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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 15 cm in mm.
    Lösung zeigen
    1. 1 cm = 10 mm
    2. 15 · 10 = 150 mm
    Ergebnis:
    150 mm
  2. ●40
    Für 5 Portionen Pfannkuchen braucht man 300 g Mehl. Für wie viele Portionen reichen 600 g Mehl?
    Lösung zeigen
    1. Portioneng Mehl
    2. 5 Portionen→300 g Mehl
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Portion→300 g Mehl : 5 = 60 g Mehl
    5. ↓ · 10↓ · 10600 g Mehl : 60 g Mehl = 10
    6. 10 Portionen→600 g Mehl
    Ergebnis:
    10 Portionen

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele kW sind 500 W? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 500 : 1000 = 0,5
  1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 500 : 1000 = 0,5
Ergebnis:
0,5 kW

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Im Messbecher sind 2 cl Wasser. Gib die Angabe in l an.
    So fängst du an:
    Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 2 : 100 = 0,02
    Ergebnis:
    0,02 l
  2. ●2
    Rechne um: 250 l in cl.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 250 · 100 = 25.000
    Ergebnis:
    25.000 cl
  3. ★3
    Die Bohrmaschine hat 1500 W. Gib die Angabe in kW an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 1500 : 1000 = 1,5
    Ergebnis:
    1,5 kW

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 144 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 144 : 3,6 = 40
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 144 : 3,6 = 40
Ergebnis:
40 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Rennwagen ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 30 · 3600 = 108.000, also 108.000 m in einer Stunde.
    3. 108.000 m = 108 km, also 108 km/h.
    Ergebnis:
    108 km/h
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 7 m/s?
    gegebengesucht30 km/h7 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 7 · 3,6 = 25,2
    2. 25,2 km/h < 30 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  3. ★6
    Eine Drohne ist 14 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 14 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 14 · 3600 = 50.400, also 50.400 m in einer Stunde.
    3. 50.400 m = 50,4 km, also 50,4 km/h.
    Ergebnis:
    50,4 km/h

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 90 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
gegebengesucht2,5 kW90 Minuten30 ct?
Schritt für Schritt
  1. 90 min = 1,5 h
  2. 2,5 · 1,5 = 3,75, also 3,75 kWh.
  3. 3,75 · 30 = 112,5, also 112,5 ct.
  1. 90 min = 1,5 h
  2. 2,5 · 1,5 = 3,75, also 3,75 kWh.
  3. 3,75 · 30 = 112,5, also 112,5 ct.
Ergebnis:
3,75 kWh, 112,5 ct

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 5 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    So fängst du an:
    1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 5 = 200, also 200 Stunden.
    Ergebnis:
    200 Stunden
  2. ●8
    Eine Lampe hat 20 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 20 = 50, also 50 Stunden.
    Ergebnis:
    50 Stunden
  3. ★9
    Ein Gerät mit 2 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 40 ct je kWh?
    gegebengesucht2 kW15 Minuten40 ct?
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 0,25 h
    2. 2 · 0,25 = 0,5, also 0,5 kWh.
    3. 0,5 · 40 = 20, also 20 ct.
    Ergebnis:
    0,5 kWh, 20 ct

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Emre und Lea haben am Flohmarktstand 54 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 5. Wie viel bekommt jeder?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 54 : 6 = 9, also 9 €.
  3. Emre: 1 · 9 = 9. Lea: 5 · 9 = 45
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 54 : 6 = 9, also 9 €.
  3. Emre: 1 · 9 = 9. Lea: 5 · 9 = 45
Ergebnis:
Emre 9 €, Lea 45 €

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 63 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 5 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 63 : 7 = 9, also 9 €.
    3. Mira: 2 · 9 = 18. Jonas: 5 · 9 = 45
    Ergebnis:
    Mira 18 €, Jonas 45 €
  2. ●11
    Für 70 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 2 zu 5. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 70 : 7 = 10, also 10 l.
    3. Kompost: 2 · 10 = 20. Sand: 5 · 10 = 50
    Ergebnis:
    Kompost 20 l, Sand 50 l
  3. ★12
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 5 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 105 kg Mörtel?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 105 : 7 = 15, also 15 kg.
    3. Zement: 2 · 15 = 30. Sand: 5 · 15 = 75
    Ergebnis:
    Zement 30 kg, Sand 75 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 5 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
gegebengesucht5 m4 m1 m2 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 4) − 1 = 17
  2. Mit Verschnitt: 17 · 1,1 = 18,7
  3. Leisten: 18,7 : 2 ≈ 9,35 → aufrunden auf 10
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 4) − 1 = 17
  2. Mit Verschnitt: 17 · 1,1 = 18,7
  3. Leisten: 18,7 : 2 ≈ 9,35 → aufrunden auf 10
Ergebnis:
10 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 48 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht48 m²8 m²2,5 l?
    So fängst du an:
    Fläche zum Streichen: 48 · 1 = 48, also 48 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 48 · 1 = 48, also 48 m².
    2. Liter: 48 : 8 = 6
    3. Eimer: 6 : 2,5 ≈ 2,4 → aufrunden auf 3
    Ergebnis:
    3 Eimer
  2. ●14
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m3,5 m0,9 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 0,9 = 18,1
    2. Mit Verschnitt: 18,1 · 1,1 = 19,91
    3. Leisten: 19,91 : 2,5 ≈ 7,96 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Leisten
  3. ★15
    Eine Wand im Bad ist 2 m breit und 2,5 m hoch. Das Fenster (1 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 1,5 m² brauchst du? Ein Paket kostet 24,00 €. Was kostet das?
    gegebengesucht2 m2,5 m1 m²10 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    1. Wand: 2 · 2,5 = 5, ohne Fenster 4 m²
    2. Mit Verschnitt: 4 · 1,1 = 4,4
    3. Pakete: 4,4 : 1,5 ≈ 2,93 → aufrunden auf 3
    4. Kosten: 3 · 24,00 € = 72,00 €
    Ergebnis:
    3 Pakete, 72,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,63 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht4,3 m4,1 m17,63 m²?
Schritt für Schritt
  1. 4,3 · 4,1 = 17,63
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,63 ≈ 17,6
  1. 4,3 · 4,1 = 17,63
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,63 ≈ 17,6
Ergebnis:
≈ 17,6 m²

AchtungGrundwert wie Prozentwert gerechnet

So nicht
400 sind 50 %, Ganzes → 200
So richtig
400 sind 50 %, Ganzes → 800

Schreib auf: Was sind 100 %? Was ist der Teil?

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    233 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,2364. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht233 Kinder55 Plätze?
    So fängst du an:
    233 : 55 ≈ 4,24
    Lösung zeigen
    1. 233 : 55 ≈ 4,24
    2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
    Ergebnis:
    5 Busse
  2. ●17
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 14,62 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,3 m3,4 m14,62 m²?
    Lösung zeigen
    1. 4,3 · 3,4 = 14,62
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 14,62 ≈ 14,6
    Ergebnis:
    ≈ 14,6 m²
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 610 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 65 km/h. Der Rechner zeigt 9,38462 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht610 km65 km/h9,38462 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 610 : 65 ≈ 9,385
    2. 0,385 h · 60 ≈ 23 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 9 h 23 min
    Ergebnis:
    ≈ 9 h 23 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 550 Kinder, je 5 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
gegebengesucht550 Kinder5 Blatt5 Tage0,1 mm?
Schritt für Schritt
  1. Blätter: 5 · 550 · 5 = 13.750
  2. Höhe: 13.750 · 0,1 = 1375, also 1375 mm.
  3. 1375 mm = 137,5 cm, also etwa 1,4 m.
  1. Blätter: 5 · 550 · 5 = 13.750
  2. Höhe: 13.750 · 0,1 = 1375, also 1375 mm.
  3. 1375 mm = 137,5 cm, also etwa 1,4 m.
Ergebnis:
etwa 1,4 m

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht650 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    So fängst du an:
    Blätter: 6 · 650 · 5 = 19.500
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 6 · 650 · 5 = 19.500
    2. Höhe: 19.500 · 0,1 = 1950, also 1950 mm.
    3. 1950 mm = 195 cm, also etwa 2 m.
    Ergebnis:
    etwa 2 m
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 400 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht400 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 400 · 3 · 6 = 7200, also 7200 Liter.
    2. Im Jahr: 7200 · 190 = 1.368.000
    3. Das sind etwa 1368 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 1.400.000 Liter
  3. ★21
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 4 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht650 Kinder4 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 4 · 650 · 5 = 13.000
    2. Höhe: 13.000 · 0,1 = 1300, also 1300 mm.
    3. 1300 mm = 130 cm, also etwa 1,3 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,3 m

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 4 h, 3 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 18,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
gegebengesucht4 h3 h18,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Stunden: 4 + 4 + 3 + 4 = 15
  2. Lohn: 15 · 18 = 270
  1. Stunden: 4 + 4 + 3 + 4 = 15
  2. Lohn: 15 · 18 = 270
Ergebnis:
270,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 2 h, 3 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 14,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h2 h3 h4 h14,50 €?
    So fängst du an:
    Stunden: 5 + 2 + 3 + 4 = 14
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 2 + 3 + 4 = 14
    2. Lohn: 14 · 14,5 = 203
    Ergebnis:
    203,00 €
  2. ●23
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 45 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 17,50 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h45 min17,50 €?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h
    2. 7 h 45 min = 7,75 h
    3. 7,75 · 17,5 ≈ 135,63
    Ergebnis:
    7,75 h; ≈ 135,63 €
  3. ★24
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 2 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h2 h4 h16,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 2 + 5 + 4 = 16
    2. Lohn: 16 · 16 = 256
    Ergebnis:
    256,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Wie viele cl sind 1,5 l? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 1,5 · 100 = 150
    Ergebnis:
    150 cl
  2. ●26
    Was ist mehr: 0,6 m oder 65 cm?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,6 m = 60 cm
    2. 60 cm < 65 cm
    Ergebnis:
    65 cm
  3. ●27
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 8 m/s?
    gegebengesucht15 km/h8 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
    2. 28,8 km/h > 15 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  4. ●28
    Jemand fährt mit 36 km/h und schaut 1 Sekunde aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht36 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 36 km/h in m/s: 36 : 3,6 = 10
    2. In 1 s: 10 · 1 = 10
    Ergebnis:
    10 m
  5. ●29
    Eine Lampe hat 40 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 40 = 25, also 25 Stunden.
    Ergebnis:
    25 Stunden
  6. ●30
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 17.965 kWh, am Monatsende 18.205 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 32 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht17.965 kWh18.205 kWh32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 18.205 − 17.965 = 240, also 240 kWh.
    2. Kosten: 240 · 32 = 7680, also 7680 ct = 76,80 €.
    Ergebnis:
    76,80 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Wie viele kWh sind 500 Wh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,5 kWh

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Ein Rennwagen ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 km/h

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Ein Laptop hat 50 W und läuft 3 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht50 W3 Stunden7 Tage35 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 0,37 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Für 160 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 3 zu 5. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Saft 60 ml, Wasser 100 ml

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 32 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht32 m²8 m²2,5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    114 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,0727. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht114 Kinder55 Plätze?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Busse

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 550 Kinder, je 5 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht550 Kinder5 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1,4 m

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 6 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 14,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h6 h5 h4 h14,50 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    261,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,02 l
  2. 25.000 cl
  3. 1,5 kW
  4. 108 km/h
  5. Der Radfahrer ist schneller.
  6. 50,4 km/h
  7. 200 Stunden
  8. 50 Stunden
  9. 0,5 kWh, 20 ct
  10. Mira 18 €, Jonas 45 €
  11. Kompost 20 l, Sand 50 l
  12. Zement 30 kg, Sand 75 kg
  13. 3 Eimer
  14. 8 Leisten
  15. 3 Pakete, 72,00 €
  16. 5 Busse
  17. ≈ 14,6 m²
  18. ≈ 9 h 23 min
  19. etwa 2 m
  20. etwa 1.400.000 Liter
  21. etwa 1,3 m
  22. 203,00 €
  23. 7,75 h; ≈ 135,63 €
  24. 256,00 €
  25. 150 cl
  26. 65 cm
  27. Die Läuferin ist schneller.
  28. 10 m
  29. 25 Stunden
  30. 76,80 €
  31. 0,5 kWh
  32. 36 km/h
  33. ≈ 0,37 €
  34. Saft 60 ml, Wasser 100 ml
  35. 2 Eimer
  36. 3 Busse
  37. etwa 1,4 m
  38. 261,00 €
  39. 150 mm
  40. 10 Portionen