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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Gleichungen und Formeln

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Zahlentrick: Denk dir eine Zahl, addiere 5 und nimm das Ergebnis mal 3. Zieh dann das Doppelte deiner Zahl und noch 7 ab. Heraus kommt 20. Welche Zahl war es?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Probieren dauert, denn jede Zahl muss durch vier Rechenschritte. Wer rückwärts rechnen will, bleibt hängen, weil die gedachte Zahl zweimal vorkommt. Schreibt den Trick als Gleichung: 3 · (x + 5) − (2x + 7) = 20. Klammern auflösen, zusammenfassen – und es steht x + 8 = 20 da. Der Trick verrät sich selbst.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Auf beiden Seiten dasselbe rechnen hält eine Gleichung wahr.

  1. ●39
    Löse: 7x − 3 = 3x + 33
    Lösung zeigen
    1. | − 3x → 4x − 3 = 33
    2. | + 3 → 4x = 36
    3. | : 4 → x = 9
    Ergebnis:
    x = 9
  2. ●40
    Berechne den Wert des Terms 5x² + 6 für x = 3.
    Lösung zeigen
    1. x² = 3² = 3 · 3 = 9
    2. 5 · 9 + 6 = 51
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenUmformen erhält die Lösung

Eine Gleichung fragt, für welche Zahlen beide Seiten denselben Wert haben. Jede Umformung rechnet auf beiden Seiten dasselbe: Sie ändert das Aussehen der Gleichung, aber nicht die Antwort. Eine Formel ist eine Gleichung, in der jeder Buchstabe eine feste Rolle hat.

Zwei Waagen im Gleichgewicht: 3x plus 2 gleich 14, auf beiden Seiten 2 weg, 3x gleich 123x + 2143x12auf beiden Seiten − 2Das Gleichgewicht bleibt: x = 4

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man beide Seiten mit 6 multiplizieren, aber nicht nur die Brüche?

1Ich löse Gleichungen mit Minusklammern und Produkten auf beiden Seiten.

EntdeckenFrage

Wie kann ein Zahlentrick deine gedachte Zahl verraten, obwohl sie in der Rechnung zweimal vorkommt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beim Auflösen der Klammern fasst sich die Zahl zusammen: 3 · (x + 5) − (2x + 7) ist dasselbe wie x + 8. Wer das Ergebnis hört, zieht 8 ab und kennt die gedachte Zahl.

MerkenKlammern auf beiden Seiten

Erst alle Klammern auflösen; ein Minus davor dreht jedes Vorzeichen.

Dann jede Seite zusammenfassen und wie gewohnt umformen. So wird 12 − (x − 3) = 2x zu 15 − x = 2x, also x = 5.

BeispielGleichungen mit Minusklammern auf beiden Seiten

Bestimme x: 25 − (2x − 1) = x + 14
25 − (2x − 1)x + 14
Schritt für Schritt
  1. Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 25 − 2x + 1 = x + 14
  2. Links zusammenfassen: −2x + 26 = x + 14
  3. Auf beiden Seiten + 2x: 26 = 3x + 14
  4. Auf beiden Seiten − 14: 12 = 3x
  5. Durch 3 teilen: x = 4
  1. Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 25 − 2x + 1 = x + 14
  2. Links zusammenfassen: −2x + 26 = x + 14
  3. Auf beiden Seiten + 2x: 26 = 3x + 14
  4. Auf beiden Seiten − 14: 12 = 3x
  5. Durch 3 teilen: x = 4
Ergebnis:
x = 4

AchtungMinusklammer: nur das erste Vorzeichen gedreht

So nicht
12 − (x − 3) = 2x → 12 − x − 3 = 2x → x = 3
So richtig
12 − (x − 3) = 2x → 12 − x + 3 = 2x → 15 = 3x → x = 5

Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer: −(x − 4) wird zu −x + 4.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Löse die Gleichung: 5 · (x + 3) − (x − 5) = 36
    5 · (x + 3) − (x − 5)36
    So fängst du an:
    Klammern auflösen: 5x + 15 − x + 5 = 36
    Lösung zeigen
    1. Klammern auflösen: 5x + 15 − x + 5 = 36
    2. Zusammenfassen: 4x + 20 = 36
    3. Auf beiden Seiten − 20: 4x = 16
    4. Durch 4 teilen: x = 4
    Ergebnis:
    x = 4
  2. ●2
    Löse die Gleichung: 12 − (2x − 8) = 3x − 10
    12 − (2x − 8)3x − 10
    Lösung zeigen
    1. Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 12 − 2x + 8 = 3x − 10
    2. Links zusammenfassen: −2x + 20 = 3x − 10
    3. Auf beiden Seiten + 2x: 20 = 5x − 10
    4. Auf beiden Seiten + 10: 30 = 5x
    5. Durch 5 teilen: x = 6
    Ergebnis:
    x = 6
  3. ★3
    Löse und mache die Probe: 25 − (4x − 3) = x + 18
    25 − (4x − 3)x + 18
    Lösung zeigen
    1. Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: 25 − 4x + 3 = x + 18
    2. Links zusammenfassen: −4x + 28 = x + 18
    3. Auf beiden Seiten + 4x: 28 = 5x + 18
    4. Auf beiden Seiten − 18: 10 = 5x
    5. Durch 5 teilen: x = 2
    6. Probe: links 25 − 5 = 20, rechts 20
    Ergebnis:
    x = 2

2Ich löse Gleichungen mit Brüchen, indem ich mit dem Hauptnenner multipliziere.

EntdeckenFrage

Kann eine Gleichung für jede Zahl stimmen – oder für gar keine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beides kommt vor. 2 · (x + 3) = 2x + 6 stimmt für jede Zahl, denn beide Seiten sind derselbe Term. Bei 2 · (x + 3) = 2x + 5 bleibt nach dem Umformen links 6 und rechts 5 stehen, und das stimmt nie.

MerkenBrüche in Gleichungen

Mit dem Hauptnenner multipliziert verschwinden alle Brüche.

Jedes Glied wird multipliziert, auch eine Zahl ohne Bruch. Aus x/2 + x/3 = 5 wird mit 6 die Gleichung 3x + 2x = 30, also x = 6.

BeispielGleichungen mit Brüchen: mit dem Hauptnenner multiplizieren

Multipliziere mit dem Hauptnenner und löse: x/2 + x/3 = 10
x/2 + x/310
Schritt für Schritt
  1. Hauptnenner von 2 und 3: 6
  2. Jedes Glied mal 6: 3x + 2x = 60
  3. Zusammenfassen: 5x = 60
  4. Durch 5 teilen: x = 12
  1. Hauptnenner von 2 und 3: 6
  2. Jedes Glied mal 6: 3x + 2x = 60
  3. Zusammenfassen: 5x = 60
  4. Durch 5 teilen: x = 12
Ergebnis:
x = 12

AchtungNicht jedes Glied mit dem Hauptnenner multipliziert

So nicht
x/2 + 3 = x/3 → mal 6: 3x + 3 = 2x → x = −3
So richtig
x/2 + 3 = x/3 → mal 6: 3x + 18 = 2x → x = −18

Jedes Glied auf beiden Seiten wird multipliziert, auch eine Zahl ohne Bruch.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Löse die Gleichung: x/4 + x/5 = 18
    x/4 + x/518
    So fängst du an:
    Hauptnenner von 4 und 5: 20
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner von 4 und 5: 20
    2. Jedes Glied mal 20: 5x + 4x = 360
    3. Zusammenfassen: 9x = 360
    4. Durch 9 teilen: x = 40
    Ergebnis:
    x = 40
  2. ●5
    Multipliziere mit dem Hauptnenner und löse: (x + 1)/4 = x/3
    (x + 1)/4x/3
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner: 12. Beide Seiten mal 12
    2. 3 · (x + 1) = 4x
    3. 3x + 3 = 4x
    4. Auf beiden Seiten − 3x: 3 = x
    5. x = 3
    Ergebnis:
    x = 3
  3. ★6
    Für welche Zahl x gilt x/4 + x/10 = 7?
    x/4 + x/107
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner von 4 und 10: 20
    2. Jedes Glied mal 20: 5x + 2x = 140
    3. Zusammenfassen: 7x = 140
    4. Durch 7 teilen: x = 20
    Ergebnis:
    x = 20

3Ich erkenne Gleichungen ohne Lösung und mit unendlich vielen Lösungen.

EntdeckenFrage

Ist 16 : 9 oder 4 : 3 bei gleicher Breite höher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 16 : 9 ist die Höhe 9/16 der Breite, bei 4 : 3 sind es 3/4, also 12/16. Bei 80 cm Breite sind das 45 cm gegen 60 cm. Das Verhältnis legt die Form fest, nicht die Größe.

MerkenKeine oder unendlich viele Lösungen

Fällt x weg, bleibt eine Aussage ohne x. Ist sie wahr wie 6 = 6, löst jede Zahl.

Ist sie falsch wie 6 = 5, gibt es keine Lösung.

BeispielKeine, eine oder unendlich viele Lösungen

Wie viele Lösungen hat die Gleichung? Begründe mit einer Umformung. 6 · (x + 9) = 6x + 54
6 · (x + 9)6x + 54
Schritt für Schritt
  1. Links auflösen: 6x + 54 = 6x + 54
  2. Auf beiden Seiten − 6x: Es bleibt 54 = 54.
  3. Das stimmt für jedes x: unendlich viele Lösungen.
  1. Links auflösen: 6x + 54 = 6x + 54
  2. Auf beiden Seiten − 6x: Es bleibt 54 = 54.
  3. Das stimmt für jedes x: unendlich viele Lösungen.
Ergebnis:
unendlich viele Lösungen

AchtungAus „x fällt weg“ eine Lösung gemacht

So nicht
2 · (x + 3) = 2x + 5 → 2x + 6 = 2x + 5 → x = 0
So richtig
2 · (x + 3) = 2x + 5 → 2x + 6 = 2x + 5 → links 6, rechts 5: keine Lösung

Fällt x ganz weg, entscheidet die Aussage ohne x: wahr heißt unendlich viele Lösungen, falsch heißt keine. x = 0 ist hier falsch.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Hat die Gleichung keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Begründe. 6 · (x + 1) = 7x + 2
    6 · (x + 1)7x + 2
    So fängst du an:
    Links auflösen: 6x + 6 = 7x + 2
    Lösung zeigen
    1. Links auflösen: 6x + 6 = 7x + 2
    2. Auf beiden Seiten − 6x: 6 = x + 2
    3. x fällt nicht weg: genau eine Lösung, x = 4
    Ergebnis:
    genau eine Lösung: x = 4
  2. ●8
    Hat die Gleichung keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Begründe. 4 · (x + 5) = 6x + 18
    4 · (x + 5)6x + 18
    Lösung zeigen
    1. Links auflösen: 4x + 20 = 6x + 18
    2. Auf beiden Seiten − 4x: 20 = 2x + 18
    3. x fällt nicht weg: genau eine Lösung, x = 1
    Ergebnis:
    genau eine Lösung: x = 1
  3. ★9
    Hat die Gleichung keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Begründe. 6 · (x + 9) = 6x + 54
    6 · (x + 9)6x + 54
    Lösung zeigen
    1. Links auflösen: 6x + 54 = 6x + 54
    2. Auf beiden Seiten − 6x: Es bleibt 54 = 54.
    3. Das stimmt für jedes x: unendlich viele Lösungen.
    Ergebnis:
    unendlich viele Lösungen

4Ich löse Verhältnisgleichungen.

EntdeckenFrage

Wie viel Sirup gehört in 1,4 Liter Wasser, wenn das Mischverhältnis 1 : 7 sein soll?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

200 Milliliter. Das Verhältnis 1 : 7 heißt: Auf einen Teil Sirup kommen sieben Teile Wasser. Aus x : 1400 = 1 : 7 folgt 7 · x = 1400, also x = 200 ml.

MerkenVerhältnisgleichung

Eine Verhältnisgleichung setzt zwei Verhältnisse gleich.

Außen mal außen ist gleich innen mal innen: Aus x : 12 = 3 : 4 wird 4 · x = 36, also x = 9.

BeispielVerhältnisgleichung lösen

Bestimme x: 63 = x / 12
6 / 3x / 12
Schritt für Schritt
  1. Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
  2. 3 · x = 6 · 12
  3. 3 · x = 72
  4. x = 72 : 3 = 24
  1. Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
  2. 3 · x = 6 · 12
  3. 3 · x = 72
  4. x = 72 : 3 = 24
Ergebnis:
x = 24

AchtungFalsche Umkehrrechnung beim Umstellen

So nicht
A = g · h : 2 nach h: h = A : 2 · g
So richtig
A = g · h : 2 nach h: h = 2 · A : g

Was mit dem Gesuchten multipliziert ist, wird geteilt, und umgekehrt. Mit ausgedachten Zahlen die Probe machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Zahl steht für x?: 16 : 36 = x : 9
    16 : 36x : 9
    So fängst du an:
    Außen mal außen gleich innen mal innen.
    Lösung zeigen
    1. Außen mal außen gleich innen mal innen.
    2. 36 · x = 16 · 9
    3. 36 · x = 144
    4. x = 144 : 36 = 4
    Ergebnis:
    x = 4
  2. ●11
    Löse die Verhältnisgleichung: 327 = 1 / x
    3 / 271 / x
    Lösung zeigen
    1. Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
    2. 3 · x = 27 · 1
    3. 3 · x = 27
    4. x = 27 : 3 = 9
    Ergebnis:
    x = 9
  3. ★12
    Löse die Verhältnisgleichung: 7 : 9 = x : 45
    7 : 9x : 45
    Lösung zeigen
    1. Außen mal außen gleich innen mal innen.
    2. 9 · x = 7 · 45
    3. 9 · x = 315
    4. x = 315 : 9 = 35
    Ergebnis:
    x = 35

5Ich stelle Formeln nach einer Größe um.

EntdeckenFrage

Wie weit ist ein Gewitter weg, wenn der Donner 6 Sekunden nach dem Blitz kommt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Etwa 2 Kilometer. Schall legt in der Luft rund 343 Meter in der Sekunde zurück, das Licht kommt fast sofort an. Aus s = v · t folgt s ≈ 343 · 6 ≈ 2058 m. Die Faustregel „Sekunden geteilt durch 3 gibt Kilometer“ ist genau diese Formel.

MerkenFormeln umstellen

Eine Formel stellt man um wie eine Gleichung: Auf beiden Seiten wird dasselbe gerechnet.

Die Rechnungen am Gesuchten macht man von außen nach innen rückgängig. Aus A = g · h : 2 wird h = 2 · A : g.

BeispielFormel nach einer Größe umstellen

Stelle die Formel A = g · h : 2 nach g um.
Ag · h : 2
Schritt für Schritt
  1. Auf beiden Seiten · 2: 2 · A = g · h
  2. Auf beiden Seiten : h: 2 · A : h = g
  3. g = 2 · A : h
  1. Auf beiden Seiten · 2: 2 · A = g · h
  2. Auf beiden Seiten : h: 2 · A : h = g
  3. g = 2 · A : h
Ergebnis:
g = 2 · A : h

AchtungNoch einmal: Falsche Umkehrrechnung beim Umstellen

So nicht
A = g · h : 2 nach h: h = A : 2 · g
So richtig
A = g · h : 2 nach h: h = 2 · A : g

Was mit dem Gesuchten multipliziert ist, wird geteilt, und umgekehrt. Mit ausgedachten Zahlen die Probe machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Löse s = v · t nach v auf.
    sv · t
    So fängst du an:
    v ist mit t multipliziert.
    Lösung zeigen
    1. v ist mit t multipliziert.
    2. Auf beiden Seiten : t: s : t = v
    3. v = s : t
    Ergebnis:
    v = s : t
  2. ●14
    Löse s = v · t nach t auf.
    sv · t
    Lösung zeigen
    1. t ist mit v multipliziert.
    2. Auf beiden Seiten : v: s : v = t
    3. t = s : v
    Ergebnis:
    t = s : v
  3. ★15
    Löse A = (a + c) · h : 2 nach h auf.
    A(a + c) · h : 2
    Lösung zeigen
    1. Auf beiden Seiten · 2: 2 · A = (a + c) · h
    2. Auf beiden Seiten : (a + c): 2 · A : (a + c) = h
    3. h = 2 · A : (a + c)
    Ergebnis:
    h = 2 · A : (a + c)

6Ich berechne Größen mit umgestellten Formeln aus Geometrie und Physik.

EntdeckenFrage

Warum braucht ein Auto bei 100 km/h für 100 Meter nur etwa 3,6 Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 km/h heißt 100.000 Meter in 3600 Sekunden, also rund 27,8 Meter in jeder Sekunde. Aus s = v · t wird t = s : v, und 100 : 27,8 ≈ 3,6. Deshalb teilt man km/h durch 3,6, um Meter pro Sekunde zu bekommen.

MerkenGrößen mit Formeln berechnen

Erst die Formel nach der gesuchten Größe umstellen, dann die Werte einsetzen.

Ein Dreieck mit A = 24 cm² und g = 8 cm hat die Höhe h = 2 · 24 : 8 = 6 cm.

BeispielGröße mit umgestellter Formel berechnen

Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 49,5 cm² und die Grundseite g = 11 cm. Wie lang ist die Höhe h?
g = 11 cmh
Schritt für Schritt
  1. A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
  2. Einsetzen: 2 · 49,5 : 11 = 9
  3. h = 9 cm
  1. A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
  2. Einsetzen: 2 · 49,5 : 11 = 9
  3. h = 9 cm
Ergebnis:
h = 9 cm

AchtungKomma beim Mal oder Durch 10, 100, 1000 falsch verschoben

So nicht
3,5 · 10 = 0,35
So richtig
3,5 · 10 = 35

Frag dich: Wird die Zahl größer oder kleiner? Mit mal 10 wird sie größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 27,5 cm² und die Grundseite g = 5 cm. Wie lang ist die Höhe h?
    g = 5 cmh
    So fängst du an:
    A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
    Lösung zeigen
    1. A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
    2. Einsetzen: 2 · 27,5 : 5 = 11
    3. h = 11 cm
    Ergebnis:
    h = 11 cm
  2. ●17
    Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 16,5 cm² und die Grundseite g = 3 cm. Wie lang ist die Höhe h?
    g = 3 cmh
    Lösung zeigen
    1. A = g · h : 2, umgestellt: h = 2 · A : g
    2. Einsetzen: 2 · 16,5 : 3 = 11
    3. h = 11 cm
    Ergebnis:
    h = 11 cm
  3. ★18
    Ein Rechteck hat den Umfang 22 cm. Eine Seite ist a = 6 cm lang. Wie lang ist die andere Seite b?
    gegebengesucht22 cm6 cm?
    Lösung zeigen
    1. u = 2 · a + 2 · b, umgestellt: b = (u − 2 · a) : 2
    2. Einsetzen: (22 − 12) : 2 = 5
    3. b = 5 cm
    Ergebnis:
    b = 5 cm

7Ich stelle Gleichungen zu Figuren auf und löse sie.

EntdeckenFrage

Ein Fußballtor ist dreimal so breit wie hoch. Pfosten und Latte sind zusammen 12,20 m lang. Wie hoch ist das Tor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ist das Tor h Meter hoch, dann ist es 3h Meter breit. Zwei Pfosten und eine Latte ergeben h + h + 3h = 5h = 12,20. Also ist h = 2,44 m, und die Breite ist 7,32 m.

MerkenGleichungen an Figuren

Die Figur liefert die Gleichung: Umfang, Winkelsumme oder Nebenwinkel.

Ist ein Rechteck 4 cm länger als breit und hat den Umfang 32 cm, gilt 2 · x + 2 · (x + 4) = 32, also x = 6.

BeispielGleichungen zu Umfang und Fläche einer Figur

Verlängert man jede Seite eines Quadrats um 2 cm, so ist der Umfang 16 cm. Wie lang war die Seite vorher?
Schritt für Schritt
  1. Seite vorher x, nachher x + 2
  2. Gleichung: 4 · (x + 2) = 16
  3. 4x + 8 = 16
  4. 4x = 8, also x = 2
  1. Seite vorher x, nachher x + 2
  2. Gleichung: 4 · (x + 2) = 16
  3. 4x + 8 = 16
  4. 4x = 8, also x = 2
Ergebnis:
2 cm (Umfang vorher 8 cm)

AchtungGleichung passt nicht zur Situation

So nicht
Rechteck, 4 cm länger als breit, Umfang 32 cm: x + (x + 4) = 32 → x = 14
So richtig
2 · x + 2 · (x + 4) = 32 → 4x + 8 = 32 → x = 6

Erst sagen, wofür x steht, dann jede Angabe als Term schreiben. Zum Schluss die Lösung an den Angaben im Text prüfen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Verlängert man jede Seite eines Quadrats um 3 cm, so ist der Umfang 32 cm. Wie lang war die Seite vorher?
    gegebengesucht3 cm32 cm?
    So fängst du an:
    Seite vorher x, nachher x + 3
    Lösung zeigen
    1. Seite vorher x, nachher x + 3
    2. Gleichung: 4 · (x + 3) = 32
    3. 4x + 12 = 32
    4. 4x = 20, also x = 5
    Ergebnis:
    5 cm (Umfang vorher 20 cm)
  2. ●20
    Verlängert man jede Seite eines Quadrats um 2 cm, so ist der Umfang 36 cm. Wie lang war die Seite vorher?
    gegebengesucht2 cm36 cm?
    Lösung zeigen
    1. Seite vorher x, nachher x + 2
    2. Gleichung: 4 · (x + 2) = 36
    3. 4x + 8 = 36
    4. 4x = 28, also x = 7
    Ergebnis:
    7 cm (Umfang vorher 28 cm)
  3. ★21
    Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis x cm. Jeder Schenkel ist 4 cm länger. Der Umfang beträgt 20 cm. Wie lang sind die Seiten?
    xx + 4x + 4
    Lösung zeigen
    1. Basis x, Schenkel je x + 4
    2. Gleichung: x + 2 · (x + 4) = 20
    3. 3x + 8 = 20
    4. 3x = 12, also x = 4
    Ergebnis:
    Basis 4 cm, Schenkel 8 cm

8Ich löse Bewegungs- und Mischungsaufgaben mit einer Gleichung.

EntdeckenFrage

Wie viel Vollmilch mit 3,5 % Fett und Magermilch mit 0,5 % Fett ergeben einen Liter Milch mit 1,5 % Fett?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm x Liter Vollmilch und 1 − x Liter Magermilch. Die Fettmenge ergibt die Gleichung 3,5x + 0,5(1 − x) = 1,5. Daraus folgt 3x = 1, also x = 1/3. Man braucht ein Drittel Liter Vollmilch und zwei Drittel Liter Magermilch.

MerkenBewegung und Mischung

Weg ist Geschwindigkeit mal Zeit.

Fahren zwei aufeinander zu, ergeben ihre Wege den Abstand: 15t + 20t = 70, also t = 2. Beim Mischen bleibt die Stoffmenge gleich.

BeispielBewegungsaufgaben mit einer Gleichung

Zeynep geht mit 6 km/h los. 0,5 Stunden später fährt Sara mit dem Rad hinterher, 12 km/h schnell. Nach wie vielen Stunden hat Sara Zeynep eingeholt?
gegebengesucht6 km/h12 km/h?
Schritt für Schritt
  1. Fahrzeit von Sara: t. Dann ist Zeynep schon t + 0,5 Stunden unterwegs.
  2. Gleiche Wege: 12t = 6 · (t + 0,5)
  3. 12t = 6t + 3
  4. 6t = 3, also t = 0,5
  1. Fahrzeit von Sara: t. Dann ist Zeynep schon t + 0,5 Stunden unterwegs.
  2. Gleiche Wege: 12t = 6 · (t + 0,5)
  3. 12t = 6t + 3
  4. 6t = 3, also t = 0,5
Ergebnis:
nach 0,5 Stunden Fahrt

AchtungNoch einmal: Gleichung passt nicht zur Situation

So nicht
Rechteck, 4 cm länger als breit, Umfang 32 cm: x + (x + 4) = 32 → x = 14
So richtig
2 · x + 2 · (x + 4) = 32 → 4x + 8 = 32 → x = 6

Erst sagen, wofür x steht, dann jede Angabe als Term schreiben. Zum Schluss die Lösung an den Angaben im Text prüfen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mira und Tim wohnen 22 km auseinander und fahren sich mit dem Rad entgegen, gleichzeitig los. Mira fährt 12 km/h, Tim 10 km/h. Nach wie vielen Stunden treffen sie sich?
    MiraTim22 km?
    So fängst du an:
    Zeit t in Stunden. Wege: 12t und 10t
    Lösung zeigen
    1. Zeit t in Stunden. Wege: 12t und 10t
    2. Gleichung: 12t + 10t = 22
    3. 22t = 22, also t = 1
    Ergebnis:
    nach 1 Stunde
  2. ●23
    Mira geht mit 5 km/h los. 1 Stunde später fährt Lea mit dem Rad hinterher, 15 km/h schnell. Nach wie vielen Stunden hat Lea Mira eingeholt?
    gegebengesucht5 km/h1 Stunde15 km/h?
    Lösung zeigen
    1. Fahrzeit von Lea: t. Dann ist Mira schon t + 1 Stunde unterwegs.
    2. Gleiche Wege: 15t = 5 · (t + 1)
    3. 15t = 5t + 5
    4. 10t = 5, also t = 0,5
    Ergebnis:
    nach 0,5 Stunden Fahrt
  3. ★24
    Aylin geht mit 6 km/h los. 2 Stunden später fährt Noah mit dem Rad hinterher, 18 km/h schnell. Nach wie vielen Stunden hat Noah Aylin eingeholt?
    gegebengesucht6 km/h2 Stunden18 km/h?
    Lösung zeigen
    1. Fahrzeit von Noah: t. Dann ist Aylin schon t + 2 Stunden unterwegs.
    2. Gleiche Wege: 18t = 6 · (t + 2)
    3. 18t = 6t + 12
    4. 12t = 12, also t = 1
    Ergebnis:
    nach 1 Stunde Fahrt

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Löse und mache die Probe: 3 · (x + 3) − (x − 6) = 33
    3 · (x + 3) − (x − 6)33
    Lösung zeigen
    1. Klammern auflösen: 3x + 9 − x + 6 = 33
    2. Zusammenfassen: 2x + 15 = 33
    3. Auf beiden Seiten − 15: 2x = 18
    4. Durch 2 teilen: x = 9
    5. Probe: 3 · 12 − 3 = 33
    Ergebnis:
    x = 9
  2. ●26
    Löse: (x + 6)² = (x − 6)² + 72
    Lösung zeigen
    1. Links: x² + 12x + 36. Rechts: x² − 12x + 108
    2. x² fällt weg: 12x + 36 = −12x + 108
    3. 24x = 72
    4. x = 3
    Ergebnis:
    x = 3
  3. ●27
    Für welche Zahl x gilt (x + 10)/4 = x/2?
    (x + 10)/4x/2
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner: 4. Beide Seiten mal 4
    2. (x + 10) = 2x
    3. x + 10 = 2x
    4. Auf beiden Seiten − x: 10 = x
    5. x = 10
    Ergebnis:
    x = 10
  4. ●28
    Emre löst x − (x + 6)/3 = 4 und schreibt als ersten Schritt 3x − x + 6 = 12. Was ist falsch? Rechne richtig weiter.
    x − (x + 6)/34
    Lösung zeigen
    1. Fehler: Der Bruchstrich wirkt wie eine Klammer. Das Minus gilt für x und für 6.
    2. Richtig: 3x − (x + 6) = 12, also 3x − x − 6 = 12
    3. 2x − 6 = 12
    4. x = 9
    Ergebnis:
    x = 9
  5. ●29
    Wie viele Lösungen hat die Gleichung? Begründe mit einer Umformung. 3 · (x + 1) = 3x + 2
    3 · (x + 1)3x + 2
    Lösung zeigen
    1. Links auflösen: 3x + 3 = 3x + 2
    2. Auf beiden Seiten − 3x: links bleibt 3, rechts 2.
    3. Das ist für kein x gleich: keine Lösung.
    Ergebnis:
    keine Lösung
  6. ●30
    Löse die Verhältnisgleichung: 95 = x / 35
    9 / 5x / 35
    Lösung zeigen
    1. Über Kreuz multiplizieren: beide Seiten mal beide Nenner.
    2. 5 · x = 9 · 35
    3. 5 · x = 315
    4. x = 315 : 5 = 63
    Ergebnis:
    x = 63

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Klammern auf beiden Seiten
Erst alle Klammern auflösen; ein Minus davor dreht jedes Vorzeichen.
Brüche in Gleichungen
Mit dem Hauptnenner multipliziert verschwinden alle Brüche.
Keine oder unendlich viele Lösungen
Fällt x weg, bleibt eine Aussage ohne x. Ist sie wahr wie 6 = 6, löst jede Zahl.
Verhältnisgleichung
Eine Verhältnisgleichung setzt zwei Verhältnisse gleich.
Formeln umstellen
Eine Formel stellt man um wie eine Gleichung: Auf beiden Seiten wird dasselbe gerechnet.
Größen mit Formeln berechnen
Erst die Formel nach der gesuchten Größe umstellen, dann die Werte einsetzen.
Gleichungen an Figuren
Die Figur liefert die Gleichung: Umfang, Winkelsumme oder Nebenwinkel.
Bewegung und Mischung
Weg ist Geschwindigkeit mal Zeit.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich löse Gleichungen mit Minusklammern und Produkten auf beiden Seiten.

    31
    Löse die Gleichung: 23 − (3x − 4) = 2x + 17
    23 − (3x − 4)2x + 17
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 2

  2. Ich löse Gleichungen mit Brüchen, indem ich mit dem Hauptnenner multipliziere.

    32
    Multipliziere mit dem Hauptnenner und löse: (x + 12)/4 = x/2
    (x + 12)/4x/2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 12

  3. Ich erkenne Gleichungen ohne Lösung und mit unendlich vielen Lösungen.

    33
    Hat die Gleichung keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Begründe. 6 · (x + 8) = 8x + 46
    6 · (x + 8)8x + 46
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    genau eine Lösung: x = 1

  4. Ich löse Verhältnisgleichungen.

    34
    Bestimme x: 3540 = 7 / x
    35 / 407 / x
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 8

  5. Ich stelle Formeln nach einer Größe um.

    35
    Löse s = v · t nach t auf.
    sv · t
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    t = s : v

  6. Ich berechne Größen mit umgestellten Formeln aus Geometrie und Physik.

    36
    Ein Rechteck hat den Umfang 22 cm. Eine Seite ist a = 5 cm lang. Wie lang ist die andere Seite b?
    gegebengesucht22 cm5 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    b = 6 cm

  7. Ich stelle Gleichungen zu Figuren auf und löse sie.

    37
    Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis x cm. Jeder Schenkel ist 4 cm länger. Der Umfang beträgt 17 cm. Wie lang sind die Seiten?
    xx + 4x + 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Basis 3 cm, Schenkel 7 cm

  8. Ich löse Bewegungs- und Mischungsaufgaben mit einer Gleichung.

    38
    Mira und Ben wohnen 80 km auseinander und fahren sich mit dem Rad entgegen, gleichzeitig los. Mira fährt 20 km/h, Ben 20 km/h. Nach wie vielen Stunden treffen sie sich?
    MiraBen80 km?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nach 2 Stunden

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Zahlentrick: Denk dir eine Zahl, addiere 5 und nimm das Ergebnis mal 3. Zieh dann das Doppelte deiner Zahl und noch 7 ab. Heraus kommt 20. Welche Zahl war es?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Klammern auf beiden Seiten auflösen und die Gleichung systematisch umformen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Tarife vergleichen, Rezepte im Verhältnis umrechnen, Fahrzeiten planen. Beruf: Formeln im Labor und in der Werkstatt umstellen, Mischungen im Friseursalon und auf dem Bau.

Wörter

Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Umfang
der Weg einmal außen herum

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Terme mit Klammern und binomische Formeln, Terme und Gleichungen, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Lineare Gleichungssysteme

Lösungen

  1. x = 4
  2. x = 6
  3. x = 2
  4. x = 40
  5. x = 3
  6. x = 20
  7. genau eine Lösung: x = 4
  8. genau eine Lösung: x = 1
  9. unendlich viele Lösungen
  10. x = 4
  11. x = 9
  12. x = 35
  13. v = s : t
  14. t = s : v
  15. h = 2 · A : (a + c)
  16. h = 11 cm
  17. h = 11 cm
  18. b = 5 cm
  19. 5 cm (Umfang vorher 20 cm)
  20. 7 cm (Umfang vorher 28 cm)
  21. Basis 4 cm, Schenkel 8 cm
  22. nach 1 Stunde
  23. nach 0,5 Stunden Fahrt
  24. nach 1 Stunde Fahrt
  25. x = 9
  26. x = 3
  27. x = 10
  28. x = 9
  29. keine Lösung
  30. x = 63
  31. x = 2
  32. x = 12
  33. genau eine Lösung: x = 1
  34. x = 8
  35. t = s : v
  36. b = 6 cm
  37. Basis 3 cm, Schenkel 7 cm
  38. nach 2 Stunden
  39. x = 9
  40. 51