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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 8 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 8 · 100 = 800 cm
    Ergebnis:
    800 cm
  2. ●40
    2 Döner kosten zusammen 15,00 €. Wie viele Döner bekommt man für 60,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Döner€
    2. 2 Döner→15,00 €
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Döner→15,00 € : 2 = 7,50 €
    5. ↓ · 8↓ · 860,00 € : 7,50 € = 8
    6. 8 Döner→60,00 €
    Ergebnis:
    8 Döner

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Der Kühlschrank braucht im Monat 8 Wh. Gib die Angabe in kWh an.
Schritt für Schritt
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 8 : 1000 = 0,008
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 8 : 1000 = 0,008
Ergebnis:
0,008 kWh

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Der Stromzähler zeigt für einen Tag 500 Wh. Gib die Angabe in kWh an.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 500 : 1000 = 0,5
    Ergebnis:
    0,5 kWh
  2. ●2
    Eine Flasche Reiniger enthält 250 l. Gib die Angabe in cl an.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 250 · 100 = 25.000
    Ergebnis:
    25.000 cl
  3. ★3
    Wie viele cm sind 3250 mm? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cm = 10 mm
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 3250 : 10 = 325
    Ergebnis:
    325 cm

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 7 m/s?
gegebengesucht15 km/h7 m/s?
Schritt für Schritt
  1. Die Läuferin in km/h: 7 · 3,6 = 25,2
  2. 25,2 km/h > 15 km/h
  1. Die Läuferin in km/h: 7 · 3,6 = 25,2
  2. 25,2 km/h > 15 km/h
Ergebnis:
Die Läuferin ist schneller.

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 45 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht45 km/h10 m/s?
    So fängst du an:
    Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
    2. 36 km/h < 45 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  2. ●5
    Ein Rennwagen ist 5 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 5 · 3600 = 18.000, also 18.000 m in einer Stunde.
    3. 18.000 m = 18 km, also 18 km/h.
    Ergebnis:
    18 km/h
  3. ★6
    Rechne 50 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 50 : 3,6 ≈ 13,9
    Ergebnis:
    ≈ 13,9 m/s

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 20 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
Schritt für Schritt
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 20 = 50, also 50 Stunden.
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 20 = 50, also 50 Stunden.
Ergebnis:
50 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Laptop hat 60 W und läuft 2 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht60 W2 Stunden7 Tage40 ct?
    So fängst du an:
    60 W = 0,06 kW
    Lösung zeigen
    1. 60 W = 0,06 kW
    2. Energie: 0,06 · 2 · 7 = 0,84, also 0,84 kWh.
    3. Kosten: 0,84 · 40 = 33,6, also 33,6 ct ≈ 0,34 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,34 €
  2. ●8
    Ein Fernseher hat 120 W und läuft 2 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht120 W2 Stunden7 Tage35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 120 W = 0,12 kW
    2. Energie: 0,12 · 2 · 7 = 1,68, also 1,68 kWh.
    3. Kosten: 1,68 · 35 = 58,8, also 58,8 ct ≈ 0,59 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,59 €
  3. ★9
    Eine alte Glühlampe mit 60 W wird durch eine LED-Lampe mit 9 W ersetzt. Sie leuchtet 3 Stunden am Tag. Wie viel spart man im Jahr bei 30 ct je kWh?
    gegebengesucht60 W9 W3 Stunden30 ct?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 60 W − 9 W = 51 W = 0,051 kW
    2. Im Jahr: 0,051 · 3 · 365 = 55,845, also 55,845 kWh.
    3. 55,845 · 30 ≈ 1675, also 1675 ct ≈ 16,75 €.
    Ergebnis:
    ≈ 16,75 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Für 25 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 1 zu 4. Teile die Menge auf.
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 4 = 5
  2. Ein Teil: 25 : 5 = 5, also 5 l.
  3. Kompost: 1 · 5 = 5. Sand: 4 · 5 = 20
  1. Teile: 1 + 4 = 5
  2. Ein Teil: 25 : 5 = 5, also 5 l.
  3. Kompost: 1 · 5 = 5. Sand: 4 · 5 = 20
Ergebnis:
Kompost 5 l, Sand 20 l

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 80 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 1 zu 3. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 3 = 4
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 80 : 4 = 20, also 20 l.
    3. Kompost: 1 · 20 = 20. Sand: 3 · 20 = 60
    Ergebnis:
    Kompost 20 l, Sand 60 l
  2. ●11
    Apfelschorle wird aus Saft und Wasser im Verhältnis 1 : 3 gemischt. Wie viel Saft und wie viel Wasser brauchst du für 80 ml Apfelschorle?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 80 : 4 = 20, also 20 ml.
    3. Saft: 1 · 20 = 20. Wasser: 3 · 20 = 60
    Ergebnis:
    Saft 20 ml, Wasser 60 ml
  3. ★12
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 3 : 5 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 200 kg Mörtel?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 200 : 8 = 25, also 25 kg.
    3. Zement: 3 · 25 = 75. Sand: 5 · 25 = 125
    Ergebnis:
    Zement 75 kg, Sand 125 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 6 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
gegebengesucht6 m3 m0,8 m2 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3) − 0,8 = 17,2
  2. Mit Verschnitt: 17,2 · 1,1 = 18,92
  3. Leisten: 18,92 : 2 ≈ 9,46 → aufrunden auf 10
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3) − 0,8 = 17,2
  2. Mit Verschnitt: 17,2 · 1,1 = 18,92
  3. Leisten: 18,92 : 2 ≈ 9,46 → aufrunden auf 10
Ergebnis:
10 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 36 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht36 m²8 m²5 l?
    So fängst du an:
    Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
    2. Liter: 36 : 8 = 4,5
    3. Eimer: 4,5 : 5 ≈ 0,9 → aufrunden auf 1
    Ergebnis:
    1 Eimer
  2. ●14
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 54 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht54 m²6 m²5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 54 · 1 = 54, also 54 m².
    2. Liter: 54 : 6 = 9
    3. Eimer: 9 : 5 ≈ 1,8 → aufrunden auf 2
    Ergebnis:
    2 Eimer
  3. ★15
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m3,5 m1 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 1 = 18
    2. Mit Verschnitt: 18 · 1,1 = 19,8
    3. Leisten: 19,8 : 2,5 ≈ 7,92 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 25,01 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht6,1 m4,1 m25,01 m²?
Schritt für Schritt
  1. 6,1 · 4,1 = 25,01
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 25,01 ≈ 25
  1. 6,1 · 4,1 = 25,01
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 25,01 ≈ 25
Ergebnis:
≈ 25 m²

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 14,62 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,3 m3,4 m14,62 m²?
    So fängst du an:
    4,3 · 3,4 = 14,62
    Lösung zeigen
    1. 4,3 · 3,4 = 14,62
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 14,62 ≈ 14,6
    Ergebnis:
    ≈ 14,6 m²
  2. ●17
    209 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,18. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht209 Kinder50 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 209 : 50 ≈ 4,18
    2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
    Ergebnis:
    5 Busse
  3. ★18
    211 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 7,0333. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht211 Kinder30 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 211 : 30 ≈ 7,03
    2. Mit 7 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 8
    Ergebnis:
    8 Busse

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
  2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
  3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
  1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
  2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
  3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
Ergebnis:
etwa 2.100.000 Liter

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 4 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht450 Kinder4 Blatt5 Tage0,1 mm?
    So fängst du an:
    Blätter: 4 · 450 · 5 = 9000
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 4 · 450 · 5 = 9000
    2. Höhe: 9000 · 0,1 = 900, also 900 mm.
    3. 900 mm = 90 cm, also etwa 0,9 m.
    Ergebnis:
    etwa 0,9 m
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 400 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht400 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 400 · 3 · 6 = 7200, also 7200 Liter.
    2. Im Jahr: 7200 · 190 = 1.368.000
    3. Das sind etwa 1368 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 1.400.000 Liter
  3. ★21
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 550 Kinder, je 4 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht550 Kinder4 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 4 · 550 · 5 = 11.000
    2. Höhe: 11.000 · 0,1 = 1100, also 1100 mm.
    3. 1100 mm = 110 cm, also etwa 1,1 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,1 m

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Auf dem Stundenzettel steht 6 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,00 € je Stunde.
gegebengesucht6 h15 min14,00 €?
Schritt für Schritt
  1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
  2. 6 h 15 min = 6,25 h
  3. 6,25 · 14 = 87,5
  1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
  2. 6 h 15 min = 6,25 h
  3. 6,25 · 14 = 87,5
Ergebnis:
6,25 h; 87,50 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 8:00 bis 16:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,00 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 14 = 112
    Ergebnis:
    112,00 €
  2. ●23
    Auf dem Stundenzettel steht 8 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 18,00 € je Stunde.
    gegebengesucht8 h30 min18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
    2. 8 h 30 min = 8,5 h
    3. 8,5 · 18 = 153
    Ergebnis:
    8,5 h; 153,00 €
  3. ★24
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 17,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten17,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 17,5 = 140
    Ergebnis:
    140,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Wie viele kW sind 250 W? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 250 : 1000 = 0,25
    Ergebnis:
    0,25 kW
  2. ●26
    Was ist mehr: 0,2 l oder 1400 ml?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,2 l = 200 ml
    2. 200 ml < 1400 ml
    Ergebnis:
    1400 ml
  3. ●27
    Ein Rennwagen ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
    3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
    Ergebnis:
    90 km/h
  4. ●28
    Ein E-Scooter fährt 18 km/h. Bis zum Bremsen vergeht 1 Sekunde. Wie viele Meter fährt er in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht18 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 18 km/h in m/s: 18 : 3,6 = 5
    2. In 1 s: 5 · 1 = 5
    Ergebnis:
    5 m
  5. ●29
    Eine Lampe hat 60 W und läuft 3 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht60 W3 Stunden30 Tage35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 60 W = 0,06 kW
    2. Energie: 0,06 · 3 · 30 = 5,4, also 5,4 kWh.
    3. Kosten: 5,4 · 35 = 189, also 189 ct ≈ 1,89 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,89 €
  6. ●30
    Ein Gerät im Bereitschaftsbetrieb braucht dauernd 10 W, Tag und Nacht, das ganze Jahr. Wie viele Kilowattstunden sind das im Jahr, und was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht10 W35 ct?
    Lösung zeigen
    1. Stunden im Jahr: 24 · 365 = 8760
    2. 10 · 8760 = 87.600, also 87.600 Wh = 87,6 kWh.
    3. 87,6 · 35 = 3066, also 3066 ct ≈ 30,66 €.
    Ergebnis:
    87,6 kWh, etwa 30,66 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Wie viele kW sind 3000 W? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 kW

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Rechne 90 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 m/s

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Spielkonsole hat 150 W und läuft 5 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht150 W5 Stunden30 Tage32 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 7,20 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 120 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 3 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mira 45 €, Jonas 75 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m3 m0,8 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Leisten

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 3,7 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 22,57 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht6,1 m3,7 m22,57 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 22,6 m²

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 2.400.000 Liter

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 6 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,00 € je Stunde.
    gegebengesucht6 h15 min14,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6,25 h; 87,50 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,5 kWh
  2. 25.000 cl
  3. 325 cm
  4. Der Radfahrer ist schneller.
  5. 18 km/h
  6. ≈ 13,9 m/s
  7. ≈ 0,34 €
  8. ≈ 0,59 €
  9. ≈ 16,75 €
  10. Kompost 20 l, Sand 60 l
  11. Saft 20 ml, Wasser 60 ml
  12. Zement 75 kg, Sand 125 kg
  13. 1 Eimer
  14. 2 Eimer
  15. 8 Leisten
  16. ≈ 14,6 m²
  17. 5 Busse
  18. 8 Busse
  19. etwa 0,9 m
  20. etwa 1.400.000 Liter
  21. etwa 1,1 m
  22. 112,00 €
  23. 8,5 h; 153,00 €
  24. 140,00 €
  25. 0,25 kW
  26. 1400 ml
  27. 90 km/h
  28. 5 m
  29. ≈ 1,89 €
  30. 87,6 kWh, etwa 30,66 €
  31. 3 kW
  32. 25 m/s
  33. ≈ 7,20 €
  34. Mira 45 €, Jonas 75 €
  35. 8 Leisten
  36. ≈ 22,6 m²
  37. etwa 2.400.000 Liter
  38. 6,25 h; 87,50 €
  39. 800 cm
  40. 8 Döner