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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 12 h in min.
    Lösung zeigen
    1. 1 h = 60 min
    2. 12 · 60 = 720 min
    Ergebnis:
    720 min
  2. ●40
    Nael verbraucht in 3 Tagen 4,5 GB Datenvolumen. Wie viel sind es nach 6 Tage?
    Lösung zeigen
    1. TageGB
    2. 3 Tage→4,5 GB
    3. ↓ : 3↓ : 3
    4. 1 Tag→4,5 GB : 3 = 1,5 GB
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Tage→1,5 GB · 6 = 9 GB
    Ergebnis:
    9 GB

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Rechne um: 40 mm in cm.
Schritt für Schritt
  1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cm = 10 mm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 40 : 10 = 4
  1. Milli heißt ein Tausendstel, zenti heißt ein hundertstel: 1 cm = 10 mm
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 40 : 10 = 4
Ergebnis:
4 cm

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 2 Wh in kWh.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 2 : 1000 = 0,002
    Ergebnis:
    0,002 kWh
  2. ●2
    Wie viele kW sind 750 W? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 750 : 1000 = 0,75
    Ergebnis:
    0,75 kW
  3. ★3
    Wie viele g sind 45 mg? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Milli heißt ein Tausendstel: 1 g = 1000 mg
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 45 : 1000 = 0,045
    Ergebnis:
    0,045 g

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 8 m/s?
gegebengesucht15 km/h8 m/s?
Schritt für Schritt
  1. Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
  2. 28,8 km/h > 15 km/h
  1. Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
  2. 28,8 km/h > 15 km/h
Ergebnis:
Die Läuferin ist schneller.

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 15 km/h oder eine Läuferin mit 6 m/s?
    gegebengesucht15 km/h6 m/s?
    So fängst du an:
    Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 6 · 3,6 = 21,6
    2. 21,6 km/h > 15 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 30 km/h oder eine Läuferin mit 8 m/s?
    gegebengesucht30 km/h8 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 8 · 3,6 = 28,8
    2. 28,8 km/h < 30 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  3. ★6
    Rechne 120 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    1. 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s.
    2. Also durch 3,6 teilen: 120 : 3,6 ≈ 33,3
    Ergebnis:
    ≈ 33,3 m/s

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Eine Lampe hat 25 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
Schritt für Schritt
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 25 = 40, also 40 Stunden.
  1. 1 kWh = 1000 Wh
  2. 1000 : 25 = 40, also 40 Stunden.
Ergebnis:
40 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 8 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    So fängst du an:
    1 kWh = 1000 Wh
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 8 = 125, also 125 Stunden.
    Ergebnis:
    125 Stunden
  2. ●8
    Ein Gerät mit 2 kW läuft 90 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 40 ct je kWh?
    gegebengesucht2 kW90 Minuten40 ct?
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1,5 h
    2. 2 · 1,5 = 3, also 3 kWh.
    3. 3 · 40 = 120, also 120 ct.
    Ergebnis:
    3 kWh, 120 ct
  3. ★9
    Eine alte Glühlampe mit 60 W wird durch eine LED-Lampe mit 8 W ersetzt. Sie leuchtet 2 Stunden am Tag. Wie viel spart man im Jahr bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht60 W8 W2 Stunden32 ct?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 60 W − 8 W = 52 W = 0,052 kW
    2. Im Jahr: 0,052 · 2 · 365 = 37,96, also 37,96 kWh.
    3. 37,96 · 32 ≈ 1215, also 1215 ct ≈ 12,15 €.
    Ergebnis:
    ≈ 12,15 €

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Nina und Ali haben am Flohmarktstand 120 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 3 : 5. Wie viel bekommt jeder?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 3 + 5 = 8
  2. Ein Teil: 120 : 8 = 15, also 15 €.
  3. Nina: 3 · 15 = 45. Ali: 5 · 15 = 75
  1. Teile: 3 + 5 = 8
  2. Ein Teil: 120 : 8 = 15, also 15 €.
  3. Nina: 3 · 15 = 45. Ali: 5 · 15 = 75
Ergebnis:
Nina 45 €, Ali 75 €

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Emre und Lea haben am Flohmarktstand 48 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 3 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    So fängst du an:
    Teile: 3 + 5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 48 : 8 = 6, also 6 €.
    3. Emre: 3 · 6 = 18. Lea: 5 · 6 = 30
    Ergebnis:
    Emre 18 €, Lea 30 €
  2. ●11
    Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 2 : 5 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 350 l Blumenerde?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 350 : 7 = 50, also 50 l.
    3. Kompost: 2 · 50 = 100. Sand: 5 · 50 = 250
    Ergebnis:
    Kompost 100 l, Sand 250 l
  3. ★12
    Mira und Jonas haben am Flohmarktstand 90 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 1 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 90 : 6 = 15, also 15 €.
    3. Mira: 1 · 15 = 15. Jonas: 5 · 15 = 75
    Ergebnis:
    Mira 15 €, Jonas 75 €

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 6 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
gegebengesucht6 m3 m1 m2 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3) − 1 = 17
  2. Mit Verschnitt: 17 · 1,1 = 18,7
  3. Leisten: 18,7 : 2 ≈ 9,35 → aufrunden auf 10
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3) − 1 = 17
  2. Mit Verschnitt: 17 · 1,1 = 18,7
  3. Leisten: 18,7 : 2 ≈ 9,35 → aufrunden auf 10
Ergebnis:
10 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 36 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 2,5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht36 m²10 m²2,5 l?
    So fängst du an:
    Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 36 · 1 = 36, also 36 m².
    2. Liter: 36 : 10 = 3,6
    3. Eimer: 3,6 : 2,5 ≈ 1,44 → aufrunden auf 2
    Ergebnis:
    2 Eimer
  2. ●14
    Ein Boden von 4 m mal 2,5 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 15 % dazu. Ein Paket reicht für 1,5 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht4 m2,5 m15 %1,5 m²?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 4 · 2,5 = 10, also 10 m².
    2. Mit Verschnitt: 10 · 1,15 = 11,5
    3. Pakete: 11,5 : 1,5 ≈ 7,67 → aufrunden auf 8
    Ergebnis:
    8 Pakete
  3. ★15
    Ein Zimmer ist 6 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (1 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2,5 m brauchst du?
    gegebengesucht6 m4 m1 m10 %2,5 m?
    Lösung zeigen
    1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 4) − 1 = 19
    2. Mit Verschnitt: 19 · 1,1 = 20,9
    3. Leisten: 20,9 : 2,5 ≈ 8,36 → aufrunden auf 9
    Ergebnis:
    9 Leisten

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Von einer 6 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,8 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
gegebengesucht6 m0,8 m?
Schritt für Schritt
  1. 6 : 0,8 ≈ 7,5
  2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 7
  1. 6 : 0,8 ≈ 7,5
  2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 7
Ergebnis:
7 Stücke

AchtungGrundwert wie Prozentwert gerechnet

So nicht
400 sind 50 %, Ganzes → 200
So richtig
400 sind 50 %, Ganzes → 800

Schreib auf: Was sind 100 %? Was ist der Teil?

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 4,3 m lang, 2,9 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 12,47 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht4,3 m2,9 m12,47 m²?
    So fängst du an:
    4,3 · 2,9 = 12,47
    Lösung zeigen
    1. 4,3 · 2,9 = 12,47
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 12,47 ≈ 12,5
    Ergebnis:
    ≈ 12,5 m²
  2. ●17
    193 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 40 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 4,825. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht193 Kinder40 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 193 : 40 ≈ 4,83
    2. Mit 4 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 5
    Ergebnis:
    5 Busse
  3. ★18
    145 Kinder fahren auf Klassenfahrt. Ein Bus hat 50 Plätze. Der Taschenrechner zeigt 2,9. Wie viele Busse braucht man?
    gegebengesucht145 Kinder50 Plätze?
    Lösung zeigen
    1. 145 : 50 ≈ 2,9
    2. Mit 2 Bussen bleiben Kinder zurück. Deshalb aufrunden: 3
    Ergebnis:
    3 Busse

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 40 m lang und 25 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
gegebengesucht40 m25 m?
Schritt für Schritt
  1. Fläche: 40 · 25 = 1000, also etwa 1000 m².
  2. Menschen: 1000 · 4 = 4000
  3. Gerundet: etwa 4000
  1. Fläche: 40 · 25 = 1000, also etwa 1000 m².
  2. Menschen: 1000 · 4 = 4000
  3. Gerundet: etwa 4000
Ergebnis:
etwa 4000 Menschen

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht650 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    So fängst du an:
    Blätter: 6 · 650 · 5 = 19.500
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 6 · 650 · 5 = 19.500
    2. Höhe: 19.500 · 0,1 = 1950, also 1950 mm.
    3. 1950 mm = 195 cm, also etwa 2 m.
    Ergebnis:
    etwa 2 m
  2. ●20
    Wie viele Menschen passen dicht an dicht auf euren Schulhof? Annahmen: Der Hof ist etwa 50 m lang und 30 m breit. Auf einen Quadratmeter passen etwa 4 stehende Menschen.
    gegebengesucht50 m30 m?
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 50 · 30 = 1500, also etwa 1500 m².
    2. Menschen: 1500 · 4 = 6000
    3. Gerundet: etwa 6000
    Ergebnis:
    etwa 6000 Menschen
  3. ★21
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 550 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht550 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 6 · 550 · 5 = 16.500
    2. Höhe: 16.500 · 0,1 = 1650, also 1650 mm.
    3. 1650 mm = 165 cm, also etwa 1,7 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,7 m

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Auf dem Stundenzettel steht 6 h 15 min. Schreibe die Zeit als Dezimalzahl und berechne den Lohn bei 14,00 € je Stunde.
gegebengesucht6 h15 min14,00 €?
Schritt für Schritt
  1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
  2. 6 h 15 min = 6,25 h
  3. 6,25 · 14 = 87,5
  1. 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h
  2. 6 h 15 min = 6,25 h
  3. 6,25 · 14 = 87,5
Ergebnis:
6,25 h; 87,50 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:00 bis 15:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
    So fängst du an:
    Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 15 = 120
    Ergebnis:
    120,00 €
  2. ●23
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 18,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Anwesend: 8,5 h. Ohne Pause: 8,5 − 0,5 = 8
    2. Lohn: 8 · 18 = 144
    Ergebnis:
    144,00 €
  3. ★24
    Eine Schicht dauert 7 Stunden, davon 3 Stunden in der Nacht. Für Nachtstunden zahlt die Firma 25 % Zuschlag. Stundenlohn 17,50 €. Wie viel verdient man in dieser Schicht?
    gegebengesucht7 Stunden3 Stunden25 %17,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Normale Stunden: 4 · 17,5 = 70
    2. Nachtstunden: 3 · 17,5 · 1,25 = 65,63
    3. Zusammen: 70 + 65,63 = 135,63
    Ergebnis:
    135,63 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Staubsauger hat 250 W. Gib die Angabe in kW an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 250 : 1000 = 0,25
    Ergebnis:
    0,25 kW
  2. ●26
    Tim sagt: „1500 mg ist mehr als 0,25 g, weil 1500 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 0,25 g = 250 mg
    2. 250 mg < 1500 mg
    Ergebnis:
    Ja, 1500 mg ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 25 km/h oder eine Läuferin mit 10 m/s?
    gegebengesucht25 km/h10 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 10 · 3,6 = 36
    2. 36 km/h > 25 km/h
    Ergebnis:
    Die Läuferin ist schneller.
  4. ●28
    Jemand fährt mit 90 km/h und schaut 1 Sekunde aufs Handy. Wie weit fährt er in dieser Zeit blind?
    gegebengesucht90 km/h1 Sekunde?
    Lösung zeigen
    1. 90 km/h in m/s: 90 : 3,6 = 25
    2. In 1 s: 25 · 1 = 25
    Ergebnis:
    25 m
  5. ●29
    Ein Fernseher hat 120 W und läuft 2 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht120 W2 Stunden7 Tage40 ct?
    Lösung zeigen
    1. 120 W = 0,12 kW
    2. Energie: 0,12 · 2 · 7 = 1,68, also 1,68 kWh.
    3. Kosten: 1,68 · 40 = 67,2, also 67,2 ct ≈ 0,67 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,67 €
  6. ●30
    Der Fernseher (100 W) läuft 3 Stunden am Tag, der Wasserkocher (2000 W) 0,2 Stunden am Tag. Was braucht an einem Tag mehr Energie?
    gegebengesucht100 W3 Stunden2000 W0,2 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Der Fernseher: 0,1 · 3 = 0,3, also 0,3 kWh.
    2. Der Wasserkocher: 2 · 0,2 = 0,4, also 0,4 kWh.
    Ergebnis:
    Der Wasserkocher braucht mehr.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Wie viele l sind 500 cl? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 l

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Rechne 18 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 m/s

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Ein Gerät mit 1,5 kW läuft 90 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 32 ct je kWh?
    gegebengesucht1,5 kW90 Minuten32 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,25 kWh, 72 ct

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Emre und Lea haben am Flohmarktstand 42 € eingenommen. Sie teilen im Verhältnis ihrer Arbeitsstunden, 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Emre 12 €, Lea 30 €

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Ein Boden von 5 m mal 3 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 2 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht5 m3 m10 %2 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 Pakete

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Von einer 10 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,7 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht10 m0,7 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 Stücke

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 2.400.000 Liter

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 7:00 bis 15:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 16,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten16,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    128,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 0,002 kWh
  2. 0,75 kW
  3. 0,045 g
  4. Die Läuferin ist schneller.
  5. Der Radfahrer ist schneller.
  6. ≈ 33,3 m/s
  7. 125 Stunden
  8. 3 kWh, 120 ct
  9. ≈ 12,15 €
  10. Emre 18 €, Lea 30 €
  11. Kompost 100 l, Sand 250 l
  12. Mira 15 €, Jonas 75 €
  13. 2 Eimer
  14. 8 Pakete
  15. 9 Leisten
  16. ≈ 12,5 m²
  17. 5 Busse
  18. 3 Busse
  19. etwa 2 m
  20. etwa 6000 Menschen
  21. etwa 1,7 m
  22. 120,00 €
  23. 144,00 €
  24. 135,63 €
  25. 0,25 kW
  26. Ja, 1500 mg ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. Die Läuferin ist schneller.
  28. 25 m
  29. ≈ 0,67 €
  30. Der Wasserkocher braucht mehr.
  31. 5 l
  32. 5 m/s
  33. 2,25 kWh, 72 ct
  34. Emre 12 €, Lea 30 €
  35. 9 Pakete
  36. 14 Stücke
  37. etwa 2.400.000 Liter
  38. 128,00 €
  39. 720 min
  40. 9 GB