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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 12 € in ct.
    Lösung zeigen
    1. 1 € = 100 ct
    2. 12 · 100 = 1.200 ct
    Ergebnis:
    1.200 ct
  2. ●40
    Ein Bundesligaverein schießt in 5 Spiele im Schnitt 10 Tore. Wie viele Tore sind es in 10 Spiele?
    Lösung zeigen
    1. SpieleTore
    2. 5 Spiele→10 Tore
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Spiel→10 Tore : 5 = 2 Tore
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Spiele→2 Tore · 10 = 20 Tore
    Ergebnis:
    20 Tore

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Rechne um: 20 mm in cm.
Schritt für Schritt
  1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cm = 10 mm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 20 : 10 = 2
  1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cm = 10 mm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 20 : 10 = 2
Ergebnis:
2 cm

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Wie viele ml sind 3000 cl? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    So fängst du an:
    Zenti heißt ein Hundertstel, milli heißt ein tausendstel: 1 cl = 10 ml
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel, milli heißt ein tausendstel: 1 cl = 10 ml
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 3000 · 10 = 30.000
    Ergebnis:
    30.000 ml
  2. ●2
    Rechne um: 40 kW in W.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 40 · 1000 = 40.000
    Ergebnis:
    40.000 W
  3. ★3
    Rechne um: 3250 cl in l.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 3250 : 100 = 32,5
    Ergebnis:
    32,5 l

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Ein Sprinter ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
Schritt für Schritt
  1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
  3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
  1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
  3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
Ergebnis:
90 km/h

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Rennwagen ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
    3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
    Ergebnis:
    90 km/h
  2. ●5
    Ein Radfahrer ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 10 · 3600 = 36.000, also 36.000 m in einer Stunde.
    3. 36.000 m = 36 km, also 36 km/h.
    Ergebnis:
    36 km/h
  3. ★6
    Eine Läuferin ist 14 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 14 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 14 · 3600 = 50.400, also 50.400 m in einer Stunde.
    3. 50.400 m = 50,4 km, also 50,4 km/h.
    Ergebnis:
    50,4 km/h

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 50 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
Schritt für Schritt
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.
Ergebnis:
20 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Fernseher hat 100 W und läuft 3 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht100 W3 Stunden7 Tage30 ct?
    So fängst du an:
    100 W = 0,1 kW
    Lösung zeigen
    1. 100 W = 0,1 kW
    2. Energie: 0,1 · 3 · 7 = 2,1, also 2,1 kWh.
    3. Kosten: 2,1 · 30 = 63, also 63 ct ≈ 0,63 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,63 €
  2. ●8
    Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 45 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht1,5 kW45 Minuten32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0,75 h
    2. 1,5 · 0,75 = 1,125, also 1,125 kWh.
    3. 1,125 · 32 = 36, also 36 ct.
    Ergebnis:
    1,125 kWh, 36 ct
  3. ★9
    Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht1,5 kW15 Minuten35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 0,25 h
    2. 1,5 · 0,25 = 0,375, also 0,375 kWh.
    3. 0,375 · 35 = 13,13, also 13,13 ct.
    Ergebnis:
    0,375 kWh, 13,13 ct

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 1 : 3 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 400 l Blumenerde?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 400 : 4 = 100, also 100 l.
  3. Kompost: 1 · 100 = 100. Sand: 3 · 100 = 300
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 400 : 4 = 100, also 100 l.
  3. Kompost: 1 · 100 = 100. Sand: 3 · 100 = 300
Ergebnis:
Kompost 100 l, Sand 300 l

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 42 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 5 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 42 : 7 = 6, also 6 €.
    3. Mira: 2 · 6 = 12. Jonas: 5 · 6 = 30
    Ergebnis:
    Mira 12 €, Jonas 30 €
  2. ●11
    Apfelschorle wird aus Saft und Wasser im Verhältnis 1 : 3 gemischt. Wie viel Saft und wie viel Wasser brauchst du für 200 ml Apfelschorle?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 200 : 4 = 50, also 50 ml.
    3. Saft: 1 · 50 = 50. Wasser: 3 · 50 = 150
    Ergebnis:
    Saft 50 ml, Wasser 150 ml
  3. ★12
    Emre und Lea haben am Flohmarktstand 240 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 3 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 240 : 8 = 30, also 30 €.
    3. Emre: 3 · 30 = 90. Lea: 5 · 30 = 150
    Ergebnis:
    Emre 90 €, Lea 150 €

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Die Wände eines Zimmers haben zusammen 36 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
gegebengesucht36 m²6 m²2,5 l?
Schritt für Schritt
  1. Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
  2. Liter: 36 : 6 = 6
  3. Eimer: 6 : 2,5 ≈ 2,4 → aufrunden auf 3
  1. Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
  2. Liter: 36 : 6 = 6
  3. Eimer: 6 : 2,5 ≈ 2,4 → aufrunden auf 3
Ergebnis:
3 Eimer

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 3 m mal 3 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht3 m15 %1,5 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 3 · 3 = 9, also 9 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 3 · 3 = 9, also 9 m².
    2. Mit Verschnitt: 9 · 1,15 = 10,35
    3. Pakete: 10,35 : 1,5 ≈ 6,9 → aufrunden auf 7
    Ergebnis:
    7 Pakete
  2. ●14
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m3 m0,9 m10 %2 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 3) − 0,9 = 15,1
    2. Mit Verschnitt: 15,1 · 1,1 = 16,61
    3. Leisten: 16,61 : 2 ≈ 8,31 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Leisten
  3. ★15
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 54 m². Sie werden zweimal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht54 m²8 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 54 · 2 = 108, also 108 m².
    2. Liter: 108 : 8 = 13,5
    3. Eimer: 13,5 : 2,5 ≈ 5,4 → aufrunden auf 6
    Ergebnis:
    6 Eimer

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 2,9 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,69 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht6,1 m2,9 m17,69 m²?
Schritt für Schritt
  1. 6,1 · 2,9 = 17,69
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,69 ≈ 17,7
  1. 6,1 · 2,9 = 17,69
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,69 ≈ 17,7
Ergebnis:
≈ 17,7 m²

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 25,01 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht6,1 m4,1 m25,01 m²?
    So fängst du an:
    6,1 · 4,1 = 25,01
    Lösung zeigen
    1. 6,1 · 4,1 = 25,01
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 25,01 ≈ 25
    Ergebnis:
    ≈ 25 m²
  2. ●17
    236 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,72. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht236 Kinder50 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 236 : 50 ≈ 4,72
    2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
    Ergebnis:
    5 Busse
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 385 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 75 km/h. Der Rechner zeigt 5,13333 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht385 km75 km/h5,13333 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 385 : 75 ≈ 5,133
    2. 0,133 h · 60 ≈ 8 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 5 h 8 min
    Ergebnis:
    ≈ 5 h 8 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
  2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
  3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
  1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
  2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
  3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
Ergebnis:
etwa 2.100.000 Liter

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht450 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    So fängst du an:
    Blätter: 6 · 450 · 5 = 13.500
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 6 · 450 · 5 = 13.500
    2. Höhe: 13.500 · 0,1 = 1350, also 1350 mm.
    3. 1350 mm = 135 cm, also etwa 1,4 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,4 m
  2. ●20
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 30 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m30 m?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 50 · 30 = 1500, also etwa 1500 m².
    2. Menschen: 1500 · 4 = 6000
    3. Gerundet: etwa 6000
    Ergebnis:
    etwa 6000 Menschen
  3. ★21
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 400 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht400 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 400 · 3 · 6 = 7200, also 7200 Liter.
    2. Im Jahr: 7200 · 190 = 1.368.000
    3. Das sind etwa 1368 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 1.400.000 Liter

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Auf dem Stundenzettel steht 4 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,50 € je Stunde.
gegebengesucht4 h30 min14,50 €?
Schritt für Schritt
  1. 30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
  2. 4 h 30 min = 4,5 h
  3. 4,5 · 14,5 = 65,25
  1. 30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
  2. 4 h 30 min = 4,5 h
  3. 4,5 · 14,5 = 65,25
Ergebnis:
4,5 h; 65,25 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Auf dem Stundenzettel steht 4 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 16,00 € je Stunde.
    gegebengesucht4 h30 min16,00 €?
    So fängst du an:
    30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
    2. 4 h 30 min = 4,5 h
    3. 4,5 · 16 = 72
    Ergebnis:
    4,5 h; 72,00 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:30 bis 16:00, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 17,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten17,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 17,5 = 140
    Ergebnis:
    140,00 €
  3. ★24
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 2 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 15,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h2 h5 h6 h15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 3 + 2 + 5 + 6 = 16
    2. Lohn: 16 · 15 = 240
    Ergebnis:
    240,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Eine Flasche Reiniger enthält 1200 cl. Gib die Angabe in l an.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1200 : 100 = 12
    Ergebnis:
    12 l
  2. ●26
    Was ist mehr: 1,5 l oder 2300 ml?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 1,5 l = 1500 ml
    2. 1500 ml < 2300 ml
    Ergebnis:
    2300 ml
  3. ●27
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht15 km/h10 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
    2. 36 km/h > 15 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  4. ●28
    Ein Bus fährt 36 km/h. Bis zum Bremsen vergehen 2 Sekunden. Wie viele Meter fährt er in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht36 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 36 km/h in m/s: 36 : 3,6 = 10
    2. In 2 s: 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20 m
  5. ●29
    Ein Laptop hat 40 W und läuft 2 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht40 W2 Stunden7 Tage35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 40 W = 0,04 kW
    2. Energie: 0,04 · 2 · 7 = 0,56, also 0,56 kWh.
    3. Kosten: 0,56 · 35 = 19,6, also 19,6 ct ≈ 0,20 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,20 €
  6. ●30
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 44.153 kWh, am Monatsende 44.333 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 35 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht44.153 kWh44.333 kWh35 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 44.333 − 44.153 = 180, also 180 kWh.
    2. Kosten: 180 · 35 = 6300, also 6300 ct = 63,00 €.
    Ergebnis:
    63,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Wie viele Wh sind 2,5 kWh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2500 Wh

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Ein Sprinter ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 km/h

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Spielkonsole hat 200 W und läuft 2 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht200 W2 Stunden7 Tage35 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 0,98 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Für 40 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 1 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Zement 10 kg, Sand 30 kg

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 42 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht42 m²8 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Von einer 6 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,7 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht6 m0,7 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Stücke

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 550 Kinder, je 5 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht550 Kinder5 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1,4 m

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 4 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 15,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h4 h5 h6 h15,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    270,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 30.000 ml
  2. 40.000 W
  3. 32,5 l
  4. 90 km/h
  5. 36 km/h
  6. 50,4 km/h
  7. ≈ 0,63 €
  8. 1,125 kWh, 36 ct
  9. 0,375 kWh, 13,13 ct
  10. Mira 12 €, Jonas 30 €
  11. Saft 50 ml, Wasser 150 ml
  12. Emre 90 €, Lea 150 €
  13. 7 Pakete
  14. 9 Leisten
  15. 6 Eimer
  16. ≈ 25 m²
  17. 5 Busse
  18. ≈ 5 h 8 min
  19. etwa 1,4 m
  20. etwa 6000 Menschen
  21. etwa 1.400.000 Liter
  22. 4,5 h; 72,00 €
  23. 140,00 €
  24. 240,00 €
  25. 12 l
  26. 2300 ml
  27. Die Läuferin ist schneller.
  28. 20 m
  29. ≈ 0,20 €
  30. 63,00 €
  31. 2500 Wh
  32. 36 km/h
  33. ≈ 0,98 €
  34. Zement 10 kg, Sand 30 kg
  35. 3 Eimer
  36. 8 Stücke
  37. etwa 1,4 m
  38. 270,00 €
  39. 1.200 ct
  40. 20 Tore