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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 5 cm in mm.
    Lösung zeigen
    1. 1 cm = 10 mm
    2. 5 · 10 = 50 mm
    Ergebnis:
    50 mm
  2. ●40
    Für 5 Stunden Regale einräumen bekommt Mia 50,00 €. Wie lange muss sie für 60,00 € arbeiten?
    Lösung zeigen
    1. Stunden€
    2. 5 Stunden→50,00 €
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Stunde→50,00 € : 5 = 10,00 €
    5. ↓ · 6↓ · 660,00 € : 10,00 € = 6
    6. 6 Stunden→60,00 €
    Ergebnis:
    6 Stunden

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele mg sind 20 g? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 20 · 1000 = 20.000
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 20 · 1000 = 20.000
Ergebnis:
20.000 mg

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 500 ml in l.
    So fängst du an:
    Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 500 : 1000 = 0,5
    Ergebnis:
    0,5 l
  2. ●2
    Rechne um: 4 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 4 · 100 = 400
    Ergebnis:
    400 cm
  3. ★3
    Rechne um: 750 ml in l.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 750 : 1000 = 0,75
    Ergebnis:
    0,75 l

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 12 m/s?
gegebengesucht30 km/h12 m/s?
Schritt für Schritt
  1. Die Läuferin in km/h: 12 · 3,6 = 43,2
  2. 43,2 km/h > 30 km/h
  1. Die Läuferin in km/h: 12 · 3,6 = 43,2
  2. 43,2 km/h > 30 km/h
Ergebnis:
Die Läuferin ist schneller.

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne 36 km/h in m/s um.
    So fängst du an:
    1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 36 : 3,6 = 10
    Ergebnis:
    10 m/s
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 8 m/s?
    gegebengesucht15 km/h8 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
    2. 28,8 km/h > 15 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  3. ★6
    Rechne 130 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 130 : 3,6 ≈ 36,1
    Ergebnis:
    ≈ 36,1 m/s

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 40 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
Schritt für Schritt
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 40 = 25, also 25 Stunden.
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 40 = 25, also 25 Stunden.
Ergebnis:
25 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 8 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    So fängst du an:
    1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 8 = 125, also 125 Stunden.
    Ergebnis:
    125 Stunden
  2. ●8
    Eine Lampe hat 10 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 10 = 100, also 100 Stunden.
    Ergebnis:
    100 Stunden
  3. ★9
    Ein Fernseher hat 100 W und läuft 5 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht100 W5 Stunden30 Tage32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 100 W = 0,1 kW
    2. Energie: 0,1 · 5 · 30 = 15, also 15 kWh.
    3. Kosten: 15 · 32 = 480, also 480 ct ≈ 4,80 €.
    Ergebnis:
    ≈ 4,80 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 4 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 500 kg Mörtel?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 4 = 5
  2. Ein Teil: 500 : 5 = 100, also 100 kg.
  3. Zement: 1 · 100 = 100. Sand: 4 · 100 = 400
  1. Teile: 1 + 4 = 5
  2. Ein Teil: 500 : 5 = 100, also 100 kg.
  3. Zement: 1 · 100 = 100. Sand: 4 · 100 = 400
Ergebnis:
Zement 100 kg, Sand 400 kg

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 4 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 250 kg Mörtel?
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 4 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 250 : 5 = 50, also 50 kg.
    3. Zement: 1 · 50 = 50. Sand: 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    Zement 50 kg, Sand 200 kg
  2. ●11
    Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 25 l Blumenerde?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 25 : 5 = 5, also 5 l.
    3. Kompost: 2 · 5 = 10. Sand: 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    Kompost 10 l, Sand 15 l
  3. ★12
    Für 280 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 3 zu 5. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 280 : 8 = 35, also 35 kg.
    3. Zement: 3 · 35 = 105. Sand: 5 · 35 = 175
    Ergebnis:
    Zement 105 kg, Sand 175 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 6 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
gegebengesucht6 m3,5 m0,8 m10 %2 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 0,8 = 18,2
  2. Mit Verschnitt: 18,2 · 1,1 = 20,02
  3. Leisten: 20,02 : 2 ≈ 10,01 → aufrunden auf 11
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 0,8 = 18,2
  2. Mit Verschnitt: 18,2 · 1,1 = 20,02
  3. Leisten: 20,02 : 2 ≈ 10,01 → aufrunden auf 11
Ergebnis:
11 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 54 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht54 m²6 m²2,5 l?
    So fängst du an:
    Fläche zum Streichen: 54 · 1 = 54, also 54 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 54 · 1 = 54, also 54 m².
    2. Liter: 54 : 6 = 9
    3. Eimer: 9 : 2,5 ≈ 3,6 → aufrunden auf 4
    Ergebnis:
    4 Eimer
  2. ●14
    Ein Boden von 6 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht6 m2 m10 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 6 · 2 = 12, also 12 m².
    2. Mit Verschnitt: 12 · 1,1 = 13,2
    3. Pakete: 13,2 : 1,5 ≈ 8,8 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Pakete
  3. ★15
    Eine Wand im Bad ist 3,5 m breit und 2 m hoch. Das Fenster (0,5 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 2 m² brauchst du? Ein Paket kostet 35,00 €. Was kostet das?
    gegebengesucht3,5 m2 m0,5 m²10 %2 m²?
    Lösung zeigen
    1. Wand: 3,5 · 2 = 7, ohne Fenster 6,5 m²
    2. Mit Verschnitt: 6,5 · 1,1 = 7,15
    3. Pakete: 7,15 : 2 ≈ 3,58 → aufrunden auf 4
    4. Kosten: 4 · 35,00 € = 140,00 €
    Ergebnis:
    4 Pakete, 140,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,63 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht4,3 m4,1 m17,63 m²?
Schritt für Schritt
  1. 4,3 · 4,1 = 17,63
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,63 ≈ 17,6
  1. 4,3 · 4,1 = 17,63
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,63 ≈ 17,6
Ergebnis:
≈ 17,6 m²

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    113 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,26. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht113 Kinder50 Plätze?
    So fängst du an:
    113 : 50 ≈ 2,26
    Lösung zeigen
    1. 113 : 50 ≈ 2,26
    2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
    Ergebnis:
    3 Busse
  2. ●17
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 3,8 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,58 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht3,8 m4,1 m15,58 m²?
    Lösung zeigen
    1. 3,8 · 4,1 = 15,58
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 15,58 ≈ 15,6
    Ergebnis:
    ≈ 15,6 m²
  3. ★18
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 14,62 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,3 m3,4 m14,62 m²?
    Lösung zeigen
    1. 4,3 · 3,4 = 14,62
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 14,62 ≈ 14,6
    Ergebnis:
    ≈ 14,6 m²

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 400 m am Tag, 190 Schultage.
gegebengesucht400 m190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. 400 · 190 = 76.000, also 76.000 m.
  2. 76.000 m = 76 km
  3. Gerundet: etwa 80 km
  1. 400 · 190 = 76.000, also 76.000 m.
  2. 76.000 m = 76 km
  3. Gerundet: etwa 80 km
Ergebnis:
etwa 80 km

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m25 m?
    So fängst du an:
    Fläche: 50 · 25 = 1250, also etwa 1250 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 50 · 25 = 1250, also etwa 1250 m².
    2. Menschen: 1250 · 4 = 5000
    3. Gerundet: etwa 5000
    Ergebnis:
    etwa 5000 Menschen
  2. ●20
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 550 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht550 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 6 · 550 · 5 = 16.500
    2. Höhe: 16.500 · 0,1 = 1650, also 1650 mm.
    3. 1650 mm = 165 cm, also etwa 1,7 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,7 m
  3. ★21
    Wie oft schlägt dein Herz in einem Schuljahr, während du in der Schule bist? Annahmen: 80 Schläge in der Minute, 6 Stunden am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht80 Schläge6 Stunden190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 80 · 60 = 4800
    2. Am Tag: 4800 · 6 = 28.800
    3. Im Jahr: 28.800 · 190 = 5.472.000
    4. Gerundet: etwa 5 Millionen
    Ergebnis:
    etwa 5 Millionen

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 15 = 120
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 15 = 120
Ergebnis:
120,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 4 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h4 h5 h16,00 €?
    So fängst du an:
    Stunden: 3 + 4 + 5 + 4 = 16
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 3 + 4 + 5 + 4 = 16
    2. Lohn: 16 · 16 = 256
    Ergebnis:
    256,00 €
  2. ●23
    Auf dem Stundenzettel steht 5 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 15,00 € je Stunde.
    gegebengesucht5 h45 min15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
    2. 5 h 45 min = 5,75 h
    3. 5,75 · 15 = 86,25
    Ergebnis:
    5,75 h; 86,25 €
  3. ★24
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 4 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht4 h5 h16,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 4 + 4 + 5 + 4 = 17
    2. Lohn: 17 · 16 = 272
    Ergebnis:
    272,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne um: 20 kWh in Wh.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 20 · 1000 = 20.000
    Ergebnis:
    20.000 Wh
  2. ●26
    Was ist mehr: 0,25 g oder 300 mg?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,25 g = 250 mg
    2. 250 mg < 300 mg
    Ergebnis:
    300 mg
  3. ●27
    Ein Radfahrer ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 10 · 3600 = 36.000, also 36.000 m in einer Stunde.
    3. 36.000 m = 36 km, also 36 km/h.
    Ergebnis:
    36 km/h
  4. ●28
    Jemand fährt mit 72 km/h und schaut 2 Sekunden aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht72 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20
    2. In 2 s: 20 · 2 = 40
    Ergebnis:
    40 m
  5. ●29
    Eine Lampe hat 5 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 5 = 200, also 200 Stunden.
    Ergebnis:
    200 Stunden
  6. ●30
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 18.581 kWh, am Monatsende 18.856 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 40 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht18.581 kWh18.856 kWh40 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 18.856 − 18.581 = 275, also 275 kWh.
    2. Kosten: 275 · 40 = 11.000, also 11.000 ct = 110,00 €.
    Ergebnis:
    110,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Eine Schraube ist 3 m lang. Gib die Angabe in km an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,003 km

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 8 m/s?
    gegebengesucht15 km/h8 m/s?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 10 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    100 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Für 200 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 1 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kompost 50 l, Sand 150 l

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 48 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht48 m²6 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Von einer 8 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,7 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht8 m0,7 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 Stücke

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 30 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht60 m30 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 7000 Menschen

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 2 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht4 h2 h5 h16,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    240,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,5 l
  2. 400 cm
  3. 0,75 l
  4. 10 m/s
  5. Die Läuferin ist schneller.
  6. ≈ 36,1 m/s
  7. 125 Stunden
  8. 100 Stunden
  9. ≈ 4,80 €
  10. Zement 50 kg, Sand 200 kg
  11. Kompost 10 l, Sand 15 l
  12. Zement 105 kg, Sand 175 kg
  13. 4 Eimer
  14. 9 Pakete
  15. 4 Pakete, 140,00 €
  16. 3 Busse
  17. ≈ 15,6 m²
  18. ≈ 14,6 m²
  19. etwa 5000 Menschen
  20. etwa 1,7 m
  21. etwa 5 Millionen
  22. 256,00 €
  23. 5,75 h; 86,25 €
  24. 272,00 €
  25. 20.000 Wh
  26. 300 mg
  27. 36 km/h
  28. 40 m
  29. 200 Stunden
  30. 110,00 €
  31. 0,003 km
  32. Die Läuferin ist schneller.
  33. 100 Stunden
  34. Kompost 50 l, Sand 150 l
  35. 4 Eimer
  36. 11 Stücke
  37. etwa 7000 Menschen
  38. 240,00 €
  39. 50 mm
  40. 6 Stunden