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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 6 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 6 · 1.000 = 6.000 m
    Ergebnis:
    6.000 m
  2. ●40
    In 4 Sekunden sind 100 MB eines Updates geladen. Wie viel ist nach 8 Sekunden geladen?
    Lösung zeigen
    1. SekundenMB
    2. 4 Sekunden→100 MB
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 Sekunde→100 MB : 4 = 25 MB
    5. ↓ · 8↓ · 8
    6. 8 Sekunden→25 MB · 8 = 200 MB
    Ergebnis:
    200 MB

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Rechne um: 2 l in cl.
Schritt für Schritt
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2 · 100 = 200
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2 · 100 = 200
Ergebnis:
200 cl

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 750 cm in mm.
    So fängst du an:
    Zenti heißt ein Hundertstel, milli heißt ein tausendstel: 1 cm = 10 mm
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel, milli heißt ein tausendstel: 1 cm = 10 mm
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 750 · 10 = 7500
    Ergebnis:
    7500 mm
  2. ●2
    Ein Sack Zement wiegt 1200 mg. Gib die Angabe in g an.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1200 : 1000 = 1,2
    Ergebnis:
    1,2 g
  3. ★3
    Ein Staubsauger hat 45 kW. Gib die Angabe in W an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 45 · 1000 = 45.000
    Ergebnis:
    45.000 W

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 36 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 36 : 3,6 = 10
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 36 : 3,6 = 10
Ergebnis:
10 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Läuferin ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
    3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
    Ergebnis:
    90 km/h
  2. ●5
    Eine Drohne ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 10 · 3600 = 36.000, also 36.000 m in einer Stunde.
    3. 36.000 m = 36 km, also 36 km/h.
    Ergebnis:
    36 km/h
  3. ★6
    Ein Sprinter ist 1,5 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 1,5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 1,5 · 3600 = 5400, also 5400 m in einer Stunde.
    3. 5400 m = 5,4 km, also 5,4 km/h.
    Ergebnis:
    5,4 km/h

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 50 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
Schritt für Schritt
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.
Ergebnis:
20 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 10 W und läuft 4 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht10 W4 Stunden30 Tage35 ct?
    So fängst du an:
    10 W = 0,01 kW
    Lösung zeigen
    1. 10 W = 0,01 kW
    2. Energie: 0,01 · 4 · 30 = 1,2, also 1,2 kWh.
    3. Kosten: 1,2 · 35 = 42, also 42 ct ≈ 0,42 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,42 €
  2. ●8
    Eine Lampe hat 8 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 8 = 125, also 125 Stunden.
    Ergebnis:
    125 Stunden
  3. ★9
    Eine alte Glühlampe mit 60 W wird durch eine LED-Lampe mit 7 W ersetzt. Sie leuchtet 3 Stunden am Tag. Wie viel spart man im Jahr bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht60 W7 W3 Stunden35 ct?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 60 W − 7 W = 53 W = 0,053 kW
    2. Im Jahr: 0,053 · 3 · 365 = 58,035, also 58,035 kWh.
    3. 58,035 · 35 ≈ 2031, also 2031 ct ≈ 20,31 €.
    Ergebnis:
    ≈ 20,31 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Für 160 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 3 zu 5. Teile die Menge auf.
Schritt für Schritt
  1. Teile: 3 + 5 = 8
  2. Ein Teil: 160 : 8 = 20, also 20 ml.
  3. Saft: 3 · 20 = 60. Wasser: 5 · 20 = 100
  1. Teile: 3 + 5 = 8
  2. Ein Teil: 160 : 8 = 20, also 20 ml.
  3. Saft: 3 · 20 = 60. Wasser: 5 · 20 = 100
Ergebnis:
Saft 60 ml, Wasser 100 ml

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 1 : 3 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 80 l Blumenerde?
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 3 = 4
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 80 : 4 = 20, also 20 l.
    3. Kompost: 1 · 20 = 20. Sand: 3 · 20 = 60
    Ergebnis:
    Kompost 20 l, Sand 60 l
  2. ●11
    Für 500 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 1 zu 4. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 500 : 5 = 100, also 100 ml.
    3. Saft: 1 · 100 = 100. Wasser: 4 · 100 = 400
    Ergebnis:
    Saft 100 ml, Wasser 400 ml
  3. ★12
    Nina und Ali haben am Flohmarktstand 30 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 30 : 5 = 6, also 6 €.
    3. Nina: 2 · 6 = 12. Ali: 3 · 6 = 18
    Ergebnis:
    Nina 12 €, Ali 18 €

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 6 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
gegebengesucht6 m3,5 m1 m2 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 1 = 18
  2. Mit Verschnitt: 18 · 1,1 = 19,8
  3. Leisten: 19,8 : 2 ≈ 9,9 → aufrunden auf 10
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 1 = 18
  2. Mit Verschnitt: 18 · 1,1 = 19,8
  3. Leisten: 19,8 : 2 ≈ 9,9 → aufrunden auf 10
Ergebnis:
10 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Zimmer ist 4 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht4 m0,8 m10 %2 m?
    So fängst du an:
    Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 4) − 0,8 = 15,2
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 4) − 0,8 = 15,2
    2. Mit Verschnitt: 15,2 · 1,1 = 16,72
    3. Leisten: 16,72 : 2 ≈ 8,36 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Leisten
  2. ●14
    Ein Boden von 3 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht3 m2 m15 %1 m²?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 3 · 2 = 6, also 6 m².
    2. Mit Verschnitt: 6 · 1,15 = 6,9
    3. Pakete: 6,9 : 1 ≈ 6,9 → aufrunden auf 7
    Ergebnis:
    7 Pakete
  3. ★15
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m3 m1 m2 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3) − 1 = 17
    2. Mit Verschnitt: 17 · 1,1 = 18,7
    3. Leisten: 18,7 : 2 ≈ 9,35 → aufrunden auf 10
    Ergebnis:
    10 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

62 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 1,55. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht62 Kinder40 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 62 : 40 ≈ 1,55
  2. Mit 1 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 2
  1. 62 : 40 ≈ 1,55
  2. Mit 1 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 2
Ergebnis:
2 Busse

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    178 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 3,56. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht178 Kinder50 Plätze?
    So fängst du an:
    178 : 50 ≈ 3,56
    Lösung zeigen
    1. 178 : 50 ≈ 3,56
    2. Mit 3 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 4
    Ergebnis:
    4 Busse
  2. ●17
    141 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,7. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht141 Kinder30 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 141 : 30 ≈ 4,7
    2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
    Ergebnis:
    5 Busse
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 385 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 85 km/h. Der Rechner zeigt 4,52941 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht385 km85 km/h4,52941 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 385 : 85 ≈ 4,529
    2. 0,529 h · 60 ≈ 32 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 4 h 32 min
    Ergebnis:
    ≈ 4 h 32 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 40 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
gegebengesucht40 m20 m?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 40 · 20 = 800, also etwa 800 m².
  2. Menschen: 800 · 4 = 3200
  3. Gerundet: etwa 3000
  1. Fläche: 40 · 20 = 800, also etwa 800 m².
  2. Menschen: 800 · 4 = 3200
  3. Gerundet: etwa 3000
Ergebnis:
etwa 3000 Menschen

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m20 m?
    So fängst du an:
    Fläche: 50 · 20 = 1000, also etwa 1000 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 50 · 20 = 1000, also etwa 1000 m².
    2. Menschen: 1000 · 4 = 4000
    3. Gerundet: etwa 4000
    Ergebnis:
    etwa 4000 Menschen
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 400 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht400 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 400 · 3 · 6 = 7200, also 7200 Liter.
    2. Im Jahr: 7200 · 190 = 1.368.000
    3. Das sind etwa 1368 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 1.400.000 Liter
  3. ★21
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 500 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 500 · 3 · 6 = 9000, also 9000 Liter.
    2. Im Jahr: 9000 · 190 = 1.710.000
    3. Das sind etwa 1710 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 1.700.000 Liter

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 16,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten16,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 16 = 128
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 16 = 128
Ergebnis:
128,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 4 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h4 h6 h16,00 €?
    So fängst du an:
    Stunden: 5 + 4 + 5 + 6 = 20
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 4 + 5 + 6 = 20
    2. Lohn: 20 · 16 = 320
    Ergebnis:
    320,00 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 14 = 112
    Ergebnis:
    112,00 €
  3. ★24
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 3 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 17,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h6 h3 h17,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 6 + 3 + 6 = 20
    2. Lohn: 20 · 17,5 = 350
    Ergebnis:
    350,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Das Verlängerungskabel ist 40 km lang. Gib die Angabe in m an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 km = 1000 m
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 40 · 1000 = 40.000
    Ergebnis:
    40.000 m
  2. ●26
    Was ist mehr: 1,2 g oder 300 mg?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 1,2 g = 1200 mg
    2. 1200 mg > 300 mg
    Ergebnis:
    1,2 g
  3. ●27
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 25 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht25 km/h10 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
    2. 36 km/h > 25 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  4. ●28
    Ein E-Scooter fährt 18 km/h. Bis zum Bremsen vergeht 1 Sekunde. Wie viele Meter fährt er in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht18 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 18 km/h in m/s: 18 : 3,6 = 5
    2. In 1 s: 5 · 1 = 5
    Ergebnis:
    5 m
  5. ●29
    Eine Lampe hat 10 W und läuft 3 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht10 W3 Stunden30 Tage32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 10 W = 0,01 kW
    2. Energie: 0,01 · 3 · 30 = 0,9, also 0,9 kWh.
    3. Kosten: 0,9 · 32 = 28,8, also 28,8 ct ≈ 0,29 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,29 €
  6. ●30
    Die Spielkonsole (150 W) läuft 2 Stunden am Tag, der Heizlüfter (2000 W) 0,5 Stunden am Tag. Was braucht an einem Tag mehr Energie?
    gegebengesucht150 W2 Stunden2000 W0,5 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Die Spielkonsole: 0,15 · 2 = 0,3, also 0,3 kWh.
    2. Der Heizlüfter: 2 · 0,5 = 1, also 1 kWh.
    Ergebnis:
    Der Heizlüfter braucht mehr.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Die Spritze fasst 6 l. Gib die Angabe in ml an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6000 ml

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Ein Zug ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 km/h

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 40 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 50 kg Mörtel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Zement 20 kg, Sand 30 kg

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 36 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht36 m²10 m²5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Von einer 5 m langen Stoffbahn werden Stücke von 1,2 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht5 m1,2 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Stücke

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m25 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 5000 Menschen

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 2 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 18,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h2 h5 h4 h18,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    252,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 7500 mm
  2. 1,2 g
  3. 45.000 W
  4. 90 km/h
  5. 36 km/h
  6. 5,4 km/h
  7. ≈ 0,42 €
  8. 125 Stunden
  9. ≈ 20,31 €
  10. Kompost 20 l, Sand 60 l
  11. Saft 100 ml, Wasser 400 ml
  12. Nina 12 €, Ali 18 €
  13. 9 Leisten
  14. 7 Pakete
  15. 10 Leisten
  16. 4 Busse
  17. 5 Busse
  18. ≈ 4 h 32 min
  19. etwa 4000 Menschen
  20. etwa 1.400.000 Liter
  21. etwa 1.700.000 Liter
  22. 320,00 €
  23. 112,00 €
  24. 350,00 €
  25. 40.000 m
  26. 1,2 g
  27. Die Läuferin ist schneller.
  28. 5 m
  29. ≈ 0,29 €
  30. Der Heizlüfter braucht mehr.
  31. 6000 ml
  32. 36 km/h
  33. 25 Stunden
  34. Zement 20 kg, Sand 30 kg
  35. 1 Eimer
  36. 4 Stücke
  37. etwa 5000 Menschen
  38. 252,00 €
  39. 6.000 m
  40. 200 MB