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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Größen im Beruf: Einheiten, Verhältnisse, Schätzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele ordnen nach der Maßzahl. Dann steht der Föhn mit 1800 ganz vorne und die Lampe mit 0,06 irgendwo, obwohl die Einheiten verschieden sind. Die Ergebnisse widersprechen sich, und niemand kann sagen, wer recht hat. Vergleichen kann man nur in derselben Einheit. Der Vorsatz sagt, wie: Kilo heißt tausend, also sind 2 kW genau 2000 W. Einmal alles in Watt umgeschrieben, ist die Reihenfolge sofort klar – und dasselbe Wort Kilo funktioniert bei Metern und Gramm genauso.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Umrechnen ändert sich die Maßzahl, nicht die Größe.

  1. ●39
    Rechne um: 15 m in dm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 10 dm
    2. 15 · 10 = 150 dm
    Ergebnis:
    150 dm
  2. ●40
    Für 2 Stunden Regale einräumen bekommt Mia 18,00 €. Wie viel bekommt sie für 10 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Stunden€
    2. 2 Stunden→18,00 €
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Stunde→18,00 € : 2 = 9,00 €
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Stunden→9,00 € · 10 = 90,00 €
    Ergebnis:
    90,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Größe ist Zahl mal Einheit

Jede Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Der Vorsatz vor der Einheit ist selbst ein Faktor: Kilo heißt tausend. Wer die Einheit wechselt, ändert die Zahl, aber nicht die Größe. Deshalb ist 0,5 kg dasselbe wie 500 g.

Zwei Skalen: 0,5 Kilogramm liegen an derselben Stelle wie 500 Gramm0 kg0,5 kg1 kg0 g500 g1000 g0,5 kg = 500 g – kilo heißt tausend

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann 480 g weniger sein als 0,5 kg, obwohl 480 die größere Zahl ist?

1Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

EntdeckenFrage

Der Weltrekord über 100 m liegt bei 9,58 Sekunden. Wäre ein Sprinter damit in einer 30er-Zone zu schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 m in 9,58 s sind etwa 10,4 m in jeder Sekunde. Mal 3,6 ergibt das etwa 37,6 km/h. Im Schnitt über die ganze Strecke, also ja: schneller als 30 km/h.

Ausprobieren: Größen umrechnen: die Einheitenleiter

Die Einheiten stehen als Stufen übereinander. Wer nach unten geht, nimmt mal, wer nach oben geht, teilt.

MerkenVorsätze Milli, Zenti, Kilo

Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Zenti heißt ein Hundertstel. So sind 2,5 kW = 2500 W und 750 mg = 0,75 g.

BeispielEinheiten mit Milli, Zenti und Kilo umrechnen

Das Ladegerät hat in einer Woche 3 Wh verbraucht. Gib die Angabe in kWh an.
Schritt für Schritt
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 3 : 1000 = 0,003
  1. Kilo heißt tausend: 1 kWh = 1000 Wh
  2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 3 : 1000 = 0,003
Ergebnis:
0,003 kWh

AchtungVorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne um: 6 kW in W.
    So fängst du an:
    Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 6 · 1000 = 6000
    Ergebnis:
    6000 W
  2. ●2
    Wie viele W sind 40 kW? Nenne zuerst, was der Vorsatz bedeutet.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kW = 1000 W
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 40 · 1000 = 40.000
    Ergebnis:
    40.000 W
  3. ★3
    Rechne um: 6,5 cl in l.
    Lösung zeigen
    1. Zenti heißt ein Hundertstel: 1 l = 100 cl
    2. Kleinere Einheit in größere: geteilt. 6,5 : 100 = 0,065
    Ergebnis:
    0,065 l

2Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

EntdeckenFrage

Warum lernt man in der Fahrschule, dass ein Auto bei 50 km/h etwa 15 m fährt, bevor überhaupt gebremst wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 km/h sind 50 : 3,6, also etwa 13,9 m in jeder Sekunde. In einer Sekunde Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter. Die Faustregel (Tempo : 10) · 3 ergibt 15 m und rechnet etwas vorsichtiger.

MerkenGeschwindigkeit: km/h und m/s

Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.

Denn 1 km/h heißt 1000 m in 3600 s. Beispiel: 72 km/h = 20 m/s.

BeispielGeschwindigkeit: km/h und m/s umrechnen

Ein Zug ist 10 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
Schritt für Schritt
  1. In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 10 · 3600 = 36.000, also 36.000 m in einer Stunde.
  3. 36.000 m = 36 km, also 36 km/h.
  1. In 1 s: 10 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
  2. 10 · 3600 = 36.000, also 36.000 m in einer Stunde.
  3. 36.000 m = 36 km, also 36 km/h.
Ergebnis:
36 km/h

Achtungkm/h und m/s verwechselt

So nicht
72 km/h in m/s: 72 · 3,6 = 259,2 m/s
So richtig
72 km/h in m/s: 72 : 3,6 = 20 m/s

1 km/h sind 1000 m in 3600 s. In m/s wird die Zahl kleiner, also durch 3,6 teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Zug ist 30 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    So fängst du an:
    In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 30 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 30 · 3600 = 108.000, also 108.000 m in einer Stunde.
    3. 108.000 m = 108 km, also 108 km/h.
    Ergebnis:
    108 km/h
  2. ●5
    Wer ist schneller: ein Radfahrer mit 45 km/h oder eine Läuferin mit 12 m/s?
    gegebengesucht45 km/h12 m/s?
    Lösung zeigen
    1. Die Läuferin in km/h: 12 · 3,6 = 43,2
    2. 43,2 km/h < 45 km/h
    Ergebnis:
    Der Radfahrer ist schneller.
  3. ★6
    Eine Drohne ist 7,5 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 7,5 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 7,5 · 3600 = 27.000, also 27.000 m in einer Stunde.
    3. 27.000 m = 27 km, also 27 km/h.
    Ergebnis:
    27 km/h

3Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

EntdeckenFrage

Warum gibt es kaum noch Glühlampen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine LED-Lampe mit etwa 8 W ist so hell wie eine alte Glühlampe mit 60 W. Bei 3 Stunden am Tag spart man im Jahr 52 W · 3 h · 365, also etwa 57 kWh. Bei 35 ct je kWh sind das rund 20 € pro Lampe.

MerkenEnergiekosten

Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.

Watt rechnest du vorher in Kilowatt um. Beispiel: 2 kW · 3 h = 6 kWh, bei 30 ct je kWh also 180 ct.

BeispielEnergiekosten aus Leistung, Zeit und Preis

Ein Laptop hat 40 W und läuft 4 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
gegebengesucht40 W4 Stunden30 Tage30 ct?
Schritt für Schritt
  1. 40 W = 0,04 kW
  2. Energie: 0,04 · 4 · 30 = 4,8, also 4,8 kWh.
  3. Kosten: 4,8 · 30 = 144, also 144 ct ≈ 1,44 €.
  1. 40 W = 0,04 kW
  2. Energie: 0,04 · 4 · 30 = 4,8, also 4,8 kWh.
  3. Kosten: 4,8 · 30 = 144, also 144 ct ≈ 1,44 €.
Ergebnis:
≈ 1,44 €

AchtungNoch einmal: Vorsatz falsch umgerechnet

So nicht
Was ist mehr: 0,45 kg oder 480 g? 480 g, weil 480 größer ist als 0,45
So richtig
0,45 kg = 450 g, und 450 g < 480 g → 480 g ist mehr

Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel. Erst in dieselbe Einheit bringen, dann rechnen oder vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Lampe hat 10 W und läuft 3 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 40 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht10 W3 Stunden7 Tage40 ct?
    So fängst du an:
    10 W = 0,01 kW
    Lösung zeigen
    1. 10 W = 0,01 kW
    2. Energie: 0,01 · 3 · 7 = 0,21, also 0,21 kWh.
    3. Kosten: 0,21 · 40 = 8,4, also 8,4 ct ≈ 0,08 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,08 €
  2. ●8
    Ein Fernseher hat 100 W und läuft 3 Stunden am Tag, 7 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 30 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht100 W3 Stunden7 Tage30 ct?
    Lösung zeigen
    1. 100 W = 0,1 kW
    2. Energie: 0,1 · 3 · 7 = 2,1, also 2,1 kWh.
    3. Kosten: 2,1 · 30 = 63, also 63 ct ≈ 0,63 €.
    Ergebnis:
    ≈ 0,63 €
  3. ★9
    Eine Lampe hat 50 W. Wie viele Stunden kann sie mit einer Kilowattstunde leuchten?
    Lösung zeigen
    1. 1 kWh = 1000 Wh
    2. 1000 : 50 = 20, also 20 Stunden.
    Ergebnis:
    20 Stunden

4Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Was kostet es eigentlich, das Handy ein ganzes Jahr lang jeden Tag aufzuladen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Handyakku speichert etwa 15 bis 20 Wh. Rechnen wir mit 20 Wh am Tag: 20 · 365 = 7300 Wh, also 7,3 kWh im Jahr. Bei 35 ct je kWh sind das knapp 2,60 €. Ein Wasserkocher mit 2000 W braucht so viel in unter 4 Stunden.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.

Bei 1 : 3 und 200 ml sind es 4 Teile zu je 50 ml, also 50 ml und 150 ml.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Blumenerde wird aus Kompost und Sand im Verhältnis 2 : 5 gemischt. Wie viel Kompost und wie viel Sand brauchst du für 140 l Blumenerde?
Schritt für Schritt
  1. Teile: 2 + 5 = 7
  2. Ein Teil: 140 : 7 = 20, also 20 l.
  3. Kompost: 2 · 20 = 40. Sand: 5 · 20 = 100
  1. Teile: 2 + 5 = 7
  2. Ein Teil: 140 : 7 = 20, also 20 l.
  3. Kompost: 2 · 20 = 40. Sand: 5 · 20 = 100
Ergebnis:
Kompost 40 l, Sand 100 l

AchtungVerhältnis falsch aufgeteilt

So nicht
400 ml Schorle, Saft zu Wasser 1 : 3: Saft 400 : 3 ≈ 133 ml
So richtig
4 Teile, ein Teil 400 : 4 = 100 ml → Saft 100 ml, Wasser 300 ml

Erst alle Teile zusammenzählen, dann den Wert eines Teils berechnen. Die bekannte Menge ist nicht immer das Ganze.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Mörtel wird aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 5 gemischt. Wie viel Zement und wie viel Sand brauchst du für 30 kg Mörtel?
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 5 = 6
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 30 : 6 = 5, also 5 kg.
    3. Zement: 1 · 5 = 5. Sand: 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    Zement 5 kg, Sand 25 kg
  2. ●11
    Für 50 kg Mörtel gilt: Zement zu Sand wie 2 zu 3. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 50 : 5 = 10, also 10 kg.
    3. Zement: 2 · 10 = 20. Sand: 3 · 10 = 30
    Ergebnis:
    Zement 20 kg, Sand 30 kg
  3. ★12
    Farbe wird aus Blau und Weiß im Verhältnis 2 : 5 gemischt. Wie viel Blau und wie viel Weiß brauchst du für 84 ml Farbe?
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 84 : 7 = 12, also 12 ml.
    3. Blau: 2 · 12 = 24. Weiß: 5 · 12 = 60
    Ergebnis:
    Blau 24 ml, Weiß 60 ml

5Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man mit Mindestlohn in einer Schicht von 7 Stunden und 45 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

45 Minuten sind 45 : 60 = 0,75 Stunden, die Schicht dauert also 7,75 Stunden und nicht 7,45. Beim Mindestlohn von 13,90 € ergibt das 7,75 · 13,90 € ≈ 107,73 €. Wer 7,45 rechnet, verliert mehr als 4 €.

MerkenVerschnitt und Aufrunden

Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.

Pakete werden immer aufgerundet. Beispiel: 16,5 m² mit 10 % sind 18,15 m², bei 2 m² je Paket also 10 Pakete.

BeispielMaterialbedarf mit Verschnitt und Aufrunden

Ein Zimmer ist 6 m lang und 3 m breit. Rundherum kommt eine Sockelleiste, nur nicht an der Tür (0,8 m). Mit 10 % Verschnitt: Wie viele Leisten zu 2 m brauchst du?
gegebengesucht6 m3 m0,8 m2 m?
Schritt für Schritt
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3) − 0,8 = 17,2
  2. Mit Verschnitt: 17,2 · 1,1 = 18,92
  3. Leisten: 18,92 : 2 ≈ 9,46 → aufrunden auf 10
  1. Umfang ohne Tür: 2 · (6 + 3) − 0,8 = 17,2
  2. Mit Verschnitt: 17,2 · 1,1 = 18,92
  3. Leisten: 18,92 : 2 ≈ 9,46 → aufrunden auf 10
Ergebnis:
10 Leisten

AchtungUnpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Boden von 3 m mal 3 m bekommt Laminat. Für den Verschnitt rechnet man 10 % dazu. Ein Paket reicht für 1 m². Wie viele Pakete kaufst du?
    gegebengesucht3 m1 m²?
    So fängst du an:
    Fläche: 3 · 3 = 9, also 9 m².
    Lösung zeigen
    1. Fläche: 3 · 3 = 9, also 9 m².
    2. Mit Verschnitt: 9 · 1,1 = 9,9
    3. Pakete: 9,9 : 1 ≈ 9,9 → aufrunden auf 10
    Ergebnis:
    10 Pakete
  2. ●14
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 48 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht48 m²6 m²5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 48 · 1 = 48, also 48 m².
    2. Liter: 48 : 6 = 8
    3. Eimer: 8 : 5 ≈ 1,6 → aufrunden auf 2
    Ergebnis:
    2 Eimer
  3. ★15
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 48 m². Sie werden zweimal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 10 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht48 m²10 m²5 l?
    Lösung zeigen
    1. Fläche zum Streichen: 48 · 2 = 96, also 96 m².
    2. Liter: 96 : 10 = 9,6
    3. Eimer: 9,6 : 5 ≈ 1,92 → aufrunden auf 2
    Ergebnis:
    2 Eimer

6Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser trinken alle Menschen in Berlin zusammen an einem einzigen Tag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Niemand misst das, aber man kann es schätzen: Berlin hat rund 3,8 Millionen Einwohner. Empfohlen sind etwa 1,5 Liter am Tag. 3,8 Millionen · 1,5 l sind etwa 5,7 Millionen Liter – so viel wie in gut zwei Schwimmbecken von 50 m Länge, 25 m Breite und 2 m Tiefe.

MerkenSinnvolle Genauigkeit

Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.

Aufrunden, wenn sonst etwas fehlt, abrunden, wenn nur Ganzes zählt, und nie genauer als gemessen. 130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 2,6 → 3 Busse.

BeispielSinnvoll runden: auf, ab oder so genau wie gemessen

Von einer 10 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,9 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
gegebengesucht10 m0,9 m?
Schritt für Schritt
  1. 10 : 0,9 ≈ 11,11
  2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 11
  1. 10 : 0,9 ≈ 11,11
  2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 11
Ergebnis:
11 Stücke

AchtungGrundwert wie Prozentwert gerechnet

So nicht
400 sind 50 %, Ganzes → 200
So richtig
400 sind 50 %, Ganzes → 800

Schreib auf: Was sind 100 %? Was ist der Teil?

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 3,8 m lang, 2,9 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 11,02 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht3,8 m2,9 m11,02 m²?
    So fängst du an:
    3,8 · 2,9 = 11,02
    Lösung zeigen
    1. 3,8 · 2,9 = 11,02
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 11,02 ≈ 11
    Ergebnis:
    ≈ 11 m²
  2. ●17
    Von einer 10 m langen Stoffbahn werden Stücke von 0,45 m abgeschnitten. Wie viele volle Stücke bekommt man?
    gegebengesucht10 m0,45 m?
    Lösung zeigen
    1. 10 : 0,45 ≈ 22,22
    2. Nur volle Stücke zählen. Deshalb abrunden: 22
    Ergebnis:
    22 Stücke
  3. ★18
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 5,2 m lang, 3,4 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,68 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht5,2 m3,4 m17,68 m²?
    Lösung zeigen
    1. 5,2 · 3,4 = 17,68
    2. Die Messwerte haben eine Nachkommastelle: 17,68 ≈ 17,7
    Ergebnis:
    ≈ 17,7 m²

7Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

EntdeckenFrage

Wie oft schlägt dein Herz ungefähr in einem Jahr?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nimm etwa 70 Schläge in der Minute an. Dann sind es 70 · 60 · 24 · 365 ≈ 36,8 Millionen Schläge. Beim Sport schlägt es schneller, im Schlaf langsamer. Als Fermi-Antwort reicht deshalb rund 40 Millionen.

MerkenFermi-Aufgaben und Stützwerte

Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.

Stützwerte helfen: Eine Tür ist etwa 2 m hoch. Das Ergebnis ist eine Größenordnung, keine genaue Zahl.

BeispielFermi-Aufgabe: in schätzbare Teile zerlegen

Wie viele Kilometer läufst du in einem Schuljahr nur im Schulhaus? Annahmen: etwa 500 m am Tag, 190 Schultage.
gegebengesucht500 m190 Schultage?
Schritt für Schritt
  1. 500 · 190 = 95.000, also 95.000 m.
  2. 95.000 m = 95 km
  3. Gerundet: etwa 100 km
  1. 500 · 190 = 95.000, also 95.000 m.
  2. 95.000 m = 95 km
  3. Gerundet: etwa 100 km
Ergebnis:
etwa 100 km

AchtungNoch einmal: Unpassend gerundet

So nicht
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 ≈ 2 Busse
So richtig
130 Kinder, Busse mit 50 Plätzen: 130 : 50 = 2,6 → aufrunden auf 3 Busse

Frag die Sache: Fehlt sonst etwas, dann aufrunden. Zählt nur Ganzes, dann abrunden. Nie genauer als die Messung.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 650 Kinder, je 6 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht650 Kinder6 Blatt5 Tage0,1 mm?
    So fängst du an:
    Blätter: 6 · 650 · 5 = 19.500
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 6 · 650 · 5 = 19.500
    2. Höhe: 19.500 · 0,1 = 1950, also 1950 mm.
    3. 1950 mm = 195 cm, also etwa 2 m.
    Ergebnis:
    etwa 2 m
  2. ●20
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    1. Am Tag: 700 · 3 · 6 = 12.600, also 12.600 Liter.
    2. Im Jahr: 12.600 · 190 = 2.394.000
    3. Das sind etwa 2394 m³, denn 1000 l = 1 m³.
    Ergebnis:
    etwa 2.400.000 Liter
  3. ★21
    Wie hoch wäre der Stapel aus allen Blättern, die eure Schule in einer Woche kopiert? Annahmen: 450 Kinder, je 5 Blatt am Tag, 5 Tage, ein Blatt ist etwa 0,1 mm dick.
    gegebengesucht450 Kinder5 Blatt5 Tage0,1 mm?
    Lösung zeigen
    1. Blätter: 5 · 450 · 5 = 11.250
    2. Höhe: 11.250 · 0,1 = 1125, also 1125 mm.
    3. 1125 mm = 112,5 cm, also etwa 1,1 m.
    Ergebnis:
    etwa 1,1 m

8Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

EntdeckenFrage

Wie viel verdient man in 6 Stunden am Sonntag zum Mindestlohn, wenn es 50 % Zuschlag gibt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Mindestlohn beträgt 2026 genau 13,90 € je Stunde. Mit 50 % Zuschlag sind es 13,90 € · 1,5 = 20,85 € je Stunde. In 6 Stunden kommen 125,10 € zusammen.

MerkenArbeitszeit, Lohn und Zuschläge

Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

So werden aus 7 h 45 min genau 7,75 h, nicht 7,45 h. Ein Zuschlag von 25 % heißt: Stundenlohn mal 1,25.

BeispielArbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen

Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 4 h, 4 h, 3 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 14,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
gegebengesucht4 h3 h14,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Stunden: 4 + 4 + 3 + 4 = 15
  2. Lohn: 15 · 14 = 210
  1. Stunden: 4 + 4 + 3 + 4 = 15
  2. Lohn: 15 · 14 = 210
Ergebnis:
210,00 €

AchtungMinuten als Dezimalstellen gelesen

So nicht
7 h 45 min zu 14 € je Stunde: 7,45 · 14 = 104,30 €
So richtig
45 min = 0,75 h, also 7,75 · 14 = 108,50 €

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 45 min sind 45 : 60 h, also drei Viertel einer Stunde.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 3 h, 4 h, 5 h und 6 h. Der Stundenlohn ist 16,00 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht3 h4 h5 h6 h16,00 €?
    So fängst du an:
    Stunden: 3 + 4 + 5 + 6 = 18
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 3 + 4 + 5 + 6 = 18
    2. Lohn: 18 · 16 = 288
    Ergebnis:
    288,00 €
  2. ●23
    Eine Aushilfe im Supermarkt arbeitet diese Woche 5 h, 6 h, 5 h und 4 h. Der Stundenlohn ist 17,50 €. Wie viel verdient sie in der Woche?
    gegebengesucht5 h6 h4 h17,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Stunden: 5 + 6 + 5 + 4 = 20
    2. Lohn: 20 · 17,5 = 350
    Ergebnis:
    350,00 €
  3. ★24
    Eine Schicht dauert 7 Stunden, davon 2 Stunden in der Nacht. Für Nachtstunden zahlt die Firma 25 % Zuschlag. Stundenlohn 18,00 €. Wie viel verdient man in dieser Schicht?
    gegebengesucht7 Stunden2 Stunden25 %18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Normale Stunden: 5 · 18 = 90
    2. Nachtstunden: 2 · 18 · 1,25 = 45
    3. Zusammen: 90 + 45 = 135
    Ergebnis:
    135,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Eine Tablette enthält 0,5 kg Wirkstoff. Gib die Angabe in g an.
    Lösung zeigen
    1. Kilo heißt tausend: 1 kg = 1000 g
    2. Größere Einheit in kleinere: mal. 0,5 · 1000 = 500
    Ergebnis:
    500 g
  2. ●26
    Emre sagt: „2300 ml ist mehr als 1,5 l, weil 2300 die größere Zahl ist.“ Stimmt das?
    Lösung zeigen
    1. In dieselbe Einheit: 1,5 l = 1500 ml
    2. 1500 ml < 2300 ml
    Ergebnis:
    Ja, 2300 ml ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  3. ●27
    Eine Drohne ist 20 m/s schnell. Wie viele km/h sind das?
    Lösung zeigen
    1. In 1 s: 20 m. In 3600 s also 3600-mal so weit.
    2. 20 · 3600 = 72.000, also 72.000 m in einer Stunde.
    3. 72.000 m = 72 km, also 72 km/h.
    Ergebnis:
    72 km/h
  4. ●28
    Ein Bus fährt 54 km/h. Bis zum Bremsen vergehen 2 Sekunden. Wie viele Meter fährt er in dieser Zeit ungebremst weiter?
    gegebengesucht54 km/h2 Sekunden?
    Lösung zeigen
    1. 54 km/h in m/s: 54 : 3,6 = 15
    2. In 2 s: 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30 m
  5. ●29
    Ein Gerät mit 2,5 kW läuft 45 Minuten. Wie viele Kilowattstunden braucht es? Was kostet das bei 35 ct je kWh?
    gegebengesucht2,5 kW45 Minuten35 ct?
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0,75 h
    2. 2,5 · 0,75 = 1,875, also 1,875 kWh.
    3. 1,875 · 35 = 65,63, also 65,63 ct.
    Ergebnis:
    1,875 kWh, 65,63 ct
  6. ●30
    Ein Gerät im Bereitschaftsbetrieb braucht dauernd 20 W, Tag und Nacht, das ganze Jahr. Wie viele Kilowattstunden sind das im Jahr, und was kostet das bei 40 ct je kWh?
    gegebengesucht20 W40 ct?
    Lösung zeigen
    1. Stunden im Jahr: 24 · 365 = 8760
    2. 20 · 8760 = 175.200, also 175.200 Wh = 175,2 kWh.
    3. 175,2 · 40 = 7008, also 7008 ct ≈ 70,08 €.
    Ergebnis:
    175,2 kWh, etwa 70,08 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vorsätze Milli, Zenti, Kilo
Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.
Geschwindigkeit: km/h und m/s
Durch 3,6 teilen führt von km/h zu m/s, mal 3,6 führt zurück.
Energiekosten
Energie ist Leistung mal Zeit, die Kosten sind Energie mal Preis.
Aufteilen im Verhältnis
Erst die Teile zählen, dann den Wert eines Teils berechnen.
Verschnitt und Aufrunden
Zum Materialbedarf kommt der Verschnitt in Prozent dazu.
Sinnvolle Genauigkeit
Die Sache entscheidet, wie gerundet wird.
Fermi-Aufgaben und Stützwerte
Eine unbekannte Größe zerlegt man in Teile, die man schätzen kann.
Arbeitszeit, Lohn und Zuschläge
Minuten teilt man durch 60, bevor man mit Stunden rechnet.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Einheiten mit den Vorsätzen Milli, Zenti und Kilo um.

    31
    Rechne um: 8 ml in cl.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,8 cl

  2. Ich rechne Geschwindigkeiten zwischen km/h und m/s um.

    32
    Rechne 18 km/h in m/s um.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 m/s

  3. Ich berechne Energiekosten aus Leistung, Zeit und Preis je Kilowattstunde.

    33
    Eine Lampe hat 8 W und läuft 3 Stunden am Tag, 30 Tage lang. Laut Rechnung kostet eine Kilowattstunde 32 ct. Was kostet der Strom?
    gegebengesucht8 W3 Stunden30 Tage32 ct?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 0,23 €

  4. Ich teile Mengen in einem Verhältnis auf.

    34
    Für 140 l Blumenerde gilt: Kompost zu Sand wie 2 zu 5. Teile die Menge auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kompost 40 l, Sand 100 l

  5. Ich berechne Materialbedarf mit Verschnitt und runde passend auf.

    35
    Die Wände eines Zimmers haben zusammen 48 m². Sie werden einmal gestrichen. Ein Liter Farbe reicht für 6 m². Die Farbe gibt es in Eimern zu 5 l. Wie viele Eimer brauchst du?
    gegebengesucht48 m²6 m²5 l?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Eimer

  6. Ich gebe Ergebnisse mit sinnvoller Genauigkeit an.

    36
    Ein Zimmer wird auf Dezimeter genau gemessen: 6,1 m lang, 2,9 m breit. Der Rechner zeigt für die Fläche 17,69 m². Welche Angabe ist sinnvoll? Runde auf eine Nachkommastelle wie die Messwerte.
    gegebengesucht6,1 m2,9 m17,69 m²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 17,7 m²

  7. Ich schätze Größen mit Fermi-Aufgaben.

    37
    Wie viel Wasser fließt in einem Schuljahr durch die Toiletten eurer Schule? Annahmen: 700 Kinder, jedes spült 3-mal am Tag, eine Spülung braucht 6 Liter, 190 Schultage.
    gegebengesucht700 Kinder6 Liter190 Schultage?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 2.400.000 Liter

  8. Ich berechne Arbeitszeit und Lohn mit Zuschlägen.

    38
    Im Praktikumsbetrieb geht die Schicht von 6:00 bis 14:30, mit 30 Minuten Pause. Eine Aushilfe bekommt 15,00 € in der Stunde. Wie viel verdient sie an einem Tag?
    gegebengesucht30 Minuten15,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    120,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ordne diese Geräte nach ihrer Leistung. Wasserkocher 2 kW, Föhn 1800 W, Heizlüfter 1,5 kW, Toaster 900 W, Lampe 0,06 kW. Welches Gerät braucht am meisten?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Vorsatz ist ein Faktor: Kilo heißt tausend, Milli ein Tausendstel.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Stromrechnung, Sirup mischen, Tempo im Straßenverkehr und der Lohn vom Ferienjob. Beruf: Fliesen und Farbe im Handwerk, Mischungen auf dem Bau, Dosierungen in der Pflege und Stundenzettel in jedem Betrieb.

Wörter

Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Zuordnungen, Prozentrechnung

Darauf baut auf: Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper

Lösungen

  1. 6000 W
  2. 40.000 W
  3. 0,065 l
  4. 108 km/h
  5. Der Radfahrer ist schneller.
  6. 27 km/h
  7. ≈ 0,08 €
  8. ≈ 0,63 €
  9. 20 Stunden
  10. Zement 5 kg, Sand 25 kg
  11. Zement 20 kg, Sand 30 kg
  12. Blau 24 ml, Weiß 60 ml
  13. 10 Pakete
  14. 2 Eimer
  15. 2 Eimer
  16. ≈ 11 m²
  17. 22 Stücke
  18. ≈ 17,7 m²
  19. etwa 2 m
  20. etwa 2.400.000 Liter
  21. etwa 1,1 m
  22. 288,00 €
  23. 350,00 €
  24. 135,00 €
  25. 500 g
  26. Ja, 2300 ml ist mehr – aber wegen der Umrechnung, nicht wegen der Zahl.
  27. 72 km/h
  28. 30 m
  29. 1,875 kWh, 65,63 ct
  30. 175,2 kWh, etwa 70,08 €
  31. 0,8 cl
  32. 5 m/s
  33. ≈ 0,23 €
  34. Kompost 40 l, Sand 100 l
  35. 2 Eimer
  36. ≈ 17,7 m²
  37. etwa 2.400.000 Liter
  38. 120,00 €
  39. 150 dm
  40. 90,00 €