ebene E hat den Normalenvektor n = (2 | −1 | 2) und geht durch P(2 | 2 | 2). Bestimme die Koordinatenform.
Lösung zeigen
1. Ansatz: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = d
2. P einsetzen: 2 · 2 + −1 · 2 + 2 · 2 = 6
3. E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 6
Ergebnis:
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 6
★15
Eine Ebene E hat den Normalenvektor n = (2 | −1 | 2) und geht durch P(0 | −1 | 1). Bestimme die Koordinatenform.
Lösung zeigen
1. Ansatz: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = d
2. P einsetzen: 2 · 0 + −1 · (−1) + 2 · 1 = 3
3. E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
Ergebnis:
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3

6Ich berechne Schnittpunkte von Geraden und Ebenen.

EntdeckenFrage

Ein senkrechtes Rohr soll durch ein schräges Dach. In welcher Höhe muss das Loch sitzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Dach liegt in der Ebene x + 2z = 10, das Rohr auf der Geraden (2|3|0) + t · (0|0|1). Einsetzen ergibt 2 + 2t = 10, also t = 4. Das Loch sitzt im Punkt (2|3|4), also 4 m hoch.

MerkenSchnittpunkt Gerade–Ebene

Geradenkoordinaten in die Koordinatengleichung einsetzen, t berechnen, in die Gerade zurück.

BeispielSchnittpunkt Gerade – Ebene

g: x = (−1 | 2 | 1) + t · (1 | 0 | 1) und E: x₁ − x₂ + 2x₃ = −4. Bestimme den Schnittpunkt.

Schritt für Schritt

g in E einsetzen: 1 · (−1 + t) + (−1) · (2 + 0t) + 2 · (1 + t) = −4
−1 + 3t = −4 → t = −1
S = (−1 | 2 | 1) + −1 · (1 | 0 | 1) = (−2 | 2 | 0)

g in E einsetzen: 1 · (−1 + t) + (−1) · (2 + 0t) + 2 · (1 + t) = −4
−1 + 3t = −4 → t = −1
S = (−1 | 2 | 1) + −1 · (1 | 0 | 1) = (−2 | 2 | 0)

Ergebnis:

S(−2 | 2 | 0)

Achtungt nicht zurück eingesetzt

So nicht

t = 2 → Schnittpunkt S(2; 2; 2)

So richtig

t = 2 in g: S = (1 + 2 · 2; 3 − 2; 2 · 2) = (5; 1; 4)

t ist nur der Parameter – der Schnittpunkt kommt aus der Geradengleichung.

ÜbenJetzt du

○16
g: x = (−2 | −2 | −1) + t · (2 | −1 | −1) und E: x₁ − x₂ + 2x₃ = −1. Bestimme den Schnittpunkt.
So fängst du an:
g in E einsetzen: 1 · (−2 + 2t) + (−1) · (−2 − t) + 2 · (−1 − t) = −1
Lösung zeigen
1. g in E einsetzen: 1 · (−2 + 2t) + (−1) · (−2 − t) + 2 · (−1 − t) = −1
2. −2 + t = −1 → t = 1
3. S = (−2 | −2 | −1) + 1 · (2 | −1 | −1) = (0 | −3 | −2)
Ergebnis:
S(0 | −3 | −2)
●17
g: x = (−1 | 1 | 1) + t · (1 | 1 | −1) und E: x₁ + 2x₂ − 2x₃ = −6. Bestimme den Schnittpunkt.
Lösung zeigen
1. g in E einsetzen: 1 · (−1 + t) + 2 · (1 + t) + (−2) · (1 − t) = −6
2. −1 + 5t = −6 → t = −1
3. S = (−1 | 1 | 1) + −1 · (1 | 1 | −1) = (−2 | 0 | 2)
Ergebnis:
S(−2 | 0 | 2)
★18
g: x = (0 | −1 | 1) + t · (1 | −1 | −1) und E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = −3. Bestimme den Schnittpunkt.
Lösung zeigen
1. g in E einsetzen: 1 · (0 + t) + 2 · (−1 − t) + 2 · (1 − t) = −3
2. 0 − 3t = −3 → t = 1
3. S = (0 | −1 | 1) + 1 · (1 | −1 | −1) = (1 | −2 | 0)
Ergebnis:
S(1 | −2 | 0)

7Ich untersuche die Lage von Ebene und Ebene.

EntdeckenFrage

Warum treffen sich zwei Dachflächen immer in einer geraden Linie, dem First?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Dachflächen x + z = 8 und −x + z = 2 haben die Normalenvektoren (1|0|1) und (−1|0|1). Sie sind keine Vielfachen, also schneiden sich die Ebenen. Addieren ergibt z = 5, dann x = 3. Die Schnittgerade ist x = 3, z = 5 mit beliebigem y.

MerkenEbene und Ebene

Normalenvektoren kollinear: parallel oder identisch. Sonst Schnittgerade.

BeispielNormalenvektor und Koordinatenform

Eine Ebene E hat den Normalenvektor n = (6 | −3 | 2) und geht durch P(−2 | 0 | 1). Bestimme die Koordinatenform.

Schritt für Schritt

Ansatz: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = d
P einsetzen: 6 · (−2) + −3 · 0 + 2 · 1 = −10
E: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = −10

Ansatz: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = d
P einsetzen: 6 · (−2) + −3 · 0 + 2 · 1 = −10
E: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = −10

Ergebnis:

E: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = −10

ÜbenJetzt du

○19
Eine Ebene E hat den Normalenvektor n = (6 | −3 | 2) und geht durch P(2 | −2 | 2). Bestimme die Koordinatenform.
So fängst du an:
Ansatz: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = d
Lösung zeigen
1. Ansatz: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = d
2. P einsetzen: 6 · 2 + −3 · (−2) + 2 · 2 = 22
3. E: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = 22
Ergebnis:
E: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = 22
●20
Eine Ebene E hat den Normalenvektor n = (2 | −1 | 2) und geht durch P(−2 | −2 | 3). Bestimme die Koordinatenform.
Lösung zeigen
1. Ansatz: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = d
2. P einsetzen: 2 · (−2) + −1 · (−2) + 2 · 3 = 4
3. E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 4
Ergebnis:
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 4
★21
Eine Ebene E hat den Normalenvektor n = (6 | −3 | 2) und geht durch P(−2 | 1 | 4). Bestimme die Koordinatenform.
Lösung zeigen
1. Ansatz: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = d
2. P einsetzen: 6 · (−2) + −3 · 1 + 2 · 4 = −7
3. E: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = −7
Ergebnis:
E: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = −7

8Ich berechne Abstände Punkt–Ebene.

EntdeckenFrage

Eine Drohne schwebt 10 m senkrecht über einem Hang. Warum ist sie trotzdem weniger als 10 m vom Hang entfernt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Hang ist die Ebene 3x − 4z = 0, die Drohne ist bei P(0|0|10). Der Normalenvektor (3|0|−4) hat die Länge 5. Der Abstand ist |3 · 0 − 4 · 10| : 5 = 8 m. Die kürzeste Verbindung steht senkrecht auf dem Hang, nicht auf dem Boden.

MerkenAbstand Punkt–Ebene

Hessesche Normalform: |n · P − d| : |n|.

BeispielAbstand Punkt – Ebene

E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 6. Berechne den Abstand des Punktes P(3 | −3 | 2) von E.

Schritt für Schritt

|n| = √4 + 1 + 4 = 3
Hessesche Normalform: d(P, E) = |n · OP − 6| / |n|
Zähler: |13 − 6| = 7
d = 73 ≈ 2,33

|n| = √4 + 1 + 4 = 3
Hessesche Normalform: d(P, E) = |n · OP − 6| / |n|
Zähler: |13 − 6| = 7
d = 73 ≈ 2,33

Ergebnis:

d ≈ 2,33

ÜbenJetzt du

○22
E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 10. Berechne den Abstand des Punktes P(5 | 1 | 0) von E.
So fängst du an:
|n| = √1 + 4 + 4 = 3
Lösung zeigen
1. |n| = √1 + 4 + 4 = 3
2. Hessesche Normalform: d(P, E) = |n · OP − 10| / |n|
3. Zähler: |7 − 10| = 3
4. d = 33 ≈ 1
Ergebnis:
d ≈ 1
●23
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 12. Berechne den Abstand des Punktes P(2 | −1 | 2) von E.
Lösung zeigen
1. |n| = √4 + 1 + 4 = 3
2. Hessesche Normalform: d(P, E) = |n · OP − 12| / |n|
3. Zähler: |9 − 12| = 3
4. d = 33 ≈ 1
Ergebnis:
d ≈ 1
★24
E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 9. Berechne den Abstand des Punktes P(4 | 5 | 1) von E.
Lösung zeigen
1. |n| = √1 + 4 + 4 = 3
2. Hessesche Normalform: d(P, E) = |n · OP − 9| / |n|
3. Zähler: |16 − 9| = 7
4. d = 73 ≈ 2,33
Ergebnis:
d ≈ 2,33

9Ich berechne Winkel zwischen Geraden und Ebenen.

EntdeckenFrage

Steigt eine Kante der Cheopspyramide steiler oder flacher an als ihre Seitenflächen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Grundseite ist rund 230 m lang, die Spitze lag ursprünglich rund 146,6 m hoch. Die Kante von (115|115|0) zur Spitze bildet mit dem Boden etwa 42 Grad. Die Seitenflächen steigen mit etwa 51,8 Grad an. Die Kante ist also flacher.

MerkenWinkel

Gerade–Gerade: cos über Richtungsvektoren.

Gerade–Ebene: sin über Richtungs- und Normalenvektor.

BeispielWinkel zwischen Gerade und Ebene

Die Gerade g hat den Richtungsvektor u = (1 | 1 | 2), die Ebene E den Normalenvektor n = (1 | 2 | 2). Berechne den Schnittwinkel.

Schritt für Schritt

Achtung: Sinus statt Kosinus.
Grund: n zeigt senkrecht aus der Ebene heraus.
sin α = |n · u| / (|n| · |u|)
= 7 / (3 · 2,449) ≈ 0,9526
α ≈ 72,3°

Achtung: Sinus statt Kosinus.
Grund: n zeigt senkrecht aus der Ebene heraus.
sin α = |n · u| / (|n| · |u|)
= 7 / (3 · 2,449) ≈ 0,9526
α ≈ 72,3°

Ergebnis:

α ≈ 72,3°

ÜbenJetzt du

○25
Die Gerade g hat den Richtungsvektor u = (1 | −2 | 1), die Ebene E den Normalenvektor n = (2 | −1 | 2). Berechne den Schnittwinkel.
So fängst du an:
Achtung: Sinus statt Kosinus.
Lösung zeigen
1. Achtung: Sinus statt Kosinus.
2. Grund: n zeigt senkrecht aus der Ebene heraus.
3. sin α = |n · u| / (|n| · |u|)
4. = 6 / (3 · 2,449) ≈ 0,8165
5. α ≈ 54,7°
Ergebnis:
α ≈ 54,7°
●26
Die Gerade g hat den Richtungsvektor u = (3 | −2 | 2), die Ebene E den Normalenvektor n = (2 | −1 | 2). Berechne den Schnittwinkel.
Lösung zeigen
1. Achtung: Sinus statt Kosinus.
2. Grund: n zeigt senkrecht aus der Ebene heraus.
3. sin α = |n · u| / (|n| · |u|)
4. = 12 / (3 · 4,123) ≈ 0,9701
5. α ≈ 76°
Ergebnis:
α ≈ 76°
★27
Die Gerade g hat den Richtungsvektor u = (1 | 1 | 1), die Ebene E den Normalenvektor n = (1 | 2 | 2). Berechne den Schnittwinkel.
Lösung zeigen
1. Achtung: Sinus statt Kosinus.
2. Grund: n zeigt senkrecht aus der Ebene heraus.
3. sin α = |n · u| / (|n| · |u|)
4. = 5 / (3 · 1,732) ≈ 0,9623
5. α ≈ 74,2°
Ergebnis:
α ≈ 74,2°

10Ich löse Anwendungsaufgaben (Flugbahnen, Dächer, Schatten).

EntdeckenFrage

Wie weit reicht mittags am 21. Juni der Schatten des Berliner Fernsehturms?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mittags steht die Sonne dann 90 − 52,5 + 23,4 ≈ 61 Grad hoch. Der Lichtstrahl durch die Spitze (0|0|368) hat die Richtung (0|−cos 61°|−sin 61°). Sein Schnittpunkt mit dem Boden z = 0 liegt rund 205 m vom Turm entfernt.

MerkenAnwendungsaufgaben

Skizze, Koordinatensystem festlegen (Einheit!), Punkte aus dem Text, dann Gerade oder Ebene aufstellen.

Am Ende zurück in die Situation übersetzen.

BeispielKreuzen sich die Bahnen?

Zwei Flugzeuge fliegen auf diesen Bahnen:
g: x = (4 | 5 | 0) + s · (1 | −1 | 2)
h: x = (5 | 2 | 2) + t · (1 | 1 | 2)
Der Lotse sagt: „Die beiden Bahnen kreuzen sich.“ Stimmt das? Begründe.

Schritt für Schritt

Gleichsetzen und die ersten beiden Zeilen lösen: s = 2 und t = 1
Dritte Zeile links: 0 + 2 · 2 = 4
Dritte Zeile rechts: 2 + 1 · 2 = 4
Beide Seiten sind gleich – die Bahnen kreuzen sich im Punkt (6 | 3 | 4).

Gleichsetzen und die ersten beiden Zeilen lösen: s = 2 und t = 1
Dritte Zeile links: 0 + 2 · 2 = 4
Dritte Zeile rechts: 2 + 1 · 2 = 4
Beide Seiten sind gleich – die Bahnen kreuzen sich im Punkt (6 | 3 | 4).

Ergebnis:

ja – sie kreuzen sich in (6 | 3 | 4)

ÜbenJetzt du

○28
Zwei Flugzeuge fliegen auf diesen Bahnen:
g: x = (3 | −1 | 7) + s · (1 | 2 | −1)
h: x = (4 | 2 | 3) + t · (1 | 1 | 2)
Der Lotse sagt: „Die beiden Bahnen kreuzen sich.“ Stimmt das? Begründe.
So fängst du an:
Gleichsetzen und die ersten beiden Zeilen lösen: s = 2 und t = 1
Lösung zeigen
1. Gleichsetzen und die ersten beiden Zeilen lösen: s = 2 und t = 1
2. Dritte Zeile links: 7 + 2 · −1 = 5
3. Dritte Zeile rechts: 3 + 1 · 2 = 5
4. Beide Seiten sind gleich – die Bahnen kreuzen sich im Punkt (5 | 3 | 5).
Ergebnis:
ja – sie kreuzen sich in (5 | 3 | 5)
●29
Zwei Flugzeuge fliegen auf diesen Bahnen:
g: x = (−2 | 4 | 8) + s · (3 | 1 | −2)
h: x = (3 | 8 | 3) + t · (1 | −2 | 1)
Der Lotse sagt: „Die beiden Bahnen kreuzen sich.“ Stimmt das? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichsetzen und die ersten beiden Zeilen lösen: s = 2 und t = 1
2. Dritte Zeile links: 8 + 2 · −2 = 4
3. Dritte Zeile rechts: 3 + 1 · 1 = 4
4. Beide Seiten sind gleich – die Bahnen kreuzen sich im Punkt (4 | 6 | 4).
Ergebnis:
ja – sie kreuzen sich in (4 | 6 | 4)
★30
Zwei Flugzeuge fliegen auf diesen Bahnen:
g: x = (−2 | 1 | 2) + s · (2 | 1 | 1)
h: x = (0 | 4 | 1) + t · (2 | −1 | 3)
Der Lotse sagt: „Die beiden Bahnen kreuzen sich.“ Stimmt das? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichsetzen und die ersten beiden Zeilen lösen: s = 2 und t = 1
2. Dritte Zeile links: 2 + 2 · 1 = 4
3. Dritte Zeile rechts: 1 + 1 · 3 = 4
4. Beide Seiten sind gleich – die Bahnen kreuzen sich im Punkt (2 | 3 | 4).
Ergebnis:
ja – sie kreuzen sich in (2 | 3 | 4)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●31
g: x = (3 | 2 | −1) + t · (2 | 1 | 2). Prüfe, ob P(1 | 1 | −2) auf g liegt.
Lösung zeigen
1. Gleichsetzen: 1 = 3 + t · 2, 1 = 2 + t · 1, −2 = −1 + t · 2
2. Erste Gleichung: t = −1, dritte Gleichung liefert einen anderen Wert → Widerspruch
Ergebnis:
nein
●32
Eine Ebene hat den Normalenvektor n = (3 | −2 | 1) und geht durch P(0 | −1 | −1). Bestimme die Koordinatengleichung.
Lösung zeigen
1. E: 3x₁ − 2x₂ + x₃ = d
2. P einsetzen: d = 3 · 0 + (−2) · (−1) + 1 · (−1) = 1
Ergebnis:
3x₁ − 2x₂ + x₃ = 1
●33
g: x = (1 | 1 | −1) + t · (1 | −1 | −1) und E: x₁ − x₂ + x₃ = 1. Bestimme den Schnittpunkt.
Lösung zeigen
1. g in E einsetzen: 1 · (1 + t) + (−1) · (1 − t) + 1 · (−1 − t) = 1
2. −1 + t = 1 → t = 2
3. S = (1 | 1 | −1) + 2 · (1 | −1 | −1) = (3 | −1 | −3)
Ergebnis:
S(3 | −1 | −3)
●34
Berechne das Skalarprodukt a · b für a = (−2 | 1 | 2), b = (1 | 2 | 0). Sind die Vektoren orthogonal?
Lösung zeigen
1. (−2) · 1 + 1 · 2 + 2 · 0 = 0
2. Skalarprodukt 0 → orthogonal
Ergebnis:
0 → orthogonal
●35
Bestimme eine Gleichung der Geraden durch A(0 | −1 | 2) und B(4 | 1 | 0) in Parameterform.
Lösung zeigen
1. Richtungsvektor: AB = OB − OA = (4 | 2 | −2)
2. Stützvektor: OA = (0 | −1 | 2)
3. g: x = (0 | −1 | 2) + t · (4 | 2 | −2)
Ergebnis:
g: x = (0 | −1 | 2) + t · (4 | 2 | −2)
●36
g: x = (2 | 2 | 3) + t · (1 | 2 | 2) und h: x = (2 | 2 | 6) + s · (2 | 4 | 4). Untersuche die Lage.
Lösung zeigen
1. Sind die Richtungsvektoren kollinear? (2 | 4 | 4) = 2 · (1 | 2 | 2)
2. Kollinear → parallel. Punktprobe: Liegt (2 | 2 | 6) auf g?
3. Ergebnis: echt parallel
Ergebnis:
echt parallel

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Geradengleichung: g: x = A + t · u – Stützpunkt A, Richtungsvektor u, Parameter t.
Punktprobe: Punkt gleichsetzen, aus einer Koordinate t bestimmen, mit den anderen prüfen.
Lage zweier Geraden: Richtungsvektoren kollinear?
Ebene: Koordinatengleichung: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d – der Normalenvektor n steht senkrecht auf der Ebene, d liefert ein Punkt der Ebene.
Normalenvektor: Senkrecht zu beiden Spannvektoren: Kreuzprodukt oder LGS aus zwei Skalarprodukten = 0.
Schnittpunkt Gerade–Ebene: Geradenkoordinaten in die Koordinatengleichung einsetzen, t berechnen, in die Gerade zurück.
Ebene und Ebene: Normalenvektoren kollinear: parallel oder identisch. Sonst Schnittgerade.
Abstand Punkt–Ebene: Hessesche Normalform: |n · P − d| : |n|.
Winkel: Gerade–Gerade: cos über Richtungsvektoren.
Anwendungsaufgaben: Skizze, Koordinatensystem festlegen (Einheit!), Punkte aus dem Text, dann Gerade oder Ebene aufstellen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich stelle Geradengleichungen in Parameterform auf.
37
Bestimme eine Gleichung der Geraden durch A(3 | −3 | 4) und B(9 | −9 | 6) in Parameterform.
Lösung zeigen
Ergebnis:
g: x = (3 | −3 | 4) + t · (6 | −6 | 2)
Ich prüfe, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt (Punktprobe).
38
g: x = (1 | −3 | −1) + t · (−1 | 1 | 1). Prüfe, ob P(−2 | 0 | 3) auf g liegt.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein
Ich untersuche die Lage zweier Geraden (parallel, schneidend, windschief).
39
g: x = (−2 | −1 | 1) + t · (1 | 1 | 2) und h: x = (−2 | −1 | 4) + s · (2 | 2 | 4). Untersuche die Lage.
Lösung zeigen
Ergebnis:
echt parallel
Ich stelle Ebenen in Parameter- und Koordinatenform auf.
40
Eine Ebene hat den Normalenvektor n = (1 | 2 | 2) und geht durch P(−3 | −3 | −3). Bestimme die Koordinatengleichung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x₁ + 2x₂ + 2x₃ = −15
Ich bestimme Normalenvektoren und wandle Ebenenformen um.
41
Eine Ebene E hat den Normalenvektor n = (3 | 2 | 6) und geht durch P(−1 | 2 | 1). Bestimme die Koordinatenform.
Lösung zeigen
Ergebnis:
E: 3x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 7
Ich berechne Schnittpunkte von Geraden und Ebenen.
42
g: x = (1 | 1 | −1) + t · (1 | 1 | −1) und E: x₁ + 2x₂ + x₃ = 0. Bestimme den Schnittpunkt.
Lösung zeigen
Ergebnis:
S(0 | 0 | 0)
Ich untersuche die Lage von Ebene und Ebene.
43
Eine Ebene E hat den Normalenvektor n = (1 | 2 | 2) und geht durch P(−2 | 2 | 0). Bestimme die Koordinatenform.
Lösung zeigen
Ergebnis:
E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 2
Ich berechne Abstände Punkt–Ebene.
44
E: 3x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 4. Berechne den Abstand des Punktes P(0 | −1 | 0) von E.
Lösung zeigen
Ergebnis:
d ≈ 0,86
Ich berechne Winkel zwischen Geraden und Ebenen.
45
Die Gerade g hat den Richtungsvektor u = (3 | 1 | 2), die Ebene E den Normalenvektor n = (2 | −1 | 2). Berechne den Schnittwinkel.
Lösung zeigen
Ergebnis:
α ≈ 53,3°
Ich löse Anwendungsaufgaben (Flugbahnen, Dächer, Schatten).
46
Zwei Flugzeuge fliegen auf diesen Bahnen:
g: x = (−1 | 4 | 2) + s · (2 | 1 | 1)
h: x = (4 | 3 | 3) + t · (−1 | 3 | 1)
Der Lotse sagt: „Die beiden Bahnen kreuzen sich nicht.“ Stimmt das? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein – sie kreuzen sich in (3 | 6 | 4)
Ich bereite die Klausur vor.
47
g: x = (3 | 3 | 1) + t · (−1 | 3 | 2). Prüfe, ob P(5 | −3 | −2) auf g liegt.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Flugzeug startet bei (0|0|10) und fliegt je Minute (2|1|0). Wo ist es nach 1, 2, 3, 7, 12 und 30 Minuten? Und nach 4,5 Minuten? Rechne jede Zeit einzeln.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Parameterform der Geraden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Schatten, Sichtlinien, Flugrouten. Beruf: 3D-Design, Architektur, Vermessung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Vektoren im Raum

Lösungen

g: x = (−2 | −3 | 0) + t · (−2 | −4 | 3)
g: x = (3 | 0 | 2) + t · (−3 | 3 | 3)
g: x = (2 | 1 | 5) + t · (3 | −6 | 6)
nein
nein
ja, t = 3
sie schneiden sich oder sind windschief
sie schneiden sich oder sind windschief
identisch
2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = −4
2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = −6
3x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 0
E: 2x₁ + 2x₂ − x₃ = 0
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 6
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
S(0 | −3 | −2)
S(−2 | 0 | 2)
S(1 | −2 | 0)
E: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = 22
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 4
E: 6x₁ − 3x₂ + 2x₃ = −7
d ≈ 1
d ≈ 1
d ≈ 2,33
α ≈ 54,7°
α ≈ 76°
α ≈ 74,2°
ja – sie kreuzen sich in (5 | 3 | 5)
ja – sie kreuzen sich in (4 | 6 | 4)
ja – sie kreuzen sich in (2 | 3 | 4)
nein
3x₁ − 2x₂ + x₃ = 1
S(3 | −1 | −3)
0 → orthogonal
g: x = (0 | −1 | 2) + t · (4 | 2 | −2)
echt parallel
g: x = (3 | −3 | 4) + t · (6 | −6 | 2)
nein
echt parallel
x₁ + 2x₂ + 2x₃ = −15
E: 3x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 7
S(0 | 0 | 0)
E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 2
d ≈ 0,86
α ≈ 53,3°
nein – sie kreuzen sich in (3 | 6 | 4)
nein
nein
nein