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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 7 cm in mm.
    Lösung zeigen
    1. 1 cm = 10 mm
    2. 7 · 10 = 70 mm
    Ergebnis:
    70 mm
  2. ●40
    Ein Zug fährt in 5 Stunden gleichmäßig 400 km. Wie lange braucht er für 640 km?
    Lösung zeigen
    1. Stundenkm
    2. 5 Stunden→400 km
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Stunde→400 km : 5 = 80 km
    5. ↓ · 8↓ · 8640 km : 80 km = 8
    6. 8 Stunden→640 km
    Ergebnis:
    8 Stunden

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Rechne um: 0,5 m in mm.
Schritt für Schritt
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 m = 1000 mm
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 0,5 · 1000 = 500
  1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 m = 1000 mm
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 0,5 · 1000 = 500
Ergebnis:
500 mm

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Bohrmaschine hat 20 kW. Gib die Angabe in W an.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 20 · 1000 = 20.000
    Ergebnis:
    20.000 W
  2. ●2
    Rechne um: 40 kW in W.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 40 · 1000 = 40.000
    Ergebnis:
    40.000 W
  3. ★3
    Wie viele Wh sind 80 kWh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 80 · 1000 = 80.000
    Ergebnis:
    80.000 Wh

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 54 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 54 : 3,6 = 15
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 54 : 3,6 = 15
Ergebnis:
15 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Radfahrer ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 30 · 3600 = 108.000, also 108.000 m in einer Stunde.
    3. 108.000 m = 108 km, also 108 km/h.
    Ergebnis:
    108 km/h
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht15 km/h10 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
    2. 36 km/h > 15 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  3. ★6
    Ein Zug ist 8 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 8 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 8 · 3600 = 28.800, also 28.800 m in einer Stunde.
    3. 28.800 m = 28,8 km, also 28,8 km/h.
    Ergebnis:
    28,8 km/h

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 40 ct je kWh?
gegebengesucht1,5 kW40 ct?
Schritt für Schritt
  1. 15 min = 0,25 h
  2. 1,5 · 0,25 = 0,375, also 0,375 kWh.
  3. 0,375 · 40 = 15, also 15 ct.
  1. 15 min = 0,25 h
  2. 1,5 · 0,25 = 0,375, also 0,375 kWh.
  3. 0,375 · 40 = 15, also 15 ct.
Ergebnis:
0,375 kWh, 15 ct

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 8 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    So fängst du an:
    1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 8 = 125, also 125 Stunden.
    Ergebnis:
    125 Stunden
  2. ●8
    Ein Gerät mit 2 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
    gegebengesucht2 kW30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 0,25 h
    2. 2 · 0,25 = 0,5, also 0,5 kWh.
    3. 0,5 · 30 = 15, also 15 ct.
    Ergebnis:
    0,5 kWh, 15 ct
  3. ★9
    Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 15 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht2,5 kW15 Minuten32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 15 min = 0,25 h
    2. 2,5 · 0,25 = 0,625, also 0,625 kWh.
    3. 0,625 · 32 = 20, also 20 ct.
    Ergebnis:
    0,625 kWh, 20 ct

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Für 700 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 2 zu 5. Teile die Menge auf.
Schritt für Schritt
  1. Teile: 2 + 5 = 7
  2. Ein Teil: 700 : 7 = 100, also 100 l.
  3. Kompost: 2 · 100 = 200. Sand: 5 · 100 = 500
  1. Teile: 2 + 5 = 7
  2. Ein Teil: 700 : 7 = 100, also 100 l.
  3. Kompost: 2 · 100 = 200. Sand: 5 · 100 = 500
Ergebnis:
Kompost 200 l, Sand 500 l

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Farbe wird aus Blau und Weiß im Verhältnis 1 : 3 gemischt. Wie viel Blau und wie viel Weiß brauchst du für 40 ml Farbe?
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 3 = 4
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 40 : 4 = 10, also 10 ml.
    3. Blau: 1 · 10 = 10. Weiß: 3 · 10 = 30
    Ergebnis:
    Blau 10 ml, Weiß 30 ml
  2. ●11
    Für 160 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 3 zu 5. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 160 : 8 = 20, also 20 kg.
    3. Zement: 3 · 20 = 60. Sand: 5 · 20 = 100
    Ergebnis:
    Zement 60 kg, Sand 100 kg
  3. ★12
    Nach Rezept wird Beton aus Zement, Sand und Kies im Verhältnis 1 : 2 : 3 gemischt. Wie viel von jedem Stoff braucht man für 180 kg Mischung?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 + 3 = 6
    2. Ein Teil: 180 : 6 = 30, also 30 kg.
    3. Zement 1 · 30 = 30, Sand 2 · 30 = 60, Kies 3 · 30 = 90
    Ergebnis:
    Zement 30 kg, Sand 60 kg, Kies 90 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 5 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
gegebengesucht5 m4 m0,9 m2 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 4) − 0,9 = 17,1
  2. Mit Verschnitt: 17,1 · 1,1 = 18,81
  3. Leisten: 18,81 : 2 ≈ 9,4 → aufrunden auf 10
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 4) − 0,9 = 17,1
  2. Mit Verschnitt: 17,1 · 1,1 = 18,81
  3. Leisten: 18,81 : 2 ≈ 9,4 → aufrunden auf 10
Ergebnis:
10 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m3 m0,9 m10 %2,5 m?
    So fängst du an:
    Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3) − 0,9 = 17,1
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3) − 0,9 = 17,1
    2. Mit Verschnitt: 17,1 · 1,1 = 18,81
    3. Leisten: 18,81 : 2,5 ≈ 7,52 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Leisten
  2. ●14
    Ein Zimmer ist 4 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht4 m3 m1 m10 %2 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (4 + 3) − 1 = 13
    2. Mit Verschnitt: 13 · 1,1 = 14,3
    3. Leisten: 14,3 : 2 ≈ 7,15 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Leisten
  3. ★15
    Eine Wand im Bad ist 2,5 m breit und 2 m hoch. Das Fenster (0,75 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 1,5 m² brauchst du? Ein Paket kostet 29,00 €. Was kostet das?
    gegebengesucht2,5 m2 m0,75 m²10 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    1. Wand: 2,5 · 2 = 5, ohne Fenster 4,25 m²
    2. Mit Verschnitt: 4,25 · 1,1 = 4,675
    3. Pakete: 4,675 : 1,5 ≈ 3,12 → aufrunden auf 4
    4. Kosten: 4 · 29,00 € = 116,00 €
    Ergebnis:
    4 Pakete, 116,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Von einer 5 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,9 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
Schritt für Schritt
  1. 5 : 0,9 ≈ 5,56
  2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 5
  1. 5 : 0,9 ≈ 5,56
  2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 5
Ergebnis:
5 Stücke

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Von einer 10 m langen Stoffbahn werden Stücke von 1,2 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht10 m1,2 m?
    So fängst du an:
    10 : 1,2 ≈ 8,33
    Lösung zeigen
    1. 10 : 1,2 ≈ 8,33
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 8
    Ergebnis:
    8 Stücke
  2. ●17
    110 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,75. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht110 Kinder40 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 110 : 40 ≈ 2,75
    2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
    Ergebnis:
    3 Busse
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 470 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 85 km/h. Der Rechner zeigt 5,52941 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht470 km85 km/h5,52941 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 470 : 85 ≈ 5,529
    2. 0,529 h · 60 ≈ 32 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 5 h 32 min
    Ergebnis:
    ≈ 5 h 32 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 20 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
gegebengesucht60 m20 m?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 60 · 20 = 1200, also etwa 1200 m².
  2. Menschen: 1200 · 4 = 4800
  3. Gerundet: etwa 5000
  1. Fläche: 60 · 20 = 1200, also etwa 1200 m².
  2. Menschen: 1200 · 4 = 4800
  3. Gerundet: etwa 5000
Ergebnis:
etwa 5000 Menschen

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 500 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht500 m190 Schultage?
    So fängst du an:
    500 · 190 = 95.000, also 95.000 m.
    Lösung zeigen
    1. 500 · 190 = 95.000, also 95.000 m.
    2. 95.000 m = 95 km
    3. Gerundet: etwa 100 km
    Ergebnis:
    etwa 100 km
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 600 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 600 · 3 · 6 = 10.800, also 10.800 Liter.
    2. Im Jahr: 10.800 · 190 = 2.052.000
    3. Das sind etwa 2052 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.100.000 Liter
  3. ★21
    Wie oft schlägt dein Herz in einem Schuljahr, während du in der Schule bist? Annahmen: 80 Schläge in der Minute, 7 Stunden am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht80 Schläge7 Stunden190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. In einer Stunde: 80 · 60 = 4800
    2. Am Tag: 4800 · 7 = 33.600
    3. Im Jahr: 33.600 · 190 = 6.384.000
    4. Gerundet: etwa 6 Millionen
    Ergebnis:
    etwa 6 Millionen

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten14,50 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 14,5 = 116
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 14,5 = 116
Ergebnis:
116,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 18,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten18,00 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 18 = 144
    Ergebnis:
    144,00 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 8:00 bis 16:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 14,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 14 = 112
    Ergebnis:
    112,00 €
  3. ★24
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 6 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 18,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht4 h6 h5 h18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 4 + 6 + 5 + 4 = 19
    2. Lohn: 19 · 18 = 342
    Ergebnis:
    342,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Wie viele kg sind 5 g? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kg = 1000 g
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 5 : 1000 = 0,005
    Ergebnis:
    0,005 kg
  2. ●26
    Was ist mehr: 1,35 m oder 398 cm?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 1,35 m = 135 cm
    2. 135 cm < 398 cm
    Ergebnis:
    398 cm
  3. ●27
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 45 km/h oder eine Läuferin mit 7 m/s?
    gegebengesucht45 km/h7 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 7 · 3,6 = 25,2
    2. 25,2 km/h < 45 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  4. ●28
    Jemand fährt mit 72 km/h und schaut 1 Sekunde aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht72 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20
    2. In 1 s: 20 · 1 = 20
    Ergebnis:
    20 m
  5. ●29
    Eine Lampe hat 50 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.
    Ergebnis:
    20 Stunden
  6. ●30
    Der Fernseher (100 W) läuft 3 Stunden am Tag, die Lampe (10 W) 5 Stunden am Tag. Was braucht an einem Tag mehr Energie?
    gegebengesucht100 W3 Stunden10 W5 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Der Fernseher: 0,1 · 3 = 0,3, also 0,3 kWh.
    2. Die Lampe: 0,01 · 5 = 0,05, also 0,05 kWh.
    Ergebnis:
    Der Fernseher braucht mehr.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Wie viele g sind 2 mg? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,002 g

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Rechne 54 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 m/s

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 10 W und läuft 4 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht10 W4 Stunden7 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 0,11 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Nina und Ali haben am Flohmarktstand 45 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 4. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nina 9 €, Ali 36 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Boden von 5 m mal 3,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht5 m3,5 m5 %2 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Pakete

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    70 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 1,4. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht70 Kinder50 Plätze?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Busse

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 600 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 110 km

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 7 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 17,50 € je Stunde.
    gegebengesucht7 h15 min17,50 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7,25 h; ≈ 126,88 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 20.000 W
  2. 40.000 W
  3. 80.000 Wh
  4. 108 km/h
  5. Die Läuferin ist schneller.
  6. 28,8 km/h
  7. 125 Stunden
  8. 0,5 kWh, 15 ct
  9. 0,625 kWh, 20 ct
  10. Blau 10 ml, Weiß 30 ml
  11. Zement 60 kg, Sand 100 kg
  12. Zement 30 kg, Sand 60 kg, Kies 90 kg
  13. 8 Leisten
  14. 8 Leisten
  15. 4 Pakete, 116,00 €
  16. 8 Stücke
  17. 3 Busse
  18. ≈ 5 h 32 min
  19. etwa 100 km
  20. etwa 2.100.000 Liter
  21. etwa 6 Millionen
  22. 144,00 €
  23. 112,00 €
  24. 342,00 €
  25. 0,005 kg
  26. 398 cm
  27. Der Radfahrer ist schneller.
  28. 20 m
  29. 20 Stunden
  30. Der Fernseher braucht mehr.
  31. 0,002 g
  32. 15 m/s
  33. ≈ 0,11 €
  34. Nina 9 €, Ali 36 €
  35. 10 Pakete
  36. 2 Busse
  37. etwa 110 km
  38. 7,25 h; ≈ 126,88 €
  39. 70 mm
  40. 8 Stunden