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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 12 h in min.
    Lösung zeigen
    1. 1 h = 60 min
    2. 12 · 60 = 720 min
    Ergebnis:
    720 min
  2. ●40
    Beim Training läuft Jamal 3 Runden und legt dabei 600 m zurück. Wie viele Runden sind 1200 m?
    Lösung zeigen
    1. Rundenm
    2. 3 Runden→600 m
    3. ↓ : 3↓ : 3
    4. 1 Runde→600 m : 3 = 200 m
    5. ↓ · 6↓ · 61200 m : 200 m = 6
    6. 6 Runden→1200 m
    Ergebnis:
    6 Runden

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele m sind 2,5 cm? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 2,5 : 100 = 0,025
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 2,5 : 100 = 0,025
Ergebnis:
0,025 m

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Paket wiegt 3 g. Gib die Angabe in mg an.
    So fängst du an:
    Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 3 · 1000 = 3000
    Ergebnis:
    3000 mg
  2. ●2
    Rechne um: 5 kWh in Wh.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 5 · 1000 = 5000
    Ergebnis:
    5000 Wh
  3. ★3
    Wie viele cl sind 12,5 ml? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cl = 10 ml
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 12,5 : 10 = 1,25
    Ergebnis:
    1,25 cl

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Eine Drohne ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
Schritt für Schritt
  1. In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 30 · 3600 = 108.000, also 108.000 m in einer Stunde.
  3. 108.000 m = 108 km, also 108 km/h.
  1. In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 30 · 3600 = 108.000, also 108.000 m in einer Stunde.
  3. 108.000 m = 108 km, also 108 km/h.
Ergebnis:
108 km/h

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Läuferin ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
    3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
    Ergebnis:
    90 km/h
  2. ●5
    Rechne 126 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 126 : 3,6 = 35
    Ergebnis:
    35 m/s
  3. ★6
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 25 km/h oder eine Läuferin mit 8 m/s?
    gegebengesucht25 km/h8 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
    2. 28,8 km/h > 25 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 8 W und läuft 2 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
gegebengesucht8 W2 Stunden30 Tage35 ct?
Schritt für Schritt
  1. 8 W = 0,008 kW
  2. Energie: 0,008 · 2 · 30 = 0,48, also 0,48 kWh.
  3. Kosten: 0,48 · 35 = 16,8, also 16,8 ct ≈ 0,17 €.
  1. 8 W = 0,008 kW
  2. Energie: 0,008 · 2 · 30 = 0,48, also 0,48 kWh.
  3. Kosten: 0,48 · 35 = 16,8, also 16,8 ct ≈ 0,17 €.
Ergebnis:
≈ 0,17 €

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 60 W und läuft 4 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht60 W4 Stunden30 Tage32 ct?
    So fängst du an:
    60 W = 0,06 kW
    Lösung zeigen
    1. 60 W = 0,06 kW
    2. Energie: 0,06 · 4 · 30 = 7,2, also 7,2 kWh.
    3. Kosten: 7,2 · 32 = 230,4, also 230,4 ct ≈ 2,30 €.
    Ergebnis:
    ≈ 2,30 €
  2. ●8
    Ein Laptop hat 60 W und läuft 3 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht60 W3 Stunden7 Tage32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 60 W = 0,06 kW
    2. Energie: 0,06 · 3 · 7 = 1,26, also 1,26 kWh.
    3. Kosten: 1,26 · 32 = 40,32, also 40,32 ct ≈ 0,40 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,40 €
  3. ★9
    Ein Laptop hat 50 W und läuft 5 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht50 W5 Stunden30 Tage32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 50 W = 0,05 kW
    2. Energie: 0,05 · 5 · 30 = 7,5, also 7,5 kWh.
    3. Kosten: 7,5 · 32 = 240, also 240 ct ≈ 2,40 €.
    Ergebnis:
    ≈ 2,40 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Für 160 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 3 zu 5. Teile die Menge auf.
Schritt für Schritt
  1. Teile: 3 + 5 = 8
  2. Ein Teil: 160 : 8 = 20, also 20 kg.
  3. Zement: 3 · 20 = 60. Sand: 5 · 20 = 100
  1. Teile: 3 + 5 = 8
  2. Ein Teil: 160 : 8 = 20, also 20 kg.
  3. Zement: 3 · 20 = 60. Sand: 5 · 20 = 100
Ergebnis:
Zement 60 kg, Sand 100 kg

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 160 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 3 zu 5. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 3 + 5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 160 : 8 = 20, also 20 ml.
    3. Saft: 3 · 20 = 60. Wasser: 5 · 20 = 100
    Ergebnis:
    Saft 60 ml, Wasser 100 ml
  2. ●11
    Nina und Ali haben am Flohmarktstand 60 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 60 : 5 = 12, also 12 €.
    3. Nina: 2 · 12 = 24. Ali: 3 · 12 = 36
    Ergebnis:
    Nina 24 €, Ali 36 €
  3. ★12
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 105 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 105 : 7 = 15, also 15 €.
    3. Mira: 2 · 15 = 30. Jonas: 5 · 15 = 75
    Ergebnis:
    Mira 30 €, Jonas 75 €

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Boden von 5 m mal 2,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
gegebengesucht5 m2,5 m5 %1,5 m²?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 5 · 2,5 = 12,5, also 12,5 m².
  2. Mit Verschnitt: 12,5 · 1,05 = 13,125
  3. Pakete: 13,125 : 1,5 ≈ 8,75 → aufrunden auf 9
  1. Fläche: 5 · 2,5 = 12,5, also 12,5 m².
  2. Mit Verschnitt: 12,5 · 1,05 = 13,125
  3. Pakete: 13,125 : 1,5 ≈ 8,75 → aufrunden auf 9
Ergebnis:
9 Pakete

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m3,5 m0,8 m10 %2 m?
    So fängst du an:
    Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 3,5) − 0,8 = 16,2
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 3,5) − 0,8 = 16,2
    2. Mit Verschnitt: 16,2 · 1,1 = 17,82
    3. Leisten: 17,82 : 2 ≈ 8,91 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Leisten
  2. ●14
    Ein Boden von 3 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht3 m2 m10 %1 m²?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 3 · 2 = 6, also 6 m².
    2. Mit Verschnitt: 6 · 1,1 = 6,6
    3. Pakete: 6,6 : 1 ≈ 6,6 → aufrunden auf 7
    Ergebnis:
    7 Pakete
  3. ★15
    Eine Wand im Bad ist 3 m breit und 2,4 m hoch. Das Fenster (0,5 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 2 m² brauchst du? Ein Paket kostet 29,00 €. Was kostet das?
    gegebengesucht3 m2,4 m0,5 m²10 %2 m²?
    Lösung zeigen
    1. Wand: 3 · 2,4 = 7,2, ohne Fenster 6,7 m²
    2. Mit Verschnitt: 6,7 · 1,1 = 7,37
    3. Pakete: 7,37 : 2 ≈ 3,69 → aufrunden auf 4
    4. Kosten: 4 · 29,00 € = 116,00 €
    Ergebnis:
    4 Pakete, 116,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

98 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,45. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht98 Kinder40 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 98 : 40 ≈ 2,45
  2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
  1. 98 : 40 ≈ 2,45
  2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
Ergebnis:
3 Busse

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Von einer 8 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,7 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht8 m0,7 m?
    So fängst du an:
    8 : 0,7 ≈ 11,43
    Lösung zeigen
    1. 8 : 0,7 ≈ 11,43
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 11
    Ergebnis:
    11 Stücke
  2. ●17
    196 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 6,5333. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht196 Kinder30 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 196 : 30 ≈ 6,53
    2. Mit 6 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 7
    Ergebnis:
    7 Busse
  3. ★18
    93 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 1,6909. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht93 Kinder55 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 93 : 55 ≈ 1,69
    2. Mit 1 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 2
    Ergebnis:
    2 Busse

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
gegebengesucht50 m25 m?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 50 · 25 = 1250, also etwa 1250 m².
  2. Menschen: 1250 · 4 = 5000
  3. Gerundet: etwa 5000
  1. Fläche: 50 · 25 = 1250, also etwa 1250 m².
  2. Menschen: 1250 · 4 = 5000
  3. Gerundet: etwa 5000
Ergebnis:
etwa 5000 Menschen

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 4 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht650 Kinder4 Blatt5 Tage0,1 mm?
    So fängst du an:
    Blätter: 4 · 650 · 5 = 13.000
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 4 · 650 · 5 = 13.000
    2. Höhe: 13.000 · 0,1 = 1300, also 1300 mm.
    3. 1300 mm = 130 cm, also etwa 1,3 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,3 m
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
    2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
    3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.100.000 Liter
  3. ★21
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 400 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht400 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 400 · 3 · 6 = 7200, also 7200 Liter.
    2. Im Jahr: 7200 · 190 = 1.368.000
    3. Das sind etwa 1368 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 1.400.000 Liter

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:00 bis 15:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 18,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten18,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 18 = 144
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 18 = 144
Ergebnis:
144,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 3 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 15,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h6 h3 h4 h15,00 €?
    So fängst du an:
    Stunden: 5 + 6 + 3 + 4 = 18
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 6 + 3 + 4 = 18
    2. Lohn: 18 · 15 = 270
    Ergebnis:
    270,00 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 15 = 120
    Ergebnis:
    120,00 €
  3. ★24
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 2 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 15,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h2 h6 h15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 2 + 5 + 6 = 18
    2. Lohn: 18 · 15 = 270
    Ergebnis:
    270,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne um: 8 ml in l.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 8 : 1000 = 0,008
    Ergebnis:
    0,008 l
  2. ●26
    Tim sagt: „2100 W ist mehr als 0,75 kW, weil 2100 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,75 kW = 750 W
    2. 750 W < 2100 W
    Ergebnis:
    Ja, 2100 W ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Ein Sprinter ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 30 · 3600 = 108.000, also 108.000 m in einer Stunde.
    3. 108.000 m = 108 km, also 108 km/h.
    Ergebnis:
    108 km/h
  4. ●28
    Ein E-Scooter fährt 18 km/h. Bis zum Bremsen vergeht 1 Sekunde. Wie viele Meter fährt er in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht18 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 18 km/h in m/s: 18 : 3,6 = 5
    2. In 1 s: 5 · 1 = 5
    Ergebnis:
    5 m
  5. ●29
    Eine Lampe hat 20 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 20 = 50, also 50 Stunden.
    Ergebnis:
    50 Stunden
  6. ●30
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 22.415 kWh, am Monatsende 22.735 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 32 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht22.415 kWh22.735 kWh32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 22.735 − 22.415 = 320, also 320 kWh.
    2. Kosten: 320 · 32 = 10.240, also 10.240 ct = 102,40 €.
    Ergebnis:
    102,40 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Ein Staubsauger hat 3 W. Gib die Angabe in kW an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,003 kW

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Ein Radfahrer ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    108 km/h

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Ein Laptop hat 50 W und läuft 2 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht50 W2 Stunden30 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 1,20 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Für 150 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 1 zu 2. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kompost 50 l, Sand 100 l

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m3 m0,9 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Leisten

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    65 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 1,625. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht65 Kinder40 Plätze?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Busse

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 400 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht400 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1.400.000 Liter

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 6 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 18,00 € je Stunde.
    gegebengesucht6 h15 min18,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6,25 h; 112,50 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 3000 mg
  2. 5000 Wh
  3. 1,25 cl
  4. 90 km/h
  5. 35 m/s
  6. Die Läuferin ist schneller.
  7. ≈ 2,30 €
  8. ≈ 0,40 €
  9. ≈ 2,40 €
  10. Saft 60 ml, Wasser 100 ml
  11. Nina 24 €, Ali 36 €
  12. Mira 30 €, Jonas 75 €
  13. 9 Leisten
  14. 7 Pakete
  15. 4 Pakete, 116,00 €
  16. 11 Stücke
  17. 7 Busse
  18. 2 Busse
  19. etwa 1,3 m
  20. etwa 2.100.000 Liter
  21. etwa 1.400.000 Liter
  22. 270,00 €
  23. 120,00 €
  24. 270,00 €
  25. 0,008 l
  26. Ja, 2100 W ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. 108 km/h
  28. 5 m
  29. 50 Stunden
  30. 102,40 €
  31. 0,003 kW
  32. 108 km/h
  33. ≈ 1,20 €
  34. Kompost 50 l, Sand 100 l
  35. 7 Leisten
  36. 2 Busse
  37. etwa 1.400.000 Liter
  38. 6,25 h; 112,50 €
  39. 720 min
  40. 6 Runden