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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 15 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 15 · 100 = 1.500 cm
    Ergebnis:
    1.500 cm
  2. ●40
    3 m Kabel kosten 6,60 €. Was kosten 8 m Kabel?
    Lösung zeigen
    1. m Kabel€
    2. 3 m Kabel→6,60 €
    3. ↓ : 3↓ : 3
    4. 1 m Kabel→6,60 € : 3 = 2,20 €
    5. ↓ · 8↓ · 8
    6. 8 m Kabel→2,20 € · 8 = 17,60 €
    Ergebnis:
    17,60 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Die Spritze fasst 5 l. Gib die Angabe in ml an.
Schritt für Schritt
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 5 · 1000 = 5000
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 5 · 1000 = 5000
Ergebnis:
5000 ml

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Wie viele W sind 4 kW? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 4 · 1000 = 4000
    Ergebnis:
    4000 W
  2. ●2
    Rechne um: 250 Wh in kWh.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 250 : 1000 = 0,25
    Ergebnis:
    0,25 kWh
  3. ★3
    Der Eimer fasst 1500 cl Farbe. Gib die Angabe in l an.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1500 : 100 = 15
    Ergebnis:
    15 l

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 144 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 144 : 3,6 = 40
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 144 : 3,6 = 40
Ergebnis:
40 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Zug ist 15 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 15 · 3600 = 54.000, also 54.000 m in einer Stunde.
    3. 54.000 m = 54 km, also 54 km/h.
    Ergebnis:
    54 km/h
  2. ●5
    Rechne 126 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 126 : 3,6 = 35
    Ergebnis:
    35 m/s
  3. ★6
    Ein ICE fährt 216 km/h. Wie viele Meter legt er in einer Sekunde zurück, wie viele in einer Minute?
    Lösung zeigen
    1. 216 : 3,6 = 60, also 60 m in einer Sekunde.
    2. 60 · 60 = 3600, also 3600 m in einer Minute.
    Ergebnis:
    60 m je Sekunde, 3600 m je Minute

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 8 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
Schritt für Schritt
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 8 = 125, also 125 Stunden.
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 8 = 125, also 125 Stunden.
Ergebnis:
125 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Laptop hat 60 W und läuft 2 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht60 W2 Stunden7 Tage35 ct?
    So fängst du an:
    60 W = 0,06 kW
    Lösung zeigen
    1. 60 W = 0,06 kW
    2. Energie: 0,06 · 2 · 7 = 0,84, also 0,84 kWh.
    3. Kosten: 0,84 · 35 = 29,4, also 29,4 ct ≈ 0,29 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,29 €
  2. ●8
    Ein Laptop hat 60 W und läuft 3 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht60 W3 Stunden7 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    1. 60 W = 0,06 kW
    2. Energie: 0,06 · 3 · 7 = 1,26, also 1,26 kWh.
    3. Kosten: 1,26 · 40 = 50,4, also 50,4 ct ≈ 0,50 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,50 €
  3. ★9
    Eine Lampe hat 8 W und läuft 4 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht8 W4 Stunden30 Tage35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 8 W = 0,008 kW
    2. Energie: 0,008 · 4 · 30 = 0,96, also 0,96 kWh.
    3. Kosten: 0,96 · 35 = 33,6, also 33,6 ct ≈ 0,34 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,34 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Für 250 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 1 zu 4. Teile die Menge auf.
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 4 = 5
  2. Ein Teil: 250 : 5 = 50, also 50 l.
  3. Kompost: 1 · 50 = 50. Sand: 4 · 50 = 200
  1. Teile: 1 + 4 = 5
  2. Ein Teil: 250 : 5 = 50, also 50 l.
  3. Kompost: 1 · 50 = 50. Sand: 4 · 50 = 200
Ergebnis:
Kompost 50 l, Sand 200 l

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 400 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 1 zu 3. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 3 = 4
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 400 : 4 = 100, also 100 kg.
    3. Zement: 1 · 100 = 100. Sand: 3 · 100 = 300
    Ergebnis:
    Zement 100 kg, Sand 300 kg
  2. ●11
    Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 300 l Blumenerde?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 300 : 3 = 100, also 100 l.
    3. Kompost: 1 · 100 = 100. Sand: 2 · 100 = 200
    Ergebnis:
    Kompost 100 l, Sand 200 l
  3. ★12
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 180 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 180 : 6 = 30, also 30 €.
    3. Mira: 1 · 30 = 30. Jonas: 5 · 30 = 150
    Ergebnis:
    Mira 30 €, Jonas 150 €

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Boden von 5 m mal 4 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
gegebengesucht5 m4 m15 %2 m²?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 5 · 4 = 20, also 20 m².
  2. Mit Verschnitt: 20 · 1,15 = 23
  3. Pakete: 23 : 2 ≈ 11,5 → aufrunden auf 12
  1. Fläche: 5 · 4 = 20, also 20 m².
  2. Mit Verschnitt: 20 · 1,15 = 23
  3. Pakete: 23 : 2 ≈ 11,5 → aufrunden auf 12
Ergebnis:
12 Pakete

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 5 m mal 3 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht5 m3 m10 %2 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 5 · 3 = 15, also 15 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 5 · 3 = 15, also 15 m².
    2. Mit Verschnitt: 15 · 1,1 = 16,5
    3. Pakete: 16,5 : 2 ≈ 8,25 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Pakete
  2. ●14
    Ein Boden von 5 m mal 4 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht5 m4 m10 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 5 · 4 = 20, also 20 m².
    2. Mit Verschnitt: 20 · 1,1 = 22
    3. Pakete: 22 : 1,5 ≈ 14,67 → aufrunden auf 15
    Ergebnis:
    15 Pakete
  3. ★15
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 32 m². Sie werden zweimal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht32 m²8 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 32 · 2 = 64, also 64 m².
    2. Liter: 64 : 8 = 8
    3. Eimer: 8 : 2,5 ≈ 3,2 → aufrunden auf 4
    Ergebnis:
    4 Eimer

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 5,2 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 21,32 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht5,2 m4,1 m21,32 m²?
Schritt für Schritt
  1. 5,2 · 4,1 = 21,32
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 21,32 ≈ 21,3
  1. 5,2 · 4,1 = 21,32
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 21,32 ≈ 21,3
Ergebnis:
≈ 21,3 m²

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 3,8 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,58 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht3,8 m4,1 m15,58 m²?
    So fängst du an:
    3,8 · 4,1 = 15,58
    Lösung zeigen
    1. 3,8 · 4,1 = 15,58
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 15,58 ≈ 15,6
    Ergebnis:
    ≈ 15,6 m²
  2. ●17
    238 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 7,9333. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht238 Kinder30 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 238 : 30 ≈ 7,93
    2. Mit 7 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 8
    Ergebnis:
    8 Busse
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 385 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 70 km/h. Der Rechner zeigt 5,5 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht385 km70 km/h5,5 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 385 : 70 ≈ 5,5
    2. 0,5 h · 60 ≈ 30 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 5 h 30 min
    Ergebnis:
    ≈ 5 h 30 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. Am Tag: 700 · 3 · 6 = 12.600, also 12.600 Liter.
  2. Im Jahr: 12.600 · 190 = 2.394.000
  3. Das sind etwa 2394 m³, denn 1000 l = 1 m³.
  1. Am Tag: 700 · 3 · 6 = 12.600, also 12.600 Liter.
  2. Im Jahr: 12.600 · 190 = 2.394.000
  3. Das sind etwa 2394 m³, denn 1000 l = 1 m³.
Ergebnis:
etwa 2.400.000 Liter

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 600 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 m190 Schultage?
    So fängst du an:
    600 · 190 = 114.000, also 114.000 m.
    Lösung zeigen
    1. 600 · 190 = 114.000, also 114.000 m.
    2. 114.000 m = 114 km
    3. Gerundet: etwa 110 km
    Ergebnis:
    etwa 110 km
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 500 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 500 · 3 · 6 = 9000, also 9000 Liter.
    2. Im Jahr: 9000 · 190 = 1.710.000
    3. Das sind etwa 1710 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 1.700.000 Liter
  3. ★21
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
    2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
    3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.100.000 Liter

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:00 bis 15:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 16,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten16,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 16 = 128
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 16 = 128
Ergebnis:
128,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Auf dem Stundenzettel steht 5 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 17,50 € je Stunde.
    gegebengesucht5 h45 min17,50 €?
    So fängst du an:
    45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
    2. 5 h 45 min = 5,75 h
    3. 5,75 · 17,5 ≈ 100,63
    Ergebnis:
    5,75 h; ≈ 100,63 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 14,5 = 116
    Ergebnis:
    116,00 €
  3. ★24
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 14,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h6 h14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 6 + 5 + 6 = 22
    2. Lohn: 22 · 14 = 308
    Ergebnis:
    308,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Wie viele g sind 2 kg? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kg = 1000 g
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2 · 1000 = 2000
    Ergebnis:
    2000 g
  2. ●26
    Lea sagt: „65 cm ist mehr als 4,05 m, weil 65 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 4,05 m = 405 cm
    2. 405 cm > 65 cm
    Ergebnis:
    Nein, 4,05 m ist mehr.
  3. ●27
    Eine Drohne ist 5 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 5 · 3600 = 18.000, also 18.000 m in einer Stunde.
    3. 18.000 m = 18 km, also 18 km/h.
    Ergebnis:
    18 km/h
  4. ●28
    Jemand fährt mit 18 km/h und schaut 1 Sekunde aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht18 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 18 km/h in m/s: 18 : 3,6 = 5
    2. In 1 s: 5 · 1 = 5
    Ergebnis:
    5 m
  5. ●29
    Ein Gerät mit 1 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht1 kW15 Minuten35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 0,25 h
    2. 1 · 0,25 = 0,25, also 0,25 kWh.
    3. 0,25 · 35 = 8,75, also 8,75 ct.
    Ergebnis:
    0,25 kWh, 8,75 ct
  6. ●30
    Die Spielkonsole (150 W) läuft 2 Stunden am Tag, der Heizlüfter (2000 W) 0,5 Stunden am Tag. Was braucht an einem Tag mehr Energie?
    gegebengesucht150 W2 Stunden2000 W0,5 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Die Spielkonsole: 0,15 · 2 = 0,3, also 0,3 kWh.
    2. Der Heizlüfter: 2 · 0,5 = 1, also 1 kWh.
    Ergebnis:
    Der Heizlüfter braucht mehr.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Der Kühlschrank braucht im Monat 2,5 kWh. Gib die Angabe in Wh an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2500 Wh

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Rechne 36 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 m/s

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Ein Fernseher hat 80 W und läuft 3 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht80 W3 Stunden30 Tage32 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 2,30 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Nina und Ali haben am Flohmarktstand 45 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nina 18 €, Ali 27 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 28 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht28 m²6 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 2,9 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,69 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht6,1 m2,9 m17,69 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 17,7 m²

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 550 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht550 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1,7 m

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 4 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 15,00 € je Stunde.
    gegebengesucht4 h30 min15,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4,5 h; 67,50 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 4000 W
  2. 0,25 kWh
  3. 15 l
  4. 54 km/h
  5. 35 m/s
  6. 60 m je Sekunde, 3600 m je Minute
  7. ≈ 0,29 €
  8. ≈ 0,50 €
  9. ≈ 0,34 €
  10. Zement 100 kg, Sand 300 kg
  11. Kompost 100 l, Sand 200 l
  12. Mira 30 €, Jonas 150 €
  13. 9 Pakete
  14. 15 Pakete
  15. 4 Eimer
  16. ≈ 15,6 m²
  17. 8 Busse
  18. ≈ 5 h 30 min
  19. etwa 110 km
  20. etwa 1.700.000 Liter
  21. etwa 2.100.000 Liter
  22. 5,75 h; ≈ 100,63 €
  23. 116,00 €
  24. 308,00 €
  25. 2000 g
  26. Nein, 4,05 m ist mehr.
  27. 18 km/h
  28. 5 m
  29. 0,25 kWh, 8,75 ct
  30. Der Heizlüfter braucht mehr.
  31. 2500 Wh
  32. 10 m/s
  33. ≈ 2,30 €
  34. Nina 18 €, Ali 27 €
  35. 2 Eimer
  36. ≈ 17,7 m²
  37. etwa 1,7 m
  38. 4,5 h; 67,50 €
  39. 1.500 cm
  40. 17,60 €