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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 7 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 7 · 100 = 700 cm
    Ergebnis:
    700 cm
  2. ●40
    Beim Training läuft Jamal 2 Runden und legt dabei 400 m zurück. Wie weit sind 8 Runden?
    Lösung zeigen
    1. Rundenm
    2. 2 Runden→400 m
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Runde→400 m : 2 = 200 m
    5. ↓ · 8↓ · 8
    6. 8 Runden→200 m · 8 = 1600 m
    Ergebnis:
    1600 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele kWh sind 750 Wh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 750 : 1000 = 0,75
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 750 : 1000 = 0,75
Ergebnis:
0,75 kWh

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 750 l in cl.
    So fängst du an:
    Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 750 · 100 = 75.000
    Ergebnis:
    75.000 cl
  2. ●2
    Rechne um: 1200 cl in ml.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel, milli heißt ein tausendstel: 1 cl = 10 ml
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 1200 · 10 = 12.000
    Ergebnis:
    12.000 ml
  3. ★3
    Rechne um: 0,6 kW in W.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 0,6 · 1000 = 600
    Ergebnis:
    600 W

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 7 m/s?
gegebengesucht15 km/h7 m/s?
Schritt für Schritt
  1. Die Läuferin in km/h: 7 · 3,6 = 25,2
  2. 25,2 km/h > 15 km/h
  1. Die Läuferin in km/h: 7 · 3,6 = 25,2
  2. 25,2 km/h > 15 km/h
Ergebnis:
Die Läuferin ist schneller.

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Radfahrer ist 15 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 15 · 3600 = 54.000, also 54.000 m in einer Stunde.
    3. 54.000 m = 54 km, also 54 km/h.
    Ergebnis:
    54 km/h
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 45 km/h oder eine Läuferin mit 5 m/s?
    gegebengesucht45 km/h5 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 5 · 3,6 = 18
    2. 18 km/h < 45 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  3. ★6
    Ein ICE fährt 72 km/h. Wie viele Meter legt er in einer Sekunde zurück, wie viele in einer Minute?
    Lösung zeigen
    1. 72 : 3,6 = 20, also 20 m in einer Sekunde.
    2. 20 · 60 = 1200, also 1200 m in einer Minute.
    Ergebnis:
    20 m je Sekunde, 1200 m je Minute

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Gerät mit 2 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
gegebengesucht2 kW15 Minuten32 ct?
Schritt für Schritt
  1. 15 min = 0,25 h
  2. 2 · 0,25 = 0,5, also 0,5 kWh.
  3. 0,5 · 32 = 16, also 16 ct.
  1. 15 min = 0,25 h
  2. 2 · 0,25 = 0,5, also 0,5 kWh.
  3. 0,5 · 32 = 16, also 16 ct.
Ergebnis:
0,5 kWh, 16 ct

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 10 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    So fängst du an:
    1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 10 = 100, also 100 Stunden.
    Ergebnis:
    100 Stunden
  2. ●8
    Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht2,5 kW30 Minuten32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 0,5 h
    2. 2,5 · 0,5 = 1,25, also 1,25 kWh.
    3. 1,25 · 32 = 40, also 40 ct.
    Ergebnis:
    1,25 kWh, 40 ct
  3. ★9
    Eine Lampe hat 50 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.
    Ergebnis:
    20 Stunden

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Nina und Ali haben am Flohmarktstand 150 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 4. Wie viel bekommt jeder?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 4 = 5
  2. Ein Teil: 150 : 5 = 30, also 30 €.
  3. Nina: 1 · 30 = 30. Ali: 4 · 30 = 120
  1. Teile: 1 + 4 = 5
  2. Ein Teil: 150 : 5 = 30, also 30 €.
  3. Nina: 1 · 30 = 30. Ali: 4 · 30 = 120
Ergebnis:
Nina 30 €, Ali 120 €

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 20 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 1 zu 3. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 3 = 4
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 20 : 4 = 5, also 5 ml.
    3. Blau: 1 · 5 = 5. Weiß: 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    Blau 5 ml, Weiß 15 ml
  2. ●11
    Nina und Ali haben am Flohmarktstand 36 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 36 : 4 = 9, also 9 €.
    3. Nina: 1 · 9 = 9. Ali: 3 · 9 = 27
    Ergebnis:
    Nina 9 €, Ali 27 €
  3. ★12
    Für 225 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 1 zu 4. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 225 : 5 = 45, also 45 l.
    3. Kompost: 1 · 45 = 45. Sand: 4 · 45 = 180
    Ergebnis:
    Kompost 45 l, Sand 180 l

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Die Wände eines Zimmers haben zusammen 42 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
gegebengesucht42 m²10 m²5 l?
Schritt für Schritt
  1. Fläche zum Streichen: 42 · 1 = 42, also 42 m².
  2. Liter: 42 : 10 = 4,2
  3. Eimer: 4,2 : 5 ≈ 0,84 → aufrunden auf 1
  1. Fläche zum Streichen: 42 · 1 = 42, also 42 m².
  2. Liter: 42 : 10 = 4,2
  3. Eimer: 4,2 : 5 ≈ 0,84 → aufrunden auf 1
Ergebnis:
1 Eimer

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 4 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht4 m2 m10 %1,5 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 4 · 2 = 8, also 8 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 4 · 2 = 8, also 8 m².
    2. Mit Verschnitt: 8 · 1,1 = 8,8
    3. Pakete: 8,8 : 1,5 ≈ 5,87 → aufrunden auf 6
    Ergebnis:
    6 Pakete
  2. ●14
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 45 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht45 m²10 m²5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 45 · 1 = 45, also 45 m².
    2. Liter: 45 : 10 = 4,5
    3. Eimer: 4,5 : 5 ≈ 0,9 → aufrunden auf 1
    Ergebnis:
    1 Eimer
  3. ★15
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m4 m1 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 4) − 1 = 19
    2. Mit Verschnitt: 19 · 1,1 = 20,9
    3. Leisten: 20,9 : 2,5 ≈ 8,36 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

206 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,12. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht206 Kinder50 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 206 : 50 ≈ 4,12
  2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
  1. 206 : 50 ≈ 4,12
  2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
Ergebnis:
5 Busse

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    93 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 1,6909. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht93 Kinder55 Plätze?
    So fängst du an:
    93 : 55 ≈ 1,69
    Lösung zeigen
    1. 93 : 55 ≈ 1,69
    2. Mit 1 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 2
    Ergebnis:
    2 Busse
  2. ●17
    203 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 6,7667. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht203 Kinder30 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 203 : 30 ≈ 6,77
    2. Mit 6 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 7
    Ergebnis:
    7 Busse
  3. ★18
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 5,2 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 21,32 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht5,2 m4,1 m21,32 m²?
    Lösung zeigen
    1. 5,2 · 4,1 = 21,32
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 21,32 ≈ 21,3
    Ergebnis:
    ≈ 21,3 m²

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
  2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
  3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
  1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
  2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
  3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
Ergebnis:
etwa 2.100.000 Liter

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m20 m?
    So fängst du an:
    Fläche: 50 · 20 = 1000, also etwa 1000 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 50 · 20 = 1000, also etwa 1000 m².
    2. Menschen: 1000 · 4 = 4000
    3. Gerundet: etwa 4000
    Ergebnis:
    etwa 4000 Menschen
  2. ●20
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 600 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. 600 · 190 = 114.000, also 114.000 m.
    2. 114.000 m = 114 km
    3. Gerundet: etwa 110 km
    Ergebnis:
    etwa 110 km
  3. ★21
    Wie oft schlägt dein Herz in einem Schuljahr, während du in der Schule bist? Annahmen: 80 Schläge in der Minute, 7 Stunden am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht80 Schläge7 Stunden190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 80 · 60 = 4800
    2. Am Tag: 4800 · 7 = 33.600
    3. Im Jahr: 33.600 · 190 = 6.384.000
    4. Gerundet: etwa 6 Millionen
    Ergebnis:
    etwa 6 Millionen

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 15 = 120
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 15 = 120
Ergebnis:
120,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:30 bis 16:00, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,00 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 14 = 112
    Ergebnis:
    112,00 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 8:00 bis 16:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 18,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 18 = 144
    Ergebnis:
    144,00 €
  3. ★24
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 15 = 120
    Ergebnis:
    120,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Fliesenfuge ist 4 mm breit. Gib die Angabe in m an.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 m = 1000 mm
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 4 : 1000 = 0,004
    Ergebnis:
    0,004 m
  2. ●26
    Was ist mehr: 1,8 kW oder 2100 W?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 1,8 kW = 1800 W
    2. 1800 W < 2100 W
    Ergebnis:
    2100 W
  3. ●27
    Ein Zug ist 5 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 5 · 3600 = 18.000, also 18.000 m in einer Stunde.
    3. 18.000 m = 18 km, also 18 km/h.
    Ergebnis:
    18 km/h
  4. ●28
    Ein Motorrad fährt 108 km/h. Bis zum Bremsen vergeht 1 Sekunde. Wie viele Meter fährt es in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht108 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 108 km/h in m/s: 108 : 3,6 = 30
    2. In 1 s: 30 · 1 = 30
    Ergebnis:
    30 m
  5. ●29
    Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 45 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht1,5 kW45 Minuten35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0,75 h
    2. 1,5 · 0,75 = 1,125, also 1,125 kWh.
    3. 1,125 · 35 = 39,38, also 39,38 ct.
    Ergebnis:
    1,125 kWh, 39,38 ct
  6. ●30
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 24.862 kWh, am Monatsende 25.012 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 35 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht24.862 kWh25.012 kWh35 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 25.012 − 24.862 = 150, also 150 kWh.
    2. Kosten: 150 · 35 = 5250, also 5250 ct = 52,50 €.
    Ergebnis:
    52,50 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Wie viele cm sind 250 mm? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 cm

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 12 m/s?
    gegebengesucht15 km/h12 m/s?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 5 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 240 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 3 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mira 90 €, Jonas 150 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m3 m1 m2 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Leisten

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Von einer 5 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,9 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Stücke

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 500 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1.700.000 Liter

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 2 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 18,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h2 h5 h6 h18,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    288,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 75.000 cl
  2. 12.000 ml
  3. 600 W
  4. 54 km/h
  5. Der Radfahrer ist schneller.
  6. 20 m je Sekunde, 1200 m je Minute
  7. 100 Stunden
  8. 1,25 kWh, 40 ct
  9. 20 Stunden
  10. Blau 5 ml, Weiß 15 ml
  11. Nina 9 €, Ali 27 €
  12. Kompost 45 l, Sand 180 l
  13. 6 Pakete
  14. 1 Eimer
  15. 9 Leisten
  16. 2 Busse
  17. 7 Busse
  18. ≈ 21,3 m²
  19. etwa 4000 Menschen
  20. etwa 110 km
  21. etwa 6 Millionen
  22. 112,00 €
  23. 144,00 €
  24. 120,00 €
  25. 0,004 m
  26. 2100 W
  27. 18 km/h
  28. 30 m
  29. 1,125 kWh, 39,38 ct
  30. 52,50 €
  31. 25 cm
  32. Die Läuferin ist schneller.
  33. 200 Stunden
  34. Mira 90 €, Jonas 150 €
  35. 10 Leisten
  36. 5 Stücke
  37. etwa 1.700.000 Liter
  38. 288,00 €
  39. 700 cm
  40. 1600 m