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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 7 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 7 · 100 = 700 cm
    Ergebnis:
    700 cm
  2. ●40
    Am Pausenkiosk kosten 5 belegte Brötchen zusammen 10,00 €. Wie viele Brötchen bekommst du für 12,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Brötchen€
    2. 5 belegte Brötchen→10,00 €
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 belegtes Brötchen→10,00 € : 5 = 2,00 €
    5. ↓ · 6↓ · 612,00 € : 2,00 € = 6
    6. 6 belegte Brötchen→12,00 €
    Ergebnis:
    6 belegte Brötchen

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Rechne um: 20 g in mg.
Schritt für Schritt
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 20 · 1000 = 20.000
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 20 · 1000 = 20.000
Ergebnis:
20.000 mg

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 40 Wh in kWh.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 40 : 1000 = 0,04
    Ergebnis:
    0,04 kWh
  2. ●2
    Das Ladegerät hat in einer Woche 500 Wh verbraucht. Gib die Angabe in kWh an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 500 : 1000 = 0,5
    Ergebnis:
    0,5 kWh
  3. ★3
    Rechne um: 0,075 kg in mg.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend, milli heißt ein tausendstel: 1 kg = 1.000.000 mg
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 0,075 · 1.000.000 = 75.000
    Ergebnis:
    75.000 mg

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
gegebengesucht30 km/h5 m/s?
Schritt für Schritt
  1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
  2. 18 km/h < 30 km/h
  1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
  2. 18 km/h < 30 km/h
Ergebnis:
Der Radfahrer ist schneller.

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Rennwagen ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
    3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
    Ergebnis:
    90 km/h
  2. ●5
    Eine Läuferin ist 15 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 15 · 3600 = 54.000, also 54.000 m in einer Stunde.
    3. 54.000 m = 54 km, also 54 km/h.
    Ergebnis:
    54 km/h
  3. ★6
    Eine Läuferin ist 12 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 12 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 12 · 3600 = 43.200, also 43.200 m in einer Stunde.
    3. 43.200 m = 43,2 km, also 43,2 km/h.
    Ergebnis:
    43,2 km/h

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 45 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
gegebengesucht2,5 kW45 Minuten32 ct?
Schritt für Schritt
  1. 45 min = 0,75 h
  2. 2,5 · 0,75 = 1,875, also 1,875 kWh.
  3. 1,875 · 32 = 60, also 60 ct.
  1. 45 min = 0,75 h
  2. 2,5 · 0,75 = 1,875, also 1,875 kWh.
  3. 1,875 · 32 = 60, also 60 ct.
Ergebnis:
1,875 kWh, 60 ct

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Laptop hat 40 W und läuft 5 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht40 W5 Stunden30 Tage30 ct?
    So fängst du an:
    40 W = 0,04 kW
    Lösung zeigen
    1. 40 W = 0,04 kW
    2. Energie: 0,04 · 5 · 30 = 6, also 6 kWh.
    3. Kosten: 6 · 30 = 180, also 180 ct ≈ 1,80 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,80 €
  2. ●8
    Ein Laptop hat 40 W und läuft 3 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht40 W3 Stunden30 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    1. 40 W = 0,04 kW
    2. Energie: 0,04 · 3 · 30 = 3,6, also 3,6 kWh.
    3. Kosten: 3,6 · 40 = 144, also 144 ct ≈ 1,44 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,44 €
  3. ★9
    Eine Lampe hat 8 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 8 = 125, also 125 Stunden.
    Ergebnis:
    125 Stunden

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Farbe wird aus Blau und Weiß im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Wie viel Blau und wie viel Weiß brauchst du für 60 ml Farbe?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 2 = 3
  2. Ein Teil: 60 : 3 = 20, also 20 ml.
  3. Blau: 1 · 20 = 20. Weiß: 2 · 20 = 40
  1. Teile: 1 + 2 = 3
  2. Ein Teil: 60 : 3 = 20, also 20 ml.
  3. Blau: 1 · 20 = 20. Weiß: 2 · 20 = 40
Ergebnis:
Blau 20 ml, Weiß 40 ml

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Farbe wird aus Blau und Weiß im Verhältnis 2 : 5 gemischt. Wie viel Blau und wie viel Weiß brauchst du für 700 ml Farbe?
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 5 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 700 : 7 = 100, also 100 ml.
    3. Blau: 2 · 100 = 200. Weiß: 5 · 100 = 500
    Ergebnis:
    Blau 200 ml, Weiß 500 ml
  2. ●11
    Apfelschorle wird aus Saft und Wasser im Verhältnis 1 : 4 gemischt. Wie viel Saft und wie viel Wasser brauchst du für 500 ml Apfelschorle?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 500 : 5 = 100, also 100 ml.
    3. Saft: 1 · 100 = 100. Wasser: 4 · 100 = 400
    Ergebnis:
    Saft 100 ml, Wasser 400 ml
  3. ★12
    Nach Rezept wird Beton aus Zement, Sand und Kies im Verhältnis 1 : 3 : 4 gemischt. Wie viel von jedem Stoff braucht man für 120 kg Mischung?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 + 4 = 8
    2. Ein Teil: 120 : 8 = 15, also 15 kg.
    3. Zement 1 · 15 = 15, Sand 3 · 15 = 45, Kies 4 · 15 = 60
    Ergebnis:
    Zement 15 kg, Sand 45 kg, Kies 60 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 5 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
gegebengesucht5 m3 m0,8 m10 %2,5 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 3) − 0,8 = 15,2
  2. Mit Verschnitt: 15,2 · 1,1 = 16,72
  3. Leisten: 16,72 : 2,5 ≈ 6,69 → aufrunden auf 7
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 3) − 0,8 = 15,2
  2. Mit Verschnitt: 15,2 · 1,1 = 16,72
  3. Leisten: 16,72 : 2,5 ≈ 6,69 → aufrunden auf 7
Ergebnis:
7 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 5 m mal 2,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht5 m2,5 m5 %1 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 5 · 2,5 = 12,5, also 12,5 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 5 · 2,5 = 12,5, also 12,5 m².
    2. Mit Verschnitt: 12,5 · 1,05 = 13,125
    3. Pakete: 13,125 : 1 ≈ 13,13 → aufrunden auf 14
    Ergebnis:
    14 Pakete
  2. ●14
    Ein Boden von 4 m mal 4 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht4 m10 %2 m²?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 4 · 4 = 16, also 16 m².
    2. Mit Verschnitt: 16 · 1,1 = 17,6
    3. Pakete: 17,6 : 2 ≈ 8,8 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Pakete
  3. ★15
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 45 m². Sie werden zweimal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht45 m²10 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 45 · 2 = 90, also 90 m².
    2. Liter: 90 : 10 = 9
    3. Eimer: 9 : 2,5 ≈ 3,6 → aufrunden auf 4
    Ergebnis:
    4 Eimer

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

202 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 6,7333. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht202 Kinder30 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 202 : 30 ≈ 6,73
  2. Mit 6 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 7
  1. 202 : 30 ≈ 6,73
  2. Mit 6 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 7
Ergebnis:
7 Busse

AchtungGrundwert wie Prozentwert gerechnet

So nicht
400 sind 50 %, Ganzes → 200
So richtig
400 sind 50 %, Ganzes → 800

Schreib auf: Was sind 100 %? Was ist der Teil?

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Von einer 5 m langen Stoffbahn werden Stücke von 1,2 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht5 m1,2 m?
    So fängst du an:
    5 : 1,2 ≈ 4,17
    Lösung zeigen
    1. 5 : 1,2 ≈ 4,17
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 4
    Ergebnis:
    4 Stücke
  2. ●17
    76 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,5333. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht76 Kinder30 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 76 : 30 ≈ 2,53
    2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
    Ergebnis:
    3 Busse
  3. ★18
    189 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 6,3. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht189 Kinder30 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 189 : 30 ≈ 6,3
    2. Mit 6 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 7
    Ergebnis:
    7 Busse

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 500 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
gegebengesucht500 Kinder6 Liter190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. Am Tag: 500 · 3 · 6 = 9000, also 9000 Liter.
  2. Im Jahr: 9000 · 190 = 1.710.000
  3. Das sind etwa 1710 m³, denn 1000 l = 1 m³.
  1. Am Tag: 500 · 3 · 6 = 9000, also 9000 Liter.
  2. Im Jahr: 9000 · 190 = 1.710.000
  3. Das sind etwa 1710 m³, denn 1000 l = 1 m³.
Ergebnis:
etwa 1.700.000 Liter

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 550 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht550 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    So fängst du an:
    Blätter: 6 · 550 · 5 = 16.500
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 6 · 550 · 5 = 16.500
    2. Höhe: 16.500 · 0,1 = 1650, also 1650 mm.
    3. 1650 mm = 165 cm, also etwa 1,7 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,7 m
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
    2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
    3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.100.000 Liter
  3. ★21
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 400 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht400 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. 400 · 190 = 76.000, also 76.000 m.
    2. 76.000 m = 76 km
    3. Gerundet: etwa 80 km
    Ergebnis:
    etwa 80 km

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Auf dem Stundenzettel steht 7 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 16,00 € je Stunde.
gegebengesucht7 h45 min16,00 €?
Schritt für Schritt
  1. 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
  2. 7 h 45 min = 7,75 h
  3. 7,75 · 16 = 124
  1. 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
  2. 7 h 45 min = 7,75 h
  3. 7,75 · 16 = 124
Ergebnis:
7,75 h; 124,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Auf dem Stundenzettel steht 8 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,00 € je Stunde.
    gegebengesucht8 h30 min14,00 €?
    So fängst du an:
    30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
    2. 8 h 30 min = 8,5 h
    3. 8,5 · 14 = 119
    Ergebnis:
    8,5 h; 119,00 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 2 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h2 h5 h4 h16,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 3 + 2 + 5 + 4 = 14
    2. Lohn: 14 · 16 = 224
    Ergebnis:
    224,00 €
  3. ★24
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 6 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 15,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht4 h6 h5 h15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 4 + 6 + 5 + 4 = 19
    2. Lohn: 19 · 15 = 285
    Ergebnis:
    285,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne um: 750 mm in m.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 m = 1000 mm
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 750 : 1000 = 0,75
    Ergebnis:
    0,75 m
  2. ●26
    Aylin sagt: „300 mg ist mehr als 0,5 g, weil 300 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,5 g = 500 mg
    2. 500 mg > 300 mg
    Ergebnis:
    Nein, 0,5 g ist mehr.
  3. ●27
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 45 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
    gegebengesucht45 km/h5 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
    2. 18 km/h < 45 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  4. ●28
    Jemand fährt mit 54 km/h und schaut 1 Sekunde aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht54 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 54 km/h in m/s: 54 : 3,6 = 15
    2. In 1 s: 15 · 1 = 15
    Ergebnis:
    15 m
  5. ●29
    Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 45 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
    gegebengesucht2,5 kW45 Minuten30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0,75 h
    2. 2,5 · 0,75 = 1,875, also 1,875 kWh.
    3. 1,875 · 30 = 56,25, also 56,25 ct.
    Ergebnis:
    1,875 kWh, 56,25 ct
  6. ●30
    Ein Gerät im Bereitschaftsbetrieb braucht dauernd 20 W, Tag und Nacht, das ganze Jahr. Wie viele Kilowattstunden sind das im Jahr, und was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht20 W35 ct?
    Lösung zeigen
    1. Stunden im Jahr: 24 · 365 = 8760
    2. 20 · 8760 = 175.200, also 175.200 Wh = 175,2 kWh.
    3. 175,2 · 35 = 6132, also 6132 ct ≈ 61,32 €.
    Ergebnis:
    175,2 kWh, etwa 61,32 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Der Kühlschrank braucht im Monat 3000 Wh. Gib die Angabe in kWh an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 kWh

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Rechne 144 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40 m/s

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 60 W und läuft 5 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht60 W5 Stunden30 Tage30 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 2,70 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Emre und Lea haben am Flohmarktstand 105 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Emre 30 €, Lea 75 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 36 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht36 m²6 m²5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Von einer 10 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,9 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht10 m0,9 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 Stücke

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 30 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m30 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 6000 Menschen

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 8:00 bis 16:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,04 kWh
  2. 0,5 kWh
  3. 75.000 mg
  4. 90 km/h
  5. 54 km/h
  6. 43,2 km/h
  7. ≈ 1,80 €
  8. ≈ 1,44 €
  9. 125 Stunden
  10. Blau 200 ml, Weiß 500 ml
  11. Saft 100 ml, Wasser 400 ml
  12. Zement 15 kg, Sand 45 kg, Kies 60 kg
  13. 14 Pakete
  14. 9 Pakete
  15. 4 Eimer
  16. 4 Stücke
  17. 3 Busse
  18. 7 Busse
  19. etwa 1,7 m
  20. etwa 2.100.000 Liter
  21. etwa 80 km
  22. 8,5 h; 119,00 €
  23. 224,00 €
  24. 285,00 €
  25. 0,75 m
  26. Nein, 0,5 g ist mehr.
  27. Der Radfahrer ist schneller.
  28. 15 m
  29. 1,875 kWh, 56,25 ct
  30. 175,2 kWh, etwa 61,32 €
  31. 3 kWh
  32. 40 m/s
  33. ≈ 2,70 €
  34. Emre 30 €, Lea 75 €
  35. 2 Eimer
  36. 11 Stücke
  37. etwa 6000 Menschen
  38. 112,00 €
  39. 700 cm
  40. 6 belegte Brötchen