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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 15 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 15 · 1.000 = 15.000 m
    Ergebnis:
    15.000 m
  2. ●40
    In 4 Sekunden sind 100 MB eines Updates geladen. Wie lange dauern 200 MB?
    Lösung zeigen
    1. SekundenMB
    2. 4 Sekunden→100 MB
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 Sekunde→100 MB : 4 = 25 MB
    5. ↓ · 8↓ · 8200 MB : 25 MB = 8
    6. 8 Sekunden→200 MB
    Ergebnis:
    8 Sekunden

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele kWh sind 20 Wh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 20 : 1000 = 0,02
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 20 : 1000 = 0,02
Ergebnis:
0,02 kWh

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 6 kW in W.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 6 · 1000 = 6000
    Ergebnis:
    6000 W
  2. ●2
    Rechne um: 3 m in km.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 km = 1000 m
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 3 : 1000 = 0,003
    Ergebnis:
    0,003 km
  3. ★3
    Rechne um: 3250 mg in g.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 3250 : 1000 = 3,25
    Ergebnis:
    3,25 g

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 20 km/h oder eine Läuferin mit 12 m/s?
gegebengesucht20 km/h12 m/s?
Schritt für Schritt
  1. Die Läuferin in km/h: 12 · 3,6 = 43,2
  2. 43,2 km/h > 20 km/h
  1. Die Läuferin in km/h: 12 · 3,6 = 43,2
  2. 43,2 km/h > 20 km/h
Ergebnis:
Die Läuferin ist schneller.

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 20 km/h oder eine Läuferin mit 6 m/s?
    gegebengesucht20 km/h6 m/s?
    So fängst du an:
    Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
    2. 21,6 km/h > 20 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
    gegebengesucht30 km/h5 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
    2. 18 km/h < 30 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  3. ★6
    Ein ICE fährt 216 km/h. Wie viele Meter legt er in einer Sekunde zurück, wie viele in einer Minute?
    Lösung zeigen
    1. 216 : 3,6 = 60, also 60 m in einer Sekunde.
    2. 60 · 60 = 3600, also 3600 m in einer Minute.
    Ergebnis:
    60 m je Sekunde, 3600 m je Minute

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 20 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
Schritt für Schritt
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 20 = 50, also 50 Stunden.
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 20 = 50, also 50 Stunden.
Ergebnis:
50 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 60 W und läuft 3 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht60 W3 Stunden30 Tage30 ct?
    So fängst du an:
    60 W = 0,06 kW
    Lösung zeigen
    1. 60 W = 0,06 kW
    2. Energie: 0,06 · 3 · 30 = 5,4, also 5,4 kWh.
    3. Kosten: 5,4 · 30 = 162, also 162 ct ≈ 1,62 €.
    Ergebnis:
    ≈ 1,62 €
  2. ●8
    Eine Lampe hat 50 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.
    Ergebnis:
    20 Stunden
  3. ★9
    Eine alte Glühlampe mit 60 W wird durch eine LED-Lampe mit 7 W ersetzt. Sie leuchtet 4 Stunden am Tag. Wie viel spart man im Jahr bei 40 ct je kWh?
    gegebengesucht60 W7 W4 Stunden40 ct?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 60 W − 7 W = 53 W = 0,053 kW
    2. Im Jahr: 0,053 · 4 · 365 = 77,38, also 77,38 kWh.
    3. 77,38 · 40 ≈ 3095, also 3095 ct ≈ 30,95 €.
    Ergebnis:
    ≈ 30,95 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Emre und Lea haben am Flohmarktstand 90 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 5. Wie viel bekommt jeder?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 90 : 6 = 15, also 15 €.
  3. Emre: 1 · 15 = 15. Lea: 5 · 15 = 75
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 90 : 6 = 15, also 15 €.
  3. Emre: 1 · 15 = 15. Lea: 5 · 15 = 75
Ergebnis:
Emre 15 €, Lea 75 €

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 25 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 1 zu 4. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 4 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 25 : 5 = 5, also 5 kg.
    3. Zement: 1 · 5 = 5. Sand: 4 · 5 = 20
    Ergebnis:
    Zement 5 kg, Sand 20 kg
  2. ●11
    Für 400 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 1 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 400 : 4 = 100, also 100 ml.
    3. Blau: 1 · 100 = 100. Weiß: 3 · 100 = 300
    Ergebnis:
    Blau 100 ml, Weiß 300 ml
  3. ★12
    Nach Rezept wird Beton aus Zement, Sand und Kies im Verhältnis 1 : 2 : 3 gemischt. Wie viel von jedem Stoff braucht man für 90 kg Mischung?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 + 3 = 6
    2. Ein Teil: 90 : 6 = 15, also 15 kg.
    3. Zement 1 · 15 = 15, Sand 2 · 15 = 30, Kies 3 · 15 = 45
    Ergebnis:
    Zement 15 kg, Sand 30 kg, Kies 45 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Die Wände eines Zimmers haben zusammen 54 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
gegebengesucht54 m²6 m²5 l?
Schritt für Schritt
  1. Fläche zum Streichen: 54 · 1 = 54, also 54 m².
  2. Liter: 54 : 6 = 9
  3. Eimer: 9 : 5 ≈ 1,8 → aufrunden auf 2
  1. Fläche zum Streichen: 54 · 1 = 54, also 54 m².
  2. Liter: 54 : 6 = 9
  3. Eimer: 9 : 5 ≈ 1,8 → aufrunden auf 2
Ergebnis:
2 Eimer

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m3,5 m0,9 m10 %2 m?
    So fängst du an:
    Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 3,5) − 0,9 = 16,1
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 3,5) − 0,9 = 16,1
    2. Mit Verschnitt: 16,1 · 1,1 = 17,71
    3. Leisten: 17,71 : 2 ≈ 8,86 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Leisten
  2. ●14
    Ein Boden von 3 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht3 m2 m15 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 3 · 2 = 6, also 6 m².
    2. Mit Verschnitt: 6 · 1,15 = 6,9
    3. Pakete: 6,9 : 1,5 ≈ 4,6 → aufrunden auf 5
    Ergebnis:
    5 Pakete
  3. ★15
    Eine Wand im Bad ist 2,5 m breit und 2,4 m hoch. Das Fenster (0,5 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 1,5 m² brauchst du? Ein Paket kostet 18,00 €. Was kostet das?
    gegebengesucht2,5 m2,4 m0,5 m²10 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    1. Wand: 2,5 · 2,4 = 6, ohne Fenster 5,5 m²
    2. Mit Verschnitt: 5,5 · 1,1 = 6,05
    3. Pakete: 6,05 : 1,5 ≈ 4,03 → aufrunden auf 5
    4. Kosten: 5 · 18,00 € = 90,00 €
    Ergebnis:
    5 Pakete, 90,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 20,74 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht6,1 m3,4 m20,74 m²?
Schritt für Schritt
  1. 6,1 · 3,4 = 20,74
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 20,74 ≈ 20,7
  1. 6,1 · 3,4 = 20,74
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 20,74 ≈ 20,7
Ergebnis:
≈ 20,7 m²

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Von einer 5 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,8 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht5 m0,8 m?
    So fängst du an:
    5 : 0,8 ≈ 6,25
    Lösung zeigen
    1. 5 : 0,8 ≈ 6,25
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 6
    Ergebnis:
    6 Stücke
  2. ●17
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 3,8 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,58 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht3,8 m4,1 m15,58 m²?
    Lösung zeigen
    1. 3,8 · 4,1 = 15,58
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 15,58 ≈ 15,6
    Ergebnis:
    ≈ 15,6 m²
  3. ★18
    120 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,1818. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht120 Kinder55 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 120 : 55 ≈ 2,18
    2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
    Ergebnis:
    3 Busse

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 400 m am Tag, 190 Schultage.
gegebengesucht400 m190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. 400 · 190 = 76.000, also 76.000 m.
  2. 76.000 m = 76 km
  3. Gerundet: etwa 80 km
  1. 400 · 190 = 76.000, also 76.000 m.
  2. 76.000 m = 76 km
  3. Gerundet: etwa 80 km
Ergebnis:
etwa 80 km

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
    So fängst du an:
    Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
    2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
    3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.100.000 Liter
  2. ●20
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht60 m25 m?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 60 · 25 = 1500, also etwa 1500 m².
    2. Menschen: 1500 · 4 = 6000
    3. Gerundet: etwa 6000
    Ergebnis:
    etwa 6000 Menschen
  3. ★21
    Wie oft schlägt dein Herz in einem Schuljahr, während du in der Schule bist? Annahmen: 70 Schläge in der Minute, 6 Stunden am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht70 Schläge6 Stunden190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 70 · 60 = 4200
    2. Am Tag: 4200 · 6 = 25.200
    3. Im Jahr: 25.200 · 190 = 4.788.000
    4. Gerundet: etwa 5 Millionen
    Ergebnis:
    etwa 5 Millionen

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 4 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 14,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
gegebengesucht4 h5 h6 h14,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Stunden: 4 + 4 + 5 + 6 = 19
  2. Lohn: 19 · 14 = 266
  1. Stunden: 4 + 4 + 5 + 6 = 19
  2. Lohn: 19 · 14 = 266
Ergebnis:
266,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 16,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten16,00 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 16 = 128
    Ergebnis:
    128,00 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 8:00 bis 16:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 15 = 120
    Ergebnis:
    120,00 €
  3. ★24
    Auf dem Stundenzettel steht 4 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 18,00 € je Stunde.
    gegebengesucht4 h30 min18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
    2. 4 h 30 min = 4,5 h
    3. 4,5 · 18 = 81
    Ergebnis:
    4,5 h; 81,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Der Eimer fasst 5 l Farbe. Gib die Angabe in ml an.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 l = 1000 ml
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 5 · 1000 = 5000
    Ergebnis:
    5000 ml
  2. ●26
    Zeynep sagt: „2600 m ist mehr als 1,2 km, weil 2600 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 1,2 km = 1200 m
    2. 1200 m < 2600 m
    Ergebnis:
    Ja, 2600 m ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Rechne 54 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 54 : 3,6 = 15
    Ergebnis:
    15 m/s
  4. ●28
    Jemand fährt mit 18 km/h und schaut 1 Sekunde aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht18 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 18 km/h in m/s: 18 : 3,6 = 5
    2. In 1 s: 5 · 1 = 5
    Ergebnis:
    5 m
  5. ●29
    Eine Lampe hat 60 W und läuft 4 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht60 W4 Stunden7 Tage32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 60 W = 0,06 kW
    2. Energie: 0,06 · 4 · 7 = 1,68, also 1,68 kWh.
    3. Kosten: 1,68 · 32 = 53,76, also 53,76 ct ≈ 0,54 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,54 €
  6. ●30
    Der Fernseher (100 W) läuft 3 Stunden am Tag, die Lampe (10 W) 5 Stunden am Tag. Was braucht an einem Tag mehr Energie?
    gegebengesucht100 W3 Stunden10 W5 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Der Fernseher: 0,1 · 3 = 0,3, also 0,3 kWh.
    2. Die Lampe: 0,01 · 5 = 0,05, also 0,05 kWh.
    Ergebnis:
    Der Fernseher braucht mehr.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Die Bohrmaschine hat 3 kW. Gib die Angabe in W an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3000 W

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Rechne 144 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40 m/s

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Ein Laptop hat 60 W und läuft 3 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht60 W3 Stunden7 Tage32 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 0,40 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 5 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 600 kg Mörtel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Zement 100 kg, Sand 500 kg

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 42 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht42 m²8 m²5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 5,2 m lang, 3,7 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 19,24 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht5,2 m3,7 m19,24 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 19,2 m²

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht60 m20 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 5000 Menschen

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 17,50 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h15 min17,50 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7,25 h; ≈ 126,88 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 6000 W
  2. 0,003 km
  3. 3,25 g
  4. Die Läuferin ist schneller.
  5. Der Radfahrer ist schneller.
  6. 60 m je Sekunde, 3600 m je Minute
  7. ≈ 1,62 €
  8. 20 Stunden
  9. ≈ 30,95 €
  10. Zement 5 kg, Sand 20 kg
  11. Blau 100 ml, Weiß 300 ml
  12. Zement 15 kg, Sand 30 kg, Kies 45 kg
  13. 9 Leisten
  14. 5 Pakete
  15. 5 Pakete, 90,00 €
  16. 6 Stücke
  17. ≈ 15,6 m²
  18. 3 Busse
  19. etwa 2.100.000 Liter
  20. etwa 6000 Menschen
  21. etwa 5 Millionen
  22. 128,00 €
  23. 120,00 €
  24. 4,5 h; 81,00 €
  25. 5000 ml
  26. Ja, 2600 m ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. 15 m/s
  28. 5 m
  29. ≈ 0,54 €
  30. Der Fernseher braucht mehr.
  31. 3000 W
  32. 40 m/s
  33. ≈ 0,40 €
  34. Zement 100 kg, Sand 500 kg
  35. 2 Eimer
  36. ≈ 19,2 m²
  37. etwa 5000 Menschen
  38. 7,25 h; ≈ 126,88 €
  39. 15.000 m
  40. 8 Sekunden