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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 8 cm in mm.
    Lösung zeigen
    1. 1 cm = 10 mm
    2. 8 · 10 = 80 mm
    Ergebnis:
    80 mm
  2. ●40
    5 kg Äpfel kosten 9,00 €. Was kosten 8 kg Äpfel?
    Lösung zeigen
    1. kg Äpfel€
    2. 5 kg Äpfel→9,00 €
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 kg Äpfel→9,00 € : 5 = 1,80 €
    5. ↓ · 8↓ · 8
    6. 8 kg Äpfel→1,80 € · 8 = 14,40 €
    Ergebnis:
    14,40 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele Wh sind 20 kWh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 20 · 1000 = 20.000
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 20 · 1000 = 20.000
Ergebnis:
20.000 Wh

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 5 mm in cm.
    So fängst du an:
    Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cm = 10 mm
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cm = 10 mm
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 5 : 10 = 0,5
    Ergebnis:
    0,5 cm
  2. ●2
    Wie viele m sind 4 cm? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 4 : 100 = 0,04
    Ergebnis:
    0,04 m
  3. ★3
    Rechne um: 1500 cl in ml.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel, milli heißt ein tausendstel: 1 cl = 10 ml
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 1500 · 10 = 15.000
    Ergebnis:
    15.000 ml

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 18 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 18 : 3,6 = 5
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 18 : 3,6 = 5
Ergebnis:
5 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Zug ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 10 · 3600 = 36.000, also 36.000 m in einer Stunde.
    3. 36.000 m = 36 km, also 36 km/h.
    Ergebnis:
    36 km/h
  2. ●5
    Eine Drohne ist 15 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 15 · 3600 = 54.000, also 54.000 m in einer Stunde.
    3. 54.000 m = 54 km, also 54 km/h.
    Ergebnis:
    54 km/h
  3. ★6
    Ein ICE fährt 216 km/h. Wie viele Meter legt er in einer Sekunde zurück, wie viele in einer Minute?
    Lösung zeigen
    1. 216 : 3,6 = 60, also 60 m in einer Sekunde.
    2. 60 · 60 = 3600, also 3600 m in einer Minute.
    Ergebnis:
    60 m je Sekunde, 3600 m je Minute

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Fernseher hat 120 W und läuft 3 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
gegebengesucht120 W3 Stunden7 Tage32 ct?
Schritt für Schritt
  1. 120 W = 0,12 kW
  2. Energie: 0,12 · 3 · 7 = 2,52, also 2,52 kWh.
  3. Kosten: 2,52 · 32 = 80,64, also 80,64 ct ≈ 0,81 €.
  1. 120 W = 0,12 kW
  2. Energie: 0,12 · 3 · 7 = 2,52, also 2,52 kWh.
  3. Kosten: 2,52 · 32 = 80,64, also 80,64 ct ≈ 0,81 €.
Ergebnis:
≈ 0,81 €

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 10 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    So fängst du an:
    1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 10 = 100, also 100 Stunden.
    Ergebnis:
    100 Stunden
  2. ●8
    Eine Spielkonsole hat 150 W und läuft 2 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht150 W2 Stunden7 Tage32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 150 W = 0,15 kW
    2. Energie: 0,15 · 2 · 7 = 2,1, also 2,1 kWh.
    3. Kosten: 2,1 · 32 = 67,2, also 67,2 ct ≈ 0,67 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,67 €
  3. ★9
    Ein Fernseher hat 120 W und läuft 4 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht120 W4 Stunden7 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    1. 120 W = 0,12 kW
    2. Energie: 0,12 · 4 · 7 = 3,36, also 3,36 kWh.
    3. Kosten: 3,36 · 40 = 134,4, also 134,4 ct ≈ 1,34 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,34 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Für 30 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 1 zu 5. Teile die Menge auf.
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 30 : 6 = 5, also 5 l.
  3. Kompost: 1 · 5 = 5. Sand: 5 · 5 = 25
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 30 : 6 = 5, also 5 l.
  3. Kompost: 1 · 5 = 5. Sand: 5 · 5 = 25
Ergebnis:
Kompost 5 l, Sand 25 l

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 45 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 4. Wie viel bekommt jeder?
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 4 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 45 : 5 = 9, also 9 €.
    3. Mira: 1 · 9 = 9. Jonas: 4 · 9 = 36
    Ergebnis:
    Mira 9 €, Jonas 36 €
  2. ●11
    Für 120 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 1 zu 5. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 120 : 6 = 20, also 20 ml.
    3. Saft: 1 · 20 = 20. Wasser: 5 · 20 = 100
    Ergebnis:
    Saft 20 ml, Wasser 100 ml
  3. ★12
    Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 3 : 5 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 360 l Blumenerde?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 360 : 8 = 45, also 45 l.
    3. Kompost: 3 · 45 = 135. Sand: 5 · 45 = 225
    Ergebnis:
    Kompost 135 l, Sand 225 l

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 6 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
gegebengesucht6 m3 m0,9 m2 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3) − 0,9 = 17,1
  2. Mit Verschnitt: 17,1 · 1,1 = 18,81
  3. Leisten: 18,81 : 2 ≈ 9,4 → aufrunden auf 10
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3) − 0,9 = 17,1
  2. Mit Verschnitt: 17,1 · 1,1 = 18,81
  3. Leisten: 18,81 : 2 ≈ 9,4 → aufrunden auf 10
Ergebnis:
10 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Zimmer ist 4 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht4 m3 m0,8 m10 %2 m?
    So fängst du an:
    Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 3) − 0,8 = 13,2
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 3) − 0,8 = 13,2
    2. Mit Verschnitt: 13,2 · 1,1 = 14,52
    3. Leisten: 14,52 : 2 ≈ 7,26 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Leisten
  2. ●14
    Ein Zimmer ist 4 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht4 m3 m1 m10 %2 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 3) − 1 = 13
    2. Mit Verschnitt: 13 · 1,1 = 14,3
    3. Leisten: 14,3 : 2 ≈ 7,15 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Leisten
  3. ★15
    Eine Wand im Bad ist 2 m breit und 2,4 m hoch. Das Fenster (0,5 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 2 m² brauchst du? Ein Paket kostet 35,00 €. Was kostet das?
    gegebengesucht2 m2,4 m0,5 m²10 %2 m²?
    Lösung zeigen
    1. Wand: 2 · 2,4 = 4,8, ohne Fenster 4,3 m²
    2. Mit Verschnitt: 4,3 · 1,1 = 4,73
    3. Pakete: 4,73 : 2 ≈ 2,37 → aufrunden auf 3
    4. Kosten: 3 · 35,00 € = 105,00 €
    Ergebnis:
    3 Pakete, 105,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

106 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 3,5333. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht106 Kinder30 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 106 : 30 ≈ 3,53
  2. Mit 3 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 4
  1. 106 : 30 ≈ 3,53
  2. Mit 3 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 4
Ergebnis:
4 Busse

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 3,8 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 12,92 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht3,8 m3,4 m12,92 m²?
    So fängst du an:
    3,8 · 3,4 = 12,92
    Lösung zeigen
    1. 3,8 · 3,4 = 12,92
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 12,92 ≈ 12,9
    Ergebnis:
    ≈ 12,9 m²
  2. ●17
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 3,8 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,58 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht3,8 m4,1 m15,58 m²?
    Lösung zeigen
    1. 3,8 · 4,1 = 15,58
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 15,58 ≈ 15,6
    Ergebnis:
    ≈ 15,6 m²
  3. ★18
    202 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 6,7333. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht202 Kinder30 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 202 : 30 ≈ 6,73
    2. Mit 6 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 7
    Ergebnis:
    7 Busse

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 300 m am Tag, 190 Schultage.
gegebengesucht300 m190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. 300 · 190 = 57.000, also 57.000 m.
  2. 57.000 m = 57 km
  3. Gerundet: etwa 60 km
  1. 300 · 190 = 57.000, also 57.000 m.
  2. 57.000 m = 57 km
  3. Gerundet: etwa 60 km
Ergebnis:
etwa 60 km

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
    So fängst du an:
    Am Tag: 700 · 3 · 6 = 12.600, also 12.600 Liter.
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 700 · 3 · 6 = 12.600, also 12.600 Liter.
    2. Im Jahr: 12.600 · 190 = 2.394.000
    3. Das sind etwa 2394 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.400.000 Liter
  2. ●20
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht60 m20 m?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 60 · 20 = 1200, also etwa 1200 m².
    2. Menschen: 1200 · 4 = 4800
    3. Gerundet: etwa 5000
    Ergebnis:
    etwa 5000 Menschen
  3. ★21
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 4 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht450 Kinder4 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 4 · 450 · 5 = 9000
    2. Höhe: 9000 · 0,1 = 900, also 900 mm.
    3. 900 mm = 90 cm, also etwa 0,9 m.
    Ergebnis:
    etwa 0,9 m

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 4 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 14,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
gegebengesucht4 h5 h6 h14,50 €?
Schritt für Schritt
  1. Stunden: 4 + 4 + 5 + 6 = 19
  2. Lohn: 19 · 14,5 = 275,5
  1. Stunden: 4 + 4 + 5 + 6 = 19
  2. Lohn: 19 · 14,5 = 275,5
Ergebnis:
275,50 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Auf dem Stundenzettel steht 8 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,00 € je Stunde.
    gegebengesucht8 h30 min14,00 €?
    So fängst du an:
    30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
    2. 8 h 30 min = 8,5 h
    3. 8,5 · 14 = 119
    Ergebnis:
    8,5 h; 119,00 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:30 bis 16:00, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 17,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten17,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 17,5 = 140
    Ergebnis:
    140,00 €
  3. ★24
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 17,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten17,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 17,5 = 140
    Ergebnis:
    140,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Wie viele g sind 4 mg? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 4 : 1000 = 0,004
    Ergebnis:
    0,004 g
  2. ●26
    Ben sagt: „398 cm ist mehr als 2,8 m, weil 398 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 2,8 m = 280 cm
    2. 280 cm < 398 cm
    Ergebnis:
    Ja, 398 cm ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Ein Sprinter ist 15 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 15 · 3600 = 54.000, also 54.000 m in einer Stunde.
    3. 54.000 m = 54 km, also 54 km/h.
    Ergebnis:
    54 km/h
  4. ●28
    Ein Motorrad fährt 54 km/h. Bis zum Bremsen vergehen 2 Sekunden. Wie viele Meter fährt es in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht54 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 54 km/h in m/s: 54 : 3,6 = 15
    2. In 2 s: 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30 m
  5. ●29
    Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 90 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 40 ct je kWh?
    gegebengesucht1,5 kW40 ct?
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1,5 h
    2. 1,5 · 1,5 = 2,25, also 2,25 kWh.
    3. 2,25 · 40 = 90, also 90 ct.
    Ergebnis:
    2,25 kWh, 90 ct
  6. ●30
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 39.758 kWh, am Monatsende 39.968 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 32 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht39.758 kWh39.968 kWh32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 39.968 − 39.758 = 210, also 210 kWh.
    2. Kosten: 210 · 32 = 6720, also 6720 ct = 67,20 €.
    Ergebnis:
    67,20 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Der Eimer fasst 4 ml Farbe. Gib die Angabe in l an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,004 l

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Ein Zug ist 25 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90 km/h

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Ein Laptop hat 60 W und läuft 4 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht60 W4 Stunden7 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 0,67 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Für 120 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 1 zu 5. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Zement 20 kg, Sand 100 kg

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 42 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht42 m²6 m²5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    75 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 1,875. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht75 Kinder40 Plätze?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Busse

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 400 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht400 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1.400.000 Liter

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:30 bis 16:00, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,5 cm
  2. 0,04 m
  3. 15.000 ml
  4. 36 km/h
  5. 54 km/h
  6. 60 m je Sekunde, 3600 m je Minute
  7. 100 Stunden
  8. ≈ 0,67 €
  9. ≈ 1,34 €
  10. Mira 9 €, Jonas 36 €
  11. Saft 20 ml, Wasser 100 ml
  12. Kompost 135 l, Sand 225 l
  13. 8 Leisten
  14. 8 Leisten
  15. 3 Pakete, 105,00 €
  16. ≈ 12,9 m²
  17. ≈ 15,6 m²
  18. 7 Busse
  19. etwa 2.400.000 Liter
  20. etwa 5000 Menschen
  21. etwa 0,9 m
  22. 8,5 h; 119,00 €
  23. 140,00 €
  24. 140,00 €
  25. 0,004 g
  26. Ja, 398 cm ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. 54 km/h
  28. 30 m
  29. 2,25 kWh, 90 ct
  30. 67,20 €
  31. 0,004 l
  32. 90 km/h
  33. ≈ 0,67 €
  34. Zement 20 kg, Sand 100 kg
  35. 2 Eimer
  36. 2 Busse
  37. etwa 1.400.000 Liter
  38. 112,00 €
  39. 80 mm
  40. 14,40 €