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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 9 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 9 · 1.000 = 9.000 m
    Ergebnis:
    9.000 m
  2. ●40
    Beim Training läuft Jamal 4 Runden und legt dabei 800 m zurück. Wie weit sind 10 Runden?
    Lösung zeigen
    1. Rundenm
    2. 4 Runden→800 m
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 Runde→800 m : 4 = 200 m
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Runden→200 m · 10 = 2000 m
    Ergebnis:
    2000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Die Fliesenfuge ist 40 mm breit. Gib die Angabe in m an.
Schritt für Schritt
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 m = 1000 mm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 40 : 1000 = 0,04
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 m = 1000 mm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 40 : 1000 = 0,04
Ergebnis:
0,04 m

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 8 Wh in kWh.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 8 : 1000 = 0,008
    Ergebnis:
    0,008 kWh
  2. ●2
    Eine Schraube ist 750 mm lang. Gib die Angabe in cm an.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cm = 10 mm
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 750 : 10 = 75
    Ergebnis:
    75 cm
  3. ★3
    Rechne um: 12,5 kWh in Wh.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 12,5 · 1000 = 12.500
    Ergebnis:
    12.500 Wh

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Ein Zug ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
Schritt für Schritt
  1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
  3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
  1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
  3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
Ergebnis:
90 km/h

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne 108 km/h in m/s um.
    So fängst du an:
    1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 108 : 3,6 = 30
    Ergebnis:
    30 m/s
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht30 km/h10 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
    2. 36 km/h > 30 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  3. ★6
    Ein Sprinter ist 7,5 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 7,5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 7,5 · 3600 = 27.000, also 27.000 m in einer Stunde.
    3. 27.000 m = 27 km, also 27 km/h.
    Ergebnis:
    27 km/h

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Spielkonsole hat 200 W und läuft 5 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
gegebengesucht200 W5 Stunden7 Tage30 ct?
Schritt für Schritt
  1. 200 W = 0,2 kW
  2. Energie: 0,2 · 5 · 7 = 7, also 7 kWh.
  3. Kosten: 7 · 30 = 210, also 210 ct ≈ 2,10 €.
  1. 200 W = 0,2 kW
  2. Energie: 0,2 · 5 · 7 = 7, also 7 kWh.
  3. Kosten: 7 · 30 = 210, also 210 ct ≈ 2,10 €.
Ergebnis:
≈ 2,10 €

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 25 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    So fängst du an:
    1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 25 = 40, also 40 Stunden.
    Ergebnis:
    40 Stunden
  2. ●8
    Ein Laptop hat 40 W und läuft 4 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht40 W4 Stunden30 Tage30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 40 W = 0,04 kW
    2. Energie: 0,04 · 4 · 30 = 4,8, also 4,8 kWh.
    3. Kosten: 4,8 · 30 = 144, also 144 ct ≈ 1,44 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,44 €
  3. ★9
    Eine Lampe hat 8 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 8 = 125, also 125 Stunden.
    Ergebnis:
    125 Stunden

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Farbe wird aus Blau und Weiß im Verhältnis 3 : 5 gemischt. Wie viel Blau und wie viel Weiß brauchst du für 80 ml Farbe?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 3 + 5 = 8
  2. Ein Teil: 80 : 8 = 10, also 10 ml.
  3. Blau: 3 · 10 = 30. Weiß: 5 · 10 = 50
  1. Teile: 3 + 5 = 8
  2. Ein Teil: 80 : 8 = 10, also 10 ml.
  3. Blau: 3 · 10 = 30. Weiß: 5 · 10 = 50
Ergebnis:
Blau 30 ml, Weiß 50 ml

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 600 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 1 zu 5. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 5 = 6
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 600 : 6 = 100, also 100 l.
    3. Kompost: 1 · 100 = 100. Sand: 5 · 100 = 500
    Ergebnis:
    Kompost 100 l, Sand 500 l
  2. ●11
    Für 160 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 3 zu 5. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 160 : 8 = 20, also 20 l.
    3. Kompost: 3 · 20 = 60. Sand: 5 · 20 = 100
    Ergebnis:
    Kompost 60 l, Sand 100 l
  3. ★12
    Nach Rezept wird Beton aus Zement, Sand und Kies im Verhältnis 1 : 3 : 4 gemischt. Wie viel von jedem Stoff braucht man für 200 kg Mischung?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 + 4 = 8
    2. Ein Teil: 200 : 8 = 25, also 25 kg.
    3. Zement 1 · 25 = 25, Sand 3 · 25 = 75, Kies 4 · 25 = 100
    Ergebnis:
    Zement 25 kg, Sand 75 kg, Kies 100 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Boden von 4,5 m mal 2,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
gegebengesucht4,5 m2,5 m15 %2 m²?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 4,5 · 2,5 = 11,25, also 11,25 m².
  2. Mit Verschnitt: 11,25 · 1,15 = 12,9375
  3. Pakete: 12,9375 : 2 ≈ 6,47 → aufrunden auf 7
  1. Fläche: 4,5 · 2,5 = 11,25, also 11,25 m².
  2. Mit Verschnitt: 11,25 · 1,15 = 12,9375
  3. Pakete: 12,9375 : 2 ≈ 6,47 → aufrunden auf 7
Ergebnis:
7 Pakete

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m4 m0,8 m2 m?
    So fängst du an:
    Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 4) − 0,8 = 17,2
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 4) − 0,8 = 17,2
    2. Mit Verschnitt: 17,2 · 1,1 = 18,92
    3. Leisten: 18,92 : 2 ≈ 9,46 → aufrunden auf 10
    Ergebnis:
    10 Leisten
  2. ●14
    Ein Boden von 6 m mal 2,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht6 m2,5 m5 %2 m²?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 6 · 2,5 = 15, also 15 m².
    2. Mit Verschnitt: 15 · 1,05 = 15,75
    3. Pakete: 15,75 : 2 ≈ 7,88 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Pakete
  3. ★15
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m4 m0,8 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 4) − 0,8 = 19,2
    2. Mit Verschnitt: 19,2 · 1,1 = 21,12
    3. Leisten: 21,12 : 2,5 ≈ 8,45 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

129 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,3455. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht129 Kinder55 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 129 : 55 ≈ 2,35
  2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
  1. 129 : 55 ≈ 2,35
  2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
Ergebnis:
3 Busse

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Von einer 5 m langen Stoffbahn werden Stücke von 1,2 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht5 m1,2 m?
    So fängst du an:
    5 : 1,2 ≈ 4,17
    Lösung zeigen
    1. 5 : 1,2 ≈ 4,17
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 4
    Ergebnis:
    4 Stücke
  2. ●17
    Von einer 8 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,45 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht8 m0,45 m?
    Lösung zeigen
    1. 8 : 0,45 ≈ 17,78
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 17
    Ergebnis:
    17 Stücke
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 470 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 65 km/h. Der Rechner zeigt 7,23077 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht470 km65 km/h7,23077 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 470 : 65 ≈ 7,231
    2. 0,231 h · 60 ≈ 14 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 7 h 14 min
    Ergebnis:
    ≈ 7 h 14 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 600 m am Tag, 190 Schultage.
gegebengesucht600 m190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. 600 · 190 = 114.000, also 114.000 m.
  2. 114.000 m = 114 km
  3. Gerundet: etwa 110 km
  1. 600 · 190 = 114.000, also 114.000 m.
  2. 114.000 m = 114 km
  3. Gerundet: etwa 110 km
Ergebnis:
etwa 110 km

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht650 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    So fängst du an:
    Blätter: 6 · 650 · 5 = 19.500
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 6 · 650 · 5 = 19.500
    2. Höhe: 19.500 · 0,1 = 1950, also 1950 mm.
    3. 1950 mm = 195 cm, also etwa 2 m.
    Ergebnis:
    etwa 2 m
  2. ●20
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 40 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht40 m20 m?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 40 · 20 = 800, also etwa 800 m².
    2. Menschen: 800 · 4 = 3200
    3. Gerundet: etwa 3000
    Ergebnis:
    etwa 3000 Menschen
  3. ★21
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 5 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht450 Kinder5 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 5 · 450 · 5 = 11.250
    2. Höhe: 11.250 · 0,1 = 1125, also 1125 mm.
    3. 1125 mm = 112,5 cm, also etwa 1,1 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,1 m

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 17,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten17,50 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 17,5 = 140
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 17,5 = 140
Ergebnis:
140,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Auf dem Stundenzettel steht 8 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,50 € je Stunde.
    gegebengesucht8 h30 min14,50 €?
    So fängst du an:
    30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
    2. 8 h 30 min = 8,5 h
    3. 8,5 · 14,5 = 123,25
    Ergebnis:
    8,5 h; 123,25 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 6 h, 3 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 14,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h6 h4 h14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 3 + 6 + 3 + 4 = 16
    2. Lohn: 16 · 14 = 224
    Ergebnis:
    224,00 €
  3. ★24
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,50 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h45 min14,50 €?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
    2. 7 h 45 min = 7,75 h
    3. 7,75 · 14,5 ≈ 112,38
    Ergebnis:
    7,75 h; ≈ 112,38 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Radtour zur Baustelle ist 3 m lang. Gib die Angabe in mm an.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 m = 1000 mm
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 3 · 1000 = 3000
    Ergebnis:
    3000 mm
  2. ●26
    Was ist mehr: 2,25 l oder 2300 ml?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 2,25 l = 2250 ml
    2. 2250 ml < 2300 ml
    Ergebnis:
    2300 ml
  3. ●27
    Eine Drohne ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
    3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
    Ergebnis:
    90 km/h
  4. ●28
    Eine Radfahrerin fährt 36 km/h. Bis zum Bremsen vergehen 2 Sekunden. Wie viele Meter fährt sie in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht36 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 36 km/h in m/s: 36 : 3,6 = 10
    2. In 2 s: 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20 m
  5. ●29
    Der Fernseher (100 W) läuft 3 Stunden am Tag, die Waschmaschine (1000 W) 1 Stunden am Tag. Was braucht an einem Tag mehr Energie?
    gegebengesucht100 W3 Stunden1000 W1 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Der Fernseher: 0,1 · 3 = 0,3, also 0,3 kWh.
    2. Die Waschmaschine: 1 · 1 = 1, also 1 kWh.
    Ergebnis:
    Die Waschmaschine braucht mehr.
  6. ●30
    Apfelschorle wird aus Saft und Wasser im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Wie viel Saft und wie viel Wasser brauchst du für 25 ml Apfelschorle?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 25 : 5 = 5, also 5 ml.
    3. Saft: 2 · 5 = 10. Wasser: 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    Saft 10 ml, Wasser 15 ml

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Rechne um: 1,5 kWh in Wh.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1500 Wh

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 45 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
    gegebengesucht45 km/h5 m/s?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 25 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Emre und Lea haben am Flohmarktstand 36 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Emre 6 €, Lea 30 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 48 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht48 m²6 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Von einer 10 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,9 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht10 m0,9 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 Stücke

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 400 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht400 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 80 km

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 4 h, 3 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 17,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h4 h17,50 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    245,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,008 kWh
  2. 75 cm
  3. 12.500 Wh
  4. 30 m/s
  5. Die Läuferin ist schneller.
  6. 27 km/h
  7. 40 Stunden
  8. ≈ 1,44 €
  9. 125 Stunden
  10. Kompost 100 l, Sand 500 l
  11. Kompost 60 l, Sand 100 l
  12. Zement 25 kg, Sand 75 kg, Kies 100 kg
  13. 10 Leisten
  14. 8 Pakete
  15. 9 Leisten
  16. 4 Stücke
  17. 17 Stücke
  18. ≈ 7 h 14 min
  19. etwa 2 m
  20. etwa 3000 Menschen
  21. etwa 1,1 m
  22. 8,5 h; 123,25 €
  23. 224,00 €
  24. 7,75 h; ≈ 112,38 €
  25. 3000 mm
  26. 2300 ml
  27. 90 km/h
  28. 20 m
  29. Die Waschmaschine braucht mehr.
  30. Saft 10 ml, Wasser 15 ml
  31. 1500 Wh
  32. Der Radfahrer ist schneller.
  33. 40 Stunden
  34. Emre 6 €, Lea 30 €
  35. 4 Eimer
  36. 11 Stücke
  37. etwa 80 km
  38. 245,00 €
  39. 9.000 m
  40. 2000 m