Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Gleichungen und Formeln

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Zahlentrick: Denk dir eine Zahl, addiere 5 und nimm das Ergebnis mal 3. Zieh dann das Doppelte deiner Zahl und noch 7 ab. Heraus kommt 20. Welche Zahl war es?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Probieren dauert, denn jede Zahl muss durch vier Rechenschritte. Wer rückwärts rechnen will, bleibt hängen, weil die gedachte Zahl zweimal vorkommt. Schreibt den Trick als Gleichung: 3 · (x + 5) − (2x + 7) = 20. Klammern auflösen, zusammenfassen – und es steht x + 8 = 20 da. Der Trick verrät sich selbst.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Auf beiden Seiten dasselbe rechnen hält eine Gleichung wahr.

  1. ●39
    Löse: 9x − 2 = 2x + 26
    Lösung zeigen
    1. | − 2x → 7x − 2 = 26
    2. | + 2 → 7x = 28
    3. | : 7 → x = 4
    Ergebnis:
    x = 4
  2. ●40
    Berechne den Wert des Terms 6x² + 4 für x = 5.
    Lösung zeigen
    1. x² = 5² = 5 · 5 = 25
    2. 6 · 25 + 4 = 154
    Ergebnis:
    154

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenUmformen erhält die Lösung

Eine Gleichung fragt, für welche Zahlen beide Seiten denselben Wert haben. Jede Umformung rechnet auf beiden Seiten dasselbe: Sie ändert das Aussehen der Gleichung, aber nicht die Antwort. Eine Formel ist eine Gleichung, in der jeder Buchstabe eine feste Rolle hat.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man beide Seiten mit 6 multiplizieren, aber nicht nur die Brüche?

1Ich löse Gleichungen mit Minusklammern und Produkten auf beiden Seiten.

EntdeckenFrage

Wie kann ein Zahlentrick deine gedachte Zahl verraten, obwohl sie in der Rechnung zweimal vorkommt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beim Auflösen der Klammern fasst sich die Zahl zusammen: 3 · (x + 5) − (2x + 7) ist dasselbe wie x + 8. Wer das Ergebnis hört, zieht 8 ab und kennt die gedachte Zahl.

MerkenKlammern auf beiden Seiten

Erst alle Klammern auflösen; ein Minus davor dreht jedes Vorzeichen.

Dann jede Seite zusammenfassen und wie gewohnt umformen. So wird 12 − (x − 3) = 2x zu 15 − x = 2x, also x = 5.

BeispielGleichungen mit Minusklammern auf beiden Seiten

Löse und mache die Probe: 6 · (x − 5) = 3 · (x + 2)
6 · (x − 5)3 · (x + 2)
Schritt für Schritt
  1. Klammern auflösen: 6x − 30 = 3x + 6
  2. Auf beiden Seiten − 3x: 3x − 30 = 6
  3. Auf beiden Seiten + 30: 3x = 36
  4. Durch 3 teilen: x = 12
  5. Probe: 6 · 7 = 42 und 3 · 14 = 42
  1. Klammern auflösen: 6x − 30 = 3x + 6
  2. Auf beiden Seiten − 3x: 3x − 30 = 6
  3. Auf beiden Seiten + 30: 3x = 36
  4. Durch 3 teilen: x = 12
  5. Probe: 6 · 7 = 42 und 3 · 14 = 42
Ergebnis:
x = 12

AchtungMinusklammer: nur das erste Vorzeichen gedreht

So nicht
12 − (x − 3) = 2x → 12 − x − 3 = 2x → x = 3
So richtig
12 − (x − 3) = 2x → 12 − x + 3 = 2x → 15 = 3x → x = 5

Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer: −(x − 4) wird zu −x + 4.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Löse die Gleichung: 4 · (x + 5) − (x − 2) = 46
    4 · (x + 5) − (x − 2)46
    So fängst du an:
    Klammern auflösen: 4x + 20 − x + 2 = 46
    Lösung zeigen
    1. Klammern auflösen: 4x + 20 − x + 2 = 46
    2. Zusammenfassen: 3x + 22 = 46
    3. Auf beiden Seiten − 22: 3x = 24
    4. Durch 3 teilen: x = 8
    Ergebnis:
    x = 8
  2. ●2
    Löse die Gleichung: 24 − (2x − 7) = 2x + 19
    24 − (2x − 7)2x + 19
    Lösung zeigen
    1. Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 24 − 2x + 7 = 2x + 19
    2. Links zusammenfassen: −2x + 31 = 2x + 19
    3. Auf beiden Seiten + 2x: 31 = 4x + 19
    4. Auf beiden Seiten − 19: 12 = 4x
    5. Durch 4 teilen: x = 3
    Ergebnis:
    x = 3
  3. ★3
    Löse die Gleichung: 14 − (2x − 1) = x − 9
    14 − (2x − 1)x − 9
    Lösung zeigen
    1. Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 14 − 2x + 1 = x − 9
    2. Links zusammenfassen: −2x + 15 = x − 9
    3. Auf beiden Seiten + 2x: 15 = 3x − 9
    4. Auf beiden Seiten + 9: 24 = 3x
    5. Durch 3 teilen: x = 8
    Ergebnis:
    x = 8

2Ich löse Gleichungen mit Brüchen, indem ich mit dem Hauptnenner multipliziere.

EntdeckenFrage

Kann eine Gleichung für jede Zahl stimmen – oder für gar keine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beides kommt vor. 2 · (x + 3) = 2x + 6 stimmt für jede Zahl, denn beide Seiten sind derselbe Term. Bei 2 · (x + 3) = 2x + 5 bleibt nach dem Umformen links 6 und rechts 5 stehen, und das stimmt nie.

MerkenBrüche in Gleichungen

Mit dem Hauptnenner multipliziert verschwinden alle Brüche.

Jedes Glied wird multipliziert, auch eine Zahl ohne Bruch. Aus x/2 + x/3 = 5 wird mit 6 die Gleichung 3x + 2x = 30, also x = 6.

BeispielGleichungen mit Brüchen: mit dem Hauptnenner multiplizieren

Multipliziere mit dem Hauptnenner und löse: (x + 18)/6 = x/3
(x + 18)/6x/3
Schritt für Schritt
  1. Hauptnenner: 6. Beide Seiten mal 6
  2. (x + 18) = 2x
  3. x + 18 = 2x
  4. Auf beiden Seiten − x: 18 = x
  5. x = 18
  1. Hauptnenner: 6. Beide Seiten mal 6
  2. (x + 18) = 2x
  3. x + 18 = 2x
  4. Auf beiden Seiten − x: 18 = x
  5. x = 18
Ergebnis:
x = 18

AchtungNicht jedes Glied mit dem Hauptnenner multipliziert

So nicht
x/2 + 3 = x/3 → mal 6: 3x + 3 = 2x → x = −3
So richtig
x/2 + 3 = x/3 → mal 6: 3x + 18 = 2x → x = −18

Jedes Glied auf beiden Seiten wird multipliziert, auch eine Zahl ohne Bruch.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Multipliziere mit dem Hauptnenner und löse: x/2 + x/5 = 7
    x/2 + x/57
    So fängst du an:
    Hauptnenner von 2 und 5: 10
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner von 2 und 5: 10
    2. Jedes Glied mal 10: 5x + 2x = 70
    3. Zusammenfassen: 7x = 70
    4. Durch 7 teilen: x = 10
    Ergebnis:
    x = 10
  2. ●5
    Löse die Gleichung: (x + 4)/3 = x/2
    (x + 4)/3x/2
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner: 6. Beide Seiten mal 6
    2. 2 · (x + 4) = 3x
    3. 2x + 8 = 3x
    4. Auf beiden Seiten − 2x: 8 = x
    5. x = 8
    Ergebnis:
    x = 8
  3. ★6
    Löse die Gleichung: x/10 − 12 = x/4
    x/10 − 12x/4
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner: 20. Jedes Glied mal 20, auch die 12
    2. 2x − 240 = 5x
    3. Auf beiden Seiten − 2x: −240 = 3x
    4. Durch 3 teilen: x = −80
    Ergebnis:
    x = −80

3Ich erkenne Gleichungen ohne Lösung und mit unendlich vielen Lösungen.

EntdeckenFrage

Ist 16 : 9 oder 4 : 3 bei gleicher Breite höher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 16 : 9 ist die Höhe 9/16 der Breite, bei 4 : 3 sind es 3/4, also 12/16. Bei 80 cm Breite sind das 45 cm gegen 60 cm. Das Verhältnis legt die Form fest, nicht die Größe.

MerkenKeine oder unendlich viele Lösungen

Fällt x weg, bleibt eine Aussage ohne x. Ist sie wahr wie 6 = 6, löst jede Zahl.

Ist sie falsch wie 6 = 5, gibt es keine Lösung.

BeispielKeine, eine oder unendlich viele Lösungen

Hat die Gleichung keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Begründe. 5 · (x + 5) = 7x + 23
5 · (x + 5)7x + 23
Schritt für Schritt
  1. Links auflösen: 5x + 25 = 7x + 23
  2. Auf beiden Seiten − 5x: 25 = 2x + 23
  3. x fällt nicht weg: genau eine Lösung, x = 1
  1. Links auflösen: 5x + 25 = 7x + 23
  2. Auf beiden Seiten − 5x: 25 = 2x + 23
  3. x fällt nicht weg: genau eine Lösung, x = 1
Ergebnis:
genau eine Lösung: x = 1

AchtungAus „x fällt weg“ eine Lösung gemacht

So nicht
2 · (x + 3) = 2x + 5 → 2x + 6 = 2x + 5 → x = 0
So richtig
2 · (x + 3) = 2x + 5 → 2x + 6 = 2x + 5 → links 6, rechts 5: keine Lösung

Fällt x ganz weg, entscheidet die Aussage ohne x: wahr heißt unendlich viele Lösungen, falsch heißt keine. x = 0 ist hier falsch.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wie viele Lösungen hat die Gleichung? Begründe mit einer Umformung. 4 · (x + 2) = 4x + 5
    4 · (x + 2)4x + 5
    So fängst du an:
    Links auflösen: 4x + 8 = 4x + 5
    Lösung zeigen
    1. Links auflösen: 4x + 8 = 4x + 5
    2. Auf beiden Seiten − 4x: links bleibt 8, rechts 5.
    3. Das ist für kein x gleich: keine Lösung.
    Ergebnis:
    keine Lösung
  2. ●8
    Wie viele Lösungen hat die Gleichung? Begründe mit einer Umformung. 3 · (x + 6) = 3x + 22
    3 · (x + 6)3x + 22
    Lösung zeigen
    1. Links auflösen: 3x + 18 = 3x + 22
    2. Auf beiden Seiten − 3x: links bleibt 18, rechts 22.
    3. Das ist für kein x gleich: keine Lösung.
    Ergebnis:
    keine Lösung
  3. ★9
    Hat die Gleichung keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Begründe. 5 · (x + 4) = 7x + 14
    5 · (x + 4)7x + 14
    Lösung zeigen
    1. Links auflösen: 5x + 20 = 7x + 14
    2. Auf beiden Seiten − 5x: 20 = 2x + 14
    3. x fällt nicht weg: genau eine Lösung, x = 3
    Ergebnis:
    genau eine Lösung: x = 3

4Ich löse Verhältnisgleichungen.

EntdeckenFrage

Wie viel Sirup gehört in 1,4 Liter Wasser, wenn das Mischverhältnis 1 : 7 sein soll?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

200 Milliliter. Das Verhältnis 1 : 7 heißt: Auf einen Teil Sirup kommen sieben Teile Wasser. Aus x : 1400 = 1 : 7 folgt 7 · x = 1400, also x = 200 ml.

MerkenVerhältnisgleichung

Eine Verhältnisgleichung setzt zwei Verhältnisse gleich.

Außen mal außen ist gleich innen mal innen: Aus x : 12 = 3 : 4 wird 4 · x = 36, also x = 9.

BeispielVerhältnisgleichung lösen

Bestimme x: 27 : x = 9 : 11
27 : x9 : 11
Schritt für Schritt
  1. Außen mal außen gleich innen mal innen.
  2. 9 · x = 27 · 11
  3. 9 · x = 297
  4. x = 297 : 9 = 33
  1. Außen mal außen gleich innen mal innen.
  2. 9 · x = 27 · 11
  3. 9 · x = 297
  4. x = 297 : 9 = 33
Ergebnis:
x = 33

AchtungFalsche Umkehrrechnung beim Umstellen

So nicht
A = g · h : 2 nach h: h = A : 2 · g
So richtig
A = g · h : 2 nach h: h = 2 · A : g

Was mit dem Gesuchten multipliziert ist, wird geteilt, und umgekehrt. Mit ausgedachten Zahlen die Probe machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Löse die Verhältnisgleichung: 24 / x = 410
    24 / x4 / 10
    So fängst du an:
    Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
    Lösung zeigen
    1. Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
    2. 4 · x = 24 · 10
    3. 4 · x = 240
    4. x = 240 : 4 = 60
    Ergebnis:
    x = 60
  2. ●11
    Bestimme x: 18 / x = 28
    18 / x2 / 8
    Lösung zeigen
    1. Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
    2. 2 · x = 18 · 8
    3. 2 · x = 144
    4. x = 144 : 2 = 72
    Ergebnis:
    x = 72
  3. ★12
    Löse die Verhältnisgleichung: 2454 = 4 / x
    24 / 544 / x
    Lösung zeigen
    1. Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
    2. 24 · x = 54 · 4
    3. 24 · x = 216
    4. x = 216 : 24 = 9
    Ergebnis:
    x = 9

5Ich stelle Formeln nach einer Größe um.

EntdeckenFrage

Wie weit ist ein Gewitter weg, wenn der Donner 6 Sekunden nach dem Blitz kommt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Etwa 2 Kilometer. Schall legt in der Luft rund 343 Meter in der Sekunde zurück, das Licht kommt fast sofort an. Aus s = v · t folgt s ≈ 343 · 6 ≈ 2058 m. Die Faustregel „Sekunden geteilt durch 3 gibt Kilometer“ ist genau diese Formel.

MerkenFormeln umstellen

Eine Formel stellt man um wie eine Gleichung: Auf beiden Seiten wird dasselbe gerechnet.

Die Rechnungen am Gesuchten macht man von außen nach innen rückgängig. Aus A = g · h : 2 wird h = 2 · A : g.

BeispielFormel nach einer Größe umstellen

Löse s = v · t nach t auf.
sv · t
Schritt für Schritt
  1. t ist mit v multipliziert.
  2. Auf beiden Seiten : v: s : v = t
  3. t = s : v
  1. t ist mit v multipliziert.
  2. Auf beiden Seiten : v: s : v = t
  3. t = s : v
Ergebnis:
t = s : v

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Stelle die Formel V = a · b · c nach c um.
    Va · b · c
    So fängst du an:
    c ist mit a und b multipliziert.
    Lösung zeigen
    1. c ist mit a und b multipliziert.
    2. Auf beiden Seiten : (a · b): V : (a · b) = c
    3. c = V : (a · b)
    Ergebnis:
    c = V : (a · b)
  2. ●14
    Stelle die Formel s = v · t nach v um.
    sv · t
    Lösung zeigen
    1. v ist mit t multipliziert.
    2. Auf beiden Seiten : t: s : t = v
    3. v = s : t
    Ergebnis:
    v = s : t
  3. ★15
    Löse ρ = m : V nach m auf.
    ρm : V
    Lösung zeigen
    1. m ist durch V geteilt.
    2. Auf beiden Seiten · V: ρ · V = m
    3. m = ρ · V
    Ergebnis:
    m = ρ · V

6Ich berechne Größen mit umgestellten Formeln aus Geometrie und Physik.

EntdeckenFrage

Warum braucht ein Auto bei 100 km/h für 100 Meter nur etwa 3,6 Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 km/h heißt 100.000 Meter in 3600 Sekunden, also rund 27,8 Meter in jeder Sekunde. Aus s = v · t wird t = s : v, und 100 : 27,8 ≈ 3,6. Deshalb teilt man km/h durch 3,6, um Meter pro Sekunde zu bekommen.

MerkenGrößen mit Formeln berechnen

Erst die Formel nach der gesuchten Größe umstellen, dann die Werte einsetzen.

Ein Dreieck mit A = 24 cm² und g = 8 cm hat die Höhe h = 2 · 24 : 8 = 6 cm.

BeispielGröße mit umgestellter Formel berechnen

Eine Wandergruppe geht im Mittel 4 km/h und legt 10 km zurück. Wie lange ist sie unterwegs?
gegebengesucht4 km/h10 km?
Schritt für Schritt
  1. s = v · t, umgestellt: t = s : v
  2. Einsetzen: 10 : 4 = 2,5
  3. t = 2,5 Stunden
  1. s = v · t, umgestellt: t = s : v
  2. Einsetzen: 10 : 4 = 2,5
  3. t = 2,5 Stunden
Ergebnis:
2,5 Stunden

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Rechteck hat den Umfang 44 cm. Eine Seite ist a = 11 cm lang. Wie lang ist die andere Seite b?
    So fängst du an:
    u = 2 · a + 2 · b, umgestellt: b = (u − 2 · a) : 2
    Lösung zeigen
    1. u = 2 · a + 2 · b, umgestellt: b = (u − 2 · a) : 2
    2. Einsetzen: (44 − 22) : 2 = 11
    3. b = 11 cm
    Ergebnis:
    b = 11 cm
  2. ●17
    Ein Quader hat das Volumen 224 cm³. Er ist 8 cm lang und 7 cm breit. Wie hoch ist er?
    gegebengesucht224 cm³8 cm7 cm?
    Lösung zeigen
    1. V = a · b · c, umgestellt: c = V : (a · b)
    2. Einsetzen: 224 : 56 = 4
    3. c = 4 cm
    Ergebnis:
    c = 4 cm
  3. ★18
    Ein Trapez hat den Flächeninhalt 56 cm². Die parallelen Seiten sind 10 cm und 6 cm lang. Wie groß ist die Höhe?
    gegebengesucht56 cm²10 cm6 cm?
    Lösung zeigen
    1. A = (a + c) · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : (a + c)
    2. Einsetzen: 2 · 56 : 16 = 7
    3. h = 7 cm
    Ergebnis:
    h = 7 cm

7Ich stelle Gleichungen zu Figuren auf und löse sie.

EntdeckenFrage

Ein Fußballtor ist dreimal so breit wie hoch. Pfosten und Latte sind zusammen 12,20 m lang. Wie hoch ist das Tor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ist das Tor h Meter hoch, dann ist es 3h Meter breit. Zwei Pfosten und eine Latte ergeben h + h + 3h = 5h = 12,20. Also ist h = 2,44 m, und die Breite ist 7,32 m.

MerkenGleichungen an Figuren

Die Figur liefert die Gleichung: Umfang, Winkelsumme oder Nebenwinkel.

Ist ein Rechteck 4 cm länger als breit und hat den Umfang 32 cm, gilt 2 · x + 2 · (x + 4) = 32, also x = 6.

BeispielGleichungen zu Umfang und Fläche einer Figur

Verlängert man jede Seite eines Quadrats um 4 cm, so ist der Umfang 36 cm. Wie lang war die Seite vorher?
gegebengesucht4 cm36 cm?
Schritt für Schritt
  1. Seite vorher x, nachher x + 4
  2. Gleichung: 4 · (x + 4) = 36
  3. 4x + 16 = 36
  4. 4x = 20, also x = 5
  1. Seite vorher x, nachher x + 4
  2. Gleichung: 4 · (x + 4) = 36
  3. 4x + 16 = 36
  4. 4x = 20, also x = 5
Ergebnis:
5 cm (Umfang vorher 20 cm)

AchtungGleichung passt nicht zur Situation

So nicht
Rechteck, 4 cm länger als breit, Umfang 32 cm: x + (x + 4) = 32 → x = 14
So richtig
2 · x + 2 · (x + 4) = 32 → 4x + 8 = 32 → x = 6

Erst sagen, wofür x steht, dann jede Angabe als Term schreiben. Zum Schluss die Lösung an den Angaben im Text prüfen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Rechteck ist 8 cm länger als breit. Sein Umfang ist 68 cm. Wie breit und wie lang ist es?
    x + 8xUmfang 68 cm
    So fängst du an:
    Breite x, Länge x + 8
    Lösung zeigen
    1. Breite x, Länge x + 8
    2. Gleichung: 2 · x + 2 · (x + 8) = 68
    3. 4x + 16 = 68
    4. 4x = 52, also x = 13
    Ergebnis:
    Breite 13 cm, Länge 21 cm
  2. ●20
    Ein Rechteck ist 9 cm länger als breit. Sein Umfang ist 38 cm. Wie breit und wie lang ist es?
    x + 9xUmfang 38 cm
    Lösung zeigen
    1. Breite x, Länge x + 9
    2. Gleichung: 2 · x + 2 · (x + 9) = 38
    3. 4x + 18 = 38
    4. 4x = 20, also x = 5
    Ergebnis:
    Breite 5 cm, Länge 14 cm
  3. ★21
    Ein Rechteck ist 3 cm länger als breit. Sein Umfang ist 34 cm. Wie breit und wie lang ist es?
    x + 3xUmfang 34 cm
    Lösung zeigen
    1. Breite x, Länge x + 3
    2. Gleichung: 2 · x + 2 · (x + 3) = 34
    3. 4x + 6 = 34
    4. 4x = 28, also x = 7
    Ergebnis:
    Breite 7 cm, Länge 10 cm

8Ich löse Bewegungs- und Mischungsaufgaben mit einer Gleichung.

EntdeckenFrage

Wie viel Vollmilch mit 3,5 % Fett und Magermilch mit 0,5 % Fett ergeben einen Liter Milch mit 1,5 % Fett?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm x Liter Vollmilch und 1 − x Liter Magermilch. Die Fettmenge ergibt die Gleichung 3,5x + 0,5(1 − x) = 1,5. Daraus folgt 3x = 1, also x = 1/3. Man braucht ein Drittel Liter Vollmilch und zwei Drittel Liter Magermilch.

MerkenBewegung und Mischung

Weg ist Geschwindigkeit mal Zeit.

Fahren zwei aufeinander zu, ergeben ihre Wege den Abstand: 15t + 20t = 70, also t = 2. Beim Mischen bleibt die Stoffmenge gleich.

BeispielBewegungsaufgaben mit einer Gleichung

Tim geht mit 4 km/h los. 1,5 Stunden später fährt Noah mit dem Rad hinterher, 16 km/h schnell. Nach wie vielen Stunden hat Noah Tim eingeholt?
gegebengesucht4 km/h1,5 Stunden16 km/h?
Schritt für Schritt
  1. Fahrzeit von Noah: t. Dann ist Tim schon t + 1,5 Stunden unterwegs.
  2. Gleiche Wege: 16t = 4 · (t + 1,5)
  3. 16t = 4t + 6
  4. 12t = 6, also t = 0,5
  1. Fahrzeit von Noah: t. Dann ist Tim schon t + 1,5 Stunden unterwegs.
  2. Gleiche Wege: 16t = 4 · (t + 1,5)
  3. 16t = 4t + 6
  4. 12t = 6, also t = 0,5
Ergebnis:
nach 0,5 Stunden Fahrt

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben und Zeynep wohnen 22 km auseinander und fahren sich mit dem Rad entgegen, gleichzeitig los. Ben fährt 12 km/h, Zeynep 10 km/h. Nach wie vielen Stunden treffen sie sich?
    BenZeynep22 km?
    So fängst du an:
    Zeit t in Stunden. Wege: 12t und 10t
    Lösung zeigen
    1. Zeit t in Stunden. Wege: 12t und 10t
    2. Gleichung: 12t + 10t = 22
    3. 22t = 22, also t = 1
    Ergebnis:
    nach 1 Stunde
  2. ●23
    Lea und Zeynep wohnen 105 km auseinander und fahren sich mit dem Rad entgegen, gleichzeitig los. Lea fährt 15 km/h, Zeynep 20 km/h. Nach wie vielen Stunden treffen sie sich?
    LeaZeynep105 km?
    Lösung zeigen
    1. Zeit t in Stunden. Wege: 15t und 20t
    2. Gleichung: 15t + 20t = 105
    3. 35t = 105, also t = 3
    Ergebnis:
    nach 3 Stunden
  3. ★24
    Aylin und Lukas wohnen 87 km auseinander und fahren sich mit dem Rad entgegen, gleichzeitig los. Aylin fährt 15 km/h, Lukas 14 km/h. Nach wie vielen Stunden treffen sie sich?
    AylinLukas87 km?
    Lösung zeigen
    1. Zeit t in Stunden. Wege: 15t und 14t
    2. Gleichung: 15t + 14t = 87
    3. 29t = 87, also t = 3
    Ergebnis:
    nach 3 Stunden

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Bestimme x: 14 − (2x − 7) = 3x + 1
    14 − (2x − 7)3x + 1
    Lösung zeigen
    1. Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 14 − 2x + 7 = 3x + 1
    2. Links zusammenfassen: −2x + 21 = 3x + 1
    3. Auf beiden Seiten + 2x: 21 = 5x + 1
    4. Auf beiden Seiten − 1: 20 = 5x
    5. Durch 5 teilen: x = 4
    Ergebnis:
    x = 4
  2. ●26
    Löse: (x + 5)² = (x − 4)² + 27
    Lösung zeigen
    1. Links: x² + 10x + 25. Rechts: x² − 8x + 43
    2. x² fällt weg: 10x + 25 = −8x + 43
    3. 18x = 18
    4. x = 1
    Ergebnis:
    x = 1
  3. ●27
    Mira löst x − (x + 6)/4 = 6 und schreibt als ersten Schritt 4x − x + 6 = 24. Stimmt die Umformung? Begründe und löse.
    x − (x + 6)/46
    Lösung zeigen
    1. Fehler: Der Bruchstrich wirkt wie eine Klammer. Das Minus gilt für x und für 6.
    2. Richtig: 4x − (x + 6) = 24, also 4x − x − 6 = 24
    3. 3x − 6 = 24
    4. x = 10
    Ergebnis:
    x = 10
  4. ●28
    Prüfe: Gibt es eine Lösung, keine oder unendlich viele? 6 · (x + 4) = 8x + 18
    6 · (x + 4)8x + 18
    Lösung zeigen
    1. Links auflösen: 6x + 24 = 8x + 18
    2. Auf beiden Seiten − 6x: 24 = 2x + 18
    3. x fällt nicht weg: genau eine Lösung, x = 3
    Ergebnis:
    genau eine Lösung: x = 3
  5. ●29
    Löse die Verhältnisgleichung: 6 : 54 = 1 : x
    6 : 541 : x
    Lösung zeigen
    1. Außen mal außen gleich innen mal innen.
    2. 6 · x = 54 · 1
    3. 6 · x = 54
    4. x = 54 : 6 = 9
    Ergebnis:
    x = 9
  6. ●30
    Sirup und Wasser werden im Verhältnis 1 : 6 gemischt. Wie viel Wasser braucht man zu 25 ml Sirup?
    Lösung zeigen
    1. Ansatz: 25 : x = 1 : 6
    2. 1 · x = 25 · 6
    3. x = 150 : 1 = 150
    Ergebnis:
    150 ml

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Klammern auf beiden Seiten
Erst alle Klammern auflösen; ein Minus davor dreht jedes Vorzeichen.
Brüche in Gleichungen
Mit dem Hauptnenner multipliziert verschwinden alle Brüche.
Keine oder unendlich viele Lösungen
Fällt x weg, bleibt eine Aussage ohne x. Ist sie wahr wie 6 = 6, löst jede Zahl.
Verhältnisgleichung
Eine Verhältnisgleichung setzt zwei Verhältnisse gleich.
Formeln umstellen
Eine Formel stellt man um wie eine Gleichung: Auf beiden Seiten wird dasselbe gerechnet.
Größen mit Formeln berechnen
Erst die Formel nach der gesuchten Größe umstellen, dann die Werte einsetzen.
Gleichungen an Figuren
Die Figur liefert die Gleichung: Umfang, Winkelsumme oder Nebenwinkel.
Bewegung und Mischung
Weg ist Geschwindigkeit mal Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich löse Gleichungen mit Minusklammern und Produkten auf beiden Seiten.

    31
    Bestimme x: 4 · (x + 5) − (x − 2) = 46
    4 · (x + 5) − (x − 2)46
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 8

  2. Ich löse Gleichungen mit Brüchen, indem ich mit dem Hauptnenner multipliziere.

    32
    Multipliziere mit dem Hauptnenner und löse: (x + 2)/3 = x/2
    (x + 2)/3x/2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 4

  3. Ich erkenne Gleichungen ohne Lösung und mit unendlich vielen Lösungen.

    33
    Prüfe: Gibt es eine Lösung, keine oder unendlich viele? 4 · (x + 5) = 6x + 14
    4 · (x + 5)6x + 14
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    genau eine Lösung: x = 3

  4. Ich löse Verhältnisgleichungen.

    34
    Löse die Verhältnisgleichung: 8 : 3 = x : 12
    8 : 3x : 12
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 32

  5. Ich stelle Formeln nach einer Größe um.

    35
    Wie lautet s = v · t, wenn v allein auf einer Seite stehen soll?
    sv · t
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    v = s : t

  6. Ich berechne Größen mit umgestellten Formeln aus Geometrie und Physik.

    36
    Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 12,5 cm² und die Grundseite g = 5 cm. Wie lang ist die Höhe h?
    g = 5 cmh
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    h = 5 cm

  7. Ich stelle Gleichungen zu Figuren auf und löse sie.

    37
    Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis x cm. Jeder Schenkel ist 2 cm länger. Der Umfang beträgt 13 cm. Wie lang sind die Seiten?
    xx + 2x + 2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Basis 3 cm, Schenkel 5 cm

  8. Ich löse Bewegungs- und Mischungsaufgaben mit einer Gleichung.

    38
    Jonas und Mira wohnen 76 km auseinander und fahren sich mit dem Rad entgegen, gleichzeitig los. Jonas fährt 18 km/h, Mira 20 km/h. Nach wie vielen Stunden treffen sie sich?
    JonasMira76 km?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nach 2 Stunden

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Zahlentrick: Denk dir eine Zahl, addiere 5 und nimm das Ergebnis mal 3. Zieh dann das Doppelte deiner Zahl und noch 7 ab. Heraus kommt 20. Welche Zahl war es?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Klammern auf beiden Seiten auflösen und die Gleichung systematisch umformen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Tarife vergleichen, Rezepte im Verhältnis umrechnen, Fahrzeiten planen. Beruf: Formeln im Labor und in der Werkstatt umstellen, Mischungen im Friseursalon und auf dem Bau.

Wörter

Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Umfang
der Weg einmal außen herum

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Terme mit Klammern und binomische Formeln, Terme und Gleichungen, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Lineare Gleichungssysteme

Lösungen

  1. x = 8
  2. x = 3
  3. x = 8
  4. x = 10
  5. x = 8
  6. x = −80
  7. keine Lösung
  8. keine Lösung
  9. genau eine Lösung: x = 3
  10. x = 60
  11. x = 72
  12. x = 9
  13. c = V : (a · b)
  14. v = s : t
  15. m = ρ · V
  16. b = 11 cm
  17. c = 4 cm
  18. h = 7 cm
  19. Breite 13 cm, Länge 21 cm
  20. Breite 5 cm, Länge 14 cm
  21. Breite 7 cm, Länge 10 cm
  22. nach 1 Stunde
  23. nach 3 Stunden
  24. nach 3 Stunden
  25. x = 4
  26. x = 1
  27. x = 10
  28. genau eine Lösung: x = 3
  29. x = 9
  30. 150 ml
  31. x = 8
  32. x = 4
  33. genau eine Lösung: x = 3
  34. x = 32
  35. v = s : t
  36. h = 5 cm
  37. Basis 3 cm, Schenkel 5 cm
  38. nach 2 Stunden
  39. x = 4
  40. 154