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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 4 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 4 · 100 = 400 cm
    Ergebnis:
    400 cm
  2. ●40
    4 kg Äpfel kosten 10,00 €. Was kosten 6 kg Äpfel?
    Lösung zeigen
    1. kg Äpfel€
    2. 4 kg Äpfel→10,00 €
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 kg Äpfel→10,00 € : 4 = 2,50 €
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 kg Äpfel→2,50 € · 6 = 15,00 €
    Ergebnis:
    15,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Wie viele Wh sind 4 kWh? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
Schritt für Schritt
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 4 · 1000 = 4000
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Größere Einheit in kleinere: mal. 4 · 1000 = 4000
Ergebnis:
4000 Wh

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 500 m in cm.
    So fängst du an:
    Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 m = 100 cm
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 500 · 100 = 50.000
    Ergebnis:
    50.000 cm
  2. ●2
    Rechne um: 5 kg in g.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kg = 1000 g
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 5 · 1000 = 5000
    Ergebnis:
    5000 g
  3. ★3
    Ein Sack Zement wiegt 6,5 g. Gib die Angabe in mg an.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 6,5 · 1000 = 6500
    Ergebnis:
    6500 mg

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Rechne 144 km/h in m/s um.
Schritt für Schritt
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 144 : 3,6 = 40
  1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
  2. Also durch 3,6 teilen: 144 : 3,6 = 40
Ergebnis:
40 m/s

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne 108 km/h in m/s um.
    So fängst du an:
    1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 108 : 3,6 = 30
    Ergebnis:
    30 m/s
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 45 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht45 km/h10 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
    2. 36 km/h < 45 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  3. ★6
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 20 km/h oder eine Läuferin mit 7 m/s?
    gegebengesucht20 km/h7 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 7 · 3,6 = 25,2
    2. 25,2 km/h > 20 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 60 W und läuft 2 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
gegebengesucht60 W2 Stunden7 Tage30 ct?
Schritt für Schritt
  1. 60 W = 0,06 kW
  2. Energie: 0,06 · 2 · 7 = 0,84, also 0,84 kWh.
  3. Kosten: 0,84 · 30 = 25,2, also 25,2 ct ≈ 0,25 €.
  1. 60 W = 0,06 kW
  2. Energie: 0,06 · 2 · 7 = 0,84, also 0,84 kWh.
  3. Kosten: 0,84 · 30 = 25,2, also 25,2 ct ≈ 0,25 €.
Ergebnis:
≈ 0,25 €

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Gerät mit 1 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht1 kW30 Minuten32 ct?
    So fängst du an:
    30 min = 0,5 h
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 0,5 h
    2. 1 · 0,5 = 0,5, also 0,5 kWh.
    3. 0,5 · 32 = 16, also 16 ct.
    Ergebnis:
    0,5 kWh, 16 ct
  2. ●8
    Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 30 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
    gegebengesucht1,5 kW30 Minuten30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 30 min = 0,5 h
    2. 1,5 · 0,5 = 0,75, also 0,75 kWh.
    3. 0,75 · 30 = 22,5, also 22,5 ct.
    Ergebnis:
    0,75 kWh, 22,5 ct
  3. ★9
    Eine Lampe hat 10 W und läuft 3 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht10 W3 Stunden30 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    1. 10 W = 0,01 kW
    2. Energie: 0,01 · 3 · 30 = 0,9, also 0,9 kWh.
    3. Kosten: 0,9 · 40 = 36, also 36 ct ≈ 0,36 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,36 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 25 l Blumenerde?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 2 + 3 = 5
  2. Ein Teil: 25 : 5 = 5, also 5 l.
  3. Kompost: 2 · 5 = 10. Sand: 3 · 5 = 15
  1. Teile: 2 + 3 = 5
  2. Ein Teil: 25 : 5 = 5, also 5 l.
  3. Kompost: 2 · 5 = 10. Sand: 3 · 5 = 15
Ergebnis:
Kompost 10 l, Sand 15 l

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für 300 ml Apfelschorle gilt: Saft zu Wasser wie 1 zu 5. Teile die Menge auf.
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 5 = 6
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 300 : 6 = 50, also 50 ml.
    3. Saft: 1 · 50 = 50. Wasser: 5 · 50 = 250
    Ergebnis:
    Saft 50 ml, Wasser 250 ml
  2. ●11
    Für 35 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 2 zu 5. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 35 : 7 = 5, also 5 kg.
    3. Zement: 2 · 5 = 10. Sand: 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    Zement 10 kg, Sand 25 kg
  3. ★12
    Nach Rezept wird Beton aus Zement, Sand und Kies im Verhältnis 1 : 2 : 4 gemischt. Wie viel von jedem Stoff braucht man für 140 kg Mischung?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 + 4 = 7
    2. Ein Teil: 140 : 7 = 20, also 20 kg.
    3. Zement 1 · 20 = 20, Sand 2 · 20 = 40, Kies 4 · 20 = 80
    Ergebnis:
    Zement 20 kg, Sand 40 kg, Kies 80 kg

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Die Wände eines Zimmers haben zusammen 36 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
gegebengesucht36 m²10 m²2,5 l?
Schritt für Schritt
  1. Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
  2. Liter: 36 : 10 = 3,6
  3. Eimer: 3,6 : 2,5 ≈ 1,44 → aufrunden auf 2
  1. Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
  2. Liter: 36 : 10 = 3,6
  3. Eimer: 3,6 : 2,5 ≈ 1,44 → aufrunden auf 2
Ergebnis:
2 Eimer

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 4,5 m mal 2 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 5 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht4,5 m2 m2 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 4,5 · 2 = 9, also 9 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 4,5 · 2 = 9, also 9 m².
    2. Mit Verschnitt: 9 · 1,05 = 9,45
    3. Pakete: 9,45 : 2 ≈ 4,72 → aufrunden auf 5
    Ergebnis:
    5 Pakete
  2. ●14
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 3,5 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m3,5 m1 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3,5) − 1 = 18
    2. Mit Verschnitt: 18 · 1,1 = 19,8
    3. Leisten: 19,8 : 2,5 ≈ 7,92 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Leisten
  3. ★15
    Eine Wand im Bad ist 2,5 m breit und 2 m hoch. Das Fenster (0,75 m²) bekommt keine Fliesen. Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Pakete zu 2 m² brauchst du? Ein Paket kostet 18,00 €. Was kostet das?
    gegebengesucht2,5 m2 m0,75 m²10 %2 m²?
    Lösung zeigen
    1. Wand: 2,5 · 2 = 5, ohne Fenster 4,25 m²
    2. Mit Verschnitt: 4,25 · 1,1 = 4,675
    3. Pakete: 4,675 : 2 ≈ 2,34 → aufrunden auf 3
    4. Kosten: 3 · 18,00 € = 54,00 €
    Ergebnis:
    3 Pakete, 54,00 €

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

146 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 30 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,8667. Wie viele Busse braucht man?
gegebengesucht146 Kinder30 Plätze?
Schritt für Schritt
  1. 146 : 30 ≈ 4,87
  2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
  1. 146 : 30 ≈ 4,87
  2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
Ergebnis:
5 Busse

AchtungGrundwert wie Prozentwert gerechnet

So nicht
400 sind 50 %, Ganzes → 200
So richtig
400 sind 50 %, Ganzes → 800

Schreib auf: Was sind 100 %? Was ist der Teil?

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    155 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,8182. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht155 Kinder55 Plätze?
    So fängst du an:
    155 : 55 ≈ 2,82
    Lösung zeigen
    1. 155 : 55 ≈ 2,82
    2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
    Ergebnis:
    3 Busse
  2. ●17
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 3,8 m lang, 4,1 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 15,58 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht3,8 m4,1 m15,58 m²?
    Lösung zeigen
    1. 3,8 · 4,1 = 15,58
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 15,58 ≈ 15,6
    Ergebnis:
    ≈ 15,6 m²
  3. ★18
    Eine Lkw-Fahrt ist 470 km lang, im Schnitt fährt der Lkw 65 km/h. Der Rechner zeigt 7,23077 Stunden. Gib die Fahrzeit sinnvoll in Stunden und Minuten an.
    gegebengesucht470 km65 km/h7,23077 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. 470 : 65 ≈ 7,231
    2. 0,231 h · 60 ≈ 14 min
    3. Auf Minuten genau reicht: 7 h 14 min
    Ergebnis:
    ≈ 7 h 14 min

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 4 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
gegebengesucht650 Kinder4 Blatt5 Tage0,1 mm?
Schritt für Schritt
  1. Blätter: 4 · 650 · 5 = 13.000
  2. Höhe: 13.000 · 0,1 = 1300, also 1300 mm.
  3. 1300 mm = 130 cm, also etwa 1,3 m.
  1. Blätter: 4 · 650 · 5 = 13.000
  2. Höhe: 13.000 · 0,1 = 1300, also 1300 mm.
  3. 1300 mm = 130 cm, also etwa 1,3 m.
Ergebnis:
etwa 1,3 m

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 30 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m30 m?
    So fängst du an:
    Fläche: 50 · 30 = 1500, also etwa 1500 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 50 · 30 = 1500, also etwa 1500 m².
    2. Menschen: 1500 · 4 = 6000
    3. Gerundet: etwa 6000
    Ergebnis:
    etwa 6000 Menschen
  2. ●20
    Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 600 m am Tag, 190 Schultage.
    gegebengesucht600 m190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. 600 · 190 = 114.000, also 114.000 m.
    2. 114.000 m = 114 km
    3. Gerundet: etwa 110 km
    Ergebnis:
    etwa 110 km
  3. ★21
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 700 · 3 · 6 = 12.600, also 12.600 Liter.
    2. Im Jahr: 12.600 · 190 = 2.394.000
    3. Das sind etwa 2394 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.400.000 Liter

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 17,50 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
gegebengesucht30 Minuten17,50 €?
Schritt für Schritt
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 17,5 = 140
  1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
  2. Lohn: 8 · 17,5 = 140
Ergebnis:
140,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 9:00 bis 17:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 15 = 120
    Ergebnis:
    120,00 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 6 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 18,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h6 h5 h4 h18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 3 + 6 + 5 + 4 = 18
    2. Lohn: 18 · 18 = 324
    Ergebnis:
    324,00 €
  3. ★24
    Eine Schicht dauert 7 Stunden, davon 2 Stunden in der Nacht. Für Nachtstunden zahlt die Firma 25 % Zuschlag. Stundenlohn 14,00 €. Wie viel verdient man in dieser Schicht?
    gegebengesucht7 Stunden2 Stunden25 %14,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Normale Stunden: 5 · 14 = 70
    2. Nachtstunden: 2 · 14 · 1,25 = 35
    3. Zusammen: 70 + 35 = 105
    Ergebnis:
    105,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Der Eimer fasst 2 cl Farbe. Gib die Angabe in l an.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 2 : 100 = 0,02
    Ergebnis:
    0,02 l
  2. ●26
    Was ist mehr: 1,35 m oder 65 cm?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 1,35 m = 135 cm
    2. 135 cm > 65 cm
    Ergebnis:
    1,35 m
  3. ●27
    Rechne 18 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 18 : 3,6 = 5
    Ergebnis:
    5 m/s
  4. ●28
    Ein Auto fährt 36 km/h. Bis zum Bremsen vergehen 2 Sekunden. Wie viele Meter fährt es in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht36 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 36 km/h in m/s: 36 : 3,6 = 10
    2. In 2 s: 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20 m
  5. ●29
    Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 90 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 30 ct je kWh?
    gegebengesucht1,5 kW90 Minuten30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1,5 h
    2. 1,5 · 1,5 = 2,25, also 2,25 kWh.
    3. 2,25 · 30 = 67,5, also 67,5 ct.
    Ergebnis:
    2,25 kWh, 67,5 ct
  6. ●30
    Der Stromzähler zeigte am Monatsanfang 44.148 kWh, am Monatsende 44.358 kWh. Eine Kilowattstunde kostet 32 ct. Was kostet der Strom in diesem Monat?
    gegebengesucht44.148 kWh44.358 kWh32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Verbrauch: 44.358 − 44.148 = 210, also 210 kWh.
    2. Kosten: 210 · 32 = 6720, also 6720 ct = 67,20 €.
    Ergebnis:
    67,20 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Rechne um: 750 W in kW.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,75 kW

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Rechne 72 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 m/s

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 50 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Stunden

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 500 kg Mörtel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Zement 200 kg, Sand 300 kg

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Boden von 3,5 m mal 3,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht3,5 m10 %1 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 Pakete

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    139 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 55 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,5273. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht139 Kinder55 Plätze?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Busse

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 60 m lang und 30 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht60 m30 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 7000 Menschen

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 2 h, 3 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 17,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht4 h2 h3 h6 h17,50 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    262,50 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 50.000 cm
  2. 5000 g
  3. 6500 mg
  4. 30 m/s
  5. Der Radfahrer ist schneller.
  6. Die Läuferin ist schneller.
  7. 0,5 kWh, 16 ct
  8. 0,75 kWh, 22,5 ct
  9. ≈ 0,36 €
  10. Saft 50 ml, Wasser 250 ml
  11. Zement 10 kg, Sand 25 kg
  12. Zement 20 kg, Sand 40 kg, Kies 80 kg
  13. 5 Pakete
  14. 8 Leisten
  15. 3 Pakete, 54,00 €
  16. 3 Busse
  17. ≈ 15,6 m²
  18. ≈ 7 h 14 min
  19. etwa 6000 Menschen
  20. etwa 110 km
  21. etwa 2.400.000 Liter
  22. 120,00 €
  23. 324,00 €
  24. 105,00 €
  25. 0,02 l
  26. 1,35 m
  27. 5 m/s
  28. 20 m
  29. 2,25 kWh, 67,5 ct
  30. 67,20 €
  31. 0,75 kW
  32. 20 m/s
  33. 20 Stunden
  34. Zement 200 kg, Sand 300 kg
  35. 14 Pakete
  36. 3 Busse
  37. etwa 7000 Menschen
  38. 262,50 €
  39. 400 cm
  40. 15,00 €