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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Gleichungen und Formeln

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Zahlentrick: Denk dir eine Zahl, addiere 5 und nimm das Ergebnis mal 3. Zieh dann das Doppelte deiner Zahl und noch 7 ab. Heraus kommt 20. Welche Zahl war es?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Probieren dauert, denn jede Zahl muss durch vier Rechenschritte. Wer rückwärts rechnen will, bleibt hängen, weil die gedachte Zahl zweimal vorkommt. Schreibt den Trick als Gleichung: 3 · (x + 5) − (2x + 7) = 20. Klammern auflösen, zusammenfassen – und es steht x + 8 = 20 da. Der Trick verrät sich selbst.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Auf beiden Seiten dasselbe rechnen hält eine Gleichung wahr.

  1. ●39
    Löse: 5x + 7 = 2x − 2
    Lösung zeigen
    1. | − 2x → 3x + 7 = −2
    2. | − 7 → 3x = −9
    3. | : 3 → x = −3
    Ergebnis:
    x = −3
  2. ●40
    Berechne den Wert des Terms 5x² + 2 für x = 3.
    Lösung zeigen
    1. x² = 3² = 3 · 3 = 9
    2. 5 · 9 + 2 = 47
    Ergebnis:
    47

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenUmformen erhält die Lösung

Eine Gleichung fragt, für welche Zahlen beide Seiten denselben Wert haben. Jede Umformung rechnet auf beiden Seiten dasselbe: Sie ändert das Aussehen der Gleichung, aber nicht die Antwort. Eine Formel ist eine Gleichung, in der jeder Buchstabe eine feste Rolle hat.

Zwei Waagen im Gleichgewicht: 3x plus 2 gleich 14, auf beiden Seiten 2 weg, 3x gleich 123x + 2143x12auf beiden Seiten − 2Das Gleichgewicht bleibt: x = 4

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man beide Seiten mit 6 multiplizieren, aber nicht nur die Brüche?

1Ich löse Gleichungen mit Minusklammern und Produkten auf beiden Seiten.

EntdeckenFrage

Wie kann ein Zahlentrick deine gedachte Zahl verraten, obwohl sie in der Rechnung zweimal vorkommt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beim Auflösen der Klammern fasst sich die Zahl zusammen: 3 · (x + 5) − (2x + 7) ist dasselbe wie x + 8. Wer das Ergebnis hört, zieht 8 ab und kennt die gedachte Zahl.

MerkenKlammern auf beiden Seiten

Erst alle Klammern auflösen; ein Minus davor dreht jedes Vorzeichen.

Dann jede Seite zusammenfassen und wie gewohnt umformen. So wird 12 − (x − 3) = 2x zu 15 − x = 2x, also x = 5.

BeispielGleichungen mit Minusklammern auf beiden Seiten

Löse und mache die Probe: 27 − (2x − 1) = 2x + 24
27 − (2x − 1)2x + 24
Schritt für Schritt
  1. Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 27 − 2x + 1 = 2x + 24
  2. Links zusammenfassen: −2x + 28 = 2x + 24
  3. Auf beiden Seiten + 2x: 28 = 4x + 24
  4. Auf beiden Seiten − 24: 4 = 4x
  5. Durch 4 teilen: x = 1
  6. Probe: links 27 − 1 = 26, rechts 26
  1. Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 27 − 2x + 1 = 2x + 24
  2. Links zusammenfassen: −2x + 28 = 2x + 24
  3. Auf beiden Seiten + 2x: 28 = 4x + 24
  4. Auf beiden Seiten − 24: 4 = 4x
  5. Durch 4 teilen: x = 1
  6. Probe: links 27 − 1 = 26, rechts 26
Ergebnis:
x = 1

AchtungMinusklammer: nur das erste Vorzeichen gedreht

So nicht
12 − (x − 3) = 2x → 12 − x − 3 = 2x → x = 3
So richtig
12 − (x − 3) = 2x → 12 − x + 3 = 2x → 15 = 3x → x = 5

Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer: −(x − 4) wird zu −x + 4.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Löse und mache die Probe: 30 − (4x − 5) = 2x − 1
    30 − (4x − 5)2x − 1
    So fängst du an:
    Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 30 − 4x + 5 = 2x − 1
    Lösung zeigen
    1. Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 30 − 4x + 5 = 2x − 1
    2. Links zusammenfassen: −4x + 35 = 2x − 1
    3. Auf beiden Seiten + 4x: 35 = 6x − 1
    4. Auf beiden Seiten + 1: 36 = 6x
    5. Durch 6 teilen: x = 6
    6. Probe: links 30 − 19 = 11, rechts 11
    Ergebnis:
    x = 6
  2. ●2
    Bestimme x: 28 − (2x − 4) = x + 26
    28 − (2x − 4)x + 26
    Lösung zeigen
    1. Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 28 − 2x + 4 = x + 26
    2. Links zusammenfassen: −2x + 32 = x + 26
    3. Auf beiden Seiten + 2x: 32 = 3x + 26
    4. Auf beiden Seiten − 26: 6 = 3x
    5. Durch 3 teilen: x = 2
    Ergebnis:
    x = 2
  3. ★3
    Löse die Gleichung: 3 · (x − 4) = 2 · (x − 2)
    3 · (x − 4)2 · (x − 2)
    Lösung zeigen
    1. Klammern auflösen: 3x − 12 = 2x − 4
    2. Auf beiden Seiten − 2x: x − 12 = −4
    3. Auf beiden Seiten + 12: x = 8
    4. Also x = 8
    Ergebnis:
    x = 8

2Ich löse Gleichungen mit Brüchen, indem ich mit dem Hauptnenner multipliziere.

EntdeckenFrage

Kann eine Gleichung für jede Zahl stimmen – oder für gar keine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beides kommt vor. 2 · (x + 3) = 2x + 6 stimmt für jede Zahl, denn beide Seiten sind derselbe Term. Bei 2 · (x + 3) = 2x + 5 bleibt nach dem Umformen links 6 und rechts 5 stehen, und das stimmt nie.

MerkenBrüche in Gleichungen

Mit dem Hauptnenner multipliziert verschwinden alle Brüche.

Jedes Glied wird multipliziert, auch eine Zahl ohne Bruch. Aus x/2 + x/3 = 5 wird mit 6 die Gleichung 3x + 2x = 30, also x = 6.

BeispielGleichungen mit Brüchen: mit dem Hauptnenner multiplizieren

Multipliziere mit dem Hauptnenner und löse: (x + 7)/5 = x/4
(x + 7)/5x/4
Schritt für Schritt
  1. Hauptnenner: 20. Beide Seiten mal 20
  2. 4 · (x + 7) = 5x
  3. 4x + 28 = 5x
  4. Auf beiden Seiten − 4x: 28 = x
  5. x = 28
  1. Hauptnenner: 20. Beide Seiten mal 20
  2. 4 · (x + 7) = 5x
  3. 4x + 28 = 5x
  4. Auf beiden Seiten − 4x: 28 = x
  5. x = 28
Ergebnis:
x = 28

AchtungNicht jedes Glied mit dem Hauptnenner multipliziert

So nicht
x/2 + 3 = x/3 → mal 6: 3x + 3 = 2x → x = −3
So richtig
x/2 + 3 = x/3 → mal 6: 3x + 18 = 2x → x = −18

Jedes Glied auf beiden Seiten wird multipliziert, auch eine Zahl ohne Bruch.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Löse die Gleichung: x/2 + x/3 = 10
    x/2 + x/310
    So fängst du an:
    Hauptnenner von 2 und 3: 6
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner von 2 und 3: 6
    2. Jedes Glied mal 6: 3x + 2x = 60
    3. Zusammenfassen: 5x = 60
    4. Durch 5 teilen: x = 12
    Ergebnis:
    x = 12
  2. ●5
    Löse die Gleichung: (x + 3)/3 = x/2
    (x + 3)/3x/2
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner: 6. Beide Seiten mal 6
    2. 2 · (x + 3) = 3x
    3. 2x + 6 = 3x
    4. Auf beiden Seiten − 2x: 6 = x
    5. x = 6
    Ergebnis:
    x = 6
  3. ★6
    Für welche Zahl x gilt (x + 3)/5 = x/2?
    (x + 3)/5x/2
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner: 10. Beide Seiten mal 10
    2. 2 · (x + 3) = 5x
    3. 2x + 6 = 5x
    4. Auf beiden Seiten − 2x: 6 = 3x
    5. x = 2
    Ergebnis:
    x = 2

3Ich erkenne Gleichungen ohne Lösung und mit unendlich vielen Lösungen.

EntdeckenFrage

Ist 16 : 9 oder 4 : 3 bei gleicher Breite höher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 16 : 9 ist die Höhe 9/16 der Breite, bei 4 : 3 sind es 3/4, also 12/16. Bei 80 cm Breite sind das 45 cm gegen 60 cm. Das Verhältnis legt die Form fest, nicht die Größe.

MerkenKeine oder unendlich viele Lösungen

Fällt x weg, bleibt eine Aussage ohne x. Ist sie wahr wie 6 = 6, löst jede Zahl.

Ist sie falsch wie 6 = 5, gibt es keine Lösung.

BeispielKeine, eine oder unendlich viele Lösungen

Wie viele Lösungen hat die Gleichung? Begründe mit einer Umformung. 5 · (x + 9) = 5x + 44
5 · (x + 9)5x + 44
Schritt für Schritt
  1. Links auflösen: 5x + 45 = 5x + 44
  2. Auf beiden Seiten − 5x: links bleibt 45, rechts 44.
  3. Das ist für kein x gleich: keine Lösung.
  1. Links auflösen: 5x + 45 = 5x + 44
  2. Auf beiden Seiten − 5x: links bleibt 45, rechts 44.
  3. Das ist für kein x gleich: keine Lösung.
Ergebnis:
keine Lösung

AchtungAus „x fällt weg“ eine Lösung gemacht

So nicht
2 · (x + 3) = 2x + 5 → 2x + 6 = 2x + 5 → x = 0
So richtig
2 · (x + 3) = 2x + 5 → 2x + 6 = 2x + 5 → links 6, rechts 5: keine Lösung

Fällt x ganz weg, entscheidet die Aussage ohne x: wahr heißt unendlich viele Lösungen, falsch heißt keine. x = 0 ist hier falsch.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Prüfe: Gibt es eine Lösung, keine oder unendlich viele? 6 · (x + 3) = 6x + 18
    6 · (x + 3)6x + 18
    So fängst du an:
    Links auflösen: 6x + 18 = 6x + 18
    Lösung zeigen
    1. Links auflösen: 6x + 18 = 6x + 18
    2. Auf beiden Seiten − 6x: Es bleibt 18 = 18.
    3. Das stimmt für jedes x: unendlich viele Lösungen.
    Ergebnis:
    unendlich viele Lösungen
  2. ●8
    Wie viele Lösungen hat die Gleichung? Begründe mit einer Umformung. 5 · (x + 1) = 7x − 3
    5 · (x + 1)7x − 3
    Lösung zeigen
    1. Links auflösen: 5x + 5 = 7x − 3
    2. Auf beiden Seiten − 5x: 5 = 2x − 3
    3. x fällt nicht weg: genau eine Lösung, x = 4
    Ergebnis:
    genau eine Lösung: x = 4
  3. ★9
    Welche Zahl gehört in die Lücke, damit die Gleichung unendlich viele Lösungen hat? 3 · (x + 7) − 2x = x + ___
    3 · (x + 7) − 2xx + ___
    Lösung zeigen
    1. Links auflösen: 3x + 21 − 2x
    2. Zusammenfassen: x + 21
    3. Beide Seiten gleich für jedes x, wenn die Lücke 21 ist.
    Ergebnis:
    21

4Ich löse Verhältnisgleichungen.

EntdeckenFrage

Wie viel Sirup gehört in 1,4 Liter Wasser, wenn das Mischverhältnis 1 : 7 sein soll?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

200 Milliliter. Das Verhältnis 1 : 7 heißt: Auf einen Teil Sirup kommen sieben Teile Wasser. Aus x : 1400 = 1 : 7 folgt 7 · x = 1400, also x = 200 ml.

MerkenVerhältnisgleichung

Eine Verhältnisgleichung setzt zwei Verhältnisse gleich.

Außen mal außen ist gleich innen mal innen: Aus x : 12 = 3 : 4 wird 4 · x = 36, also x = 9.

BeispielVerhältnisgleichung lösen

Welche Zahl steht für x?: 910 = x / 70
9 / 10x / 70
Schritt für Schritt
  1. Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
  2. 10 · x = 9 · 70
  3. 10 · x = 630
  4. x = 630 : 10 = 63
  1. Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
  2. 10 · x = 9 · 70
  3. 10 · x = 630
  4. x = 630 : 10 = 63
Ergebnis:
x = 63

AchtungFalsche Umkehrrechnung beim Umstellen

So nicht
A = g · h : 2 nach h: h = A : 2 · g
So richtig
A = g · h : 2 nach h: h = 2 · A : g

Was mit dem Gesuchten multipliziert ist, wird geteilt, und umgekehrt. Mit ausgedachten Zahlen die Probe machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Bestimme x: 63 / x = 92
    63 / x9 / 2
    So fängst du an:
    Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
    Lösung zeigen
    1. Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
    2. 9 · x = 63 · 2
    3. 9 · x = 126
    4. x = 126 : 9 = 14
    Ergebnis:
    x = 14
  2. ●11
    Löse die Verhältnisgleichung: 8 : 10 = x : 50
    8 : 10x : 50
    Lösung zeigen
    1. Außen mal außen gleich innen mal innen.
    2. 10 · x = 8 · 50
    3. 10 · x = 400
    4. x = 400 : 10 = 40
    Ergebnis:
    x = 40
  3. ★12
    Bestimme x: 10 : 45 = x : 9
    10 : 45x : 9
    Lösung zeigen
    1. Außen mal außen gleich innen mal innen.
    2. 45 · x = 10 · 9
    3. 45 · x = 90
    4. x = 90 : 45 = 2
    Ergebnis:
    x = 2

5Ich stelle Formeln nach einer Größe um.

EntdeckenFrage

Wie weit ist ein Gewitter weg, wenn der Donner 6 Sekunden nach dem Blitz kommt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Etwa 2 Kilometer. Schall legt in der Luft rund 343 Meter in der Sekunde zurück, das Licht kommt fast sofort an. Aus s = v · t folgt s ≈ 343 · 6 ≈ 2058 m. Die Faustregel „Sekunden geteilt durch 3 gibt Kilometer“ ist genau diese Formel.

MerkenFormeln umstellen

Eine Formel stellt man um wie eine Gleichung: Auf beiden Seiten wird dasselbe gerechnet.

Die Rechnungen am Gesuchten macht man von außen nach innen rückgängig. Aus A = g · h : 2 wird h = 2 · A : g.

BeispielFormel nach einer Größe umstellen

Stelle die Formel V = a · b · c nach c um.
Va · b · c
Schritt für Schritt
  1. c ist mit a und b multipliziert.
  2. Auf beiden Seiten : (a · b): V : (a · b) = c
  3. c = V : (a · b)
  1. c ist mit a und b multipliziert.
  2. Auf beiden Seiten : (a · b): V : (a · b) = c
  3. c = V : (a · b)
Ergebnis:
c = V : (a · b)

AchtungNoch einmal: Falsche Umkehrrechnung beim Umstellen

So nicht
A = g · h : 2 nach h: h = A : 2 · g
So richtig
A = g · h : 2 nach h: h = 2 · A : g

Was mit dem Gesuchten multipliziert ist, wird geteilt, und umgekehrt. Mit ausgedachten Zahlen die Probe machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Stelle die Formel A = g · h : 2 nach g um.
    Ag · h : 2
    So fängst du an:
    Auf beiden Seiten · 2: 2 · A = g · h
    Lösung zeigen
    1. Auf beiden Seiten · 2: 2 · A = g · h
    2. Auf beiden Seiten : h: 2 · A : h = g
    3. g = 2 · A : h
    Ergebnis:
    g = 2 · A : h
  2. ●14
    Stelle die Formel s = v · t nach v um.
    sv · t
    Lösung zeigen
    1. v ist mit t multipliziert.
    2. Auf beiden Seiten : t: s : t = v
    3. v = s : t
    Ergebnis:
    v = s : t
  3. ★15
    Löse s = v · t nach t auf.
    sv · t
    Lösung zeigen
    1. t ist mit v multipliziert.
    2. Auf beiden Seiten : v: s : v = t
    3. t = s : v
    Ergebnis:
    t = s : v

6Ich berechne Größen mit umgestellten Formeln aus Geometrie und Physik.

EntdeckenFrage

Warum braucht ein Auto bei 100 km/h für 100 Meter nur etwa 3,6 Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 km/h heißt 100.000 Meter in 3600 Sekunden, also rund 27,8 Meter in jeder Sekunde. Aus s = v · t wird t = s : v, und 100 : 27,8 ≈ 3,6. Deshalb teilt man km/h durch 3,6, um Meter pro Sekunde zu bekommen.

MerkenGrößen mit Formeln berechnen

Erst die Formel nach der gesuchten Größe umstellen, dann die Werte einsetzen.

Ein Dreieck mit A = 24 cm² und g = 8 cm hat die Höhe h = 2 · 24 : 8 = 6 cm.

BeispielGröße mit umgestellter Formel berechnen

Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 36 cm² und die Grundseite g = 8 cm. Wie lang ist die Höhe h?
g = 8 cmh
Schritt für Schritt
  1. A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
  2. Einsetzen: 2 · 36 : 8 = 9
  3. h = 9 cm
  1. A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
  2. Einsetzen: 2 · 36 : 8 = 9
  3. h = 9 cm
Ergebnis:
h = 9 cm

AchtungRest als Kommastelle geschrieben

So nicht
39 : 4 = 9 Rest 3 = 9,3
So richtig
39 : 4 = 9,75

Teile den Rest weiter. Schreib dafür eine 0 dazu.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 13,5 cm² und die Grundseite g = 3 cm. Wie lang ist die Höhe h?
    g = 3 cmh
    So fängst du an:
    A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
    Lösung zeigen
    1. A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
    2. Einsetzen: 2 · 13,5 : 3 = 9
    3. h = 9 cm
    Ergebnis:
    h = 9 cm
  2. ●17
    Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 11 cm² und die Grundseite g = 11 cm. Wie lang ist die Höhe h?
    g = 11 cmh
    Lösung zeigen
    1. A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
    2. Einsetzen: 2 · 11 : 11 = 2
    3. h = 2 cm
    Ergebnis:
    h = 2 cm
  3. ★18
    Ein Quader hat das Volumen 432 cm³. Er ist 6 cm lang und 8 cm breit. Wie hoch ist er?
    gegebengesucht432 cm³6 cm8 cm?
    Lösung zeigen
    1. V = a · b · c, umgestellt: c = V : (a · b)
    2. Einsetzen: 432 : 48 = 9
    3. c = 9 cm
    Ergebnis:
    c = 9 cm

7Ich stelle Gleichungen zu Figuren auf und löse sie.

EntdeckenFrage

Ein Fußballtor ist dreimal so breit wie hoch. Pfosten und Latte sind zusammen 12,20 m lang. Wie hoch ist das Tor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ist das Tor h Meter hoch, dann ist es 3h Meter breit. Zwei Pfosten und eine Latte ergeben h + h + 3h = 5h = 12,20. Also ist h = 2,44 m, und die Breite ist 7,32 m.

MerkenGleichungen an Figuren

Die Figur liefert die Gleichung: Umfang, Winkelsumme oder Nebenwinkel.

Ist ein Rechteck 4 cm länger als breit und hat den Umfang 32 cm, gilt 2 · x + 2 · (x + 4) = 32, also x = 6.

BeispielGleichungen zu Umfang und Fläche einer Figur

Verlängert man jede Seite eines Quadrats um 3 cm, so ist der Umfang 48 cm. Wie lang war die Seite vorher?
gegebengesucht3 cm48 cm?
Schritt für Schritt
  1. Seite vorher x, nachher x + 3
  2. Gleichung: 4 · (x + 3) = 48
  3. 4x + 12 = 48
  4. 4x = 36, also x = 9
  1. Seite vorher x, nachher x + 3
  2. Gleichung: 4 · (x + 3) = 48
  3. 4x + 12 = 48
  4. 4x = 36, also x = 9
Ergebnis:
9 cm (Umfang vorher 36 cm)

AchtungGleichung passt nicht zur Situation

So nicht
Rechteck, 4 cm länger als breit, Umfang 32 cm: x + (x + 4) = 32 → x = 14
So richtig
2 · x + 2 · (x + 4) = 32 → 4x + 8 = 32 → x = 6

Erst sagen, wofür x steht, dann jede Angabe als Term schreiben. Zum Schluss die Lösung an den Angaben im Text prüfen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis x cm. Jeder Schenkel ist 6 cm länger. Der Umfang beträgt 21 cm. Wie lang sind die Seiten?
    xx + 6x + 6
    So fängst du an:
    Basis x, Schenkel je x + 6
    Lösung zeigen
    1. Basis x, Schenkel je x + 6
    2. Gleichung: x + 2 · (x + 6) = 21
    3. 3x + 12 = 21
    4. 3x = 9, also x = 3
    Ergebnis:
    Basis 3 cm, Schenkel 9 cm
  2. ●20
    Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis x cm. Jeder Schenkel ist 4 cm länger. Der Umfang beträgt 41 cm. Wie lang sind die Seiten?
    xx + 4x + 4
    Lösung zeigen
    1. Basis x, Schenkel je x + 4
    2. Gleichung: x + 2 · (x + 4) = 41
    3. 3x + 8 = 41
    4. 3x = 33, also x = 11
    Ergebnis:
    Basis 11 cm, Schenkel 15 cm
  3. ★21
    Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis x cm. Jeder Schenkel ist 5 cm länger. Der Umfang beträgt 37 cm. Wie lang sind die Seiten?
    xx + 5x + 5
    Lösung zeigen
    1. Basis x, Schenkel je x + 5
    2. Gleichung: x + 2 · (x + 5) = 37
    3. 3x + 10 = 37
    4. 3x = 27, also x = 9
    Ergebnis:
    Basis 9 cm, Schenkel 14 cm

8Ich löse Bewegungs- und Mischungsaufgaben mit einer Gleichung.

EntdeckenFrage

Wie viel Vollmilch mit 3,5 % Fett und Magermilch mit 0,5 % Fett ergeben einen Liter Milch mit 1,5 % Fett?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm x Liter Vollmilch und 1 − x Liter Magermilch. Die Fettmenge ergibt die Gleichung 3,5x + 0,5(1 − x) = 1,5. Daraus folgt 3x = 1, also x = 1/3. Man braucht ein Drittel Liter Vollmilch und zwei Drittel Liter Magermilch.

MerkenBewegung und Mischung

Weg ist Geschwindigkeit mal Zeit.

Fahren zwei aufeinander zu, ergeben ihre Wege den Abstand: 15t + 20t = 70, also t = 2. Beim Mischen bleibt die Stoffmenge gleich.

BeispielBewegungsaufgaben mit einer Gleichung

Emre und Aylin wohnen 86 km auseinander und fahren sich mit dem Rad entgegen, gleichzeitig los. Emre fährt 18 km/h, Aylin 25 km/h. Nach wie vielen Stunden treffen sie sich?
EmreAylin86 km?
Schritt für Schritt
  1. Zeit t in Stunden. Wege: 18t und 25t
  2. Gleichung: 18t + 25t = 86
  3. 43t = 86, also t = 2
  1. Zeit t in Stunden. Wege: 18t und 25t
  2. Gleichung: 18t + 25t = 86
  3. 43t = 86, also t = 2
Ergebnis:
nach 2 Stunden

AchtungProzentsatz nicht durch 100

So nicht
20 % von 800 = 800 · 20 = 16.000
So richtig
20 % von 800 = 800 : 100 · 20 = 160

Rechne zuerst 1 %: teile durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lea wohnen 78 km auseinander und fahren sich mit dem Rad entgegen, gleichzeitig los. Jonas fährt 16 km/h, Lea 10 km/h. Nach wie vielen Stunden treffen sie sich?
    JonasLea78 km?
    So fängst du an:
    Zeit t in Stunden. Wege: 16t und 10t
    Lösung zeigen
    1. Zeit t in Stunden. Wege: 16t und 10t
    2. Gleichung: 16t + 10t = 78
    3. 26t = 78, also t = 3
    Ergebnis:
    nach 3 Stunden
  2. ●23
    Ben und Aylin wohnen 90 km auseinander und fahren sich mit dem Rad entgegen, gleichzeitig los. Ben fährt 20 km/h, Aylin 25 km/h. Nach wie vielen Stunden treffen sie sich?
    BenAylin90 km?
    Lösung zeigen
    1. Zeit t in Stunden. Wege: 20t und 25t
    2. Gleichung: 20t + 25t = 90
    3. 45t = 90, also t = 2
    Ergebnis:
    nach 2 Stunden
  3. ★24
    Mira geht mit 5 km/h los. 1 Stunde später fährt Zeynep mit dem Rad hinterher, 15 km/h schnell. Nach wie vielen Stunden hat Zeynep Mira eingeholt?
    gegebengesucht5 km/h1 Stunde15 km/h?
    Lösung zeigen
    1. Fahrzeit von Zeynep: t. Dann ist Mira schon t + 1 Stunde unterwegs.
    2. Gleiche Wege: 15t = 5 · (t + 1)
    3. 15t = 5t + 5
    4. 10t = 5, also t = 0,5
    Ergebnis:
    nach 0,5 Stunden Fahrt

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Löse und mache die Probe: 5 · (x − 3) = 4 · (x − 1)
    5 · (x − 3)4 · (x − 1)
    Lösung zeigen
    1. Klammern auflösen: 5x − 15 = 4x − 4
    2. Auf beiden Seiten − 4x: x − 15 = −4
    3. Auf beiden Seiten + 15: x = 11
    4. Also x = 11
    5. Probe: 5 · 8 = 40 und 4 · 10 = 40
    Ergebnis:
    x = 11
  2. ●26
    Löse die Gleichung: (x + 6) · (x + 5) = x² + 63
    Lösung zeigen
    1. Ausmultiplizieren: x² + 11x + 30 = x² + 63
    2. x² fällt auf beiden Seiten weg: 11x + 30 = 63
    3. 11x = 33
    4. x = 3
    Ergebnis:
    x = 3
  3. ●27
    Löse die Gleichung: x/2 + x/4 = 9
    x/2 + x/49
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner von 2 und 4: 4
    2. Jedes Glied mal 4: 2x + x = 36
    3. Zusammenfassen: 3x = 36
    4. Durch 3 teilen: x = 12
    Ergebnis:
    x = 12
  4. ●28
    Tim löst x − (x + 3)/2 = 1 und schreibt als ersten Schritt 2x − x + 3 = 2. Stimmt die Umformung? Begründe und löse.
    x − (x + 3)/21
    Lösung zeigen
    1. Fehler: Der Bruchstrich wirkt wie eine Klammer. Das Minus gilt für x und für 3.
    2. Richtig: 2x − (x + 3) = 2, also 2x − x − 3 = 2
    3. x − 3 = 2
    4. x = 5
    Ergebnis:
    x = 5
  5. ●29
    Hat die Gleichung keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Begründe. 5 · (x + 8) = 5x + 39
    5 · (x + 8)5x + 39
    Lösung zeigen
    1. Links auflösen: 5x + 40 = 5x + 39
    2. Auf beiden Seiten − 5x: links bleibt 40, rechts 39.
    3. Das ist für kein x gleich: keine Lösung.
    Ergebnis:
    keine Lösung
  6. ●30
    Welche Zahl steht für x?: 2480 = x / 10
    24 / 80x / 10
    Lösung zeigen
    1. Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
    2. 80 · x = 24 · 10
    3. 80 · x = 240
    4. x = 240 : 80 = 3
    Ergebnis:
    x = 3

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Klammern auf beiden Seiten
Erst alle Klammern auflösen; ein Minus davor dreht jedes Vorzeichen.
Brüche in Gleichungen
Mit dem Hauptnenner multipliziert verschwinden alle Brüche.
Keine oder unendlich viele Lösungen
Fällt x weg, bleibt eine Aussage ohne x. Ist sie wahr wie 6 = 6, löst jede Zahl.
Verhältnisgleichung
Eine Verhältnisgleichung setzt zwei Verhältnisse gleich.
Formeln umstellen
Eine Formel stellt man um wie eine Gleichung: Auf beiden Seiten wird dasselbe gerechnet.
Größen mit Formeln berechnen
Erst die Formel nach der gesuchten Größe umstellen, dann die Werte einsetzen.
Gleichungen an Figuren
Die Figur liefert die Gleichung: Umfang, Winkelsumme oder Nebenwinkel.
Bewegung und Mischung
Weg ist Geschwindigkeit mal Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich löse Gleichungen mit Minusklammern und Produkten auf beiden Seiten.

    31
    Löse und mache die Probe: 3 · (x + 7) − (x − 7) = 38
    3 · (x + 7) − (x − 7)38
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 5

  2. Ich löse Gleichungen mit Brüchen, indem ich mit dem Hauptnenner multipliziere.

    32
    Löse die Gleichung: x/3 + x/4 = 14
    x/3 + x/414
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 24

  3. Ich erkenne Gleichungen ohne Lösung und mit unendlich vielen Lösungen.

    33
    Hat die Gleichung keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Begründe. 6 · (x + 9) = 7x + 49
    6 · (x + 9)7x + 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    genau eine Lösung: x = 5

  4. Ich löse Verhältnisgleichungen.

    34
    Löse die Verhältnisgleichung: 3 : 10 = x : 90
    3 : 10x : 90
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 27

  5. Ich stelle Formeln nach einer Größe um.

    35
    Löse A = g · h : 2 nach h auf.
    Ag · h : 2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    h = 2 · A : g

  6. Ich berechne Größen mit umgestellten Formeln aus Geometrie und Physik.

    36
    Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 10 cm² und die Grundseite g = 4 cm. Wie lang ist die Höhe h?
    g = 4 cmh
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    h = 5 cm

  7. Ich stelle Gleichungen zu Figuren auf und löse sie.

    37
    Ein Rechteck ist 4 cm länger als breit. Sein Umfang ist 40 cm. Wie breit und wie lang ist es?
    x + 4xUmfang 40 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Breite 8 cm, Länge 12 cm

  8. Ich löse Bewegungs- und Mischungsaufgaben mit einer Gleichung.

    38
    Zeynep und Mila wohnen 80 km auseinander und fahren sich mit dem Rad entgegen, gleichzeitig los. Zeynep fährt 20 km/h, Mila 20 km/h. Nach wie vielen Stunden treffen sie sich?
    ZeynepMila80 km?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nach 2 Stunden

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Zahlentrick: Denk dir eine Zahl, addiere 5 und nimm das Ergebnis mal 3. Zieh dann das Doppelte deiner Zahl und noch 7 ab. Heraus kommt 20. Welche Zahl war es?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Klammern auf beiden Seiten auflösen und die Gleichung systematisch umformen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Tarife vergleichen, Rezepte im Verhältnis umrechnen, Fahrzeiten planen. Beruf: Formeln im Labor und in der Werkstatt umstellen, Mischungen im Friseursalon und auf dem Bau.

Wörter

Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Umfang
der Weg einmal außen herum

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Terme mit Klammern und binomische Formeln, Terme und Gleichungen, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Lineare Gleichungssysteme

Lösungen

  1. x = 6
  2. x = 2
  3. x = 8
  4. x = 12
  5. x = 6
  6. x = 2
  7. unendlich viele Lösungen
  8. genau eine Lösung: x = 4
  9. 21
  10. x = 14
  11. x = 40
  12. x = 2
  13. g = 2 · A : h
  14. v = s : t
  15. t = s : v
  16. h = 9 cm
  17. h = 2 cm
  18. c = 9 cm
  19. Basis 3 cm, Schenkel 9 cm
  20. Basis 11 cm, Schenkel 15 cm
  21. Basis 9 cm, Schenkel 14 cm
  22. nach 3 Stunden
  23. nach 2 Stunden
  24. nach 0,5 Stunden Fahrt
  25. x = 11
  26. x = 3
  27. x = 12
  28. x = 5
  29. keine Lösung
  30. x = 3
  31. x = 5
  32. x = 24
  33. genau eine Lösung: x = 5
  34. x = 27
  35. h = 2 · A : g
  36. h = 5 cm
  37. Breite 8 cm, Länge 12 cm
  38. nach 2 Stunden
  39. x = −3
  40. 47