Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Gleichungen und Formeln

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Zahlentrick: Denk dir eine Zahl, addiere 5 und nimm das Ergebnis mal 3. Zieh dann das Doppelte deiner Zahl und noch 7 ab. Heraus kommt 20. Welche Zahl war es?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Probieren dauert, denn jede Zahl muss durch vier Rechenschritte. Wer rückwärts rechnen will, bleibt hängen, weil die gedachte Zahl zweimal vorkommt. Schreibt den Trick als Gleichung: 3 · (x + 5) − (2x + 7) = 20. Klammern auflösen, zusammenfassen – und es steht x + 8 = 20 da. Der Trick verrät sich selbst.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Auf beiden Seiten dasselbe rechnen hält eine Gleichung wahr.

●39
Löse: 9x − 3 = 4x − 33
Lösung zeigen
1. | − 4x → 5x − 3 = −33
2. | + 3 → 5x = −30
3. | : 5 → x = −6
Ergebnis:
x = −6
●40
Berechne den Wert des Terms 4x² + 5 für x = 1.
Lösung zeigen
1. x² = 1² = 1 · 1 = 1
2. 4 · 1 + 5 = 9
Ergebnis:
9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenUmformen erhält die Lösung

Eine Gleichung fragt, für welche Zahlen beide Seiten denselben Wert haben. Jede Umformung rechnet auf beiden Seiten dasselbe: Sie ändert das Aussehen der Gleichung, aber nicht die Antwort. Eine Formel ist eine Gleichung, in der jeder Buchstabe eine feste Rolle hat.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man beide Seiten mit 6 multiplizieren, aber nicht nur die Brüche?

1Ich löse Gleichungen mit Minusklammern und Produkten auf beiden Seiten.

EntdeckenFrage

Wie kann ein Zahlentrick deine gedachte Zahl verraten, obwohl sie in der Rechnung zweimal vorkommt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beim Auflösen der Klammern fasst sich die Zahl zusammen: 3 · (x + 5) − (2x + 7) ist dasselbe wie x + 8. Wer das Ergebnis hört, zieht 8 ab und kennt die gedachte Zahl.

MerkenKlammern auf beiden Seiten

Erst alle Klammern auflösen; ein Minus davor dreht jedes Vorzeichen.

Dann jede Seite zusammenfassen und wie gewohnt umformen. So wird 12 − (x − 3) = 2x zu 15 − x = 2x, also x = 5.

BeispielGleichungen mit Minusklammern auf beiden Seiten

Löse die Gleichung: 4 · (x + 4) − (x − 2) = 36

Schritt für Schritt

Klammern auflösen: 4x + 16 − x + 2 = 36
Zusammenfassen: 3x + 18 = 36
Auf beiden Seiten − 18: 3x = 18
Durch 3 teilen: x = 6

Klammern auflösen: 4x + 16 − x + 2 = 36
Zusammenfassen: 3x + 18 = 36
Auf beiden Seiten − 18: 3x = 18
Durch 3 teilen: x = 6

Ergebnis:

x = 6

AchtungMinusklammer: nur das erste Vorzeichen gedreht

So nicht

12 − (x − 3) = 2x → 12 − x − 3 = 2x → x = 3

So richtig

12 − (x − 3) = 2x → 12 − x + 3 = 2x → 15 = 3x → x = 5

Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer: −(x − 4) wird zu −x + 4.

ÜbenJetzt du

○1
Bestimme x: 16 − (4x − 2) = 3x − 10
So fängst du an:
Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 16 − 4x + 2 = 3x − 10
Lösung zeigen
1. Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 16 − 4x + 2 = 3x − 10
2. Links zusammenfassen: −4x + 18 = 3x − 10
3. Auf beiden Seiten + 4x: 18 = 7x − 10
4. Auf beiden Seiten + 10: 28 = 7x
5. Durch 7 teilen: x = 4
Ergebnis:
x = 4
●2
Löse die Gleichung: 6 · (x + 2) − (x − 5) = 52
Lösung zeigen
1. Klammern auflösen: 6x + 12 − x + 5 = 52
2. Zusammenfassen: 5x + 17 = 52
3. Auf beiden Seiten − 17: 5x = 35
4. Durch 5 teilen: x = 7
Ergebnis:
x = 7
★3
Löse die Gleichung: 3 · (x − 5) = 2 · (x − 6)
Lösung zeigen
1. Klammern auflösen: 3x − 15 = 2x − 12
2. Auf beiden Seiten − 2x: x − 15 = −12
3. Auf beiden Seiten + 15: x = 3
4. Also x = 3
Ergebnis:
x = 3

2Ich löse Gleichungen mit Brüchen, indem ich mit dem Hauptnenner multipliziere.

EntdeckenFrage

Kann eine Gleichung für jede Zahl stimmen – oder für gar keine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beides kommt vor. 2 · (x + 3) = 2x + 6 stimmt für jede Zahl, denn beide Seiten sind derselbe Term. Bei 2 · (x + 3) = 2x + 5 bleibt nach dem Umformen links 6 und rechts 5 stehen, und das stimmt nie.

MerkenBrüche in Gleichungen

Mit dem Hauptnenner multipliziert verschwinden alle Brüche.

Jedes Glied wird multipliziert, auch eine Zahl ohne Bruch. Aus x/2 + x/3 = 5 wird mit 6 die Gleichung 3x + 2x = 30, also x = 6.

BeispielGleichungen mit Brüchen: mit dem Hauptnenner multiplizieren

Multipliziere mit dem Hauptnenner und löse: x/3 + x/6 = 12

Schritt für Schritt

Hauptnenner von 3 und 6: 6
Jedes Glied mal 6: 2x + x = 72
Zusammenfassen: 3x = 72
Durch 3 teilen: x = 24

Hauptnenner von 3 und 6: 6
Jedes Glied mal 6: 2x + x = 72
Zusammenfassen: 3x = 72
Durch 3 teilen: x = 24

Ergebnis:

x = 24

AchtungNicht jedes Glied mit dem Hauptnenner multipliziert

So nicht

x/2 + 3 = x/3 → mal 6: 3x + 3 = 2x → x = −3

So richtig

x/2 + 3 = x/3 → mal 6: 3x + 18 = 2x → x = −18

Jedes Glied auf beiden Seiten wird multipliziert, auch eine Zahl ohne Bruch.

ÜbenJetzt du

○4
Für welche Zahl x gilt (x + 4)/4 = x/3?
So fängst du an:
Hauptnenner: 12. Beide Seiten mal 12
Lösung zeigen
1. Hauptnenner: 12. Beide Seiten mal 12
2. 3 · (x + 4) = 4x
3. 3x + 12 = 4x
4. Auf beiden Seiten − 3x: 12 = x
5. x = 12
Ergebnis:
x = 12
●5
Multipliziere mit dem Hauptnenner und löse: x/3 + x/6 = 6
Lösung zeigen
1. Hauptnenner von 3 und 6: 6
2. Jedes Glied mal 6: 2x + x = 36
3. Zusammenfassen: 3x = 36
4. Durch 3 teilen: x = 12
Ergebnis:
x = 12
★6
Multipliziere mit dem Hauptnenner und löse: x/9 − 3 = x/6
Lösung zeigen
1. Hauptnenner: 18. Jedes Glied mal 18, auch die 3
2. 2x − 54 = 3x
3. Auf beiden Seiten − 2x: −54 = x
4. Also x = −54
Ergebnis:
x = −54

3Ich erkenne Gleichungen ohne Lösung und mit unendlich vielen Lösungen.

EntdeckenFrage

Ist 16 : 9 oder 4 : 3 bei gleicher Breite höher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 16 : 9 ist die Höhe 9/16 der Breite, bei 4 : 3 sind es 3/4, also 12/16. Bei 80 cm Breite sind das 45 cm gegen 60 cm. Das Verhältnis legt die Form fest, nicht die Größe.

MerkenKeine oder unendlich viele Lösungen

Fällt x weg, bleibt eine Aussage ohne x. Ist sie wahr wie 6 = 6, löst jede Zahl.

Ist sie falsch wie 6 = 5, gibt es keine Lösung.

BeispielKeine, eine oder unendlich viele Lösungen

Wie viele Lösungen hat die Gleichung? Begründe mit einer Umformung. 4 · (x + 3) = 4x + 12

Schritt für Schritt

Links auflösen: 4x + 12 = 4x + 12
Auf beiden Seiten − 4x: Es bleibt 12 = 12.
Das stimmt für jedes x: unendlich viele Lösungen.

Links auflösen: 4x + 12 = 4x + 12
Auf beiden Seiten − 4x: Es bleibt 12 = 12.
Das stimmt für jedes x: unendlich viele Lösungen.

Ergebnis:

unendlich viele Lösungen

AchtungAus „x fällt weg“ eine Lösung gemacht

So nicht

2 · (x + 3) = 2x + 5 → 2x + 6 = 2x + 5 → x = 0

So richtig

2 · (x + 3) = 2x + 5 → 2x + 6 = 2x + 5 → links 6, rechts 5: keine Lösung

Fällt x ganz weg, entscheidet die Aussage ohne x: wahr heißt unendlich viele Lösungen, falsch heißt keine. x = 0 ist hier falsch.

ÜbenJetzt du

○7
Wie viele Lösungen hat die Gleichung? Begründe mit einer Umformung. 3 · (x + 9) = 3x + 27
So fängst du an:
Links auflösen: 3x + 27 = 3x + 27
Lösung zeigen
1. Links auflösen: 3x + 27 = 3x + 27
2. Auf beiden Seiten − 3x: Es bleibt 27 = 27.
3. Das stimmt für jedes x: unendlich viele Lösungen.
Ergebnis:
unendlich viele Lösungen
●8
Hat die Gleichung keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Begründe. 3 · (x + 5) = 3x + 12
Lösung zeigen
1. Links auflösen: 3x + 15 = 3x + 12
2. Auf beiden Seiten − 3x: links bleibt 15, rechts 12.
3. Das ist für kein x gleich: keine Lösung.
Ergebnis:
keine Lösung
★9
Hat die Gleichung keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Begründe. 3 · (x + 5) = 3x + 16
Lösung zeigen
1. Links auflösen: 3x + 15 = 3x + 16
2. Auf beiden Seiten − 3x: links bleibt 15, rechts 16.
3. Das ist für kein x gleich: keine Lösung.
Ergebnis:
keine Lösung

4Ich löse Verhältnisgleichungen.

EntdeckenFrage

Wie viel Sirup gehört in 1,4 Liter Wasser, wenn das Mischverhältnis 1 : 7 sein soll?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

200 Milliliter. Das Verhältnis 1 : 7 heißt: Auf einen Teil Sirup kommen sieben Teile Wasser. Aus x : 1400 = 1 : 7 folgt 7 · x = 1400, also x = 200 ml.

MerkenVerhältnisgleichung

Eine Verhältnisgleichung setzt zwei Verhältnisse gleich.

Außen mal außen ist gleich innen mal innen: Aus x : 12 = 3 : 4 wird 4 · x = 36, also x = 9.

BeispielVerhältnisgleichung lösen

Welche Zahl steht für x?: 6384 = x / 12

Schritt für Schritt

Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
84 · x = 63 · 12
84 · x = 756
x = 756 : 84 = 9

Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
84 · x = 63 · 12
84 · x = 756
x = 756 : 84 = 9

Ergebnis:

x = 9

AchtungFalsche Umkehrrechnung beim Umstellen

So nicht

A = g · h : 2 nach h: h = A : 2 · g

So richtig

A = g · h : 2 nach h: h = 2 · A : g

Was mit dem Gesuchten multipliziert ist, wird geteilt, und umgekehrt. Mit ausgedachten Zahlen die Probe machen.

ÜbenJetzt du

○10
Löse die Verhältnisgleichung: 2 : 4 = x : 12
So fängst du an:
Außen mal außen gleich innen mal innen.
Lösung zeigen
1. Außen mal außen gleich innen mal innen.
2. 4 · x = 2 · 12
3. 4 · x = 24
4. x = 24 : 4 = 6
Ergebnis:
x = 6
●11
Bestimme x: 95 = x / 30
Lösung zeigen
1. Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
2. 5 · x = 9 · 30
3. 5 · x = 270
4. x = 270 : 5 = 54
Ergebnis:
x = 54
★12
Bestimme x: 18 : 20 = x : 10
Lösung zeigen
1. Außen mal außen gleich innen mal innen.
2. 20 · x = 18 · 10
3. 20 · x = 180
4. x = 180 : 20 = 9
Ergebnis:
x = 9

5Ich stelle Formeln nach einer Größe um.

EntdeckenFrage

Wie weit ist ein Gewitter weg, wenn der Donner 6 Sekunden nach dem Blitz kommt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Etwa 2 Kilometer. Schall legt in der Luft rund 343 Meter in der Sekunde zurück, das Licht kommt fast sofort an. Aus s = v · t folgt s ≈ 343 · 6 ≈ 2058 m. Die Faustregel „Sekunden geteilt durch 3 gibt Kilometer“ ist genau diese Formel.

MerkenFormeln umstellen

Eine Formel stellt man um wie eine Gleichung: Auf beiden Seiten wird dasselbe gerechnet.

Die Rechnungen am Gesuchten macht man von außen nach innen rückgängig. Aus A = g · h : 2 wird h = 2 · A : g.

BeispielFormel nach einer Größe umstellen

Stelle die Formel V = a · b · c nach c um.

Schritt für Schritt

c ist mit a und b multipliziert.
Auf beiden Seiten : (a · b): V : (a · b) = c
c = V : (a · b)

c ist mit a und b multipliziert.
Auf beiden Seiten : (a · b): V : (a · b) = c
c = V : (a · b)

Ergebnis:

c = V : (a · b)

AchtungNoch einmal: Falsche Umkehrrechnung beim Umstellen

So nicht

A = g · h : 2 nach h: h = A : 2 · g

So richtig

A = g · h : 2 nach h: h = 2 · A : g

Was mit dem Gesuchten multipliziert ist, wird geteilt, und umgekehrt. Mit ausgedachten Zahlen die Probe machen.

ÜbenJetzt du

○13
Wie lautet A = g · h : 2, wenn h allein auf einer Seite stehen soll?
So fängst du an:
Auf beiden Seiten · 2: 2 · A = g · h
Lösung zeigen
1. Auf beiden Seiten · 2: 2 · A = g · h
2. Auf beiden Seiten : g: 2 · A : g = h
3. h = 2 · A : g
Ergebnis:
h = 2 · A : g
●14
Löse ρ = m : V nach m auf.
Lösung zeigen
1. m ist durch V geteilt.
2. Auf beiden Seiten · V: ρ · V = m
3. m = ρ · V
Ergebnis:
m = ρ · V
★15
Stelle die Formel A = g · h : 2 nach h um.
Lösung zeigen
1. Auf beiden Seiten · 2: 2 · A = g · h
2. Auf beiden Seiten : g: 2 · A : g = h
3. h = 2 · A : g
Ergebnis:
h = 2 · A : g

6Ich berechne Größen mit umgestellten Formeln aus Geometrie und Physik.

EntdeckenFrage

Warum braucht ein Auto bei 100 km/h für 100 Meter nur etwa 3,6 Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 km/h heißt 100.000 Meter in 3600 Sekunden, also rund 27,8 Meter in jeder Sekunde. Aus s = v · t wird t = s : v, und 100 : 27,8 ≈ 3,6. Deshalb teilt man km/h durch 3,6, um Meter pro Sekunde zu bekommen.

MerkenGrößen mit Formeln berechnen

Erst die Formel nach der gesuchten Größe umstellen, dann die Werte einsetzen.

Ein Dreieck mit A = 24 cm² und g = 8 cm hat die Höhe h = 2 · 24 : 8 = 6 cm.

BeispielGröße mit umgestellter Formel berechnen

Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 20 cm² und die Grundseite g = 4 cm. Wie lang ist die Höhe h?

Schritt für Schritt

A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
Einsetzen: 2 · 20 : 4 = 10
h = 10 cm

A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
Einsetzen: 2 · 20 : 4 = 10
h = 10 cm

Ergebnis:

h = 10 cm

AchtungRest als Kommastelle geschrieben

So nicht

39 : 4 = 9 Rest 3 = 9,3

So richtig

39 : 4 = 9,75

Teile den Rest weiter. Schreib dafür eine 0 dazu.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 12 cm² und die Grundseite g = 12 cm. Wie lang ist die Höhe h?
So fängst du an:
A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
Lösung zeigen
1. A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
2. Einsetzen: 2 · 12 : 12 = 2
3. h = 2 cm
Ergebnis:
h = 2 cm
●17
Ein Zug fährt im Mittel 80 km/h und legt 200 km zurück. Wie lange ist er unterwegs?
Lösung zeigen
1. s = v · t, umgestellt: t = s : v
2. Einsetzen: 200 : 80 = 2,5
3. t = 2,5 Stunden
Ergebnis:
2,5 Stunden
★18
Ein Quader hat das Volumen 36 cm³. Er ist 3 cm lang und 6 cm breit. Wie hoch ist er?
Lösung zeigen
1. V = a · b · c, umgestellt: c = V : (a · b)
2. Einsetzen: 36 : 18 = 2
3. c = 2 cm
Ergebnis:
c = 2 cm

7Ich stelle Gleichungen zu Figuren auf und löse sie.

EntdeckenFrage

Ein Fußballtor ist dreimal so breit wie hoch. Pfosten und Latte sind zusammen 12,20 m lang. Wie hoch ist das Tor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ist das Tor h Meter hoch, dann ist es 3h Meter breit. Zwei Pfosten und eine Latte ergeben h + h + 3h = 5h = 12,20. Also ist h = 2,44 m, und die Breite ist 7,32 m.

MerkenGleichungen an Figuren

Die Figur liefert die Gleichung: Umfang, Winkelsumme oder Nebenwinkel.

Ist ein Rechteck 4 cm länger als breit und hat den Umfang 32 cm, gilt 2 · x + 2 · (x + 4) = 32, also x = 6.

BeispielGleichungen zu Umfang und Fläche einer Figur

Verlängert man jede Seite eines Quadrats um 4 cm, so ist der Umfang 52 cm. Wie lang war die Seite vorher?

Schritt für Schritt

Seite vorher x, nachher x + 4
Gleichung: 4 · (x + 4) = 52
4x + 16 = 52
4x = 36, also x = 9

Seite vorher x, nachher x + 4
Gleichung: 4 · (x + 4) = 52
4x + 16 = 52
4x = 36, also x = 9

Ergebnis:

9 cm (Umfang vorher 36 cm)

AchtungGleichung passt nicht zur Situation

So nicht

Rechteck, 4 cm länger als breit, Umfang 32 cm: x + (x + 4) = 32 → x = 14

So richtig

2 · x + 2 · (x + 4) = 32 → 4x + 8 = 32 → x = 6

Erst sagen, wofür x steht, dann jede Angabe als Term schreiben. Zum Schluss die Lösung an den Angaben im Text prüfen.

ÜbenJetzt du

○19
Verlängert man jede Seite eines Quadrats um 2 cm, so ist der Umfang 16 cm. Wie lang war die Seite vorher?
So fängst du an:
Seite vorher x, nachher x + 2
Lösung zeigen
1. Seite vorher x, nachher x + 2
2. Gleichung: 4 · (x + 2) = 16
3. 4x + 8 = 16
4. 4x = 8, also x = 2
Ergebnis:
2 cm (Umfang vorher 8 cm)
●20
Verlängert man jede Seite eines Quadrats um 3 cm, so ist der Umfang 48 cm. Wie lang war die Seite vorher?
Lösung zeigen
1. Seite vorher x, nachher x + 3
2. Gleichung: 4 · (x + 3) = 48
3. 4x + 12 = 48
4. 4x = 36, also x = 9
Ergebnis:
9 cm (Umfang vorher 36 cm)
★21
Ein Rechteck ist x cm breit und 4 cm länger als breit. Die Breite wächst um 2 cm, die Länge schrumpft um 1 cm. Die Fläche wächst dadurch um 18 cm². Bestimme x.
Lösung zeigen
1. Vorher: x · (x + 4). Nachher: (x + 2) · (x + 3)
2. Nachher ausmultipliziert: x² + 5x + 6
3. Gleichung: x² + 5x + 6 = x² + 4x + 18
4. x² fällt weg: x = 12
Ergebnis:
x = 12 cm

8Ich löse Bewegungs- und Mischungsaufgaben mit einer Gleichung.

EntdeckenFrage

Wie viel Vollmilch mit 3,5 % Fett und Magermilch mit 0,5 % Fett ergeben einen Liter Milch mit 1,5 % Fett?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm x Liter Vollmilch und 1 − x Liter Magermilch. Die Fettmenge ergibt die Gleichung 3,5x + 0,5(1 − x) = 1,5. Daraus folgt 3x = 1, also x = 1/3. Man braucht ein Drittel Liter Vollmilch und zwei Drittel Liter Magermilch.

MerkenBewegung und Mischung

Weg ist Geschwindigkeit mal Zeit.

Fahren zwei aufeinander zu, ergeben ihre Wege den Abstand: 15t + 20t = 70, also t = 2. Beim Mischen bleibt die Stoffmenge gleich.

BeispielBewegungsaufgaben mit einer Gleichung

Mila und Zeynep wohnen 84 km auseinander und fahren sich mit dem Rad entgegen, gleichzeitig los. Mila fährt 18 km/h, Zeynep 24 km/h. Nach wie vielen Stunden treffen sie sich?

Schritt für Schritt

Zeit t in Stunden. Wege: 18t und 24t
Gleichung: 18t + 24t = 84
42t = 84, also t = 2

Zeit t in Stunden. Wege: 18t und 24t
Gleichung: 18t + 24t = 84
42t = 84, also t = 2

Ergebnis:

nach 2 Stunden

AchtungNoch einmal: Gleichung passt nicht zur Situation

So nicht

Rechteck, 4 cm länger als breit, Umfang 32 cm: x + (x + 4) = 32 → x = 14

So richtig

2 · x + 2 · (x + 4) = 32 → 4x + 8 = 32 → x = 6

Erst sagen, wofür x steht, dann jede Angabe als Term schreiben. Zum Schluss die Lösung an den Angaben im Text prüfen.

ÜbenJetzt du

○22
Lea geht mit 4 km/h los. 1,5 Stunden später fährt Tim mit dem Rad hinterher, 16 km/h schnell. Nach wie vielen Stunden hat Tim Lea eingeholt?
So fängst du an:
Fahrzeit von Tim: t. Dann ist Lea schon t + 1,5 Stunden unterwegs.
Lösung zeigen
1. Fahrzeit von Tim: t. Dann ist Lea schon t + 1,5 Stunden unterwegs.
2. Gleiche Wege: 16t = 4 · (t + 1,5)
3. 16t = 4t + 6
4. 12t = 6, also t = 0,5
Ergebnis:
nach 0,5 Stunden Fahrt
●23
Tim und Mira wohnen 28 km auseinander und fahren sich mit dem Rad entgegen, gleichzeitig los. Tim fährt 18 km/h, Mira 10 km/h. Nach wie vielen Stunden treffen sie sich?
Lösung zeigen
1. Zeit t in Stunden. Wege: 18t und 10t
2. Gleichung: 18t + 10t = 28
3. 28t = 28, also t = 1
Ergebnis:
nach 1 Stunde
★24
Jonas geht mit 6 km/h los. 2 Stunden später fährt Emre mit dem Rad hinterher, 12 km/h schnell. Nach wie vielen Stunden hat Emre Jonas eingeholt?
Lösung zeigen
1. Fahrzeit von Emre: t. Dann ist Jonas schon t + 2 Stunden unterwegs.
2. Gleiche Wege: 12t = 6 · (t + 2)
3. 12t = 6t + 12
4. 6t = 12, also t = 2
Ergebnis:
nach 2 Stunden Fahrt

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Bestimme x: 24 − (2x − 1) = 3x − 10
Lösung zeigen
1. Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 24 − 2x + 1 = 3x − 10
2. Links zusammenfassen: −2x + 25 = 3x − 10
3. Auf beiden Seiten + 2x: 25 = 5x − 10
4. Auf beiden Seiten + 10: 35 = 5x
5. Durch 5 teilen: x = 7
Ergebnis:
x = 7
●26
Löse die Gleichung: (x + 3) · (x + 2) = x² + 51
Lösung zeigen
1. Ausmultiplizieren: x² + 5x + 6 = x² + 51
2. x² fällt auf beiden Seiten weg: 5x + 6 = 51
3. 5x = 45
4. x = 9
Ergebnis:
x = 9
●27
Löse die Gleichung: x/3 + x/4 = 21
Lösung zeigen
1. Hauptnenner von 3 und 4: 12
2. Jedes Glied mal 12: 4x + 3x = 252
3. Zusammenfassen: 7x = 252
4. Durch 7 teilen: x = 36
Ergebnis:
x = 36
●28
Sara löst x − (x + 4)/2 = 1 und schreibt als ersten Schritt 2x − x + 4 = 2. Was ist falsch? Rechne richtig weiter.
Lösung zeigen
1. Fehler: Der Bruchstrich wirkt wie eine Klammer. Das Minus gilt für x und für 4.
2. Richtig: 2x − (x + 4) = 2, also 2x − x − 4 = 2
3. x − 4 = 2
4. x = 6
Ergebnis:
x = 6
●29
Hat die Gleichung keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Begründe. 6 · (x + 3) = 7x + 17
Lösung zeigen
1. Links auflösen: 6x + 18 = 7x + 17
2. Auf beiden Seiten − 6x: 18 = x + 17
3. x fällt nicht weg: genau eine Lösung, x = 1
Ergebnis:
genau eine Lösung: x = 1
●30
Welche Zahl steht für x?: 3264 = x / 8
Lösung zeigen
1. Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
2. 64 · x = 32 · 8
3. 64 · x = 256
4. x = 256 : 64 = 4
Ergebnis:
x = 4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Klammern auf beiden Seiten: Erst alle Klammern auflösen; ein Minus davor dreht jedes Vorzeichen.
Brüche in Gleichungen: Mit dem Hauptnenner multipliziert verschwinden alle Brüche.
Keine oder unendlich viele Lösungen: Fällt x weg, bleibt eine Aussage ohne x. Ist sie wahr wie 6 = 6, löst jede Zahl.
Verhältnisgleichung: Eine Verhältnisgleichung setzt zwei Verhältnisse gleich.
Formeln umstellen: Eine Formel stellt man um wie eine Gleichung: Auf beiden Seiten wird dasselbe gerechnet.
Größen mit Formeln berechnen: Erst die Formel nach der gesuchten Größe umstellen, dann die Werte einsetzen.
Gleichungen an Figuren: Die Figur liefert die Gleichung: Umfang, Winkelsumme oder Nebenwinkel.
Bewegung und Mischung: Weg ist Geschwindigkeit mal Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich löse Gleichungen mit Minusklammern und Produkten auf beiden Seiten.
31
Löse die Gleichung: 29 − (3x − 1) = 2x + 25
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = 1
Ich löse Gleichungen mit Brüchen, indem ich mit dem Hauptnenner multipliziere.
32
Löse die Gleichung: (x + 12)/4 = x/2
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = 12
Ich erkenne Gleichungen ohne Lösung und mit unendlich vielen Lösungen.
33
Hat die Gleichung keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Begründe. 4 · (x + 8) = 4x + 34
Lösung zeigen
Ergebnis:
keine Lösung
Ich löse Verhältnisgleichungen.
34
Bestimme x: 54 : 27 = 6 : x
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = 3
Ich stelle Formeln nach einer Größe um.
35
Löse ρ = m : V nach m auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
m = ρ · V
Ich berechne Größen mit umgestellten Formeln aus Geometrie und Physik.
36
Ein Zug fährt im Mittel 80 km/h und legt 160 km zurück. Wie lange ist er unterwegs?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Stunden
Ich stelle Gleichungen zu Figuren auf und löse sie.
37
Ein Rechteck ist 2 cm länger als breit. Sein Umfang ist 60 cm. Wie breit und wie lang ist es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Breite 14 cm, Länge 16 cm
Ich löse Bewegungs- und Mischungsaufgaben mit einer Gleichung.
38
Mila geht mit 6 km/h los. 2 Stunden später fährt Nele mit dem Rad hinterher, 12 km/h schnell. Nach wie vielen Stunden hat Nele Mila eingeholt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
nach 2 Stunden Fahrt

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Zahlentrick: Denk dir eine Zahl, addiere 5 und nimm das Ergebnis mal 3. Zieh dann das Doppelte deiner Zahl und noch 7 ab. Heraus kommt 20. Welche Zahl war es?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Klammern auf beiden Seiten auflösen und die Gleichung systematisch umformen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Tarife vergleichen, Rezepte im Verhältnis umrechnen, Fahrzeiten planen. Beruf: Formeln im Labor und in der Werkstatt umstellen, Mischungen im Friseursalon und auf dem Bau.

Wörter

Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Umfang: der Weg einmal außen herum

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Terme mit Klammern und binomische Formeln, Terme und Gleichungen, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Lineare Gleichungssysteme

Lösungen

x = 4
x = 7
x = 3
x = 12
x = 12
x = −54
unendlich viele Lösungen
keine Lösung
keine Lösung
x = 6
x = 54
x = 9
h = 2 · A : g
m = ρ · V
h = 2 · A : g
h = 2 cm
2,5 Stunden
c = 2 cm
2 cm (Umfang vorher 8 cm)
9 cm (Umfang vorher 36 cm)
x = 12 cm
nach 0,5 Stunden Fahrt
nach 1 Stunde
nach 2 Stunden Fahrt
x = 7
x = 9
x = 36
x = 6
genau eine Lösung: x = 1
x = 4
x = 1
x = 12
keine Lösung
x = 3
m = ρ · V
2 Stunden
Breite 14 cm, Länge 16 cm
nach 2 Stunden Fahrt
x = −6
9