Gleichungen und Formeln
Das lernst du
- Ich löse Gleichungen mit Minusklammern und Produkten auf beiden Seiten.
- Ich löse Gleichungen mit Brüchen, indem ich mit dem Hauptnenner multipliziere.
- Ich erkenne Gleichungen ohne Lösung und mit unendlich vielen Lösungen.
- Ich löse Verhältnisgleichungen.
- Ich stelle Formeln nach einer Größe um.
- Ich berechne Größen mit umgestellten Formeln aus Geometrie und Physik.
- Ich stelle Gleichungen zu Figuren auf und löse sie.
- Ich löse Bewegungs- und Mischungsaufgaben mit einer Gleichung.
Merksätze
Erst alle Klammern auflösen; ein Minus davor dreht jedes Vorzeichen.
Dann jede Seite zusammenfassen und wie gewohnt umformen. So wird 12 − (x − 3) = 2x zu 15 − x = 2x, also x = 5.
Mit dem Hauptnenner multipliziert verschwinden alle Brüche.
Jedes Glied wird multipliziert, auch eine Zahl ohne Bruch. Aus x/2 + x/3 = 5 wird mit 6 die Gleichung 3x + 2x = 30, also x = 6.
Fällt x weg, bleibt eine Aussage ohne x. Ist sie wahr wie 6 = 6, löst jede Zahl.
Ist sie falsch wie 6 = 5, gibt es keine Lösung.
Eine Verhältnisgleichung setzt zwei Verhältnisse gleich.
Außen mal außen ist gleich innen mal innen: Aus x : 12 = 3 : 4 wird 4 · x = 36, also x = 9.
Eine Formel stellt man um wie eine Gleichung: Auf beiden Seiten wird dasselbe gerechnet.
Die Rechnungen am Gesuchten macht man von außen nach innen rückgängig. Aus A = g · h : 2 wird h = 2 · A : g.
Erst die Formel nach der gesuchten Größe umstellen, dann die Werte einsetzen.
Ein Dreieck mit A = 24 cm² und g = 8 cm hat die Höhe h = 2 · 24 : 8 = 6 cm.
Die Figur liefert die Gleichung: Umfang, Winkelsumme oder Nebenwinkel.
Ist ein Rechteck 4 cm länger als breit und hat den Umfang 32 cm, gilt 2 · x + 2 · (x + 4) = 32, also x = 6.
Weg ist Geschwindigkeit mal Zeit.
Fahren zwei aufeinander zu, ergeben ihre Wege den Abstand: 15t + 20t = 70, also t = 2. Beim Mischen bleibt die Stoffmenge gleich.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Löse die Gleichung: 6 · (x + 6) − (x − 5) = 61
- Klammern auflösen: 6x + 36 − x + 5 = 61
- Zusammenfassen: 5x + 41 = 61
- Auf beiden Seiten − 41: 5x = 20
- Durch 5 teilen: x = 4
Ergebnis: x = 4
Löse die Gleichung: (x + 7) · (x + 6) = x² + 55
- Ausmultiplizieren: x² + 13x + 42 = x² + 55
- x² fällt auf beiden Seiten weg: 13x + 42 = 55
- 13x = 13
- x = 1
Ergebnis: x = 1
Löse die Gleichung: x/4 + x/5 = 27
- Hauptnenner von 4 und 5: 20
- Jedes Glied mal 20: 5x + 4x = 540
- Zusammenfassen: 9x = 540
- Durch 9 teilen: x = 60
Ergebnis: x = 60
Tim löst x/6 + 6 = x/2 und schreibt als ersten Schritt x + 6 = 3x. Stimmt die Umformung? Begründe und löse.
- Fehler: Die 6 wurde nicht mit 6 multipliziert.
- Richtig: x + 36 = 3x
- Auf beiden Seiten − x: 36 = 2x
- x = 18
Ergebnis: x = 18
Wörter
- Produkt
- was herauskommt, wenn man malnimmt
- Gleichung
- zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
12 − (x − 3) = 2x → 12 − x − 3 = 2x → x = 3
12 − (x − 3) = 2x → 12 − x + 3 = 2x → 15 = 3x → x = 5
Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer: −(x − 4) wird zu −x + 4.
x/2 + 3 = x/3 → mal 6: 3x + 3 = 2x → x = −3
x/2 + 3 = x/3 → mal 6: 3x + 18 = 2x → x = −18
Jedes Glied auf beiden Seiten wird multipliziert, auch eine Zahl ohne Bruch.
2 · (x + 3) = 2x + 5 → 2x + 6 = 2x + 5 → x = 0
2 · (x + 3) = 2x + 5 → 2x + 6 = 2x + 5 → links 6, rechts 5: keine Lösung
Fällt x ganz weg, entscheidet die Aussage ohne x: wahr heißt unendlich viele Lösungen, falsch heißt keine. x = 0 ist hier falsch.
A = g · h : 2 nach h: h = A : 2 · g
A = g · h : 2 nach h: h = 2 · A : g
Was mit dem Gesuchten multipliziert ist, wird geteilt, und umgekehrt. Mit ausgedachten Zahlen die Probe machen.
Rechteck, 4 cm länger als breit, Umfang 32 cm: x + (x + 4) = 32 → x = 14
2 · x + 2 · (x + 4) = 32 → 4x + 8 = 32 → x = 6
Erst sagen, wofür x steht, dann jede Angabe als Term schreiben. Zum Schluss die Lösung an den Angaben im Text prüfen.
Wo brauchst du das?
Tarife vergleichen, Rezepte im Verhältnis umrechnen, Fahrzeiten planen. Beruf: Formeln im Labor und in der Werkstatt umstellen, Mischungen im Friseursalon und auf dem Bau.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Terme und Gleichungen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Gleichungen als Waage (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
- IQB-Beispielaufgaben: Freigegebene VERA-Aufgaben mit Lösungen und Kompetenzstufen (für den Unterricht freigegeben – nur verlinkt)
Zum Ausdrucken: Drucken-Befehl des Browsers – die Seite ist dafür gebaut. Üben geht am Handy über den Code deiner Klasse, nicht hier.