Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

●39
Rechne um: 7 cm in mm.
Lösung zeigen
1. 1 cm = 10 mm
2. 7 · 10 = 70 mm
Ergebnis:
70 mm
●40
Für 5 Stunden Regale einräumen bekommt Mia 50,00 €. Wie lange muss sie für 80,00 € arbeiten?
Lösung zeigen
1. Stunden €
2. 5 Stunden → 50,00 €
3. ↓ : 5 ↓ : 5
4. 1 Stunde → 50,00 € : 5 = 10,00 €
5. ↓ · 8 ↓ · 880,00 € : 10,00 € = 8
6. 8 Stunden → 80,00 €
Ergebnis:
8 Stunden

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele kWh sind 1200 Wh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.

Schritt für Schritt

Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1200 : 1000 = 1,2

Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1200 : 1000 = 1,2

Ergebnis:

1,2 kWh

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht

Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45

So richtig

0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Radtour zur Baustelle ist 40 cm lang. Gib die Angabe in mm an.
So fängst du an:
Zenti heißt ein Hundertstel, milli heißt ein tausendstel: 1 cm = 10 mm
Lösung zeigen
1. Zenti heißt ein Hundertstel, milli heißt ein tausendstel: 1 cm = 10 mm
2. Größere Einheit in kleinere: mal. 40 · 10 = 400
Ergebnis:
400 mm
●2
Rechne um: 8 g in mg.
Lösung zeigen
1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
2. Größere Einheit in kleinere: mal. 8 · 1000 = 8000
Ergebnis:
8000 mg
★3
Rechne um: 0,9 kWh in Wh.
Lösung zeigen
1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
2. Größere Einheit in kleinere: mal. 0,9 · 1000 = 900
Ergebnis:
900 Wh

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 72 km/h in m/s um.

Schritt für Schritt

1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
Also durch 3,6 teilen: 72 : 3,6 = 20

1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
Also durch 3,6 teilen: 72 : 3,6 = 20

Ergebnis:

20 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht

72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s

So richtig

72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

○4
Eine Drohne ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
So fängst du an:
In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
Lösung zeigen
1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
Ergebnis:
90 km/h
●5
Rechne 54 km/h in m/s um.
Lösung zeigen
1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
2. Also durch 3,6 teilen: 54 : 3,6 = 15
Ergebnis:
15 m/s
★6
Rechne 60 km/h in m/s um.
Lösung zeigen
1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
2. Also durch 3,6 teilen: 60 : 3,6 ≈ 16,7
Ergebnis:
≈ 16,7 m/s

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 20 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?

Schritt für Schritt

1 kWh = 1000 Wh
1000 : 20 = 50, also 50 Stunden.

1 kWh = 1000 Wh
1000 : 20 = 50, also 50 Stunden.

Ergebnis:

50 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht

Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45

So richtig

0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

○7
Eine Lampe hat 60 W und läuft 3 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
So fängst du an:
60 W = 0,06 kW
Lösung zeigen
1. 60 W = 0,06 kW
2. Energie: 0,06 · 3 · 7 = 1,26, also 1,26 kWh.
3. Kosten: 1,26 · 32 = 40,32, also 40,32 ct ≈ 0,40 €.
Ergebnis:
≈ 0,40 €
●8
Ein Laptop hat 60 W und läuft 3 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
Lösung zeigen
1. 60 W = 0,06 kW
2. Energie: 0,06 · 3 · 30 = 5,4, also 5,4 kWh.
3. Kosten: 5,4 · 32 = 172,8, also 172,8 ct ≈ 1,73 €.
Ergebnis:
≈ 1,73 €
★9
Eine alte Glühlampe mit 60 W wird durch eine LED-Lampe mit 7 W ersetzt. Sie leuchtet 2 Stunden am Tag. Wie viel spart man im Jahr bei 32 ct je kWh?
Lösung zeigen
1. Unterschied: 60 W − 7 W = 53 W = 0,053 kW
2. Im Jahr: 0,053 · 2 · 365 = 38,69, also 38,69 kWh.
3. 38,69 · 32 ≈ 1238, also 1238 ct ≈ 12,38 €.
Ergebnis:
≈ 12,38 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Farbe wird aus Blau und Weiß im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Wie viel Blau und wie viel Weiß brauchst du für 100 ml Farbe?

Schritt für Schritt

Teile: 2 + 3 = 5
Ein Teil: 100 : 5 = 20, also 20 ml.
Blau: 2 · 20 = 40. Weiß: 3 · 20 = 60

Teile: 2 + 3 = 5
Ein Teil: 100 : 5 = 20, also 20 ml.
Blau: 2 · 20 = 40. Weiß: 3 · 20 = 60

Ergebnis:

Blau 40 ml, Weiß 60 ml

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht

400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml

So richtig

4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

○10
Farbe wird aus Blau und Weiß im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Wie viel Blau und wie viel Weiß brauchst du für 500 ml Farbe?
So fängst du an:
Teile: 2 + 3 = 5
Lösung zeigen
1. Teile: 2 + 3 = 5
2. Ein Teil: 500 : 5 = 100, also 100 ml.
3. Blau: 2 · 100 = 200. Weiß: 3 · 100 = 300
Ergebnis:
Blau 200 ml, Weiß 300 ml
●11
Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 3 : 5 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 160 kg Mörtel?
Lösung zeigen
1. Teile: 3 + 5 = 8
2. Ein Teil: 160 : 8 = 20, also 20 kg.
3. Zement: 3 · 20 = 60. Sand: 5 · 20 = 100
Ergebnis:
Zement 60 kg, Sand 100 kg
★12
Nach Rezept wird Beton aus Zement, Sand und Kies im Verhältnis 2 : 3 : 5 gemischt. Wie viel von jedem Stoff braucht man für 200 kg Mischung?
Lösung zeigen
1. Teile: 2 + 3 + 5 = 10
2. Ein Teil: 200 : 10 = 20, also 20 kg.
3. Zement 2 · 20 = 40, Sand 3 · 20 = 60, Kies 5 · 20 = 100
Ergebnis:
Zement 40 kg, Sand 60 kg, Kies 100 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Die Wände eines Zimmers haben zusammen 36 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?

Schritt für Schritt

Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
Liter: 36 : 6 = 6
Eimer: 6 : 2,5 ≈ 2,4 → aufrunden auf 3

Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
Liter: 36 : 6 = 6
Eimer: 6 : 2,5 ≈ 2,4 → aufrunden auf 3

Ergebnis:

3 Eimer

AchtungUnpassend gerundet

So nicht

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse

So richtig

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

○13
Ein Boden von 3 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?
So fängst du an:
Fläche: 3 · 2 = 6, also 6 m².
Lösung zeigen
1. Fläche: 3 · 2 = 6, also 6 m².
2. Mit Verschnitt: 6 · 1,15 = 6,9
3. Pakete: 6,9 : 1 ≈ 6,9 → aufrunden auf 7
Ergebnis:
7 Pakete
●14
Ein Zimmer ist 5 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
Lösung zeigen
1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 4) − 0,8 = 17,2
2. Mit Verschnitt: 17,2 · 1,1 = 18,92
3. Leisten: 18,92 : 2,5 ≈ 7,57 → aufrunden auf 8
Ergebnis:
8 Leisten
★15
Eine Wand im Bad ist 2 m breit und 2 m hoch. Das Fenster (0,75 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 2 m² brauchst du? Ein Paket kostet 18,00 €. Was kostet das?
Lösung zeigen
1. Wand: 2 · 2 = 4, ohne Fenster 3,25 m²
2. Mit Verschnitt: 3,25 · 1,1 = 3,575
3. Pakete: 3,575 : 2 ≈ 1,79 → aufrunden auf 2
4. Kosten: 2 · 18,00 € = 36,00 €
Ergebnis:
2 Pakete, 36,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Von einer 6 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,8 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?

Schritt für Schritt

6 : 0,8 ≈ 7,5
Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 7

6 : 0,8 ≈ 7,5
Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 7

Ergebnis:

7 Stücke

AchtungGrundwert wie Prozentwert gerechnet

So nicht

400 sind 50 %, Ganzes → 200

So richtig

400 sind 50 %, Ganzes → 800

Schreib auf: Was sind 100 %? Was ist der Teil?

ÜbenJetzt du

○16
Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 3,7 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 22,57 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
So fängst du an:
6,1 · 3,7 = 22,57
Lösung zeigen
1. 6,1 · 3,7 = 22,57
2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 22,57 ≈ 22,6
Ergebnis:
≈ 22,6 m²
●17
Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 5,2 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,68 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
Lösung zeigen
1. 5,2 · 3,4 = 17,68
2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,68 ≈ 17,7
Ergebnis:
≈ 17,7 m²
★18
Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 3,8 m lang, 3,7 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 14,06 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
Lösung zeigen
1. 3,8 · 3,7 = 14,06
2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 14,06 ≈ 14,1
Ergebnis:
≈ 14,1 m²

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 40 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.

Schritt für Schritt

Fläche: 40 · 25 = 1000, also etwa 1000 m².
Menschen: 1000 · 4 = 4000
Gerundet: etwa 4000

Fläche: 40 · 25 = 1000, also etwa 1000 m².
Menschen: 1000 · 4 = 4000
Gerundet: etwa 4000

Ergebnis:

etwa 4000 Menschen

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse

So richtig

130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

○19
Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 30 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
So fängst du an:
Fläche: 50 · 30 = 1500, also etwa 1500 m².
Lösung zeigen
1. Fläche: 50 · 30 = 1500, also etwa 1500 m².
2. Menschen: 1500 · 4 = 6000
3. Gerundet: etwa 6000
Ergebnis:
etwa 6000 Menschen
●20
Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 400 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
Lösung zeigen
1. Am Tag: 400 · 3 · 6 = 7200, also 7200 Liter.
2. Im Jahr: 7200 · 190 = 1.368.000
3. Das sind etwa 1368 m³, denn 1000 l = 1 m³.
Ergebnis:
etwa 1.400.000 Liter
★21
Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
Lösung zeigen
1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
Ergebnis:
etwa 2.100.000 Liter

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Auf dem Stundenzettel steht 7 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,50 € je Stunde.

Schritt für Schritt

15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
7 h 15 min = 7,25 h
7,25 · 14,5 ≈ 105,13

15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
7 h 15 min = 7,25 h
7,25 · 14,5 ≈ 105,13

Ergebnis:

7,25 h; ≈ 105,13 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht

7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €

So richtig

45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

○22
Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 3 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 17,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
So fängst du an:
Stunden: 5 + 6 + 3 + 4 = 18
Lösung zeigen
1. Stunden: 5 + 6 + 3 + 4 = 18
2. Lohn: 18 · 17,5 = 315
Ergebnis:
315,00 €
●23
Auf dem Stundenzettel steht 7 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 16,00 € je Stunde.
Lösung zeigen
1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
2. 7 h 15 min = 7,25 h
3. 7,25 · 16 = 116
Ergebnis:
7,25 h; 116,00 €
★24
Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 8:00 bis 16:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 18,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
Lösung zeigen
1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
2. Lohn: 8 · 18 = 144
Ergebnis:
144,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Wie viele ml sind 2,5 l? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Lösung zeigen
1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2,5 · 1000 = 2500
Ergebnis:
2500 ml
●26
Lukas sagt: „1500 mg ist mehr als 0,25 g, weil 1500 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. In dieselbe Einheit: 0,25 g = 250 mg
2. 250 mg < 1500 mg
Ergebnis:
Ja, 1500 mg ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
●27
Eine Drohne ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
Lösung zeigen
1. In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
2. 30 · 3600 = 108.000, also 108.000 m in einer Stunde.
3. 108.000 m = 108 km, also 108 km/h.
Ergebnis:
108 km/h
●28
Jemand fährt mit 54 km/h und schaut 1 Sekunde aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
Lösung zeigen
1. 54 km/h in m/s: 54 : 3,6 = 15
2. In 1 s: 15 · 1 = 15
Ergebnis:
15 m
●29
Eine Lampe hat 40 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
Lösung zeigen
1. 1 kWh = 1000 Wh
2. 1000 : 40 = 25, also 25 Stunden.
Ergebnis:
25 Stunden
●30
Der Laptop (50 W) läuft 6 Stunden am Tag, der Heizlüfter (2000 W) 0,5 Stunden am Tag. Was braucht an einem Tag mehr Energie?
Lösung zeigen
1. Der Laptop: 0,05 · 6 = 0,3, also 0,3 kWh.
2. Der Heizlüfter: 2 · 0,5 = 1, also 1 kWh.
Ergebnis:
Der Heizlüfter braucht mehr.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s: Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten: Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis: Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden: Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit: Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte: Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge: Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.
31
Im Messbecher sind 3000 cl Wasser. Gib die Angabe in l an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
30 l
Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.
32
Rechne 18 km/h in m/s um.
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 m/s
Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.
33
Ein Fernseher hat 120 W und läuft 5 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 5,40 €
Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.
34
Für 700 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 2 zu 5. Teile die Menge auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Saft 200 ml, Wasser 500 ml
Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.
35
Die Wände eines Zimmers haben zusammen 36 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Eimer
Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.
36
Von einer 10 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,45 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
Lösung zeigen
Ergebnis:
22 Stücke
Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.
37
Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 2.400.000 Liter
Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.
38
Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 4 h, 3 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 14,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
Lösung zeigen
Ergebnis:
252,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

400 mm
8000 mg
900 Wh
90 km/h
15 m/s
≈ 16,7 m/s
≈ 0,40 €
≈ 1,73 €
≈ 12,38 €
Blau 200 ml, Weiß 300 ml
Zement 60 kg, Sand 100 kg
Zement 40 kg, Sand 60 kg, Kies 100 kg
7 Pakete
8 Leisten
2 Pakete, 36,00 €
≈ 22,6 m²
≈ 17,7 m²
≈ 14,1 m²
etwa 6000 Menschen
etwa 1.400.000 Liter
etwa 2.100.000 Liter
315,00 €
7,25 h; 116,00 €
144,00 €
2500 ml
Ja, 1500 mg ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
108 km/h
15 m
25 Stunden
Der Heizlüfter braucht mehr.
30 l
5 m/s
≈ 5,40 €
Saft 200 ml, Wasser 500 ml
2 Eimer
22 Stücke
etwa 2.400.000 Liter
252,00 €
70 mm
8 Stunden