Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 6 m in dm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 10 dm
    2. 6 · 10 = 60 dm
    Ergebnis:
    60 dm
  2. ●40
    5 m Kabel kosten 6,25 €. Was kosten 8 m Kabel?
    Lösung zeigen
    1. m Kabel€
    2. 5 m Kabel→6,25 €
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 m Kabel→6,25 € : 5 = 1,25 €
    5. ↓ · 8↓ · 8
    6. 8 m Kabel→1,25 € · 8 = 10,00 €
    Ergebnis:
    10,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele mg sind 2 g? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2 · 1000 = 2000
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2 · 1000 = 2000
Ergebnis:
2000 mg

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Wie viele g sind 40 mg? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    So fängst du an:
    Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 40 : 1000 = 0,04
    Ergebnis:
    0,04 g
  2. ●2
    Ein Staubsauger hat 1200 W. Gib die Angabe in kW an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1200 : 1000 = 1,2
    Ergebnis:
    1,2 kW
  3. ★3
    Wie viele cl sind 3250 ml? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cl = 10 ml
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 3250 : 10 = 325
    Ergebnis:
    325 cl

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 90 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 90 : 3,6 = 25
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 90 : 3,6 = 25
Ergebnis:
25 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Läuferin ist 15 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 15 · 3600 = 54.000, also 54.000 m in einer Stunde.
    3. 54.000 m = 54 km, also 54 km/h.
    Ergebnis:
    54 km/h
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 45 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
    gegebengesucht45 km/h5 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
    2. 18 km/h < 45 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  3. ★6
    Ein Rennwagen ist 1,5 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 1,5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 1,5 · 3600 = 5400, also 5400 m in einer Stunde.
    3. 5400 m = 5,4 km, also 5,4 km/h.
    Ergebnis:
    5,4 km/h

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
gegebengesucht1,5 kW15 Minuten35 ct?
Schritt für Schritt
  1. 15 min = 0,25 h
  2. 1,5 · 0,25 = 0,375, also 0,375 kWh.
  3. 0,375 · 35 = 13,13, also 13,13 ct.
  1. 15 min = 0,25 h
  2. 1,5 · 0,25 = 0,375, also 0,375 kWh.
  3. 0,375 · 35 = 13,13, also 13,13 ct.
Ergebnis:
0,375 kWh, 13,13 ct

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Gerät mit 2 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
    So fängst du an:
    30 min = 0,5 h
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 0,5 h
    2. 2 · 0,5 = 1, also 1 kWh.
    3. 1 · 30 = 30, also 30 ct.
    Ergebnis:
    1 kWh, 30 ct
  2. ●8
    Ein Gerät mit 1 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
    gegebengesucht1 kW30 Minuten30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 0,5 h
    2. 1 · 0,5 = 0,5, also 0,5 kWh.
    3. 0,5 · 30 = 15, also 15 ct.
    Ergebnis:
    0,5 kWh, 15 ct
  3. ★9
    Eine alte Glühlampe mit 60 W wird durch eine LED-Lampe mit 7 W ersetzt. Sie leuchtet 2 Stunden am Tag. Wie viel spart man im Jahr bei 30 ct je kWh?
    gegebengesucht60 W7 W2 Stunden30 ct?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 60 W − 7 W = 53 W = 0,053 kW
    2. Im Jahr: 0,053 · 2 · 365 = 38,69, also 38,69 kWh.
    3. 38,69 · 30 ≈ 1161, also 1161 ct ≈ 11,61 €.
    Ergebnis:
    ≈ 11,61 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Für 60 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 1 zu 5. Teile die Menge auf.
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 60 : 6 = 10, also 10 ml.
  3. Saft: 1 · 10 = 10. Wasser: 5 · 10 = 50
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 60 : 6 = 10, also 10 ml.
  3. Saft: 1 · 10 = 10. Wasser: 5 · 10 = 50
Ergebnis:
Saft 10 ml, Wasser 50 ml

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 30 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 1 zu 2. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 2 = 3
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 30 : 3 = 10, also 10 ml.
    3. Blau: 1 · 10 = 10. Weiß: 2 · 10 = 20
    Ergebnis:
    Blau 10 ml, Weiß 20 ml
  2. ●11
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 4 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 25 kg Mörtel?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 25 : 5 = 5, also 5 kg.
    3. Zement: 1 · 5 = 5. Sand: 4 · 5 = 20
    Ergebnis:
    Zement 5 kg, Sand 20 kg
  3. ★12
    Nach Rezept wird Beton aus Zement, Sand und Kies im Verhältnis 1 : 3 : 4 gemischt. Wie viel von jedem Stoff braucht man für 80 kg Mischung?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 + 4 = 8
    2. Ein Teil: 80 : 8 = 10, also 10 kg.
    3. Zement 1 · 10 = 10, Sand 3 · 10 = 30, Kies 4 · 10 = 40
    Ergebnis:
    Zement 10 kg, Sand 30 kg, Kies 40 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Boden von 3,5 m mal 3,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
gegebengesucht3,5 m5 %2 m²?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 3,5 · 3,5 = 12,25, also 12,25 m².
  2. Mit Verschnitt: 12,25 · 1,05 = 12,8625
  3. Pakete: 12,8625 : 2 ≈ 6,43 → aufrunden auf 7
  1. Fläche: 3,5 · 3,5 = 12,25, also 12,25 m².
  2. Mit Verschnitt: 12,25 · 1,05 = 12,8625
  3. Pakete: 12,8625 : 2 ≈ 6,43 → aufrunden auf 7
Ergebnis:
7 Pakete

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 5 m mal 2,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht5 m2,5 m1 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 5 · 2,5 = 12,5, also 12,5 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 5 · 2,5 = 12,5, also 12,5 m².
    2. Mit Verschnitt: 12,5 · 1,15 = 14,375
    3. Pakete: 14,375 : 1 ≈ 14,38 → aufrunden auf 15
    Ergebnis:
    15 Pakete
  2. ●14
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 54 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht54 m²10 m²5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 54 · 1 = 54, also 54 m².
    2. Liter: 54 : 10 = 5,4
    3. Eimer: 5,4 : 5 ≈ 1,08 → aufrunden auf 2
    Ergebnis:
    2 Eimer
  3. ★15
    Eine Wand im Bad ist 2 m breit und 2 m hoch. Das Fenster (0,5 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 2 m² brauchst du? Ein Paket kostet 18,00 €. Was kostet das?
    gegebengesucht0,5 m²10 %18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Wand: 2 · 2 = 4, ohne Fenster 3,5 m²
    2. Mit Verschnitt: 3,5 · 1,1 = 3,85
    3. Pakete: 3,85 : 2 ≈ 1,93 → aufrunden auf 2
    4. Kosten: 2 · 18,00 € = 36,00 €
    Ergebnis:
    2 Pakete, 36,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 5,2 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 21,32 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht5,2 m4,1 m21,32 m²?
Schritt für Schritt
  1. 5,2 · 4,1 = 21,32
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 21,32 ≈ 21,3
  1. 5,2 · 4,1 = 21,32
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 21,32 ≈ 21,3
Ergebnis:
≈ 21,3 m²

AchtungGrundwert wie Prozentwert gerechnet

So nicht
400 sind 50 %, Ganzes → 200
So richtig
400 sind 50 %, Ganzes → 800

Schreib auf: Was sind 100 %? Was ist der Teil?

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    206 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,12. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht206 Kinder50 Plätze?
    So fängst du an:
    206 : 50 ≈ 4,12
    Lösung zeigen
    1. 206 : 50 ≈ 4,12
    2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
    Ergebnis:
    5 Busse
  2. ●17
    113 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 3,7667. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht113 Kinder30 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 113 : 30 ≈ 3,77
    2. Mit 3 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 4
    Ergebnis:
    4 Busse
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 385 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 85 km/h. Der Rechner zeigt 4,52941 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht385 km85 km/h4,52941 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 385 : 85 ≈ 4,529
    2. 0,529 h · 60 ≈ 32 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 4 h 32 min
    Ergebnis:
    ≈ 4 h 32 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
gegebengesucht650 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
Schritt für Schritt
  1. Blätter: 6 · 650 · 5 = 19.500
  2. Höhe: 19.500 · 0,1 = 1950, also 1950 mm.
  3. 1950 mm = 195 cm, also etwa 2 m.
  1. Blätter: 6 · 650 · 5 = 19.500
  2. Höhe: 19.500 · 0,1 = 1950, also 1950 mm.
  3. 1950 mm = 195 cm, also etwa 2 m.
Ergebnis:
etwa 2 m

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 500 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 Kinder6 Liter190 Schultage?
    So fängst du an:
    Am Tag: 500 · 3 · 6 = 9000, also 9000 Liter.
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 500 · 3 · 6 = 9000, also 9000 Liter.
    2. Im Jahr: 9000 · 190 = 1.710.000
    3. Das sind etwa 1710 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 1.700.000 Liter
  2. ●20
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 40 m lang und 30 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht40 m30 m?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 40 · 30 = 1200, also etwa 1200 m².
    2. Menschen: 1200 · 4 = 4800
    3. Gerundet: etwa 5000
    Ergebnis:
    etwa 5000 Menschen
  3. ★21
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 600 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. 600 · 190 = 114.000, also 114.000 m.
    2. 114.000 m = 114 km
    3. Gerundet: etwa 110 km
    Ergebnis:
    etwa 110 km

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 17,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten17,50 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 17,5 = 140
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 17,5 = 140
Ergebnis:
140,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Auf dem Stundenzettel steht 6 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 16,00 € je Stunde.
    gegebengesucht6 h15 min16,00 €?
    So fängst du an:
    15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
    2. 6 h 15 min = 6,25 h
    3. 6,25 · 16 = 100
    Ergebnis:
    6,25 h; 100,00 €
  2. ●23
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 18,00 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h15 min18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
    2. 7 h 15 min = 7,25 h
    3. 7,25 · 18 = 130,5
    Ergebnis:
    7,25 h; 130,50 €
  3. ★24
    Eine Schicht dauert 6 Stunden, davon 3 Stunden in der Nacht. Für Nachtstunden zahlt die Firma 25 % Zuschlag. Stundenlohn 18,00 €. Wie viel verdient man in dieser Schicht?
    gegebengesucht6 Stunden3 Stunden25 %18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Normale Stunden: 3 · 18 = 54
    2. Nachtstunden: 3 · 18 · 1,25 = 67,5
    3. Zusammen: 54 + 67,5 = 121,5
    Ergebnis:
    121,50 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne um: 2 kWh in Wh.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2 · 1000 = 2000
    Ergebnis:
    2000 Wh
  2. ●26
    Was ist mehr: 2,5 kg oder 1150 g?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 2,5 kg = 2500 g
    2. 2500 g > 1150 g
    Ergebnis:
    2,5 kg
  3. ●27
    Eine Drohne ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 30 · 3600 = 108.000, also 108.000 m in einer Stunde.
    3. 108.000 m = 108 km, also 108 km/h.
    Ergebnis:
    108 km/h
  4. ●28
    Jemand fährt mit 108 km/h und schaut 2 Sekunden aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht108 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 108 km/h in m/s: 108 : 3,6 = 30
    2. In 2 s: 30 · 2 = 60
    Ergebnis:
    60 m
  5. ●29
    Eine Spielkonsole hat 150 W und läuft 4 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht150 W4 Stunden7 Tage30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 150 W = 0,15 kW
    2. Energie: 0,15 · 4 · 7 = 4,2, also 4,2 kWh.
    3. Kosten: 4,2 · 30 = 126, also 126 ct ≈ 1,26 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,26 €
  6. ●30
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 46.322 kWh, am Monatsende 46.532 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 35 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht46.322 kWh46.532 kWh35 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 46.532 − 46.322 = 210, also 210 kWh.
    2. Kosten: 210 · 35 = 7350, also 7350 ct = 73,50 €.
    Ergebnis:
    73,50 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Rechne um: 750 g in kg.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,75 kg

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Rechne 144 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40 m/s

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 8 W und läuft 4 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht8 W4 Stunden30 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 0,38 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Nina und Ali haben am Flohmarktstand 210 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nina 60 €, Ali 150 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Boden von 4,5 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht4,5 m2 m1 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Pakete

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 2,9 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 12,47 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,3 m2,9 m12,47 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 12,5 m²

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 500 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 100 km

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,50 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,04 g
  2. 1,2 kW
  3. 325 cl
  4. 54 km/h
  5. Der Radfahrer ist schneller.
  6. 5,4 km/h
  7. 1 kWh, 30 ct
  8. 0,5 kWh, 15 ct
  9. ≈ 11,61 €
  10. Blau 10 ml, Weiß 20 ml
  11. Zement 5 kg, Sand 20 kg
  12. Zement 10 kg, Sand 30 kg, Kies 40 kg
  13. 15 Pakete
  14. 2 Eimer
  15. 2 Pakete, 36,00 €
  16. 5 Busse
  17. 4 Busse
  18. ≈ 4 h 32 min
  19. etwa 1.700.000 Liter
  20. etwa 5000 Menschen
  21. etwa 110 km
  22. 6,25 h; 100,00 €
  23. 7,25 h; 130,50 €
  24. 121,50 €
  25. 2000 Wh
  26. 2,5 kg
  27. 108 km/h
  28. 60 m
  29. ≈ 1,26 €
  30. 73,50 €
  31. 0,75 kg
  32. 40 m/s
  33. ≈ 0,38 €
  34. Nina 60 €, Ali 150 €
  35. 10 Pakete
  36. ≈ 12,5 m²
  37. etwa 100 km
  38. 116,00 €
  39. 60 dm
  40. 10,00 €