Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 2 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 2 · 100 = 200 cm
    Ergebnis:
    200 cm
  2. ●40
    Für 5 Stunden Regale einräumen bekommt Mia 60,00 €. Wie lange muss sie für 72,00 € arbeiten?
    Lösung zeigen
    1. Stunden€
    2. 5 Stunden→60,00 €
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Stunde→60,00 € : 5 = 12,00 €
    5. ↓ · 6↓ · 672,00 € : 12,00 € = 6
    6. 6 Stunden→72,00 €
    Ergebnis:
    6 Stunden

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele kg sind 20 g? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Kilo heißt tausend: 1 kg = 1000 g
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 20 : 1000 = 0,02
  1. Kilo heißt tausend: 1 kg = 1000 g
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 20 : 1000 = 0,02
Ergebnis:
0,02 kg

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 40 kWh in Wh.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 40 · 1000 = 40.000
    Ergebnis:
    40.000 Wh
  2. ●2
    Wie viele W sind 0,5 kW? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 0,5 · 1000 = 500
    Ergebnis:
    500 W
  3. ★3
    Wie viele kW sind 125 W? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 125 : 1000 = 0,125
    Ergebnis:
    0,125 kW

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 8 m/s?
gegebengesucht30 km/h8 m/s?
Schritt für Schritt
  1. Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
  2. 28,8 km/h < 30 km/h
  1. Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
  2. 28,8 km/h < 30 km/h
Ergebnis:
Der Radfahrer ist schneller.

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Rennwagen ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 25 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 25 · 3600 = 90.000, also 90.000 m in einer Stunde.
    3. 90.000 m = 90 km, also 90 km/h.
    Ergebnis:
    90 km/h
  2. ●5
    Eine Läuferin ist 15 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 15 · 3600 = 54.000, also 54.000 m in einer Stunde.
    3. 54.000 m = 54 km, also 54 km/h.
    Ergebnis:
    54 km/h
  3. ★6
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 45 km/h oder eine Läuferin mit 8 m/s?
    gegebengesucht45 km/h8 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
    2. 28,8 km/h < 45 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Laptop hat 50 W und läuft 2 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
gegebengesucht50 W2 Stunden7 Tage40 ct?
Schritt für Schritt
  1. 50 W = 0,05 kW
  2. Energie: 0,05 · 2 · 7 = 0,7, also 0,7 kWh.
  3. Kosten: 0,7 · 40 = 28, also 28 ct ≈ 0,28 €.
  1. 50 W = 0,05 kW
  2. Energie: 0,05 · 2 · 7 = 0,7, also 0,7 kWh.
  3. Kosten: 0,7 · 40 = 28, also 28 ct ≈ 0,28 €.
Ergebnis:
≈ 0,28 €

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 90 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht2,5 kW90 Minuten35 ct?
    So fängst du an:
    90 min = 1,5 h
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1,5 h
    2. 2,5 · 1,5 = 3,75, also 3,75 kWh.
    3. 3,75 · 35 = 131,25, also 131,25 ct.
    Ergebnis:
    3,75 kWh, 131,25 ct
  2. ●8
    Eine Lampe hat 8 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 8 = 125, also 125 Stunden.
    Ergebnis:
    125 Stunden
  3. ★9
    Eine alte Glühlampe mit 60 W wird durch eine LED-Lampe mit 8 W ersetzt. Sie leuchtet 3 Stunden am Tag. Wie viel spart man im Jahr bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht60 W8 W3 Stunden32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 60 W − 8 W = 52 W = 0,052 kW
    2. Im Jahr: 0,052 · 3 · 365 = 56,94, also 56,94 kWh.
    3. 56,94 · 32 ≈ 1822, also 1822 ct ≈ 18,22 €.
    Ergebnis:
    ≈ 18,22 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Emre und Lea haben am Flohmarktstand 84 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 2 + 5 = 7
  2. Ein Teil: 84 : 7 = 12, also 12 €.
  3. Emre: 2 · 12 = 24. Lea: 5 · 12 = 60
  1. Teile: 2 + 5 = 7
  2. Ein Teil: 84 : 7 = 12, also 12 €.
  3. Emre: 2 · 12 = 24. Lea: 5 · 12 = 60
Ergebnis:
Emre 24 €, Lea 60 €

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 350 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 2 zu 5. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 5 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 350 : 7 = 50, also 50 ml.
    3. Saft: 2 · 50 = 100. Wasser: 5 · 50 = 250
    Ergebnis:
    Saft 100 ml, Wasser 250 ml
  2. ●11
    Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 1 : 5 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 120 l Blumenerde?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 120 : 6 = 20, also 20 l.
    3. Kompost: 1 · 20 = 20. Sand: 5 · 20 = 100
    Ergebnis:
    Kompost 20 l, Sand 100 l
  3. ★12
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 3 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 180 kg Mörtel?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 180 : 4 = 45, also 45 kg.
    3. Zement: 1 · 45 = 45. Sand: 3 · 45 = 135
    Ergebnis:
    Zement 45 kg, Sand 135 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 4 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
gegebengesucht4 m3 m0,9 m10 %2,5 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 3) − 0,9 = 13,1
  2. Mit Verschnitt: 13,1 · 1,1 = 14,41
  3. Leisten: 14,41 : 2,5 ≈ 5,76 → aufrunden auf 6
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 3) − 0,9 = 13,1
  2. Mit Verschnitt: 13,1 · 1,1 = 14,41
  3. Leisten: 14,41 : 2,5 ≈ 5,76 → aufrunden auf 6
Ergebnis:
6 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 48 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht48 m²8 m²2,5 l?
    So fängst du an:
    Fläche zum Streichen: 48 · 1 = 48, also 48 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 48 · 1 = 48, also 48 m².
    2. Liter: 48 : 8 = 6
    3. Eimer: 6 : 2,5 ≈ 2,4 → aufrunden auf 3
    Ergebnis:
    3 Eimer
  2. ●14
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 54 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht54 m²10 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 54 · 1 = 54, also 54 m².
    2. Liter: 54 : 10 = 5,4
    3. Eimer: 5,4 : 2,5 ≈ 2,16 → aufrunden auf 3
    Ergebnis:
    3 Eimer
  3. ★15
    Ein Zimmer ist 4 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht4 m3,5 m1 m10 %2 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 3,5) − 1 = 14
    2. Mit Verschnitt: 14 · 1,1 = 15,4
    3. Leisten: 15,4 : 2 ≈ 7,7 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

160 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,9091. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht160 Kinder55 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 160 : 55 ≈ 2,91
  2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
  1. 160 : 55 ≈ 2,91
  2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
Ergebnis:
3 Busse

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    99 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,475. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht99 Kinder40 Plätze?
    So fängst du an:
    99 : 40 ≈ 2,48
    Lösung zeigen
    1. 99 : 40 ≈ 2,48
    2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
    Ergebnis:
    3 Busse
  2. ●17
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,7 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,98 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,7 m3,4 m15,98 m²?
    Lösung zeigen
    1. 4,7 · 3,4 = 15,98
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 15,98 ≈ 16
    Ergebnis:
    ≈ 16 m²
  3. ★18
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 3,7 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,91 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,3 m3,7 m15,91 m²?
    Lösung zeigen
    1. 4,3 · 3,7 = 15,91
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 15,91 ≈ 15,9
    Ergebnis:
    ≈ 15,9 m²

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
gegebengesucht450 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
Schritt für Schritt
  1. Blätter: 6 · 450 · 5 = 13.500
  2. Höhe: 13.500 · 0,1 = 1350, also 1350 mm.
  3. 1350 mm = 135 cm, also etwa 1,4 m.
  1. Blätter: 6 · 450 · 5 = 13.500
  2. Höhe: 13.500 · 0,1 = 1350, also 1350 mm.
  3. 1350 mm = 135 cm, also etwa 1,4 m.
Ergebnis:
etwa 1,4 m

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht60 m25 m?
    So fängst du an:
    Fläche: 60 · 25 = 1500, also etwa 1500 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 60 · 25 = 1500, also etwa 1500 m².
    2. Menschen: 1500 · 4 = 6000
    3. Gerundet: etwa 6000
    Ergebnis:
    etwa 6000 Menschen
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 700 · 3 · 6 = 12.600, also 12.600 Liter.
    2. Im Jahr: 12.600 · 190 = 2.394.000
    3. Das sind etwa 2394 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.400.000 Liter
  3. ★21
    Wie oft schlägt dein Herz in einem Schuljahr, während du in der Schule bist? Annahmen: 75 Schläge in der Minute, 6 Stunden am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht75 Schläge6 Stunden190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 75 · 60 = 4500
    2. Am Tag: 4500 · 6 = 27.000
    3. Im Jahr: 27.000 · 190 = 5.130.000
    4. Gerundet: etwa 5 Millionen
    Ergebnis:
    etwa 5 Millionen

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 4 h, 3 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 15,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
gegebengesucht4 h3 h6 h15,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Stunden: 4 + 4 + 3 + 6 = 17
  2. Lohn: 17 · 15 = 255
  1. Stunden: 4 + 4 + 3 + 6 = 17
  2. Lohn: 17 · 15 = 255
Ergebnis:
255,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 14,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h6 h4 h14,50 €?
    So fängst du an:
    Stunden: 5 + 6 + 5 + 4 = 20
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 6 + 5 + 4 = 20
    2. Lohn: 20 · 14,5 = 290
    Ergebnis:
    290,00 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 6 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 15,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h6 h5 h15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 3 + 6 + 5 + 6 = 20
    2. Lohn: 20 · 15 = 300
    Ergebnis:
    300,00 €
  3. ★24
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:30 bis 16:00, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 16,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten16,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 16 = 128
    Ergebnis:
    128,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne um: 40 ml in cl.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cl = 10 ml
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 40 : 10 = 4
    Ergebnis:
    4 cl
  2. ●26
    Was ist mehr: 2,25 l oder 300 ml?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 2,25 l = 2250 ml
    2. 2250 ml > 300 ml
    Ergebnis:
    2,25 l
  3. ●27
    Rechne 108 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 108 : 3,6 = 30
    Ergebnis:
    30 m/s
  4. ●28
    Jemand fährt mit 72 km/h und schaut 2 Sekunden aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht72 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20
    2. In 2 s: 20 · 2 = 40
    Ergebnis:
    40 m
  5. ●29
    Eine Lampe hat 25 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 25 = 40, also 40 Stunden.
    Ergebnis:
    40 Stunden
  6. ●30
    Ein Gerät im Bereitschaftsbetrieb braucht dauernd 20 W, Tag und Nacht, das ganze Jahr. Wie viele Kilowattstunden sind das im Jahr, und was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht20 W35 ct?
    Lösung zeigen
    1. Stunden im Jahr: 24 · 365 = 8760
    2. 20 · 8760 = 175.200, also 175.200 Wh = 175,2 kWh.
    3. 175,2 · 35 = 6132, also 6132 ct ≈ 61,32 €.
    Ergebnis:
    175,2 kWh, etwa 61,32 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Rechne um: 40 kW in W.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40.000 W

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 25 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
    gegebengesucht25 km/h5 m/s?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Ein Gerät mit 2 kW läuft 90 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht2 kW90 Minuten35 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 kWh, 105 ct

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 45 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mira 18 €, Jonas 27 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m3 m1 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Leisten

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 2,9 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,69 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht6,1 m2,9 m17,69 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 17,7 m²

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m20 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 4000 Menschen

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 8 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 18,00 € je Stunde.
    gegebengesucht8 h30 min18,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8,5 h; 153,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 40.000 Wh
  2. 500 W
  3. 0,125 kW
  4. 90 km/h
  5. 54 km/h
  6. Der Radfahrer ist schneller.
  7. 3,75 kWh, 131,25 ct
  8. 125 Stunden
  9. ≈ 18,22 €
  10. Saft 100 ml, Wasser 250 ml
  11. Kompost 20 l, Sand 100 l
  12. Zement 45 kg, Sand 135 kg
  13. 3 Eimer
  14. 3 Eimer
  15. 8 Leisten
  16. 3 Busse
  17. ≈ 16 m²
  18. ≈ 15,9 m²
  19. etwa 6000 Menschen
  20. etwa 2.400.000 Liter
  21. etwa 5 Millionen
  22. 290,00 €
  23. 300,00 €
  24. 128,00 €
  25. 4 cl
  26. 2,25 l
  27. 30 m/s
  28. 40 m
  29. 40 Stunden
  30. 175,2 kWh, etwa 61,32 €
  31. 40.000 W
  32. Der Radfahrer ist schneller.
  33. 3 kWh, 105 ct
  34. Mira 18 €, Jonas 27 €
  35. 8 Leisten
  36. ≈ 17,7 m²
  37. etwa 4000 Menschen
  38. 8,5 h; 153,00 €
  39. 200 cm
  40. 6 Stunden