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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 3 kg in g.
    Lösung zeigen
    1. 1 kg = 1.000 g
    2. 3 · 1.000 = 3.000 g
    Ergebnis:
    3.000 g
  2. ●40
    Beim Training läuft Jamal 4 Runden und legt dabei 1600 m zurück. Wie viele Runden sind 4000 m?
    Lösung zeigen
    1. Rundenm
    2. 4 Runden→1600 m
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 Runde→1600 m : 4 = 400 m
    5. ↓ · 10↓ · 104000 m : 400 m = 10
    6. 10 Runden→4000 m
    Ergebnis:
    10 Runden

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Rechne um: 2 mm in cm.
Schritt für Schritt
  1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cm = 10 mm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 2 : 10 = 0,2
  1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cm = 10 mm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 2 : 10 = 0,2
Ergebnis:
0,2 cm

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Staubsauger hat 8 W. Gib die Angabe in kW an.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 8 : 1000 = 0,008
    Ergebnis:
    0,008 kW
  2. ●2
    Ein Wasserkocher hat 3 kW. Gib die Angabe in W an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 3 · 1000 = 3000
    Ergebnis:
    3000 W
  3. ★3
    Rechne um: 6,5 l in ml.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 6,5 · 1000 = 6500
    Ergebnis:
    6500 ml

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 144 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 144 : 3,6 = 40
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 144 : 3,6 = 40
Ergebnis:
40 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Zug ist 5 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 5 · 3600 = 18.000, also 18.000 m in einer Stunde.
    3. 18.000 m = 18 km, also 18 km/h.
    Ergebnis:
    18 km/h
  2. ●5
    Rechne 108 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 108 : 3,6 = 30
    Ergebnis:
    30 m/s
  3. ★6
    Ein ICE fährt 180 km/h. Wie viele Meter legt er in einer Sekunde zurück, wie viele in einer Minute?
    Lösung zeigen
    1. 180 : 3,6 = 50, also 50 m in einer Sekunde.
    2. 50 · 60 = 3000, also 3000 m in einer Minute.
    Ergebnis:
    50 m je Sekunde, 3000 m je Minute

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Gerät mit 2 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
Schritt für Schritt
  1. 30 min = 0,5 h
  2. 2 · 0,5 = 1, also 1 kWh.
  3. 1 · 30 = 30, also 30 ct.
  1. 30 min = 0,5 h
  2. 2 · 0,5 = 1, also 1 kWh.
  3. 1 · 30 = 30, also 30 ct.
Ergebnis:
1 kWh, 30 ct

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht2,5 kW15 Minuten35 ct?
    So fängst du an:
    15 min = 0,25 h
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 0,25 h
    2. 2,5 · 0,25 = 0,625, also 0,625 kWh.
    3. 0,625 · 35 = 21,88, also 21,88 ct.
    Ergebnis:
    0,625 kWh, 21,88 ct
  2. ●8
    Eine Lampe hat 25 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 25 = 40, also 40 Stunden.
    Ergebnis:
    40 Stunden
  3. ★9
    Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 45 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
    gegebengesucht2,5 kW45 Minuten30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0,75 h
    2. 2,5 · 0,75 = 1,875, also 1,875 kWh.
    3. 1,875 · 30 = 56,25, also 56,25 ct.
    Ergebnis:
    1,875 kWh, 56,25 ct

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Nina und Ali haben am Flohmarktstand 36 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 5. Wie viel bekommt jeder?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 36 : 6 = 6, also 6 €.
  3. Nina: 1 · 6 = 6. Ali: 5 · 6 = 30
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 36 : 6 = 6, also 6 €.
  3. Nina: 1 · 6 = 6. Ali: 5 · 6 = 30
Ergebnis:
Nina 6 €, Ali 30 €

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 500 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 1 zu 4. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 4 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 500 : 5 = 100, also 100 ml.
    3. Blau: 1 · 100 = 100. Weiß: 4 · 100 = 400
    Ergebnis:
    Blau 100 ml, Weiß 400 ml
  2. ●11
    Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 150 l Blumenerde?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 150 : 3 = 50, also 50 l.
    3. Kompost: 1 · 50 = 50. Sand: 2 · 50 = 100
    Ergebnis:
    Kompost 50 l, Sand 100 l
  3. ★12
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 120 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 120 : 4 = 30, also 30 €.
    3. Mira: 1 · 30 = 30. Jonas: 3 · 30 = 90
    Ergebnis:
    Mira 30 €, Jonas 90 €

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Die Wände eines Zimmers haben zusammen 32 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
gegebengesucht32 m²6 m²2,5 l?
Schritt für Schritt
  1. Fläche zum Streichen: 32 · 1 = 32, also 32 m².
  2. Liter: 32 : 6 ≈ 5,33
  3. Eimer: 5,33 : 2,5 ≈ 2,13 → aufrunden auf 3
  1. Fläche zum Streichen: 32 · 1 = 32, also 32 m².
  2. Liter: 32 : 6 ≈ 5,33
  3. Eimer: 5,33 : 2,5 ≈ 2,13 → aufrunden auf 3
Ergebnis:
3 Eimer

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 6 m mal 3 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht6 m3 m5 %1 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 6 · 3 = 18, also 18 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 6 · 3 = 18, also 18 m².
    2. Mit Verschnitt: 18 · 1,05 = 18,9
    3. Pakete: 18,9 : 1 ≈ 18,9 → aufrunden auf 19
    Ergebnis:
    19 Pakete
  2. ●14
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m3 m1 m10 %2 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 3) − 1 = 15
    2. Mit Verschnitt: 15 · 1,1 = 16,5
    3. Leisten: 16,5 : 2 ≈ 8,25 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Leisten
  3. ★15
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m3 m1 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 3) − 1 = 15
    2. Mit Verschnitt: 15 · 1,1 = 16,5
    3. Leisten: 16,5 : 2,5 ≈ 6,6 → aufrunden auf 7
    Ergebnis:
    7 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 3,8 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,58 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht3,8 m4,1 m15,58 m²?
Schritt für Schritt
  1. 3,8 · 4,1 = 15,58
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 15,58 ≈ 15,6
  1. 3,8 · 4,1 = 15,58
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 15,58 ≈ 15,6
Ergebnis:
≈ 15,6 m²

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    140 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,5455. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht140 Kinder55 Plätze?
    So fängst du an:
    140 : 55 ≈ 2,55
    Lösung zeigen
    1. 140 : 55 ≈ 2,55
    2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
    Ergebnis:
    3 Busse
  2. ●17
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 25,01 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht6,1 m4,1 m25,01 m²?
    Lösung zeigen
    1. 6,1 · 4,1 = 25,01
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 25,01 ≈ 25
    Ergebnis:
    ≈ 25 m²
  3. ★18
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 5,2 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 21,32 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht5,2 m4,1 m21,32 m²?
    Lösung zeigen
    1. 5,2 · 4,1 = 21,32
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 21,32 ≈ 21,3
    Ergebnis:
    ≈ 21,3 m²

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
gegebengesucht60 m20 m?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 60 · 20 = 1200, also etwa 1200 m².
  2. Menschen: 1200 · 4 = 4800
  3. Gerundet: etwa 5000
  1. Fläche: 60 · 20 = 1200, also etwa 1200 m².
  2. Menschen: 1200 · 4 = 4800
  3. Gerundet: etwa 5000
Ergebnis:
etwa 5000 Menschen

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 550 Kinder, je 4 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht550 Kinder4 Blatt5 Tage0,1 mm?
    So fängst du an:
    Blätter: 4 · 550 · 5 = 11.000
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 4 · 550 · 5 = 11.000
    2. Höhe: 11.000 · 0,1 = 1100, also 1100 mm.
    3. 1100 mm = 110 cm, also etwa 1,1 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,1 m
  2. ●20
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 30 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht60 m30 m?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 60 · 30 = 1800, also etwa 1800 m².
    2. Menschen: 1800 · 4 = 7200
    3. Gerundet: etwa 7000
    Ergebnis:
    etwa 7000 Menschen
  3. ★21
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 500 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. 500 · 190 = 95.000, also 95.000 m.
    2. 95.000 m = 95 km
    3. Gerundet: etwa 100 km
    Ergebnis:
    etwa 100 km

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 8:00 bis 16:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 15 = 120
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 15 = 120
Ergebnis:
120,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:00 bis 15:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 16,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten16,00 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 16 = 128
    Ergebnis:
    128,00 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:00 bis 15:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 14 = 112
    Ergebnis:
    112,00 €
  3. ★24
    Eine Schicht dauert 7 Stunden, davon 4 Stunden in der Nacht. Für Nachtstunden zahlt die Firma 25 % Zuschlag. Stundenlohn 14,00 €. Wie viel verdient man in dieser Schicht?
    gegebengesucht7 Stunden4 Stunden25 %14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Normale Stunden: 3 · 14 = 42
    2. Nachtstunden: 4 · 14 · 1,25 = 70
    3. Zusammen: 42 + 70 = 112
    Ergebnis:
    112,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Wie viele m sind 3000 cm? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 3000 : 100 = 30
    Ergebnis:
    30 m
  2. ●26
    Lukas sagt: „398 cm ist mehr als 0,6 m, weil 398 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,6 m = 60 cm
    2. 60 cm < 398 cm
    Ergebnis:
    Ja, 398 cm ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Eine Läuferin ist 5 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 5 · 3600 = 18.000, also 18.000 m in einer Stunde.
    3. 18.000 m = 18 km, also 18 km/h.
    Ergebnis:
    18 km/h
  4. ●28
    Ein Bus fährt 36 km/h. Bis zum Bremsen vergeht 1 Sekunde. Wie viele Meter fährt er in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht36 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 36 km/h in m/s: 36 : 3,6 = 10
    2. In 1 s: 10 · 1 = 10
    Ergebnis:
    10 m
  5. ●29
    Der Laptop (50 W) läuft 6 Stunden am Tag, die Waschmaschine (1000 W) 1 Stunden am Tag. Was braucht an einem Tag mehr Energie?
    gegebengesucht50 W6 Stunden1000 W1 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Der Laptop: 0,05 · 6 = 0,3, also 0,3 kWh.
    2. Die Waschmaschine: 1 · 1 = 1, also 1 kWh.
    Ergebnis:
    Die Waschmaschine braucht mehr.
  6. ●30
    Nina und Ali haben am Flohmarktstand 36 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 36 : 4 = 9, also 9 €.
    3. Nina: 1 · 9 = 9. Ali: 3 · 9 = 27
    Ergebnis:
    Nina 9 €, Ali 27 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Rechne um: 2 kW in W.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2000 W

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Eine Läuferin ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    108 km/h

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 5 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 5 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 60 kg Mörtel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Zement 10 kg, Sand 50 kg

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Boden von 4 m mal 2,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht4 m2,5 m10 %2 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Pakete

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    132 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,4. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht132 Kinder55 Plätze?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Busse

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 500 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1.700.000 Liter

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 4 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 14,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht4 h5 h6 h14,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    266,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,008 kW
  2. 3000 W
  3. 6500 ml
  4. 18 km/h
  5. 30 m/s
  6. 50 m je Sekunde, 3000 m je Minute
  7. 0,625 kWh, 21,88 ct
  8. 40 Stunden
  9. 1,875 kWh, 56,25 ct
  10. Blau 100 ml, Weiß 400 ml
  11. Kompost 50 l, Sand 100 l
  12. Mira 30 €, Jonas 90 €
  13. 19 Pakete
  14. 9 Leisten
  15. 7 Leisten
  16. 3 Busse
  17. ≈ 25 m²
  18. ≈ 21,3 m²
  19. etwa 1,1 m
  20. etwa 7000 Menschen
  21. etwa 100 km
  22. 128,00 €
  23. 112,00 €
  24. 112,00 €
  25. 30 m
  26. Ja, 398 cm ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. 18 km/h
  28. 10 m
  29. Die Waschmaschine braucht mehr.
  30. Nina 9 €, Ali 27 €
  31. 2000 W
  32. 108 km/h
  33. 200 Stunden
  34. Zement 10 kg, Sand 50 kg
  35. 6 Pakete
  36. 3 Busse
  37. etwa 1.700.000 Liter
  38. 266,00 €
  39. 3.000 g
  40. 10 Runden