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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 9 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 9 · 1.000 = 9.000 m
    Ergebnis:
    9.000 m
  2. ●40
    Für 2 Stunden Regale einräumen bekommt Mia 18,00 €. Wie viel bekommt sie für 6 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Stunden€
    2. 2 Stunden→18,00 €
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Stunde→18,00 € : 2 = 9,00 €
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Stunden→9,00 € · 6 = 54,00 €
    Ergebnis:
    54,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele cm sind 2,5 m? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2,5 · 100 = 250
  1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 2,5 · 100 = 250
Ergebnis:
250 cm

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 6 kg in g.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kg = 1000 g
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kg = 1000 g
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 6 · 1000 = 6000
    Ergebnis:
    6000 g
  2. ●2
    Rechne um: 8 kWh in Wh.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 8 · 1000 = 8000
    Ergebnis:
    8000 Wh
  3. ★3
    Rechne um: 0,9 cl in l.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 0,9 : 100 = 0,009
    Ergebnis:
    0,009 l

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Ein Zug ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
Schritt für Schritt
  1. In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 30 · 3600 = 108.000, also 108.000 m in einer Stunde.
  3. 108.000 m = 108 km, also 108 km/h.
  1. In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 30 · 3600 = 108.000, also 108.000 m in einer Stunde.
  3. 108.000 m = 108 km, also 108 km/h.
Ergebnis:
108 km/h

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne 18 km/h in m/s um.
    So fängst du an:
    1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 18 : 3,6 = 5
    Ergebnis:
    5 m/s
  2. ●5
    Ein Radfahrer ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 30 · 3600 = 108.000, also 108.000 m in einer Stunde.
    3. 108.000 m = 108 km, also 108 km/h.
    Ergebnis:
    108 km/h
  3. ★6
    Ein Sprinter ist 1,5 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 1,5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 1,5 · 3600 = 5400, also 5400 m in einer Stunde.
    3. 5400 m = 5,4 km, also 5,4 km/h.
    Ergebnis:
    5,4 km/h

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 50 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
Schritt für Schritt
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.
Ergebnis:
20 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Spielkonsole hat 150 W und läuft 3 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht150 W3 Stunden7 Tage30 ct?
    So fängst du an:
    150 W = 0,15 kW
    Lösung zeigen
    1. 150 W = 0,15 kW
    2. Energie: 0,15 · 3 · 7 = 3,15, also 3,15 kWh.
    3. Kosten: 3,15 · 30 = 94,5, also 94,5 ct ≈ 0,95 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,95 €
  2. ●8
    Ein Gerät mit 1 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
    gegebengesucht1 kW30 Minuten30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 0,5 h
    2. 1 · 0,5 = 0,5, also 0,5 kWh.
    3. 0,5 · 30 = 15, also 15 ct.
    Ergebnis:
    0,5 kWh, 15 ct
  3. ★9
    Eine alte Glühlampe mit 60 W wird durch eine LED-Lampe mit 8 W ersetzt. Sie leuchtet 2 Stunden am Tag. Wie viel spart man im Jahr bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht60 W8 W2 Stunden35 ct?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 60 W − 8 W = 52 W = 0,052 kW
    2. Im Jahr: 0,052 · 2 · 365 = 37,96, also 37,96 kWh.
    3. 37,96 · 35 ≈ 1329, also 1329 ct ≈ 13,29 €.
    Ergebnis:
    ≈ 13,29 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 50 kg Mörtel?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 2 + 3 = 5
  2. Ein Teil: 50 : 5 = 10, also 10 kg.
  3. Zement: 2 · 10 = 20. Sand: 3 · 10 = 30
  1. Teile: 2 + 3 = 5
  2. Ein Teil: 50 : 5 = 10, also 10 kg.
  3. Zement: 2 · 10 = 20. Sand: 3 · 10 = 30
Ergebnis:
Zement 20 kg, Sand 30 kg

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 2 : 5 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 700 l Blumenerde?
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 5 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 700 : 7 = 100, also 100 l.
    3. Kompost: 2 · 100 = 200. Sand: 5 · 100 = 500
    Ergebnis:
    Kompost 200 l, Sand 500 l
  2. ●11
    Für 60 ml Farbe gilt: Blau zu Weiß wie 1 zu 5. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 60 : 6 = 10, also 10 ml.
    3. Blau: 1 · 10 = 10. Weiß: 5 · 10 = 50
    Ergebnis:
    Blau 10 ml, Weiß 50 ml
  3. ★12
    Für 125 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 2 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 125 : 5 = 25, also 25 kg.
    3. Zement: 2 · 25 = 50. Sand: 3 · 25 = 75
    Ergebnis:
    Zement 50 kg, Sand 75 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Boden von 5 m mal 3 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
gegebengesucht5 m3 m10 %2 m²?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 5 · 3 = 15, also 15 m².
  2. Mit Verschnitt: 15 · 1,1 = 16,5
  3. Pakete: 16,5 : 2 ≈ 8,25 → aufrunden auf 9
  1. Fläche: 5 · 3 = 15, also 15 m².
  2. Mit Verschnitt: 15 · 1,1 = 16,5
  3. Pakete: 16,5 : 2 ≈ 8,25 → aufrunden auf 9
Ergebnis:
9 Pakete

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Zimmer ist 5 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,9 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
    gegebengesucht5 m4 m0,9 m2 m?
    So fängst du an:
    Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 4) − 0,9 = 17,1
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (5 + 4) − 0,9 = 17,1
    2. Mit Verschnitt: 17,1 · 1,1 = 18,81
    3. Leisten: 18,81 : 2 ≈ 9,4 → aufrunden auf 10
    Ergebnis:
    10 Leisten
  2. ●14
    Ein Boden von 6 m mal 2,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht6 m2,5 m5 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 6 · 2,5 = 15, also 15 m².
    2. Mit Verschnitt: 15 · 1,05 = 15,75
    3. Pakete: 15,75 : 1,5 ≈ 10,5 → aufrunden auf 11
    Ergebnis:
    11 Pakete
  3. ★15
    Eine Wand im Bad ist 3,5 m breit und 2 m hoch. Das Fenster (0,5 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 2 m² brauchst du? Ein Paket kostet 18,00 €. Was kostet das?
    gegebengesucht3,5 m2 m0,5 m²10 %2 m²?
    Lösung zeigen
    1. Wand: 3,5 · 2 = 7, ohne Fenster 6,5 m²
    2. Mit Verschnitt: 6,5 · 1,1 = 7,15
    3. Pakete: 7,15 : 2 ≈ 3,58 → aufrunden auf 4
    4. Kosten: 4 · 18,00 € = 72,00 €
    Ergebnis:
    4 Pakete, 72,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 3,8 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,58 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
gegebengesucht3,8 m4,1 m15,58 m²?
Schritt für Schritt
  1. 3,8 · 4,1 = 15,58
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 15,58 ≈ 15,6
  1. 3,8 · 4,1 = 15,58
  2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 15,58 ≈ 15,6
Ergebnis:
≈ 15,6 m²

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Von einer 8 m langen Stoffbahn werden Stücke von 1,2 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht8 m1,2 m?
    So fängst du an:
    8 : 1,2 ≈ 6,67
    Lösung zeigen
    1. 8 : 1,2 ≈ 6,67
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 6
    Ergebnis:
    6 Stücke
  2. ●17
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 2,9 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 12,47 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,3 m2,9 m12,47 m²?
    Lösung zeigen
    1. 4,3 · 2,9 = 12,47
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 12,47 ≈ 12,5
    Ergebnis:
    ≈ 12,5 m²
  3. ★18
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 25,01 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht6,1 m4,1 m25,01 m²?
    Lösung zeigen
    1. 6,1 · 4,1 = 25,01
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 25,01 ≈ 25
    Ergebnis:
    ≈ 25 m²

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
gegebengesucht50 m25 m?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 50 · 25 = 1250, also etwa 1250 m².
  2. Menschen: 1250 · 4 = 5000
  3. Gerundet: etwa 5000
  1. Fläche: 50 · 25 = 1250, also etwa 1250 m².
  2. Menschen: 1250 · 4 = 5000
  3. Gerundet: etwa 5000
Ergebnis:
etwa 5000 Menschen

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 550 Kinder, je 5 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht550 Kinder5 Blatt5 Tage0,1 mm?
    So fängst du an:
    Blätter: 5 · 550 · 5 = 13.750
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 5 · 550 · 5 = 13.750
    2. Höhe: 13.750 · 0,1 = 1375, also 1375 mm.
    3. 1375 mm = 137,5 cm, also etwa 1,4 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,4 m
  2. ●20
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht650 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 6 · 650 · 5 = 19.500
    2. Höhe: 19.500 · 0,1 = 1950, also 1950 mm.
    3. 1950 mm = 195 cm, also etwa 2 m.
    Ergebnis:
    etwa 2 m
  3. ★21
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 550 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht550 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 6 · 550 · 5 = 16.500
    2. Höhe: 16.500 · 0,1 = 1650, also 1650 mm.
    3. 1650 mm = 165 cm, also etwa 1,7 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,7 m

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Auf dem Stundenzettel steht 8 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,00 € je Stunde.
gegebengesucht8 h30 min14,00 €?
Schritt für Schritt
  1. 30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
  2. 8 h 30 min = 8,5 h
  3. 8,5 · 14 = 119
  1. 30 min = 30 : 60 h = 0,5 h
  2. 8 h 30 min = 8,5 h
  3. 8,5 · 14 = 119
Ergebnis:
8,5 h; 119,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 18,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten18,00 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 18 = 144
    Ergebnis:
    144,00 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 4 h, 3 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 14,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht4 h3 h6 h14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 4 + 4 + 3 + 6 = 17
    2. Lohn: 17 · 14 = 238
    Ergebnis:
    238,00 €
  3. ★24
    Eine Schicht dauert 7 Stunden, davon 4 Stunden in der Nacht. Für Nachtstunden zahlt die Firma 25 % Zuschlag. Stundenlohn 17,50 €. Wie viel verdient man in dieser Schicht?
    gegebengesucht7 Stunden4 Stunden25 %17,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Normale Stunden: 3 · 17,5 = 52,5
    2. Nachtstunden: 4 · 17,5 · 1,25 = 87,5
    3. Zusammen: 52,5 + 87,5 = 140
    Ergebnis:
    140,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Das Ladegerät hat in einer Woche 8 Wh verbraucht. Gib die Angabe in kWh an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 8 : 1000 = 0,008
    Ergebnis:
    0,008 kWh
  2. ●26
    Ben sagt: „250 ml ist mehr als 1,5 l, weil 250 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 1,5 l = 1500 ml
    2. 1500 ml > 250 ml
    Ergebnis:
    Nein, 1,5 l ist mehr.
  3. ●27
    Ein Rennwagen ist 15 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 15 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 15 · 3600 = 54.000, also 54.000 m in einer Stunde.
    3. 54.000 m = 54 km, also 54 km/h.
    Ergebnis:
    54 km/h
  4. ●28
    Eine Radfahrerin fährt 36 km/h. Bis zum Bremsen vergeht 1 Sekunde. Wie viele Meter fährt sie in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht36 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 36 km/h in m/s: 36 : 3,6 = 10
    2. In 1 s: 10 · 1 = 10
    Ergebnis:
    10 m
  5. ●29
    Ein Gerät mit 1 kW läuft 45 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht1 kW45 Minuten32 ct?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0,75 h
    2. 1 · 0,75 = 0,75, also 0,75 kWh.
    3. 0,75 · 32 = 24, also 24 ct.
    Ergebnis:
    0,75 kWh, 24 ct
  6. ●30
    Ein Gerät im Bereitschaftsbetrieb braucht dauernd 10 W, Tag und Nacht, das ganze Jahr. Wie viele Kilowattstunden sind das im Jahr, und was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht10 W32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Stunden im Jahr: 24 · 365 = 8760
    2. 10 · 8760 = 87.600, also 87.600 Wh = 87,6 kWh.
    3. 87,6 · 32 = 2803,2, also 2803,2 ct ≈ 28,03 €.
    Ergebnis:
    87,6 kWh, etwa 28,03 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Der Kühlschrank braucht im Monat 40 kWh. Gib die Angabe in Wh an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40.000 Wh

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Ein Rennwagen ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    108 km/h

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Spielkonsole hat 200 W und läuft 4 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 35 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht200 W4 Stunden7 Tage35 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 1,96 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Nina und Ali haben am Flohmarktstand 42 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nina 12 €, Ali 30 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 36 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 8 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht36 m²8 m²5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,7 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,98 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,7 m3,4 m15,98 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 16 m²

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 550 Kinder, je 4 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht550 Kinder4 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 1,1 m

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Auf dem Stundenzettel steht 8 h 30 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 17,50 € je Stunde.
    gegebengesucht8 h30 min17,50 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8,5 h; 148,75 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 6000 g
  2. 8000 Wh
  3. 0,009 l
  4. 5 m/s
  5. 108 km/h
  6. 5,4 km/h
  7. ≈ 0,95 €
  8. 0,5 kWh, 15 ct
  9. ≈ 13,29 €
  10. Kompost 200 l, Sand 500 l
  11. Blau 10 ml, Weiß 50 ml
  12. Zement 50 kg, Sand 75 kg
  13. 10 Leisten
  14. 11 Pakete
  15. 4 Pakete, 72,00 €
  16. 6 Stücke
  17. ≈ 12,5 m²
  18. ≈ 25 m²
  19. etwa 1,4 m
  20. etwa 2 m
  21. etwa 1,7 m
  22. 144,00 €
  23. 238,00 €
  24. 140,00 €
  25. 0,008 kWh
  26. Nein, 1,5 l ist mehr.
  27. 54 km/h
  28. 10 m
  29. 0,75 kWh, 24 ct
  30. 87,6 kWh, etwa 28,03 €
  31. 40.000 Wh
  32. 108 km/h
  33. ≈ 1,96 €
  34. Nina 12 €, Ali 30 €
  35. 1 Eimer
  36. ≈ 16 m²
  37. etwa 1,1 m
  38. 8,5 h; 148,75 €
  39. 9.000 m
  40. 54,00 €