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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 4 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 4 · 1.000 = 4.000 m
    Ergebnis:
    4.000 m
  2. ●40
    In 3 Sekunden sind 45 MB eines Updates geladen. Wie viel ist nach 10 Sekunden geladen?
    Lösung zeigen
    1. SekundenMB
    2. 3 Sekunden→45 MB
    3. ↓ : 3↓ : 3
    4. 1 Sekunde→45 MB : 3 = 15 MB
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Sekunden→15 MB · 10 = 150 MB
    Ergebnis:
    150 MB

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Rechne um: 20 Wh in kWh.
Schritt für Schritt
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 20 : 1000 = 0,02
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 20 : 1000 = 0,02
Ergebnis:
0,02 kWh

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 2 Wh in kWh.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 2 : 1000 = 0,002
    Ergebnis:
    0,002 kWh
  2. ●2
    Ein Paket wiegt 1200 g. Gib die Angabe in kg an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kg = 1000 g
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1200 : 1000 = 1,2
    Ergebnis:
    1,2 kg
  3. ★3
    Wie viele cm sind 3250 mm? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cm = 10 mm
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 3250 : 10 = 325
    Ergebnis:
    325 cm

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
gegebengesucht30 km/h10 m/s?
Schritt für Schritt
  1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
  2. 36 km/h > 30 km/h
  1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
  2. 36 km/h > 30 km/h
Ergebnis:
Die Läuferin ist schneller.

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 45 km/h oder eine Läuferin mit 8 m/s?
    gegebengesucht45 km/h8 m/s?
    So fängst du an:
    Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
    2. 28,8 km/h < 45 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  2. ●5
    Rechne 108 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 108 : 3,6 = 30
    Ergebnis:
    30 m/s
  3. ★6
    Ein ICE fährt 72 km/h. Wie viele Meter legt er in einer Sekunde zurück, wie viele in einer Minute?
    Lösung zeigen
    1. 72 : 3,6 = 20, also 20 m in einer Sekunde.
    2. 20 · 60 = 1200, also 1200 m in einer Minute.
    Ergebnis:
    20 m je Sekunde, 1200 m je Minute

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 90 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
gegebengesucht1,5 kW90 Minuten35 ct?
Schritt für Schritt
  1. 90 min = 1,5 h
  2. 1,5 · 1,5 = 2,25, also 2,25 kWh.
  3. 2,25 · 35 = 78,75, also 78,75 ct.
  1. 90 min = 1,5 h
  2. 1,5 · 1,5 = 2,25, also 2,25 kWh.
  3. 2,25 · 35 = 78,75, also 78,75 ct.
Ergebnis:
2,25 kWh, 78,75 ct

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht2,5 kW15 Minuten35 ct?
    So fängst du an:
    15 min = 0,25 h
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 0,25 h
    2. 2,5 · 0,25 = 0,625, also 0,625 kWh.
    3. 0,625 · 35 = 21,88, also 21,88 ct.
    Ergebnis:
    0,625 kWh, 21,88 ct
  2. ●8
    Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht1,5 kW30 Minuten35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 0,5 h
    2. 1,5 · 0,5 = 0,75, also 0,75 kWh.
    3. 0,75 · 35 = 26,25, also 26,25 ct.
    Ergebnis:
    0,75 kWh, 26,25 ct
  3. ★9
    Ein Fernseher hat 120 W und läuft 3 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht120 W3 Stunden7 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    1. 120 W = 0,12 kW
    2. Energie: 0,12 · 3 · 7 = 2,52, also 2,52 kWh.
    3. Kosten: 2,52 · 40 = 100,8, also 100,8 ct ≈ 1,01 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,01 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 1 : 3 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 400 l Blumenerde?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 400 : 4 = 100, also 100 l.
  3. Kompost: 1 · 100 = 100. Sand: 3 · 100 = 300
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 400 : 4 = 100, also 100 l.
  3. Kompost: 1 · 100 = 100. Sand: 3 · 100 = 300
Ergebnis:
Kompost 100 l, Sand 300 l

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 80 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 3 zu 5. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 3 + 5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 80 : 8 = 10, also 10 l.
    3. Kompost: 3 · 10 = 30. Sand: 5 · 10 = 50
    Ergebnis:
    Kompost 30 l, Sand 50 l
  2. ●11
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 60 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 60 : 4 = 15, also 15 €.
    3. Mira: 1 · 15 = 15. Jonas: 3 · 15 = 45
    Ergebnis:
    Mira 15 €, Jonas 45 €
  3. ★12
    Nach Rezept wird Beton aus Zement, Sand und Kies im Verhältnis 1 : 2 : 4 gemischt. Wie viel von jedem Stoff braucht man für 70 kg Mischung?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 + 4 = 7
    2. Ein Teil: 70 : 7 = 10, also 10 kg.
    3. Zement 1 · 10 = 10, Sand 2 · 10 = 20, Kies 4 · 10 = 40
    Ergebnis:
    Zement 10 kg, Sand 20 kg, Kies 40 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 6 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
gegebengesucht6 m3,5 m0,9 m10 %2,5 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 0,9 = 18,1
  2. Mit Verschnitt: 18,1 · 1,1 = 19,91
  3. Leisten: 19,91 : 2,5 ≈ 7,96 → aufrunden auf 8
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 0,9 = 18,1
  2. Mit Verschnitt: 18,1 · 1,1 = 19,91
  3. Leisten: 19,91 : 2,5 ≈ 7,96 → aufrunden auf 8
Ergebnis:
8 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 36 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht36 m²8 m²5 l?
    So fängst du an:
    Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
    2. Liter: 36 : 8 = 4,5
    3. Eimer: 4,5 : 5 ≈ 0,9 → aufrunden auf 1
    Ergebnis:
    1 Eimer
  2. ●14
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 28 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht28 m²10 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 28 · 1 = 28, also 28 m².
    2. Liter: 28 : 10 = 2,8
    3. Eimer: 2,8 : 2,5 ≈ 1,12 → aufrunden auf 2
    Ergebnis:
    2 Eimer
  3. ★15
    Eine Wand im Bad ist 3 m breit und 2 m hoch. Das Fenster (1 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 1,5 m² brauchst du? Ein Paket kostet 35,00 €. Was kostet das?
    gegebengesucht3 m2 m1 m²10 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    1. Wand: 3 · 2 = 6, ohne Fenster 5 m²
    2. Mit Verschnitt: 5 · 1,1 = 5,5
    3. Pakete: 5,5 : 1,5 ≈ 3,67 → aufrunden auf 4
    4. Kosten: 4 · 35,00 € = 140,00 €
    Ergebnis:
    4 Pakete, 140,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,7 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,98 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht4,7 m3,4 m15,98 m²?
Schritt für Schritt
  1. 4,7 · 3,4 = 15,98
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 15,98 ≈ 16
  1. 4,7 · 3,4 = 15,98
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 15,98 ≈ 16
Ergebnis:
≈ 16 m²

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    81 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 1,4727. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht81 Kinder55 Plätze?
    So fängst du an:
    81 : 55 ≈ 1,47
    Lösung zeigen
    1. 81 : 55 ≈ 1,47
    2. Mit 1 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 2
    Ergebnis:
    2 Busse
  2. ●17
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,63 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,3 m4,1 m17,63 m²?
    Lösung zeigen
    1. 4,3 · 4,1 = 17,63
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,63 ≈ 17,6
    Ergebnis:
    ≈ 17,6 m²
  3. ★18
    202 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 5,05. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht202 Kinder40 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 202 : 40 ≈ 5,05
    2. Mit 5 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 6
    Ergebnis:
    6 Busse

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 550 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
gegebengesucht550 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
Schritt für Schritt
  1. Blätter: 6 · 550 · 5 = 16.500
  2. Höhe: 16.500 · 0,1 = 1650, also 1650 mm.
  3. 1650 mm = 165 cm, also etwa 1,7 m.
  1. Blätter: 6 · 550 · 5 = 16.500
  2. Höhe: 16.500 · 0,1 = 1650, also 1650 mm.
  3. 1650 mm = 165 cm, also etwa 1,7 m.
Ergebnis:
etwa 1,7 m

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 500 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 Kinder6 Liter190 Schultage?
    So fängst du an:
    Am Tag: 500 · 3 · 6 = 9000, also 9000 Liter.
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 500 · 3 · 6 = 9000, also 9000 Liter.
    2. Im Jahr: 9000 · 190 = 1.710.000
    3. Das sind etwa 1710 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 1.700.000 Liter
  2. ●20
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 40 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht40 m25 m?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 40 · 25 = 1000, also etwa 1000 m².
    2. Menschen: 1000 · 4 = 4000
    3. Gerundet: etwa 4000
    Ergebnis:
    etwa 4000 Menschen
  3. ★21
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 600 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. 600 · 190 = 114.000, also 114.000 m.
    2. 114.000 m = 114 km
    3. Gerundet: etwa 110 km
    Ergebnis:
    etwa 110 km

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 16,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten16,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 16 = 128
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 16 = 128
Ergebnis:
128,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 6 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 18,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht4 h6 h5 h18,00 €?
    So fängst du an:
    Stunden: 4 + 6 + 5 + 6 = 21
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 4 + 6 + 5 + 6 = 21
    2. Lohn: 21 · 18 = 378
    Ergebnis:
    378,00 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 4 h, 3 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 15,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht4 h3 h6 h15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 4 + 4 + 3 + 6 = 17
    2. Lohn: 17 · 15 = 255
    Ergebnis:
    255,00 €
  3. ★24
    Eine Schicht dauert 6 Stunden, davon 3 Stunden in der Nacht. Für Nachtstunden zahlt die Firma 25 % Zuschlag. Stundenlohn 14,50 €. Wie viel verdient man in dieser Schicht?
    gegebengesucht6 Stunden3 Stunden25 %14,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Normale Stunden: 3 · 14,5 = 43,5
    2. Nachtstunden: 3 · 14,5 · 1,25 = 54,38
    3. Zusammen: 43,5 + 54,38 = 97,88
    Ergebnis:
    97,88 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Staubsauger hat 4 W. Gib die Angabe in kW an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 4 : 1000 = 0,004
    Ergebnis:
    0,004 kW
  2. ●26
    Lea sagt: „800 W ist mehr als 0,75 kW, weil 800 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,75 kW = 750 W
    2. 750 W < 800 W
    Ergebnis:
    Ja, 800 W ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Rechne 126 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 126 : 3,6 = 35
    Ergebnis:
    35 m/s
  4. ●28
    Jemand fährt mit 18 km/h und schaut 1 Sekunde aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht18 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 18 km/h in m/s: 18 : 3,6 = 5
    2. In 1 s: 5 · 1 = 5
    Ergebnis:
    5 m
  5. ●29
    Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 45 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht1,5 kW45 Minuten32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0,75 h
    2. 1,5 · 0,75 = 1,125, also 1,125 kWh.
    3. 1,125 · 32 = 36, also 36 ct.
    Ergebnis:
    1,125 kWh, 36 ct
  6. ●30
    Der Föhn (1500 W) läuft 0,25 Stunden am Tag, der Wasserkocher (2000 W) 0,2 Stunden am Tag. Was braucht an einem Tag mehr Energie?
    gegebengesucht1500 W0,25 Stunden2000 W0,2 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Der Föhn: 1,5 · 0,25 = 0,375, also 0,375 kWh.
    2. Der Wasserkocher: 2 · 0,2 = 0,4, also 0,4 kWh.
    Ergebnis:
    Der Wasserkocher braucht mehr.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Wie viele kW sind 2 W? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,002 kW

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 8 m/s?
    gegebengesucht30 km/h8 m/s?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 40 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Für 30 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 1 zu 2. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Zement 10 kg, Sand 20 kg

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Boden von 3 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht3 m2 m5 %2 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Pakete

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    99 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 1,98. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht99 Kinder50 Plätze?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Busse

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 2.100.000 Liter

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 16,00 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h45 min16,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7,75 h; 124,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,002 kWh
  2. 1,2 kg
  3. 325 cm
  4. Der Radfahrer ist schneller.
  5. 30 m/s
  6. 20 m je Sekunde, 1200 m je Minute
  7. 0,625 kWh, 21,88 ct
  8. 0,75 kWh, 26,25 ct
  9. ≈ 1,01 €
  10. Kompost 30 l, Sand 50 l
  11. Mira 15 €, Jonas 45 €
  12. Zement 10 kg, Sand 20 kg, Kies 40 kg
  13. 1 Eimer
  14. 2 Eimer
  15. 4 Pakete, 140,00 €
  16. 2 Busse
  17. ≈ 17,6 m²
  18. 6 Busse
  19. etwa 1.700.000 Liter
  20. etwa 4000 Menschen
  21. etwa 110 km
  22. 378,00 €
  23. 255,00 €
  24. 97,88 €
  25. 0,004 kW
  26. Ja, 800 W ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. 35 m/s
  28. 5 m
  29. 1,125 kWh, 36 ct
  30. Der Wasserkocher braucht mehr.
  31. 0,002 kW
  32. Der Radfahrer ist schneller.
  33. 25 Stunden
  34. Zement 10 kg, Sand 20 kg
  35. 4 Pakete
  36. 2 Busse
  37. etwa 2.100.000 Liter
  38. 7,75 h; 124,00 €
  39. 4.000 m
  40. 150 MB