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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 4 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 4 · 100 = 400 cm
    Ergebnis:
    400 cm
  2. ●40
    3 Liter Benzin kosten 5,40 €. Was kosten 10 Liter Benzin?
    Lösung zeigen
    1. Liter Benzin€
    2. 3 Liter Benzin→5,40 €
    3. ↓ : 3↓ : 3
    4. 1 Liter Benzin→5,40 € : 3 = 1,80 €
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Liter Benzin→1,80 € · 10 = 18,00 €
    Ergebnis:
    18,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele m sind 4 mm? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 m = 1000 mm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 4 : 1000 = 0,004
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 m = 1000 mm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 4 : 1000 = 0,004
Ergebnis:
0,004 m

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Wie viele g sind 20 mg? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    So fängst du an:
    Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 20 : 1000 = 0,02
    Ergebnis:
    0,02 g
  2. ●2
    Wie viele kWh sind 8 Wh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 8 : 1000 = 0,008
    Ergebnis:
    0,008 kWh
  3. ★3
    Eine Schraube ist 0,35 km lang. Gib die Angabe in cm an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend, zenti heißt ein hundertstel: 1 km = 100.000 cm
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 0,35 · 100.000 = 35.000
    Ergebnis:
    35.000 cm

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 36 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 36 : 3,6 = 10
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 36 : 3,6 = 10
Ergebnis:
10 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht15 km/h10 m/s?
    So fängst du an:
    Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
    2. 36 km/h > 15 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  2. ●5
    Ein Sprinter ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
    3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
    Ergebnis:
    90 km/h
  3. ★6
    Rechne 60 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 60 : 3,6 ≈ 16,7
    Ergebnis:
    ≈ 16,7 m/s

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
gegebengesucht1,5 kW30 Minuten35 ct?
Schritt für Schritt
  1. 30 min = 0,5 h
  2. 1,5 · 0,5 = 0,75, also 0,75 kWh.
  3. 0,75 · 35 = 26,25, also 26,25 ct.
  1. 30 min = 0,5 h
  2. 1,5 · 0,5 = 0,75, also 0,75 kWh.
  3. 0,75 · 35 = 26,25, also 26,25 ct.
Ergebnis:
0,75 kWh, 26,25 ct

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Fernseher hat 120 W und läuft 5 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht120 W5 Stunden7 Tage32 ct?
    So fängst du an:
    120 W = 0,12 kW
    Lösung zeigen
    1. 120 W = 0,12 kW
    2. Energie: 0,12 · 5 · 7 = 4,2, also 4,2 kWh.
    3. Kosten: 4,2 · 32 = 134,4, also 134,4 ct ≈ 1,34 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,34 €
  2. ●8
    Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 45 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
    gegebengesucht2,5 kW45 Minuten30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0,75 h
    2. 2,5 · 0,75 = 1,875, also 1,875 kWh.
    3. 1,875 · 30 = 56,25, also 56,25 ct.
    Ergebnis:
    1,875 kWh, 56,25 ct
  3. ★9
    Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 90 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht2,5 kW90 Minuten32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1,5 h
    2. 2,5 · 1,5 = 3,75, also 3,75 kWh.
    3. 3,75 · 32 = 120, also 120 ct.
    Ergebnis:
    3,75 kWh, 120 ct

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Für 50 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 2 zu 3. Teile die Menge auf.
Schritt für Schritt
  1. Teile: 2 + 3 = 5
  2. Ein Teil: 50 : 5 = 10, also 10 kg.
  3. Zement: 2 · 10 = 20. Sand: 3 · 10 = 30
  1. Teile: 2 + 3 = 5
  2. Ein Teil: 50 : 5 = 10, also 10 kg.
  3. Zement: 2 · 10 = 20. Sand: 3 · 10 = 30
Ergebnis:
Zement 20 kg, Sand 30 kg

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 60 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 3 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 60 : 5 = 12, also 12 €.
    3. Mira: 2 · 12 = 24. Jonas: 3 · 12 = 36
    Ergebnis:
    Mira 24 €, Jonas 36 €
  2. ●11
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 210 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 210 : 7 = 30, also 30 €.
    3. Mira: 2 · 30 = 60. Jonas: 5 · 30 = 150
    Ergebnis:
    Mira 60 €, Jonas 150 €
  3. ★12
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 105 kg Mörtel?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 105 : 3 = 35, also 35 kg.
    3. Zement: 1 · 35 = 35. Sand: 2 · 35 = 70
    Ergebnis:
    Zement 35 kg, Sand 70 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Die Wände eines Zimmers haben zusammen 45 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
gegebengesucht45 m²6 m²5 l?
Schritt für Schritt
  1. Fläche zum Streichen: 45 · 1 = 45, also 45 m².
  2. Liter: 45 : 6 = 7,5
  3. Eimer: 7,5 : 5 ≈ 1,5 → aufrunden auf 2
  1. Fläche zum Streichen: 45 · 1 = 45, also 45 m².
  2. Liter: 45 : 6 = 7,5
  3. Eimer: 7,5 : 5 ≈ 1,5 → aufrunden auf 2
Ergebnis:
2 Eimer

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 54 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht54 m²6 m²5 l?
    So fängst du an:
    Fläche zum Streichen: 54 · 1 = 54, also 54 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 54 · 1 = 54, also 54 m².
    2. Liter: 54 : 6 = 9
    3. Eimer: 9 : 5 ≈ 1,8 → aufrunden auf 2
    Ergebnis:
    2 Eimer
  2. ●14
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 28 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht28 m²10 m²5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 28 · 1 = 28, also 28 m².
    2. Liter: 28 : 10 = 2,8
    3. Eimer: 2,8 : 5 ≈ 0,56 → aufrunden auf 1
    Ergebnis:
    1 Eimer
  3. ★15
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m3 m1 m10 %2 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 3) − 1 = 15
    2. Mit Verschnitt: 15 · 1,1 = 16,5
    3. Leisten: 16,5 : 2 ≈ 8,25 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

197 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,925. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht197 Kinder40 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 197 : 40 ≈ 4,93
  2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
  1. 197 : 40 ≈ 4,93
  2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
Ergebnis:
5 Busse

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 14,62 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,3 m3,4 m14,62 m²?
    So fängst du an:
    4,3 · 3,4 = 14,62
    Lösung zeigen
    1. 4,3 · 3,4 = 14,62
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 14,62 ≈ 14,6
    Ergebnis:
    ≈ 14,6 m²
  2. ●17
    Von einer 8 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,45 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht8 m0,45 m?
    Lösung zeigen
    1. 8 : 0,45 ≈ 17,78
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 17
    Ergebnis:
    17 Stücke
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 520 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 75 km/h. Der Rechner zeigt 6,93333 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht520 km75 km/h6,93333 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 520 : 75 ≈ 6,933
    2. 0,933 h · 60 ≈ 56 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 6 h 56 min
    Ergebnis:
    ≈ 6 h 56 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 500 m am Tag, 190 Schultage.
gegebengesucht500 m190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. 500 · 190 = 95.000, also 95.000 m.
  2. 95.000 m = 95 km
  3. Gerundet: etwa 100 km
  1. 500 · 190 = 95.000, also 95.000 m.
  2. 95.000 m = 95 km
  3. Gerundet: etwa 100 km
Ergebnis:
etwa 100 km

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 40 m lang und 30 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht40 m30 m?
    So fängst du an:
    Fläche: 40 · 30 = 1200, also etwa 1200 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 40 · 30 = 1200, also etwa 1200 m².
    2. Menschen: 1200 · 4 = 4800
    3. Gerundet: etwa 5000
    Ergebnis:
    etwa 5000 Menschen
  2. ●20
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 4 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht450 Kinder4 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 4 · 450 · 5 = 9000
    2. Höhe: 9000 · 0,1 = 900, also 900 mm.
    3. 900 mm = 90 cm, also etwa 0,9 m.
    Ergebnis:
    etwa 0,9 m
  3. ★21
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 400 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht400 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 400 · 3 · 6 = 7200, also 7200 Liter.
    2. Im Jahr: 7200 · 190 = 1.368.000
    3. Das sind etwa 1368 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 1.400.000 Liter

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:30 bis 16:00, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 15 = 120
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 15 = 120
Ergebnis:
120,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 2 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 17,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h2 h4 h17,50 €?
    So fängst du an:
    Stunden: 5 + 2 + 5 + 4 = 16
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 2 + 5 + 4 = 16
    2. Lohn: 16 · 17,5 = 280
    Ergebnis:
    280,00 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 6 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 15,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h6 h5 h15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 3 + 6 + 5 + 6 = 20
    2. Lohn: 20 · 15 = 300
    Ergebnis:
    300,00 €
  3. ★24
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 14,5 = 116
    Ergebnis:
    116,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Der Stromzähler zeigt für einen Tag 2,5 kWh. Gib die Angabe in Wh an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2,5 · 1000 = 2500
    Ergebnis:
    2500 Wh
  2. ●26
    Lea sagt: „800 ml ist mehr als 0,75 l, weil 800 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,75 l = 750 ml
    2. 750 ml < 800 ml
    Ergebnis:
    Ja, 800 ml ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Rechne 108 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 108 : 3,6 = 30
    Ergebnis:
    30 m/s
  4. ●28
    Ein E-Scooter fährt 18 km/h. Bis zum Bremsen vergeht 1 Sekunde. Wie viele Meter fährt er in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht18 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 18 km/h in m/s: 18 : 3,6 = 5
    2. In 1 s: 5 · 1 = 5
    Ergebnis:
    5 m
  5. ●29
    Ein Gerät mit 2 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
    gegebengesucht2 kW30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 0,25 h
    2. 2 · 0,25 = 0,5, also 0,5 kWh.
    3. 0,5 · 30 = 15, also 15 ct.
    Ergebnis:
    0,5 kWh, 15 ct
  6. ●30
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 12.526 kWh, am Monatsende 12.801 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 30 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht12.526 kWh12.801 kWh30 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 12.801 − 12.526 = 275, also 275 kWh.
    2. Kosten: 275 · 30 = 8250, also 8250 ct = 82,50 €.
    Ergebnis:
    82,50 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Rechne um: 0,5 cm in m.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,005 m

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 25 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht25 km/h10 m/s?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 20 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Farbe wird aus Blau und Weiß im Verhältnis 1 : 5 gemischt. Wie viel Blau und wie viel Weiß brauchst du für 300 ml Farbe?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Blau 50 ml, Weiß 250 ml

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m4 m0,8 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 Leisten

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Von einer 8 m langen Stoffbahn werden Stücke von 1,2 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht8 m1,2 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Stücke

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht450 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1,4 m

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 17,50 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h45 min17,50 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7,75 h; ≈ 135,63 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,02 g
  2. 0,008 kWh
  3. 35.000 cm
  4. Die Läuferin ist schneller.
  5. 90 km/h
  6. ≈ 16,7 m/s
  7. ≈ 1,34 €
  8. 1,875 kWh, 56,25 ct
  9. 3,75 kWh, 120 ct
  10. Mira 24 €, Jonas 36 €
  11. Mira 60 €, Jonas 150 €
  12. Zement 35 kg, Sand 70 kg
  13. 2 Eimer
  14. 1 Eimer
  15. 9 Leisten
  16. ≈ 14,6 m²
  17. 17 Stücke
  18. ≈ 6 h 56 min
  19. etwa 5000 Menschen
  20. etwa 0,9 m
  21. etwa 1.400.000 Liter
  22. 280,00 €
  23. 300,00 €
  24. 116,00 €
  25. 2500 Wh
  26. Ja, 800 ml ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. 30 m/s
  28. 5 m
  29. 0,5 kWh, 15 ct
  30. 82,50 €
  31. 0,005 m
  32. Die Läuferin ist schneller.
  33. 50 Stunden
  34. Blau 50 ml, Weiß 250 ml
  35. 9 Leisten
  36. 6 Stücke
  37. etwa 1,4 m
  38. 7,75 h; ≈ 135,63 €
  39. 400 cm
  40. 18,00 €