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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 2 kg in g.
    Lösung zeigen
    1. 1 kg = 1.000 g
    2. 2 · 1.000 = 2.000 g
    Ergebnis:
    2.000 g
  2. ●40
    Nael verbraucht in 5 Tagen 2,5 GB Datenvolumen. Wie viel sind es nach 6 Tage?
    Lösung zeigen
    1. TageGB
    2. 5 Tage→2,5 GB
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Tag→2,5 GB : 5 = 0,5 GB
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Tage→0,5 GB · 6 = 3 GB
    Ergebnis:
    3 GB

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Das Verlängerungskabel ist 250 cm lang. Gib die Angabe in m an.
Schritt für Schritt
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 250 : 100 = 2,5
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 250 : 100 = 2,5
Ergebnis:
2,5 m

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 4 l in cl.
    So fängst du an:
    Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 4 · 100 = 400
    Ergebnis:
    400 cl
  2. ●2
    Wie viele km sind 1200 m? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 km = 1000 m
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1200 : 1000 = 1,2
    Ergebnis:
    1,2 km
  3. ★3
    Wie viele kg sind 3250 g? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kg = 1000 g
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 3250 : 1000 = 3,25
    Ergebnis:
    3,25 kg

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 90 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 90 : 3,6 = 25
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 90 : 3,6 = 25
Ergebnis:
25 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Radfahrer ist 15 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 15 · 3600 = 54.000, also 54.000 m in einer Stunde.
    3. 54.000 m = 54 km, also 54 km/h.
    Ergebnis:
    54 km/h
  2. ●5
    Rechne 54 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 54 : 3,6 = 15
    Ergebnis:
    15 m/s
  3. ★6
    Ein Radfahrer ist 7,5 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 7,5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 7,5 · 3600 = 27.000, also 27.000 m in einer Stunde.
    3. 27.000 m = 27 km, also 27 km/h.
    Ergebnis:
    27 km/h

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Gerät mit 2 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 40 ct je kWh?
gegebengesucht2 kW15 Minuten40 ct?
Schritt für Schritt
  1. 15 min = 0,25 h
  2. 2 · 0,25 = 0,5, also 0,5 kWh.
  3. 0,5 · 40 = 20, also 20 ct.
  1. 15 min = 0,25 h
  2. 2 · 0,25 = 0,5, also 0,5 kWh.
  3. 0,5 · 40 = 20, also 20 ct.
Ergebnis:
0,5 kWh, 20 ct

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 50 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    So fängst du an:
    1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.
    Ergebnis:
    20 Stunden
  2. ●8
    Ein Fernseher hat 120 W und läuft 5 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht120 W5 Stunden7 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    1. 120 W = 0,12 kW
    2. Energie: 0,12 · 5 · 7 = 4,2, also 4,2 kWh.
    3. Kosten: 4,2 · 40 = 168, also 168 ct ≈ 1,68 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,68 €
  3. ★9
    Ein Fernseher hat 120 W und läuft 3 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht120 W3 Stunden30 Tage35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 120 W = 0,12 kW
    2. Energie: 0,12 · 3 · 30 = 10,8, also 10,8 kWh.
    3. Kosten: 10,8 · 35 = 378, also 378 ct ≈ 3,78 €.
    Ergebnis:
    ≈ 3,78 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Emre und Lea haben am Flohmarktstand 27 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 2. Wie viel bekommt jeder?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 2 = 3
  2. Ein Teil: 27 : 3 = 9, also 9 €.
  3. Emre: 1 · 9 = 9. Lea: 2 · 9 = 18
  1. Teile: 1 + 2 = 3
  2. Ein Teil: 27 : 3 = 9, also 9 €.
  3. Emre: 1 · 9 = 9. Lea: 2 · 9 = 18
Ergebnis:
Emre 9 €, Lea 18 €

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 15 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 1 zu 2. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 2 = 3
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 15 : 3 = 5, also 5 l.
    3. Kompost: 1 · 5 = 5. Sand: 2 · 5 = 10
    Ergebnis:
    Kompost 5 l, Sand 10 l
  2. ●11
    Für 100 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 1 zu 4. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 100 : 5 = 20, also 20 ml.
    3. Blau: 1 · 20 = 20. Weiß: 4 · 20 = 80
    Ergebnis:
    Blau 20 ml, Weiß 80 ml
  3. ★12
    Für 140 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 1 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 140 : 4 = 35, also 35 ml.
    3. Saft: 1 · 35 = 35. Wasser: 3 · 35 = 105
    Ergebnis:
    Saft 35 ml, Wasser 105 ml

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Die Wände eines Zimmers haben zusammen 42 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
gegebengesucht42 m²10 m²5 l?
Schritt für Schritt
  1. Fläche zum Streichen: 42 · 1 = 42, also 42 m².
  2. Liter: 42 : 10 = 4,2
  3. Eimer: 4,2 : 5 ≈ 0,84 → aufrunden auf 1
  1. Fläche zum Streichen: 42 · 1 = 42, also 42 m².
  2. Liter: 42 : 10 = 4,2
  3. Eimer: 4,2 : 5 ≈ 0,84 → aufrunden auf 1
Ergebnis:
1 Eimer

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 4 m mal 2,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht4 m2,5 m5 %2 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 4 · 2,5 = 10, also 10 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 4 · 2,5 = 10, also 10 m².
    2. Mit Verschnitt: 10 · 1,05 = 10,5
    3. Pakete: 10,5 : 2 ≈ 5,25 → aufrunden auf 6
    Ergebnis:
    6 Pakete
  2. ●14
    Ein Boden von 6 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht6 m2 m10 %1 m²?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 6 · 2 = 12, also 12 m².
    2. Mit Verschnitt: 12 · 1,1 = 13,2
    3. Pakete: 13,2 : 1 ≈ 13,2 → aufrunden auf 14
    Ergebnis:
    14 Pakete
  3. ★15
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 45 m². Sie werden zweimal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht45 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 45 · 2 = 90, also 90 m².
    2. Liter: 90 : 6 = 15
    3. Eimer: 15 : 2,5 = 6, es geht genau auf.
    Ergebnis:
    6 Eimer

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,7 m lang, 2,9 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 13,63 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht4,7 m2,9 m13,63 m²?
Schritt für Schritt
  1. 4,7 · 2,9 = 13,63
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 13,63 ≈ 13,6
  1. 4,7 · 2,9 = 13,63
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 13,63 ≈ 13,6
Ergebnis:
≈ 13,6 m²

AchtungGrundwert wie Prozentwert gerechnet

So nicht
400 sind 50 %, Ganzes → 200
So richtig
400 sind 50 %, Ganzes → 800

Schreib auf: Was sind 100 %? Was ist der Teil?

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Von einer 6 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,7 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht6 m0,7 m?
    So fängst du an:
    6 : 0,7 ≈ 8,57
    Lösung zeigen
    1. 6 : 0,7 ≈ 8,57
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 8
    Ergebnis:
    8 Stücke
  2. ●17
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 2,9 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,69 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht6,1 m2,9 m17,69 m²?
    Lösung zeigen
    1. 6,1 · 2,9 = 17,69
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,69 ≈ 17,7
    Ergebnis:
    ≈ 17,7 m²
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 385 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 65 km/h. Der Rechner zeigt 5,92308 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht385 km65 km/h5,92308 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 385 : 65 ≈ 5,923
    2. 0,923 h · 60 ≈ 55 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 5 h 55 min
    Ergebnis:
    ≈ 5 h 55 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 600 m am Tag, 190 Schultage.
gegebengesucht600 m190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. 600 · 190 = 114.000, also 114.000 m.
  2. 114.000 m = 114 km
  3. Gerundet: etwa 110 km
  1. 600 · 190 = 114.000, also 114.000 m.
  2. 114.000 m = 114 km
  3. Gerundet: etwa 110 km
Ergebnis:
etwa 110 km

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht60 m20 m?
    So fängst du an:
    Fläche: 60 · 20 = 1200, also etwa 1200 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 60 · 20 = 1200, also etwa 1200 m².
    2. Menschen: 1200 · 4 = 4800
    3. Gerundet: etwa 5000
    Ergebnis:
    etwa 5000 Menschen
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 500 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 500 · 3 · 6 = 9000, also 9000 Liter.
    2. Im Jahr: 9000 · 190 = 1.710.000
    3. Das sind etwa 1710 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 1.700.000 Liter
  3. ★21
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 700 · 3 · 6 = 12.600, also 12.600 Liter.
    2. Im Jahr: 12.600 · 190 = 2.394.000
    3. Das sind etwa 2394 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.400.000 Liter

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 18,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten18,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 18 = 144
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 18 = 144
Ergebnis:
144,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 17,50 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h15 min17,50 €?
    So fängst du an:
    15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
    2. 7 h 15 min = 7,25 h
    3. 7,25 · 17,5 ≈ 126,88
    Ergebnis:
    7,25 h; ≈ 126,88 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 16,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten16,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 16 = 128
    Ergebnis:
    128,00 €
  3. ★24
    Eine Schicht dauert 6 Stunden, davon 2 Stunden in der Nacht. Für Nachtstunden zahlt die Firma 25 % Zuschlag. Stundenlohn 15,00 €. Wie viel verdient man in dieser Schicht?
    gegebengesucht6 Stunden2 Stunden25 %15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Normale Stunden: 4 · 15 = 60
    2. Nachtstunden: 2 · 15 · 1,25 = 37,5
    3. Zusammen: 60 + 37,5 = 97,5
    Ergebnis:
    97,50 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Der Eimer fasst 40 cl Farbe. Gib die Angabe in ml an.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel, milli heißt ein tausendstel: 1 cl = 10 ml
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 40 · 10 = 400
    Ergebnis:
    400 ml
  2. ●26
    Lea sagt: „1500 mg ist mehr als 0,5 g, weil 1500 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,5 g = 500 mg
    2. 500 mg < 1500 mg
    Ergebnis:
    Ja, 1500 mg ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Rechne 108 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 108 : 3,6 = 30
    Ergebnis:
    30 m/s
  4. ●28
    Jemand fährt mit 54 km/h und schaut 1 Sekunde aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht54 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 54 km/h in m/s: 54 : 3,6 = 15
    2. In 1 s: 15 · 1 = 15
    Ergebnis:
    15 m
  5. ●29
    Ein Laptop hat 40 W und läuft 4 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht40 W4 Stunden30 Tage30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 40 W = 0,04 kW
    2. Energie: 0,04 · 4 · 30 = 4,8, also 4,8 kWh.
    3. Kosten: 4,8 · 30 = 144, also 144 ct ≈ 1,44 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,44 €
  6. ●30
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 45.781 kWh, am Monatsende 46.101 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 30 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht45.781 kWh46.101 kWh30 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 46.101 − 45.781 = 320, also 320 kWh.
    2. Kosten: 320 · 30 = 9600, also 9600 ct = 96,00 €.
    Ergebnis:
    96,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Die Spritze fasst 750 ml. Gib die Angabe in cl an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75 cl

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Ein Sprinter ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90 km/h

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Spielkonsole hat 200 W und läuft 4 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht200 W4 Stunden30 Tage35 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 8,40 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Für 800 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 3 zu 5. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Blau 300 ml, Weiß 500 ml

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 54 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht54 m²10 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 3,7 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,91 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,3 m3,7 m15,91 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 15,9 m²

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 500 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 100 km

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 4 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,50 € je Stunde.
    gegebengesucht4 h30 min14,50 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4,5 h; 65,25 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 400 cl
  2. 1,2 km
  3. 3,25 kg
  4. 54 km/h
  5. 15 m/s
  6. 27 km/h
  7. 20 Stunden
  8. ≈ 1,68 €
  9. ≈ 3,78 €
  10. Kompost 5 l, Sand 10 l
  11. Blau 20 ml, Weiß 80 ml
  12. Saft 35 ml, Wasser 105 ml
  13. 6 Pakete
  14. 14 Pakete
  15. 6 Eimer
  16. 8 Stücke
  17. ≈ 17,7 m²
  18. ≈ 5 h 55 min
  19. etwa 5000 Menschen
  20. etwa 1.700.000 Liter
  21. etwa 2.400.000 Liter
  22. 7,25 h; ≈ 126,88 €
  23. 128,00 €
  24. 97,50 €
  25. 400 ml
  26. Ja, 1500 mg ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. 30 m/s
  28. 15 m
  29. ≈ 1,44 €
  30. 96,00 €
  31. 75 cl
  32. 90 km/h
  33. ≈ 8,40 €
  34. Blau 300 ml, Weiß 500 ml
  35. 3 Eimer
  36. ≈ 15,9 m²
  37. etwa 100 km
  38. 4,5 h; 65,25 €
  39. 2.000 g
  40. 3 GB